IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho

Transcripción

1 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO (GENERAL) MATEMÁTICAS II Tiempo máimo: horas y minuos Conese de manera clara y razonada una de las dos opciones propuesas Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (maemáico y no maemáico) empleado por el alumno Se valorarán negaivamene los errores de cálculo OPCIÓN A Ejercicio º) a ) Comprobar que si A es una mariz cuadrada al que A A I, siendo I la mariz idenidad, enonces A es inversible Cuál es la epresión de A -? b ) Uilizar el aparado a ) para calcular la inversa de la mariz A a ) A A I ;; A A I ;; A A I ;; A ( I A) I Teniendo en cuena que, por definición de inversa de una mariz, se cumple que: A A I, de la úlima epresión se deduce que A I A, que eise para cualquier mariz A de coeficienes reales Noa: Falsa sería la demosración siguiene: A A I ;; A A A I Muliplicando por la izquierda por A - : A A A A ( A I ) ;; I A A A A I ;; A I A A I A Aunque se llega a una solución idénica, se supone de anemano la eisencia de la mariz inversa b ) En primer lugar hay que comprobar que A A I : A - I A A I, por lo cual será A A I A A A En efeco, : A I-A A

2 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Ejercicio º) Dados el puno A(,, ) y el plano π y z, deerminar las coordenadas del puno A simérico de A con respeco al plano π Calcular la disancia de A al plano π A(,, ) Un vecor normal de π es (,, ) n Q A (, y, z) r π La reca r es la que pasa por el puno P y es perpendicular al plano, por lo ano su vecor direcor es el vecor normal del plano π; su epresión por unas ecuaciones paraméricas es la λ siguiene: r y λ z λ El puno Q, inersección del plano π con la reca r, iene que saisfacer las ecuaciones de ambos, por lo ano: π y z λ r y λ z λ ( λ) ( λ) λ ;; λ λ λ ;; λ (,, ) λ ;; λ Q Para que A sea el puno simérico de A con respeco a π, iene que cumplirse que: AQ QA' Q A A' Q ;; (,, ) (,, ) (, y, z) (,, ) ;; z z, y, z, A By Cz D P π A B C (,, ) (, y, z ) y y A' (,, ) La disancia del puno P al plano genérico π A By Cz D viene dada por la fórmula: d Aplicando la formula al plano π y z y al puno A (-, -, -) : d ( A', π ) unid d( A', π )

3 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Ejercicio º) Considera la función real definida en oda la reca real por f ( ) a ) Calcular f ' y f '' dando los resulados compleamene simplificados b ) Deerminar los máimos y mínimos de la función f() a ) f ' ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' f '' ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 9 f '' b ) Una función iene un eremo relaivo para los valores de que anulan la primera derivada f ' ( ) ( ) ( ) ;; ;; ;; ;; ;; ;; ± ± ;; Para diferenciar enre máimos y mínimos se recurre a la segunda derivada; si

4 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho el valor es posiivo para los valores que anulan la primera derivada, se raa de un mínimo relaivo y, si es negaivo se raa de un máimo ( ) ( ) f '' > f Mínimo relaivo : A, Mínimo relaivo para Teniendo en cuena que f() es una función par, por ser f ( ) f, es simérica con respeco al eje de ordenadas f '' ± 7 ( ) < ( ) ( ) ( ) Máimos para ± f ± 9 9 ± ± 8 9 Máimos 9 9 relaivos : B, y C,

5 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Ejercicio º) Dada la función f, a ) Calcular F() al que f F ' para cualquier valor de b ) Calcular la inegral d I a ) d d F d d d d f F C F C C C b ) I d I

6 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho OPCIÓN B Ejercicio º) a ) Sin desarrollar el deerminane, comprobar que b ) Deerminar el rango del siguiene conjuno de vecores: { },,,,,,,,,,, w v u a ) Se van a uilizar las siguienes propiedades: - Si un deerminane iene dos filas iguales o proporcionales, su valor es cero - Si odos los elemenos de una fila o columna se descomponen en dos o más sumandos, enonces el deerminane es igual a la suma de los deerminanes que ienen en esa fila o columna el primero y segundo sumandos, respecivamene, y en las demás los mismos elemenos que el deerminane inicial - Si los elemenos de una línea (fila o columna) se muliplican o dividen por un número, el valor del deerminane queda muliplicado o dividido por dicho número b ) El rango del conjuno de vecores dado es igual que el rango de la mariz que deerminan: { },,,,,,,,,,, Rango w v u Rango

