1. Desarrollo Preguntas. Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas

Transcripción

1 Universidad Simón Bolívar Deparameno de Maemáicas Puras y Aplicadas Maemáicas IV (MA-5 Sepiembre-Diciembre 8 4 ra Auoevaluación Maerial Cubiero: La presene auoevaluación versa sobre el maerial cubiero en las clases 5 a la primera pare de la clase 8 del cronograma del curso, es decir, las secciones 3-7 del exo de los profesores Viola-Prioli Noa: La presene auoevaluación no iene ningún valor para la noa final de ese curso Noación: La función logarimo naural, es decir, la función inversa de g(x = e x se denoará por f(x = log(x Sobre el iempo esimado: El iempo esimado se obuvo muliplicando por 5 el iempo que me omó a mí resolver los problemas (en algunos casos agregando unos minuos para ener, por ejemplo, 5min en vez de min 3seg Comenarios, pregunas o errores? Escriba a la dirección fojeda@usbve (Prof Francisco Ojeda Por favor use el código (MA-5 o nombre de ese curso en el encabezado de su mensaje (ya que en caso conrario por desconocer al remiene probablemene borre su mensaje sin leerlo Desarrollo Tiempo esimado: hora 5 minuos Insrucciones: Resuelva los siguiene problemas, jusificando sus respuesas Marque la respuesa correca en cada una de las siguienes pregunas Al finalizar, y anes, de proceder a la pare, verifique si sus respuesas son correcas Se le sugiere que ambién lea las resoluciones proporcionadas de los problemas Recuerde si su solución y la solución publicada difieren en el procedimieno, eso no necesariamene significa que su solución sea incorreca, ya que puede haber más de una manera de resolver un problema Por oro lado, el hecho que Ud haya indicado la respuesa correca, no significa que el procedimieno que Ud usó esé necesariamene bien Si Ud iene una duda respeco a su solución o a la solución proporcionada se le sugiere consule a su profesor Pregunas Preguna Sean X ( = ( Serán X y X linealmene independienes en (,? ( y X ( = (a Son independienes (,

2 (b Son dependienes en (, Preguna Sea A una mariz 3 3 consane con auovalores λ, λ y λ 3 disinos, y sean K, K y K 3 auovecores asociados respecivamene a cada uno de esos auovalores Será {e λ K, e λ K, e λ 3 K3 } un conjuno fundamenal de soluciones del sisema X = A X? (a Si es conjuno fundamenal de soluciones del sisema X = A X (b No es conjuno fundamenal de soluciones del sisema X = A X Preguna 3 Considere el siguiene sisema de ecuaciones diferenciales dx d dy d = x y = x y Se sabe que {x ( = cos( + sen(, y ( = sen(} y {x ( = sen(, y ( = sen( cos(} son soluciones de dicho sisema (en R Son esas soluciones linealmene independienes? (a No son linealmene independienes (b Si son linealmene independienes Preguna 4 Sea Resuelva el sisema X = A X A = 3 4 (a (b (c X ( = c e para consanes c, c, c 3 R X ( = c e para consanes c, c, c 3 R X ( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e 3 + c e 3 + c e 3 + c 3 e 3 + c 3 e 3 + c 3 e 3

