6. ALGEBRAS DE BOOLE

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1 6.1. Relaciones de orden Relación de orden Se llama relación de orden sobre un conjuno A a cualquier relación R enre sus elemenos que verifica las siguienes res propiedades: 1. Refleiva: ara, para cualquier a A. 2. Anisimérica: si arb y bra, enonces a = b. 3. Transiiva: si arb y brc, enonces arc. El par (A, R), formado por un conjuno y una relación de orden definida sobre él, se llama conjuno ordenado. Son conjunos ordenados: (N, ), (N, ), (D a, ),... En el conjuno ordenado (A, R), dos elemenos a, b A se dicen comparables si arb o bra. Cuando en el conjuno ordenado (A, R) dos elemenos cualesquiera son siempre comparables, se dice que R es un orden oal. En caso conrario se dice que R es un orden parcial. Diagrama de Hasse El diagrama de Hasse de un conjuno ordenado finio es una represenación del mismo en la que cada elemeno se represena por un puno del plano. Si arb se dibuja a por debajo de b unidos por un segmeno. Finalmene, se suprimen los segmenos redundanes por la propiedad ransiiva: si arb y arc, se dejan los segmenos que unen a con b y b con c pero se suprime el segmeno que une a con c. Relaciones de orden sobre el conjuno produco Si (A, R) y(b,s) son dos conjunos ordenados, en el conjuno produco A B se pueden definir dos relaciones de orden: Orden produco: (a 1,b 1 )P (a 2,b 2 ) a 1 Ra 2 y b 1 Sb 2 Orden leicográfico: (a 1,b 1 )L(a 2,b 2 ) (a 1 = a 2 y a 1 Ra 2 )o(a 1 = a 2 y b 1 Sb 2 ) Elemenos caracerísicos en un conjuno ordenado Sea (A, ) un conjuno ordenado y = B A. C A es coa superior de B si b C para odo b B. S A es supremo de B si es coa superior y para cualquier ora coa superior C se cumple que S C. M B es máimo de B si b M para odo b B. M B es elemeno maimal si no eise b B, b = M, al que M b. c A es coa inferior de B si c b para odo b B. i A es í n fi m o de B si es coa inferior y para cualquier ora coa inferior c se cumple que c i. m B es mínimo de B si m b para odo b B. m B es elemeno minimal si no eise b B, b = m, al que b m. Se dice que B esá acoado si iene coas superiores e inferiores. Eisencia y unicidad Sea (A, ) un conjuno ordenado y = B A. Cuando eisen, el máimo, supremo, mínimo e ínfimo de B son únicos. Si B es finio enonces iene al menos un elemeno maimal y oro minimal.

2 6.2. Reículos Primera definición de reículo Un reículo es un conjuno ordenado (A, ) que verifica que para cada par de elemenos a, b A eisen sup {a, b} einf{a, b}. Son reículos: (N, ), (N, ), (D a, ) con a N, (P(), ), ({0, 1}, ) y({0, 1} n, ) con n N. Segunda definición de reículo Un reículo es una erna (A,, ) donde A es un conjuno y y son dos operaciones binarias definidas sobre A y que cumplen las siguienes propiedades: Idempoene: a a = a a a = a Asociaiva: (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c) Conmuaiva: a b = b a a b = b a Absorción: a (b a) =a a (b a) =a Equivalencia enre las dos definiciones Las dos definiciones son equivalenes en el senido de que si un conjuno A es reículo con una definición lo es ambién con la ora siempre que la relación de orden y las operaciones binarias esén relacionadas de la siguiene manera: a b a b = b y a b = a Tipos de reículos Se dice que el reículo (A, ) esacoado si posee máimo y mínimo, que se designan por 1 y 0, respecivamene. Sea (A, ) un reículo acoado. Dado a A, sedicequea A es complemenario de a si a a =1y a a = 0. Un reículo se dice complemenario si odos sus elemenos poseen complemenario. Un reículo (A,, )sedicedisribuivo si para cualesquiera a, b, c A se cumple que a (b c) =(a b) (a c) a (b c) =(a b) (a c) Ejemplos de reículos 1. Los reículos P() y{0, 1} n son complemenarios y disribuivos. 2. El reículo D a es acoado y disribuivo para cualquier valor de a N. 3. El reículo D a no es complemenario para algunos valores de a N (por ejemplo, para a = 12). 4. El reículo D a es complemenario si y sólo si en la descomposición de a en facores primos, odos ellos aparecen con eponene unidad.

