MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA QUÍMICA. Examen Final de Junio EXAMEN RESUELTO

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1 MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA QUÍMICA Examen Final de Junio 6 9 EXAMEN RESUELTO EJERCICIO a Consideremos el problema de valores iniciales x y x y + xy + 4, y 3 a Enconrar odas las soluciones de la ecuación diferencial anerior de la forma yx ax b, a, b R b Sea y x la solución enconrada en el aparado anerior que verifica a > Resolver, mediane el cambio de variable dependiene el problema de valores iniciales dado yx y x + ux, SOLUCIÓN a Buscamos una solución de la forma y x ax b en la ecuación x y x y + xy + 4 : y ax b, y x abx b x a x b + xax b + 4 ab + x b+ a x b+ + 4, x abxb, Observemos que enemos res sumandos y que, por ano, los res deben ener el mismo grado para que la ecuación se verifique para odo x Así, igualando los coeficienes y las poencias del segundo y ercer sumando, obenemos { b +, a 4, { b, a ± y x ax b ± x, valores de a y b para los que se anula el coeficiene del primer sumando b Si hacemos el cambio indicado obenemos: yx + x ux x x u y x u u x u x + +x u x + +4 x u u u 3x u + x u, es decir, obenemos la ecuación lineal xu + 3u x, juno con la condición inicial y + u 3 + u u 4 Hallaremos la solución general de la ecuación lineal buscando la solución general de la ecuación homogénea asociada y sumándole una solución paricular de la complea Resolvemos primero la homogénea, que es una ecuación de variables separadas: xu + 3u du u 3dx x Lnu 3Lnx + LnC u h x C x 3 Para enconrar una solución paricular de la complea empleamos el méodo de variación de los parámeros, es decir, buscamos u p x Cx Enonces, u x 3 p C x 3 3Cx 4 y susiuyendo en la ecuación lineal original obenemos: xc x 3 3Cx 4 +3Cx 3 x C x 3 Cx x4 4 u p x x4 4 x 3 4 x

2 Por ano, la solución general de la ecuación lineal obenida ras el cambio dado es ux u h x + u p x C x 3 x 4, C IR, con lo que, al imponer la condición inicial u 4, obenemos 4 C 3 4 C ux x 3 x 4 Deshaciendo el cambio de variable dependiene obenemos la solución del problema de valor inicial dado: yx x + x 3 x 4 x + 4x3 8 x x4 x8 x 4 Noemos que ambién se podía haber deshecho el cambio ras hallar la solución general de la ecuación yx x + C x x 3 4 y exigir después la condición inicial y 3 para obener C Dibujamos ahora la gráfica de la función yx enconrada Como se deduce fácilmene de su expresión, se 4 y raa de una función impar, que presena asínoas vericales en x, ± 4 8 que hemos dibujado y iene como asínoa horizonal a y Por ano, de las cuaro x ramas que aparecen, nuesra solución la que verifica - y 3 corresponde a la rama de la derecha y exise en 4 8, -4 Una segunda forma de resolver la ecuación lineal de primer orden es buscando un facor inegrane que dependa exclusivamene de la variable independiene Efecivamene, la ecuación xu + 3u x x + 3u + xu no es exaca Eso se ve fácilmene, pues si llamamos Mx, u x + 3u, Nx, u x M u x, u 3 N x u, x Pero, por ser lineal, siempre va a admiir un facor inegrane, que depende de la variable independiene, µx: [µxmx, u] u [µxnx, u] x µm u µ N + µn x µ µ M u N x N Muliplicando por el facor inegrane obenemos la siguiene ecuación exaca x 3 + 3x u + x 3 u, x µx x pues Mx, u x 3 + 3x u, Ñx, u x 3 M u Ñx 3x Buscamos una función poencial Fx, u al que F x x, u M y F u x, u Ñ Inegrando respeco de x: F x x, u x 3 + 3x u Fx, u x4 4 + x3 u + ϕu donde ϕu es una función que depende sólo de u y que deerminaremos exigiendo que esa F verifique la segunda ecuación: F u x, u x 3 x 3 + ϕ u ϕ u ϕu ce