3 (d X ( = c e para consanes c, c, c 3 R Respuesas (a, (a, 3 (b, 4 (c 3 Resolución de los problemas + c e 3 + c 3 e 3 Solución Procedemos por reducción al absurdo Supongamos que los vecores son dependienes en (,, endríamos enonces que exise una consane α al que X ( = αx ( o al que X ( = αx ( Como en el inervalo (, las enradas de nuesras vecores son esricamene posiivas, podemos asumir sin pérdida de generalidad que X ( = αx (, pero eso nos dice que { = α = α { / = α / = α Y eso es claramene falso (recuerde que > Esa conradicción nos dice que X y X son linealmene independienes en (, Solución Cómo la mariz A es 3 3, el espacio de soluciones V A de X = AX iene dimensión 3 Por oro sabemos que X( = e λ K es solución del sisema homogéneo X = AX si y sólo si K = o λ es auovalor de A y K es un auovecor asociado a λ Eso implica que K i e λi es solución de X = AX, para i =,, 3 Más aún esás soluciones son linealmene} independienes por corresponder a auovalores disinos de A y por lo ano {e λ K, e λ K, e λ 3 K3 es un conjuno fundamenal de soluciones del sisema X = AX Solución 3 Como ya sabemos que los pares de funciones dados, son soluciones de nuesro sisema en R, basa enonces calcular el Wronskiano para algún R Enonces queremos calcular (( ( ( cos( + sen( sen( cos( + sen( sen( W, = de sen( sen( cos( sen( sen( cos( Vemos que en =, la cuena se simplifica, así que ( cos( + sen( sen( de sen( sen( cos( Por lo ano las soluciones son linealmene independienes ( = de = Solución 4 Primero buscamos los auovalores de A Para ello buscamos las raíces de p A (λ = de (A λi Enonces 3 λ p A (λ = de λ = ( 3 λ (( λ ( 4 λ + 4 λ = (λ + 3 ( λ + 5λ + 6 = (λ + 3 (λ + 3 (λ + = (λ + 3 (λ + 3

4 Enonces los auovalores son λ = con muliplicidad y λ = 3 con muliplicidad Buscamos los auoespacios V λ y V λ asociados a λ y λ respecivamene Comenzamos con λ Resolvemos enonces el sisema (A λ I K = Es decir, Se ve fácilmene que k = y k = k 3, y enonces V λ = gn k k k 3 = Ahora calculamos V λ Resolvemos enonces el sisema (A λ I K =, es decir, k k = k 3 Enonces k = k 3 y por lo ano V λ = gn Enonces las soluciones de nuesro sisema son de la forma X ( = c e + c e 3 + c 3 e 3 para consanes c, c, c 3 R Noa: Observamos que el sisema de ecuaciones diferenciales que resolvimos es de la forma dx d = 3x dx d = x x 3 dx 3 d = x 4x 3 Observen que x sólo aparece en la primera ecuación y que x y x 3 sólo aparecen en la segunda y ercera ecuación Enonces ese sisema se ha podido rabajar resolviendo la primera ecuación (que no depende de x ni x 3 y resolviendo las dos úlimas ecuaciones como un sisema de dos ecuaciones diferenciales lineales (ese sisema nos daría x y x 3 Desarrollo Más problemas Tiempo esimado: hora 5 minuos Insrucciones: Resuelva los siguiene problemas, jusificando sus respuesas Marque la respuesa correca en cada una de las siguienes pregunas Al finalizar, y anes, de proceder a la pare 3, verifique si sus respuesas son correcas Se le sugiere que ambién lea las resoluciones proporcionadas 4

5 de los problemas Recuerde si su solución y la solución publicada difieren en el procedimieno, eso no necesariamene significa que su solución sea incorreca, ya que puede haber más de una manera de resolver un problema Por oro lado, el hecho que Ud haya indicado la respuesa correca, no significa que el procedimieno que Ud usó esé necesariamene bien Si Ud iene una duda respeco a su solución o a la solución proporcionada se le sugiere consule a su profesor Pregunas Preguna Sea B una mariz consane n n y X ( = e β K, donde K R n y K Se sabe que X = B X Enonces (a β es auovalor de B y K es un vecor arbirario (b K = (c β es auovalor de B y K es un auovecor asociado a β (d ninguna de las aneriores Preguna Considere el siguiene sisema de ecuaciones diferenciales dx d dy d = x y = x y Se sabe que {x ( = cos( + sen(, y ( = sen(} y {x ( = sen(, y ( = sen( cos(} son soluciones linealmene independienes de dicho sisema (en R Encuenre la solución que saisfaga x( = y y( = (a {x( = cos(, y( = sin( cos(} (b {x( = 4 sen( cos( + 3, y( = cos( + 3 sen( 3} (c {x( = 4 sen( cos(, y( = cos( + 3 sen(} (d {x( = cos( + 3 sen(, y( = 4 sen( cos(} (e {x ( =, y ( = } Preguna 3 Sea Resuelva el sisema X = A X A = (a X ( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e cos( sen( + c 3 e sen( cos( 5