7 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho El rango de la mariz anerior es, por dimensión, < y por ser Vamos a ver si iene rango, para lo cual es necesario que odos los deerminanes de orden que pueden formarse sean disinos de cero { C, C, C } { C, C, C } { C, C, C } 8 Rango Rango { u (,,, ), v (,,, ), w (,,, ) } Ora forma diferene de calcular el rango de los vecores es deerminando si son o no linealmene independienes Es evidene que los vecores u y v son linealmene independienes, por lo cual el rango del conjuno es mayor e igual que { } Si los vecores u (,,, ), v (,,, ), w (,,, ) son linealmene dependienes iene que cumplirse que u α v β w, siendo β R 7 α β α β α β α β α, (,,, ) α (,,, ) β (,,, ) 7β ;; β ;; α β α u v w { } Los vecores u (,,, ), v (,,, ), w (,,, ) son linealmene dependienes y su rango es, como esperábamos 7

8 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Ejercicio º) Deerminar la ecuación del plano π que pasa por los punos A(,, ) y B(,, ) y cora al eje OZ en el puno C(,, c) con c > al que el área del riángulo ABC vale unidades cuadradas v AC Los punos A(,, ), B(,, ) y C(,, c) deerminan los vecores, que son los siguienes: u AB y (,, ) (,, ) (,, ) u AB B A (,, c) (,, ) (, c) v AC C A, Sabiendo que el área del riángulo es la miad del módulo del produco vecorial de los dos vecores que lo deerminan: i j k S u v ci k cj ci cj k c ;; ( c) c ;; c c c ;; c ;; c ;; c ;; c ± ± Como iene que ser c >, la solución es c Son vecores direcores del plano π pedido u (,, ) y v (,, ) Considerando, por ejemplo, el puno A(,, ), la ecuación general de π es la siguiene: π y z ( A; u, v ) ;; ( ) z y ;; ( ) z y ;; y z π y z 8

9 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Ejercicio º) Considere la ecuación λ siendo λ una consane mayor que Usando los eoremas de Bolzano y Rolle, probar que la ecuación admie una única solución no negaiva y más pequeña que Se considera la función f λ Por raarse de una función polinómica es coninua y derivable en odo su dominio, que es R, por lo cual, lo será en cualquier inervalo real que se considere El eorema de Bolzano dice que si una función f es coninua en un inervalo cerrado [a, b] y en los eremos de ése oma valores de disino signo, enonces eis- c a, b al que f ( c) e al menos un valor Teniendo en cuena que f ( ) < y f λ >, por ser λ >, según el Teorema de Bolzano, en el inervalo (, ) la función f() iene, al menos, una raíz α, eniendo que ser < α <, valor no negaivo y menor que, y al que f(α) Vamos a demosrar ahora que la raíz es única Si la función uviera al menos ora raíz real posiiva en el inervalo (, ), b, indicaría que f(b), con lo cual se podría aplicar a la función f() el Teorema de Rolle que dice que: Si f() es una función coninua en el inervalo [a, b] y derivable en (a, b) y si se cumple que f(a) f(b), eise al menos un puno c ( a, b) al que f '( c) f ' λ ± λ ` λ ;; 9 λ ± λ ` λ ± λ λ λ λ λ < ;; > Teniendo en cuena que f '' λ, que λ >, resula que: f '' λ λ ( ) λ λ λ λ λ, lo cual significa < que la función iene un máimo relaivo para un valor negaivo de, o sea, en (, ) Por ora pare f ', lo que significa que en el puno de la función P(, -) la función es decreciene y, según hemos demosrado a ravés del eorema de Bolzano, la función iene una raíz en el inervalo (, ) ; eso significa que la función iene un mínimo relaivo en el inervalo (, ) `

10 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Como quiera que f() es polinómica de ercer grado y coninua en R, no puede ener más que un máimo y un mínimo relaivos en la posición que hemos indicado aneriormene, lo que demuesra que la ecuación admie una única solución no negaiva y más pequeña que en el inervalo (, ), como eníamos que demosrar Con objeo de ilusrar lo epueso, hacemos una represenación gráfica aproimada de la función para diferenes valores de λ > Y O X f() λ f() λ f() λ

11 IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Anonio Mengiano Corbacho Ejercicio º) Sea I d: a ) Epresar I aplicando el cambio de variable b ) Calcula el valor de I a ) I d d d I d d b ) I d d d d I [ ] I ( ) I I (*) u u I d I du d du u u Susiuyendo el valor de I en la epresión (*): I ( L L) [ Lu] L L I