3 Por ano, hemos deerminado una función poencial única excepo consane arbiraria Fx, u x4 4 + x3 u que nos da la solución general de la ecuación exaca: Fx, u C x4 4 + x3 u C ux c x 3 x 4 Una ercera forma de resolver esa ecuación lineal es considerando que se raa de una ecuación lineal de coeficienes variables de Euler Cauchy, a la que aplicamos el cambio de variable independiene x e, es decir, Lnx La regla de la cadena nos conduce a du dx du d d dx du x du x d dx du xu u, d donde el puno indica derivación respeco a Por ano, la ecuación se ransforma en xu + 3u x, u + 3u e Esa ecuación lineal de coeficienes consanes se resuelve fácilmene general de la homogénea más paricular de la complea: u + 3u u h Ce 3, u p Ae, u p Ae Ae + 3Ae e A 4 u p 4 e, u u h + u p Ce 3 4 e ux C x 3 x 4 Nóese que hemos empleado el méodo de los coeficienes indeerminados para hallar u p por raarse de una ecuación lineal de coeficienes consanes y una función exponencial en el miembro derecho Obviamene, ambién podíamos haber usado el méodo de variación de los parámeros que es el méodo general, que se puede uilizar siempre, aunque la ecuación lineal no sea de coeficienes consanes o el miembro de la derecha no sea una función exponencial/polinomial/rigonomérica senos y cosenos: u p Ce 3, u p C e 3 3Ce 3 C e 3 3Ce 3 + 3Ce 3 e C e 4 C 4 e4 u p Ce 3 4 e4 e 3 4 e Por úlimo, como cuara alernaiva, vamos a resolver la ecuación xu 3u x sin ener en cuena que es lineal, mediane el cambio de variable dependiene vx ux que funciona en ese x caso paricular al ser la ecuación del ipo u f u x, pues se puede escribir como u + 3 u y x que nos converirá la ecuación en una separable o de variables separadas Del cambio deducimos que u xv + v con lo que la ecuación dada se ransforma en xu + 3u x xxv + v + 3vx x xv + 4v +, que es separable ambién la podemos resolver como lineal pues se puede escribir xv + 4v Resolviéndola dv 4v + dx x 4 C Ln4v + Lnx + LnC 4v + K v K 4 x x 4 4x 4 4 y deshaciendo el cambio obenemos llamando C K/4 ux xvx u C x 3 x 4 3

4 EJERCICIO b Siguiendo los pasos indicados, resolver el problema de valores iniciales yy + x + y, y a Esudiar si la ecuación dada admie algún facor inegrane que dependa sólo de x, µx, y si admie algún facor inegrane que dependa sólo de y, µy b Hallar la solución general de dicha ecuación por medio del facor inegrane enconrado c Analizar si se ha perdido o inroducido alguna solución al resolver la ecuación mediane el facor inegrane d Enconrar la solución del problema de valores iniciales dado e idenificar la curva definida mediane dicha solución SOLUCIÓN a Por el enunciado parece que la ecuación dada no es exaca Lo sería si, al escribirla como Mx, y + Nx, yy, se verifica que M y N x Idenificando en nuesro caso, Mx, y x + y, Nx, y y, con lo que M y y N x de donde deducimos que no es exaca Llamamos facor inegrane a una función µx, y que conviere la ecuación dada en exaca, cuando la muliplicamos por él: Así, debe verificarse µx, ymx, y + µx, ynx, yy [µx, ymx, y] y [µx, ynx, y] x µ y M + µm y µ x N + µn x Exisirá un facor inegrane que dependa solamene de x, µx, si My Nx depende exclusivamene N de x: µm y µ xn + µn x µ µ M y N x y µx Ce x N y con lo que para la ecuación dada sí exise un facor inegrane µx, cualquier múliplo de e x Elegimos, por comodidad, µx e x Exisirá un facor inegrane que dependa exclusivamene de y, µy, si Nx My depende solamene de M y: µ ym + µm y µn x µ µ N x M y M y x + y fy, con lo que para la ecuación dada no exise un facor inegrane que dependa exclusivamene de y b Muliplicando la ecuación original por el facor inegrane enconrado obenemos la siguiene ecuación e x x + y + e x yy que comprobamos que es exaca pueso que, idenificando, Mx, y e x x + y, Ñx, y e x y M y e x y Ñx 4