6 (b X ( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e cos( sen( + c 3 e sen( cos( (c (d (e X ( = c e para consanes c, c, c 3 R X ( = c e para consanes c, c, c 3 R X ( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e + c e + c e cos( sen( senh( sen( cos( sen( + c 3 e + c 3 e + c 3 e sen( cos( cosh( cos( sen( cos( Preguna 4 Resuelva dx d dy d = x + y + e = x y + 3 con x ( = 5 6 y y ( = (a { x( = e + e 4 3 y( = e + e 5 3 (b { x( = 3 6 e + e 4 3 y( = 7 6 e + e 5 3 (c { x( = e + e 5 3 y( = e + e 4 3 (d { x( = e + e 5 3 y( = e + e 4 3 6

7 (e { x( = + 6 e + e 4 3 y( = e + e 5 3 Las respuesas a esa pare se encuenran en la página siguiene 7

8 Respuesas (c, (d, 3 (e, 4(a 3 Resolución de los problemas Solución Tenemos un eorema que dice lo siguiene: si A R n n, enonces X( = e λ K es solución del sisema homogéneo X = A X si, y sólo si, K = o λ es auovalor de A y K es auovecor asociado a λ En nuesro caso ese eorema implica que β es auovalor de B y K es un auovecor asociado a β Solución Dado que {x, y } y {x, y } son soluciones linealmene independienes, enemos que la solución general es de la forma es decir, {x ( = c x ( + c x (, y ( = c y ( + c y (} con c, c R, {x ( = c (cos( + sen( + c sen(, y ( = c sen( + c (sen( cos(} con c, c R Enonces queremos que { x( = c (cos( + sen( + c sen( = y( = c sen( + c (sen( cos( =, es decir, { c = c =, es decir, c = y c = y por lo ano {x ( = cos( + 3 sen(, y ( = 4 sen( cos(} Solución 3 Primero buscamos los auovalores de A Para ello buscamos las raíces de p A (λ = de (A λi Enonces λ p A (λ = de λ = ( λ (( λ ( λ + 4 = ( λ ( λ λ + 5 λ = ( λ(λ ( + i(λ ( i = Enonces los auovalores son λ =, λ = +i y λ 3 = i Enonces buscamos los auoespacios V λ y V λ Primero resolvemos (A λ I K =, es decir, k k = k 3 Enonces k = k 3 = y por lo ano V λ = gn 8

9 Enonces X ( = e Enonces es solución de nuesro sisema Ahora resolvemos (A λ I K = i i i Tenemos que k =, k 3 = ik, y por lo ano V λ = gn k k k 3 i = Enonces la pare real e imaginaria de Z ( = e (+i = e e i i = e cos ( + i sen ( sen ( i cos ( i = e (cos ( + i sen ( i son soluciones linealmene independienes de nuesro sisema, es decir, X ( = e cos ( sen ( y X 3 ( = e sen ( cos ( son soluciones linealmene independienes de nuesro sisema Finalmene, odas las soluciones de nuesro sisema son de la forma X ( = c e + c e + c 3 e para consanes c, c, c 3 R cos ( sen ( sen ( cos ( Solución 4 Escribimos nuesro sisema en forma maricial, es decir, como X = AX + G, donde ( ( ( A =, X x ( ( =, G y ( e = 3 Primero resolvemos el sisema homogéneo asociado X = AX Buscamos los auovalores de A, ( λ de = ( λ ( λ = λ + 4λ + 3 = (λ + 3(λ + λ 9