3 6.3. Álgebras de Boole Álgebras de Boole Un álgebra de Boole es un reículo complemenario y disribuivo (es decir, un reículo con las mismas propiedades que P() y{0, 1} n ). En el álgebra de Boole (A,, ) se cumplen, además, las siguienes propiedades para cualesquiera a, b A: Involuiva: (a ) = a Leyes de Morgan: (a b) = a b y (a b) = a b Con frecuencia, en las álgebras de Boole las operaciones y se represenan ambién por + y, respecivamene. Isomorfismos enre álgebras de Boole Dos álgebras de Boole son isomorfas si eise una biyección enre ellas que conserva la ordenación. Teorema 1 Si A es un álgebra de Boole finia enonces eise un conjuno finio al que A y P() son isomorfas. Teorema 2 Si es un conjuno finio con n elemenos, enonces las álgebras de Boole P() y{0, 1} n son isomorfas. Cardinal de un álgebra de Boole finia Si A es un álgebra de Boole finia, enonces su cardinal es A =2 n para algún n N.

4 6.4. Funciones y epresiones booleanas Álgebra de Boole binaria Se llama álgebra de Boole binaria a ({0, 1},, ) =({0, 1}, +, ) con las operaciones definidas por: / / =1 1 =0 En el álgebra de Boole ({0, 1} n,, ) =({0, 1} n, +, ) las operaciones vienen definidas por: n + y 1 y 2...y n =( 1 + y 1 )( 2 + y 2 )...( n + y n ) ( n ) = n n y 1 y 2...y n =( 1 y 1 )( 2 y 2 )...( n y n ) Variable booleana Se llama variable booleana a cualquier variable que puede omar los valores 0 y 1. Epresiones booleanas El concepo de epresión booleana en las variables 1, 2,..., n se define de forma recursiva como sigue: 1. Las variables 1, 2,..., n son epresiones booleanas. 2. Los símbolos 0 y 1 son epresiones booleanas. 3. Si E 1 y E 2 son epresiones booleanas, enonces E 1 E 2 = E 1 +E 2, E 1 E 2 = E 1 E 2 y E1 son epresiones booleanas. 4. No hay más epresiones booleanas que las que se obienen por las reglas 1, 2 y 3. Definición Una función booleana de n variables es una aplicación f : {0, 1} n {0, 1}. Para represenar las funciones booleanas se uilizan ablas de verdad y epresiones booleanas. Tablas de verdad La abla de verdad de una función booleana f : {0, 1} n {0, 1} es una abla en la que se represenan odos los elemenos de {0, 1} n y sus imágenes: Funciones y epresiones booleanas 1 2 n 2 n 1 n f( 1, 2,..., n ) f(0, 0,...,0, 0, 0) f(0, 0,...,0, 0, 1) f(0, 0,...,0, 1, 0) f(0, 0,...,0, 1, 1) f(1, 1,...,1, 1, 1) Cualquier epresión booleana define una función booleana cuyas variables deben conener a odas las de la epresión. Así, por ejemplo, la epresión y, o mejor y +, puede represenar a una función booleana f(, y) =y + o f(, y, z) =y +.

5 Cualquier función booleana admie una epresión booleana, llamada epresión elemenal que la represena: i,sib i =1 f( 1, 2,..., n )= y 1 y 2... y n donde y i = i,sib i =0 S(f)={b=b 1 b 2...b n : f(b)=1} Cada y 1 y 2... y n, con y i = i o y i = i, se llama produco elemenal. Dos epresiones booleanas son equivalenes si definen la misma función booleana. Cualquier epresión booleana admie ora equivalene en forma de suma de producos elemenales. Ejercicios 1. Escribe la abla de verdad de la función f : {0, 1} 2 {0, 1} definida por la epresión: f(, y) =( y ) (y ( y)) 2. Halla las ablas de verdad, y epresa como suma de producos elemenales, cada una de las siguienes funciones booleanas: (a) f(, y, z) = y (b) f(, y, z) =z (c) f(, y, z) =( y) z 3. Deermina odas las funciones booleanas que cumplan: f(a,b)=f(a, b )=(f(a, b)). Soluciones y/o sugerencia a los ejercicios 1. f vale 1 sobre el conjuno S(f) ={01, 10, 11} y 0 en el reso. 2. (a) S(f) ={110, 111}, f(, y, z) =yz + yz; (b) S(f) ={000, 010, 100, 110}, f(, y, z) = y z + yz + y z + yz ; (c) S(f) ={000, 010, 100, 110, 111}, f(, y, z) = y z + yz + y z + yz + yz. 3.