5 Para resolver dicha ecuación exaca, buscamos una función poencial Fx, y al que F x x, y M y F y x, y Ñ Inegrando respeco de x dos veces por pares obenemos: F x x, y e x x + y Fx, y ex x + y x + ϕy donde ϕy es una función que depende sólo de y y que deerminaremos exigiendo que esa F verifique la segunda ecuación: F y x, y e x y + ϕ y ϕ y ϕy ce Por ano, hemos deerminado una función poencial única excepo consane arbiraria Fx, y ex x + y x que nos da la solución general de la ecuación exaca: Fx, y C ex x + y x C e x x + y x K Observemos que podíamos haber enconrado la función poencial inegrando primero respeco de y en vez de respeco de x En ese caso procederíamos como sigue: F y x, y e x y Fx, y ex y + ψx donde ψx es una función que depende sólo de x y que deerminaremos exigiendo que esa F verifique la primera ecuación: F x x, y e x x + y e x y +ψ x ψ x e x x ψx ex x x Para calcular ψx hemos inegrado dos veces por pares Finalmene llegamos nuevamene a la función poencial deerminada de forma única, excepo consane arbiraria Fx, y ex x + y x c Nos piden además que esudiemos si se ha perdido o inroducido alguna solución al resolver la ecuación usando el facor inegrane, es decir, que veamos si la ecuación original, M +Ny, y la que resolvemos mediane el facor inegrane, µm + Ny, ienen las mismas soluciones Son soluciones candidaas a haberse inroducido los ceros del numerador del facor inegrane y candidaas a haberse eliminado los ceros del denominador del facor inegrane Pero como en nuesro caso el facor inegrane nunca se anula, µx e x, enonces no se ha inroducido ni eliminado ninguna solución, es decir, la ecuación dada en el enunciado y la que hemos resuelo mediane el facor inegrane ienen exacamene las mismas soluciones d Imponiendo la condición inicial, obenemos la solución pedida y e + K K x + y x La idenificamos fácilmene compleando cuadrados en la variable x: x 4 + y x + y 3 4, es decir, se raa de la circunferencia de cenro, y radio 3 5

6 EJERCICIO a Hallar, haciendo un cambio de variable independiene adecuado, la solución general de x y x + xy x n yx, según los valores del parámero n, que oma los valores n,,, 3, SOLUCIÓN Nos piden la solución general de una ecuación lineal de coeficienes variables de Euler Cauchy El cambio de variable independiene adecuado es x e, es decir, Lnx, que la ransforma en una de coeficienes consanes Aplicando la regla de la cadena obenemos dy dx dy d d dx x d y d dy dx dx dx dy d d dx d y x d dy x d dy d x dy dx dy d d x dx dy d x y ÿ ẏ, xy ẏ x + dy d d dx d x d dy d x x + dy x d donde el puno indica derivación respeco a Mediane ese cambio, la ecuación dada se conviere en la siguiene ecuación lineal de coeficienes consanes: ÿ n y, n,,, 3, Su solución general se obendrá sumando a la general de la homogénea una paricular de la complea Pueso que la ecuación auxiliar de la homogénea es r n, r ±n, { n r doble : yh C + C, n : y h C e n + C e n Usaremos el méodo de los coeficienes indeerminados ecuación de coeficienes consanes y, en ese caso, función polinomial de grado cero para la paricular de la complea Si n podemos planear y p A ẏ p ÿ p n A A n y p n, mienras que si n hay que buscar y p A pues y ya son solución de la homogénea para n : y p A ẏ p A A A y p ÿ p A Por ano, la solución general y y h +y p de la ecuación ransformada es, dependiendo de los valores de n n : y C + C + n,, 3, 4, : y C e n + C e n n con lo que, deshaciendo el cambio, obenemos la solución general de la ecuación original, dependiendo de los valores de n n : yx C + C Lnx + Ln x n,, 3, 4, : yx C x n + C x n n Noemos que, para hallar la solución paricular de la complea, se puede aplicar el méodo de variación de los parámeros ano en la ecuación original para yx como en la ransformada para 6