10 Enonces los auovalores son λ = 3 y λ = (cada uno con muliplicidad uno Ahora buscamos los auoespacios asociados a nuesros auovalores, primero resolvemos (A λ I K =, ( ( ( k = k = k, k y por lo ano {( V λ = gn } Ahora resolvemos (A λ I K =, ( ( k k = ( k = k, y por lo ano {( V λ = gn } Enonces la solución general del sisema homogéneo asociado es ( ( X h ( = c e 3 + c e, con c, c R Enonces una mariz fundamenal para nuesro sisema es ( e 3 e Ψ ( = e 3 e Buscamos ahora F al que ΨF = G, es decir, F = Ψ Gd Enonces Ψ ( = ( e e e 4 e 3 e 3 = ( e 3 e 3 e e y por lo ano Ψ ( G = ( e 3 e 3 e e ( e Enonces ( ( F = Ψ Gd e 3e3 d = ( + 3 e = d Enonces una solución paricular es ( ( X p ( = ΨF e 3 e = e 3 e e + 6 e3 e3 3 e + 3 e 3 ( e = 3 e3 + 3 e ( e + 6 e3 e3 = 3 e + 3 e ( + e + e 4 3 e + e 5 3 Enonces la solución general del sisema X = AX + G es ( ( X ( = X h ( + X p ( = c e 3 + c e + ( + e + e 4 3 e + e 5 3, Las inegrales e d y e 3 d se puede calcular usando inegración por pares

11 con c, c R Recordamos que queremos que X ( = ( 5 6, enonces { c + c = 5 6 c + c 5 3 = Sumando esas dos ecuaciones enemos que c 9 = 5 = y enonces c = 5 y c 3 = Finalmene, X ( = 5 ( ( + 3 e + e + e 4 3 e + e 5, 3 es decir, { x ( = 5 3 e + + e + e 4 3 = e + e 4 3 y ( = 5 3 e + e + e 5 3 = e + e Desarrollo Aún más problemas Tiempo esimado: hora 5 minuos Insrucciones: Resuelva los siguiene problemas, jusificando sus respuesas Marque la respuesa correca en cada una de las siguienes pregunas Al finalizar verifique si sus respuesas son correcas Se le sugiere que ambién lea las resoluciones proporcionadas de los problemas Recuerde si su solución y la solución publicada difieren en el procedimieno, eso no necesariamene significa que su solución sea incorreca, ya que puede haber más de una manera de resolver un problema Por oro lado, el hecho que Ud haya indicado la respuesa correca, no significa que el procedimieno que Ud usó esé necesariamene bien Si Ud iene una duda respeco a su solución o a la solución proporcionada se le sugiere consule a su profesor 3 Pregunas Preguna 3 Sea A = Se sabe que la solución un conjuno fundamenal de soluciones de X = AX esá dado por e e cos ( e sen ( sen ( cos ( Resuelva el sisema X = AX+ G donde G = cos ( sen ( sen ( cos ( e e Si le hace fala puede usar que cos ( sen ( sen ( cos ( = (

12 (a X ( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e cos( sen( + c 3 e sen(3 cos(3 + e (b (c (d X ( = c e para consanes c, c, c 3 R X ( = c e para consanes c, c, c 3 R X ( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e + c e + c e cos( sen( sen( cos( sen( sen( + c 3 e + c 3 e + c 3 e sen( cos( sen( cos( cos( cos( + e + e + e Preguna 3 Sea Se sabe que p A (λ = de A = 3 λ 3 3 λ 4 λ = λ 3 + 4λ + 3λ 8 = (λ + (λ 3 y que los auoespacios asociados a λ = y λ = 3 son V λ = gn y V λ = gn Resuelva el sisema X = A X (a X( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e 3 + c 3 e 3 +