6 6.5. Simplificación de epresiones booleanas. Mapas de Karnaugh. Simplificación de epresiones booleanas Una función booleana se puede represenar de muchas maneras mediane epresiones booleanas, e ineresa enconrar la más simplificada. La epresión como suma de producos elemenales no es la epresión más simple, pero sí es el puno de parida de odos los méodos de simplificación, que se basan en la búsqueda de pares de producos elemenales que difieran solamene en una variable y poder aplicar el siguiene resulado. Teorema Si E es una epresión booleana en n variables y z es ora variable, enonces las epresiones E y ze + z E son equivalenes. Los mapas de Karnaugh Las epresiones booleanas elemenales en n = 2, 3 y 4 variables admien una represenación en cuadrículas de 2 n cuadrados como las siguienes: y n = 2 y n = 3 n = 4 Cada cuadrícula represena un produco elemenal y dos producos elemenales son adyacenes (sus cuadrados son adyacenes) si y sólo si difieren en una única variable (a efecos de adyacencia se idenifican los lados opuesos de la cuadrícula). El mapa de Karnaugh de una epresión booleana elemenal en n (2, 3 o 4) variables es una cuadrícula como las aneriores en la que se han sombreado los cuadrados correspondienes a los producos elemenales que aparecen en la epresión. En el mapa de Karnaugh se llama recángulo simple correspondiene a un produco de variables al recángulo formado por odas las cuadrículas que conienen dicho produco. Así, por ejemplo en n = 3, el recángulo simple correspondiene a esá formado por las cuadrículas yz, yz, y z y y z, y el recángulo simple correspondiene a z esá formado por las cuadrículas yz y y z. Simplificación basada en los mapas de Karnaugh Para simplificar una epresión booleana elemenal E se siguen los siguienes pasos: 1. Se represena el mapa de Karnaugh de E (sombreando las cuadrículas correspondienes a sus producos elemenales). 2. Se consideran odos los recángulos simples de mayor amaño posible que recubran la zona sombreada del mapa de Karnaugh, aunque se solapen. 3. Se eliminan los recángulos simples que esán conenidos en la unión de oros, de forma que la zona sombreada quede recubiera por el menor número de recángulos del mayor amaño posible. 4. La suma de las epresiones correspondienes a los recángulos que quedan al final del proceso es una epresión simplificada de la epresión original E. La epresión simplificada depende de las elecciones efecuadas en el proceso, por lo que no es necesariamene única. Ejercicios 1. Para cada uno de los siguienes mapas de Karnaugh de epresiones booleanas, escribe las epresiones booleanas elemenales que definen, y simplifícalas.

7 2. Simplifica la epresión de las funciones booleanas que oman el valor 1 en los conjunos que se indican y el valor 0 en el reso: S(f) ={(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)} S(g) ={(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)} 3. Se ha perdido pare de la información de la abla de verdad de una función f, conservando únicamene los siguienes valores: f(0, 0, 0) = f(0, 1, 0) = f(0, 1, 1) = f(1, 1, 0) = 1 y f(0, 0, 1) = 0. Deermina la epresión más sencilla que puede ener dicha función y dibuja su mapa de Karnaugh. 4. Dada la función booleana f : {0, 1} 4 {0, 1} definida por: f(, y, z, ) =yz + y z + yz + y z + y z + yz + y z + yz (a) Demuesra, uilizando las propiedades de álgebra de Boole, que f(, y, z, ) =z + z. (b) Comprueba el resulado anerior usando mapas de Karnaugh. 5. Simplifica al máimo las siguienes epresiones booleanas: (a) ( + y) + y z (c) (y + y + y z) (e) y( + yz) (b) ( y) ( + yz ) (d) ( + y) (y ) (f) ( + y z)(y + z ) Soluciones y/o sugerencia a los ejercicios 1. f(, y, z) = y + y z; f(, y, z) =z + yz + y z; f(, y, z) =y + z ; f(, y, z, ) =z + z + y ; f(, y, z, ) =z + y + yz; f(, y, z, ) =y + y z + y. 2. f(, y, z, ) = z + z + z; g(, y, z, ) = y + yz + y z + z + yz. 3. f(, y, z) =y + z (a) y + y z; (b) yz + y ; (c) y ; (d) y ; (e) yz ; (f) y + z.