7 y Pero obviamene no es recomendable hacerlo pues los cálculos son muy engorrosos Además hay que ener cuidado al aplicar la fórmula pues el coeficiene de la derivada segunda debe ser uno Así, si n buscaríamos en la ecuación ransformada y p C y + C y C + C, donde C y C deben verificar { { { C y + C y, C + C, C, C y + C y, C + C, C, { C, C, con lo que y p +, o bien, en la ecuación original buscaríamos y p x C xy x + C xy x C x + C xlnx donde C x y C x deben verificar { C xy x + C xy { { x, C C xy x + C xy x, x + C xlnx, C C x x + C x, x Lnx, x C x x x, x con lo que y p x Ln x + Lnx Lnx Ln x Para los demás valores de n, n,, 3,, buscaríamos en la ecuación ransformada donde C y C deben verificar y p C y + C y C e n + C e n, { C x Ln x, C xlnx, { { C y + C y, C C y + C y, e n + C e n, C nen C ne n, { C e n, n C en, n inegrando obenemos C e n n y C en n, así y p e n n en en n e n n, o bien, si lo hacemos en la ecuación original, buscaremos donde C x y C x deben verificar y p x C xy x + C xy x C x x n + C x x n { { { C xy x + C xy x, C C xy x + C xy x, xx n + C xx n, C C x xnxn C xnx n+, x x n, n x C x x +n, n inegrando obenemos C x x n n y C x xn n, así y p x x n n xn xn n x n n 7

8 EJERCICIO b Según los valores del parámero a R, hallar la solución general x del siguiene sisema, siendo x [x, x ] T, x [ 4 a ] [ 4e x + e Noa: cuando a, hallar la solución usando el méodo de variación de las consanes SOLUCIÓN La solución general del sisema lineal dado la enconraremos sumando a la solución general del homogéneo una solución paricular del compleo Para enconrar la solución general del sisema homogéneo asociado comenzamos calculando los auovalores, que dependerán del parámero a: A λi λ 4 a λ λ 4a λ ± { λ + a, a λ a Por ano, aparecen res siuaciones diferenes, dependiendo de los valores del parámero: dos auovalores reales y disinos cuando a >, λ ± a; uno real doble si a, λ doble; un par complejo conjugado si a <, λ ± i Veamos cada caso por separado, comenzando por a > Tenemos dos auovalores reales y disinos, λ ± a, a los que vamos a calcular sus auovecores: λ + a : λ a : a 4 a a a 4 a a u v u v De esa forma, la solución general del homogéneo es: y h C e + a ] a u v a u + v a + C e a a u α a, α IR, v u α v, α IR, a En el caso a, enemos un auovalor doble para el que vamos a calcular sus auovecores y auovecores generalizados, si hiciera fala 4 u u λ : v α, α IR v v Ese auovalor doble iene un único auovecor asociado linealmene independiene con lo que necesiamos calcular un auovecor generalizado linealmene independiene con el auovecor: u u α λ : A I x, α, β IR v v β Pueso que hemos obenido que cualquier vecor de IR es auovecor generalizado para λ, omamos cualquiera linealmene independiene con el v, T, por ejemplo, el v, T Sabiendo que un auovecor w asociado a un auovalor λ proporciona una solución e λ w y que si w es un auovecor generalizado proporciona una solución ] e [I λ + A λi + A λi + w, 8