13 (b X( = c e para consanes c, c, c 3 R + c e 3 + c 3 e 3 + (c X( = c e + c e 3 + c 3 e 3 + para consanes c, c, c 3 R (d X( = c e + c e 3 + c 3 e para consanes c, c, c 3 R Preguna 33 Sean X ( = ( ( y X ( = Se sabe que X y X son linealmene independienes en (, Halle una mariz A( al que {X, X } sea un conjuno fundamenal de soluciones del sisema X = AX (a (b (c (d A( = ( ( A( = A( = ( 3 ( A( = Preguna 34 Sea A R 5 5 Considere el sisema X = AX + Si X y X son soluciones de ese sisema, enonces será ciero que X + X ambién lo es? 3

14 (a Si es solución (b No es solución Las respuesas a esa pare se encuenran en la página siguiene 4

15 3 Respuesas 3 (b, 3 (c, 33 (a, 34 (b 33 Resolución de los problemas Solución 3 Tenemos enonces que la solución del general sisema homogéneo asociado esá dada por X h ( = c e + c e cos ( sen ( + c 3 e sen ( cos ( para consanes c, c, c 3 R Como X = X h + X p, sólo nos fala enconrar una solución paricular X p del sisema dado Buscamos F al que ΨF = G, es decir, F = Ψ Gd, donde e Ψ = e cos ( e sen ( = e cos ( sen ( e sen ( e cos ( sen ( cos ( es una mariz fundamenal del sisema homogéneo asociado Enonces, usando la ecuación ( enemos que Ψ = e cos ( sen ( sen ( cos ( Por lo ano Ψ G = e Ahora enemos que calcular Ψ Gd, Enonces F = cos ( sen ( sen ( cos ( Ψ Gd = X p ( = ΨF = = Finalmene la solución buscada es X ( = c e para consanes c, c, c 3 R d sen ( d cos ( d e e = = e e cos ( e sen ( e sen ( e cos ( e e cos ( + e sen ( e sen( cos( e cos( sen( + c e cos ( sen ( + c 3 e 5 cos( sen( = e sen ( cos ( sen ( cos ( cos( sen( + e

16 Solución 3 Como V λ = gn enemos que X ( = e es solución de nuesro sisema De la misma manera como V λ = gn enonces X ( = e 3 es solución de nuesro sisema Como la dimensión de V λ es y eso es menor que la muliplicidad de λ, enonces buscamos ora solución X 3 y esá será de la forma X ( 3 = e 3 K + P donde K y P se eligen para que X 3 = AX 3 Enonces X 3 = e (3 3 K + 3P + P y AX 3 = e (A 3 K + AP lo que implica que 3K + 3P + P = AK + AP y por lo ano P = (A 3I K y (3I A P = La segunda ecuación nos dice que P V λ y por lo ano podemos omar P = el sisema (A 3I K = P se conviere en 6 3 k k k 3 = Dividimos a la fila enre e inercambiamos las filas y k 6 3 k = k 3 Usamos enrada, para cancelar las enradas, y 3,, k k = k 3 y finalmene k k k 3 = Enonces k = k 3 y k =, por lo ano podemos elegir K = Enonces Por lo ano X 3 = e 3 + 6

17 Finalmene odas las soluciones de nuesros sisema de ecuaciones diferenciales son de la forma X( = c e + c e 3 + c 3 e 3 + para consanes c, c, c 3 R Solución ( 33 Queremos enconrar A( al que X = AX y X = AX para > Sea A( = a( b( Trabajamos primero con X c( d( = AX, enonces ( ( ( { { a( b( a( + b( = b( = a( = c( d( c( + d( = d( = c( Trabajamos ahora con X = AX, enonces ( ( ( a( b( = c( d( Por lo ano a( = a( Enonces, { a( + b( = c( + d( = Finalmene Solución 34 Eso es falso, ya que { a( + b( = c( + d( = y c( = c( { (X + X = X + X = AX + y eso es claramene disino de A( = ya que si fueran iguales endríamos que b( = ( + d( = ( + AX + A(X + X + = { b( = a( d( = c( a( = y c( = { b( = d( = = A(X + X + 7