8 6.6. El méodo de Quine-McCluskey. El méodo de Quine-McCluskey El méodo de Quine-McCluskey simplifica la epresión de una función booleana f : {0, 1} n {0, 1} agrupando sisemáicamene producos que difieren en una variable, pero en vez de uilizar producos elemenales uiliza los elemenos de S(f) ={b = b 1 b 2...b n {0, 1} n : f(b) =1}. El proceso a seguir es el siguiene: 1. Se agrupan los elemenos de S(f) por bloques, en una columna, según el número de unos, y ordenados en orden decreciene. 2. Se compara cada elemeno de cada bloque con odos los del siguiene bloque y, en caso de que difiera en un único dígio se marca y se pasa a una segunda columna susiuyendo por un guión el dígio diferene. Los elemenos del úlimo bloque se marcan sin comparar con ninguno. 3. Se repie el paso anerior con los bloques de la segunda columna consruyendo una ercera columna, y así sucesivamene hasa que quede un único bloque. 4. Cuando no se pueda coninuar con el proceso anerior: (a) Se consideran los elemenos no marcados de odas las columnas. (b) Para cada elemeno de S(f) se elige uno de los no marcados que lo incluya, que conenga el mayor número de guiones, y repiiendo elección siempre que se pueda. 5. La epresión booleana formada por la suma de las epresiones correspondienes a los elemenos elegidos es una epresión simplificada. Ejemplo Si f(, y, z, ) =yz + yz + yz + yz + y z + yz + y z, enonces: Se consruyen los bloques y se realizan los pasos 2 y 3: S(f) ={1101, 0111, 1110, 0101, 1010, 0110, 0010} = = 1 0 Para hacer el paso 4 se consruye la siguiene abla: En la abla se observa que con los elemenos - -10, -101 y 01-1 se cubren odos los elemenos de S(f). Por ano, la epresión simplificada de f es: f(, y, z, ) =z + yz + y. Ejercicios 1. Halla la epresión simplificada de la función f : {0, 1} 5 {0, 1} al que S(f) ={11111, 11101, 11011, 10111, 10101, 10011, 11001, 10001}

9 2. Encuenra la epresión más sencilla que deeca, denro del conjuno {n Z :0 n 15}, los números que son: (a) múliplos de 2; (b) múliplos de 3; (c) múliplos de Un eamen ipo e consa de 5 pregunas. Las respuesas correcas son: 1 Si, 2 No, 3 Si, 4 Si y 5 No. Consruye una epresión booleana que analice cada eamen y disinga los aprobados de los suspensos (se considera aprobado si al menos res respuesas son correcas). 4. Define una epresión booleana que compare, según el orden, dos números del conjuno {0, 1, 2, 3} y simplifícala. 5. Para eviar que un ascensor viajen niños pequeños solos y pesos ecesivos, se quiere permiir su movimieno sólo cuando esé vacío o con un peso comprendido enre 25 y 300 kilos. con ese objeivo, se doa al ascensor con res sensores: A sensible a cualquier peso, B sensible a pesos mayores de 25 kilos, y C sensible a pesos superiores a 300 kilos. Diseña el circuio más sencillo posible que cumpla dichas condiciones. 6. En una reunión celebrada enre 12 países de la Comunidad Europea se acuerda acepar las resoluciones aprobadas por la mayoría de los miembros. España, Ialia, Porugal y Grecia voan en bloque. Siuación similar es la de Francia y Alemania. También hacen lo mismo Reino Unido e Irlanda por un lado, y Bélgica, Holanda y Luemburgo por oro. Dinamarca siempre voa lo conrario que Alemania, y los res países Bélgica, Holanda y Luemburgo lo conrario que Irlanda. Qué países ienen mayor poder de decisión? 7. Para eviar errores de ransmisión en cieros mensajes codificados, es frecuene añadir un bi, llamado conrol, a cada bloque de bis. Así, por ejemplo, en la represenación de los números eneros posiivos del 0 al 15 se añade a su código binario de cuaro dígios un quino dígio que será 1 o 0 según que el número de unos sea par o impar, respecivamene (por ejemplo el número 7 que en código binario es 0111 se represena por 01110). Define una función que proporcione el dígio de conrol y que sea lo más simplificada posible. 8. La aparición de un dígio decimal en el visor de una calculadora se produce mediane un circuio con cuaro enradas, que se corresponden con el código binario del dígio y siee salidas {f i :1 i 7}, que se represenan como pequeños segmenos, iluminados o no en el visor, según el siguiene esquema: f 6 f 5 f 1 f 7 f 4 f 2 f 3 (a) Consruye la abla de verdad de cada una de las funciones booleanas f i : {0, 1} 4 {0, 1}, 1 i 7. (b) Encuenra epresiones mínimas en forma de suma de producos para f 1 y f 2. Soluciones y/o sugerencia a los ejercicios 1. f(, y, z,, u) =u. 2. (a) f(, y, z, ) = ; (b) f(, y, z, ) = y z + y z + yz + y z + yz + yz; (c) f(, y, z, ) =z. 3. f(, y, z,, u) =z + zu + u + zu + y z + y + y z + y zu + y u + y u. 4. f(, y, z, ) = y + + z + y z + z. 5. f(a, b, c) =a b c + abc. 6. España, Ialia, Porugal y Grecia. 7. f(, y, z, ) = y z + y z + yz + yz + y z + y z + yz + yz. 8. (b) f 1 (, y, z, ) = z + y + y z + y ; f 2 (, y, z, ) = y + y z + z + z.

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