9 en nuesro caso, las dos soluciones linealmene independienes que obenemos para el sisema homogéneo son: x e v e, [ ] 4 4 x e [v + A λiv ] e + e De esa forma, la solución general del homogéneo es: x h C x + C x C e + C e 4 En el caso a <, por raarse de auovalores complejos de una mariz real aparecen por pares conjugados Sabemos además que sus auovecores serán ambién conjugados Basa con calcular los de uno de ellos, por ejemplo, los de λ + i: i 4 a i u v i u v u α v i, α C Recordemos que si la mariz A iene como auovalor a λ α + iβ y como auovecor correspondiene a z a+bi donde α, β IR y a, b IR enonces la solución general del sisema homogéneo x h se obiene combinando las pares real e imaginaria de e λ z, es decir, x h C Re e λ z + C Im e λ z Pueso que e λ z e α+iβ a + bi e α [cosβ + i senβ]a + bi e α [a cosβ b senβ] + e α [a senβ + b cosβ] i, obenemos x h C e α [a cosβ b senβ] + C e α [a senβ + b cosβ] Idenificando en nuesro caso, λ +i { α, β z, i +i a, b De esa forma, la solución general del homogéneo es: [ x h C e cos [ +C e sen + C e cos sen sen ] ] cos sen + C e cos Observemos que si, al calcular un auovecor asociado a λ +i, resolviendo la ecuación i i u v, obenemos, por ejemplo,, enonces idenificando endremos λ +i { α, β i z, +i a, b De esa forma la solución general del homogéneo vendría dada por: [ x h C e cos sen ] [ +C e sen + cos ] 9

10 C e sen cos + C e cos sen Si aplicamos el méodo de los coeficienes indeerminados para enconrar una solución paricular del compleo: Ae Ae x p Be, x Ae 4 Ae 4e p Be Be a Be + e, es decir, A A + 4B 4, B aa + B +, B, A a a, x p a e e, si a Como hemos viso, la segunda ecuación aa no iene solución cuando a pues se conviere en Eso quiere decir que cuando a no exise solución paricular de la forma planeada, pues además de ener en cuena la forma de la función que aparece en el sisema, hay que considerar la posible inerferencia enre la solución planeada y la solución general del homogéneo Eso es lo que sucede en ese caso y, por eso, en el enunciado se dice que se aplique el méodo de variación de las consanes cuando a En el méodo de variación de los parámeros, para enconrar la solución paricular, dado el sisema x Ax + f, buscamos x p XC donde X es una mariz fundamenal de soluciones del sisema homogéneo x Ax, de manera que C verifica C [X] f Paricularizando en nuesro caso, cuando a : e 4e X e C [X] f e 4 con lo que x p XC e 4 e 4 4 X e e 4, 4 C e 4 Obviamene, en ese problema no es aconsejable usar el méodo de variación de las consanes cuando a, pues los cálculos resulan mucho más ediosos que los que aparecen al buscar x p mediane el méodo de los coeficienes indeerminados Vamos a ver cómo proceder en ese caso Cuando a >, una mariz fundamenal de soluciones del sisema homogéneo x Ax es: X e + a e a ae + a ae a C [X] f C a e a 4a + a e a 4a X 4 e + a a e + a 4 e + a a e + a 4 e + a a e + a 4 e + a a e + a e 4 a a e a + a a e a, con lo que x p XC e + a e a ae + a ae a a 4a + a 4a e a e a a e e

11 En el caso a <, la aplicación del méodo de variación de los parámeros es aún más engorrosa Así, una mariz fundamenal de soluciones del sisema homogéneo x Ax es: X e cos sen sen cos X e cos sen sen cos, con lo que C [X] f e cos sen sen cos cos sen cos sen a C cos sen cos sen a e 4 x p XC cos sen e sen cos a sen cos cos sen a a e e Agrupando los resulados obenidos, concluimos que la solución general del sisema, y y h + y p, según los valores de a es: a > : y C e + a a + C e a a : y C e a < : y C e + C e 4 cos sen a e, a e e, + C e sen cos + a e e

