EJERCICIOS TEMA Estudiar cuales de los siguientes conjuntos ordenados son retículos

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1 EJERCICIOS TEMA Dado un conjuno parcialmene ordenado (A, R ), esudiar si son verdaderas o falsas las siguienes afirmaciones: a) Si (A, R) es reículo, enonces es oalmene ordenado. b) Si (A, R) es oalmene ordenado, enonces es reículo Esudiar cuales de los siguienes conjunos ordenados son reículos 4.3. Obener los diagramas de Hasse de odos los reículos, salvo isomorfismos, de uno, dos, res, cuaro y cinco elemenos Sea F(N) la colección de odos los subconjunos finios de N. Tiene (F(N), ) algún elemeno maimal? Tiene algún elemeno minimal? Es (F(N), ) un reículo? 4.5. Sea E(N) la colección de odos los subconjunos finios de N que ienen un número par de elemenos. En (E(N), ) se consideran los elemenos A={1,2}, B={1,3} enconrar cuaro coas superiores para {A,B}. Tiene {A,B} supremo en (E(N), )? Es (E(N), ) un reículo? 4.6. Esudiar si en el reículo de la figura se verifica la igualdad: a (b c)=(a b) (a c) 4.7. Enconrar el complemenario de cada elemeno de D 42 y D Dados el conjuno ordenado A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} y el subconjuno B = {e, f, h, i} descrios por el diagrama de Hasse de la figura, se pide: i) Hallar coas, supremo e ínfimo, si eisen, de B en A ii) Hallar, si eisen, maimales y minimales de B iii) Es A un reículo Y B? Es B subreículo de A? iv) Es A un reículo acoado? Y complemenario? v) El complemenario de cada elemeno, es único? 1 a b c d Epresar la operación conjunción en función de la disyunción y la complemenaria. Epresar la disyunción en función de la conjunción y la complemenaria Demosrar que en un álgebra de Boole, las siguienes condiciones son equivalenes: (a) y = 0 (b) + y = y (c) + y = 1

2 4.11. Verificar que en un álgebra de Boole se cumple que + y =. Comprobar la igualdad aplicando las leyes del álgebra de Boole y ablas de verdad Demosrar que en un álgebra de Boole se verifican las siguienes propiedades: a) a b b' a' b) Si a b a (b c)=b (a c) c) Si a b c ( a b) (a b c) (b c) (a c)=b d) a b a b = 0 a b= Consruir un isomorfismo enre las álgebras de Boole (P(C), ) y (B n, n ) para algún n N, siendo C={1,2,3,4} Sea (A, ) un álgebra de Boole de 8 elemenos Cuános elemenos minimales iene A- {0}? Y si A iene 16 elemenos? Epresar cada una de las siguienes funciones booleanas usando sólo los operadores suma y complemeno: (a) + y z (b) (y + z ) + y (c) + y ( + z ) El operador booleano XOR (OR eclusivo), denoado por, se define así: 1 1 = 0, 1 0 = 0 1 = 1, 0 0 = 0 (a) Calcular 0, 1,, (b) Comprobar que y = ( + y)( y ) El operador booleano NAND, designado por la noación, se define así: 1 1 = 0, 1 0 = 0 1 = 0 0 = 1 Comprobar que ese operador consiuye un conjuno funcionalmene compleo de operadores, pues odos los demás se pueden represenar con ese operador. = y = ( y) ( y) + y = ( ) (y y) Dada la epresión E(,y)=( y') ((y (' y)). Hallar la abla de verdad de la función booleana f: B 2 B definida por E Deerminar S(f) para las funciones booleanas f:b 3 B definidas por: a) f(,y,z)= y b) f(,y,z)=z, c) f(,y,z)=( y) z, d) f(,y,z)= Deerminar odas las funciones booleanas binarias que cumplan las condiciones: f(a',b) = f(a,b') = (f(a,b))' Sea S = {(1,1,0,0), (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,0,0,0), (0,0,0,1), (0,1,0,0), (0,0,0,0), (0,1,0,1)}, subconjuno de B 4 con el orden produco. Dibujar el diagrama de Hasse de S. Esudiar si es álgebra de Boole. Simplificar la epresión booleana de la función f que oma valor 1 en el conjuno S y cero en el reso, mediane el mapa de Karnaugh Dada la función booleana f: B 4 B definida por la epresión f(, y, z, ) = yz + y z + yz + y z + y z + yz + y z + yz, se pide: a) Demosrar que f(,y,z,) = z + z uilizando las propiedades de un álgebra de Boole. b) Verificar el resulado anerior uilizando mapas de Karnaugh

3 4.23. Escribir las epresiones booleanas que definen cada uno de los siguienes mapas de Karnaugh Diseñar los circuios con pueras lógicas correspondienes a las epresiones booleanas ( + y) ( + y)(y + z) Consruir con pueras lógicas el circuio que represene la función y + y + y. Simplificar la epresión y consruir el circuio simplificado Dado el conjuno de verdad S(f)={(0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,0,1), (0,1,1,1), (0,1,1,0), (1,1,0,0), (1,1,1,1), (1,0,1,0)} enconrar la epresión booleana más simplificada para la función f Complear los huecos de la abla de verdad de la derecha, eniendo en cuena que la epresión booleana de la función f ha de ser lo más sencilla posible. Deerminar esa epresión y dibujar el mapa de Karnaugh correspondiene. y z f(,y,z) Simplificar al máimo las siguienes epresiones booleanas como suma de producos elemenales: a) ('+y)'+y'z b) ('y)'('+yz') c) (y'+'y+y'z) d) (+y)'(y')' e) y(+yz)' f) (+y'z)(y+z') Enconrar la epresión más sencilla que deece los números de los conjunos siguienes: A={múliplos de dos}, B={múliplos de res} y C={múliplos de cuaro} denro del conjuno {0, 1, 2, 3,..., 15} Definir una epresión booleana que compare, según el orden, dos números del conjuno {0, 1,2, 3}. Simplificar la epresión obenida.

4 4.31. Un eamen de ipo es consa de 4 pregunas. Las respuesas correcas son: 1ª Sí 2ª No 3ª Sí 4ª Sí Consruir una epresión booleana que analice cada eamen y disinga los aprobados de los suspensos. Se considera aprobado si al menos res respuesas son correcas El consejo de adminisración de una empresa esá compueso por cinco miembros, {m 1,m 2,m 3,m 4,m 5 }. Se somee a voación la aprobación de un proyeco. La voación es secrea y nadie puede absenerse. Suponiendo que nadie voa en blanco, obener una epresión booleana E, en forma de suma de producos de las variables binarias i (ales que i oma el valor 1 cuando m i voa sí y 0 en caso conrario), que ome el valor 1 cuando se aprueba el proyeco con al menos res voos favorables de los miembros {m 1,m 2,m 3,m 4 }. Simplificar la epresión E Un ascensor iene un disposiivo de seguridad para que no puedan viajar niños pequeños ni pesos ecesivos. Queremos que el ascensor se ponga en marcha cuando esé vacío o con pesos enre 25 y 300 kilos. Doamos al ascensor de res sensores: A sensible a cualquier peso, B sensible a pesos mayores de 25 kilos y C sensible a pesos superiores a 300 kilos. Diseñar el circuio más sencillo posible que cumpla dichas condiciones Para eviar errores de ransmisión en cieros mensajes codificados, es frecuene añadir un bi, llamado de conrol, a un bloque de bis. Así, por ejemplo, en la represenación de cifras decimales mediane un código binario, 0 se represena como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00001; 1 se represena como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00010; 2 se represena como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00100; 3 se represena como a 4 a 3 a 2 a 1 c = 00111; ec. El bi de paridad c vale 1 si el número de unos del bloque es par y vale 0 en caso conrario. Definir una epresión E que verifique lo anerior para los dígios del 0 al 9 de manera que sea lo más simplificada posible en la forma suma de producos La aparición de una cifra decimal en el visor de una calculadora se produce mediane un circuio con cuaro enradas, que se corresponden con el código binario del dígio, y siee salidas, f i (i=1,.., 7), que se presenan como pequeños segmenos que se iluminan o apagan en el visor, según el esquema de la figura: f 6 f 5 f 1 f 2 f 7 f 3 Trazar la abla de verdad de una cada una de las funciones booleanas f i : B 4 B que represenan ese fenómeno binario. Observar que hay elemenos de B 4 para los que cada componene f i de F puede omar 0 ó 1 indiferenemene, pues son casos imposibles (represenan números mayores que nueve). Teniendo eso en cuena enconrar epresiones mínimas para f 1 y f Una barrera de paso a nivel depende de un semáforo que muesra sólo uno de los res colores (verde, rojo, naranja) y una señal luminosa de color blanca que se aciva independienemene del semáforo. La barrera se cierra para no dejarnos pasar si el semáforo esá en rojo o si, simuláneamene, el semáforo esá en naranja y la señal blanca acivada. Hallar, mediane un mapa de Karnaugh, la epresión booleana más simple, en forma de suma de producos elemenales, que represena la aperura de dicha barrera Hallar una epresión booleana mínima, en forma de suma de producos, para la función booleana que oma el valor 1 en el subconjuno de los números que no son primos del conjuno C ={0, 1, 2,, 15} f 4

5 4.38. Una asamblea de 36 personas debe voar para acepar o rechazar una propuesa. La asamblea se divide en cuaro grupos X, Y, Z y T, que cuenan con 5, 8, 10 y 13 miembros respecivamene, de modo que odos los miembros de un grupo voan conjunamene. En la voación no hay absenciones y la propuesa se acepa si se alcanza la mayoría absolua a) Consruir la abla de verdad de la función f(,y,z,) que oma valor 1 si se acepa la propuesa y 0 si se rechaza. b) Simplificar la epresión booleana que represena f Define, mediane la abla de verdad, una función booleana que deece los números primos del conjuno {n N / n 15}. Obén una epresión booleana que la represene y simplifícala.