12 EJERCICIO 3a Mediane la ransformada de Laplace indicando las propiedades uilizadas, enconrar la solución de {, <, y + y con y,, Expresar la solución y en cada uno de los dos inervalos de : [,, [, Evaluar y Esudiar si la solución enconrada y es derivable en SOLUCIÓN Tenemos que resolver mediane la ransformada de Laplace el problema de valores iniciales y + y g, y, donde la función g, que adopa expresiones disinas según el inervalo, se puede escribir mediane la función escalón de Heaviside u a: { {, <,, < a, g u, siendo u a,,, a Vamos a calcular, en primer lugar, y por disinos procedimienos, que la ransformada de g vale: Lgs Gs s s s + e s s Un primer camino es usar la siguiene propiedad de la ransformada raslación en el dominio del iempo L[fu a]s L[f + a]se s Idenificando en nuesro caso: f, a, f+ +, L+s s + s L[ u ]s s + e s, s donde hemos usado la linealidad de la ransformada y que L[ n ]s n!/s n+ Es obvio que, de forma inmediaa, obenemos Una variane de la propiedad, que suele resular más incómoda de aplicar, es Para usarla, necesiamos escribir, L[f au a]s Fse s 3 g [ + ]u La aplicación inmediaa de 3 nos conduce a En vez de usar 3, ambién podemos calcular Lu e s s, Lu d ds e s s s + s e s, con lo que fácilmene, obenemos de nuevo Una cuara alernaiva normalmene no recomendable consise en aplicar la definición de la ransformada de Laplace: Lgs Gs ge s d e s d + e s d s s s + e s, s

13 donde hemos inegrado una vez por pares Transformando pues el problema de valores iniciales original, llamando Y s Lys, y usando que Ly s sy s y, obenemos sy s + Y s Gs s s s + e s s [ ] Y s s s + ss + s s + + e s ss + s + s + s + s e s Noemos que, llegamos a ese resulado, ras planear las correspondienes descomposiciones en fracciones simples: s s + A s +B C s + s + A, B, C ; ss + A s + B s + A B Para aniransformar basa con usar la inversa de la propiedad de la raslación en el dominio del iempo 3 juno con las aniransformadas s L, L, L e, s s + para llegar a y + e u { + e, <, e, Observemos que para obener y en el inervalo hemos calculado +e e Finalmene es inmediao deducir que y e 4 y Para ver si la función es coninua en basa con calcular los límies por la izquierda y por 5 la derecha y ver que coinciden: lim y lim + y e Una vez que comprobamos 5 que sí es coninua, iene senido planearse si es derivable en ese puno Como { e y, <, - e, > -5 deducimos que que no es derivable en pues lim y e lim + y e En la gráfica observamos la coninuidad de y en y su fala de derivabilidad en dicho puno no exise reca angene Noemos que, usando el produco de convolución, se puede calcular, por ejemplo, L L L ue u du e ue u du s s + s s + e e e Acabemos observando que, si no se resuelve ese problema mediane la ransformada de Laplace, necesiamos planear dos problemas de valores iniciales consecuivos: { y + y, y, <, y + y, y e,, donde la condición inicial para el segundo problema, y, no se conoce hasa que no se halla la solución del primero Es fácil ver que las soluciones generales de esas dos ecuaciones son, respecivamene, Ce +, Ce y el valor de la consane en cada inervalo se encuenra imponiendo la condición inicial respeciva 3

14 EJERCICIO 3b Calcular la aniransformada de Laplace indicando las propiedades uilizadas de a Fs s + k, según los valores de k IR b Gs 3s 5 s + 4s + 7 e 3s SOLUCIÓN a Recordemos que dadas dos funciones f, g : [, IR, su produco de convolución es la función definida, para, por f g fvg vdv, y que la ransformada de Laplace del produco de convolución es el produco de las ransformadas: L{f gs FsGs Por ano, L f g s + k donde f g L s + k El caso k es rivial pues enemos L s 4 f g L {FsGs { k v vdv fvg vdv, senk, k,, k vdv v dv 3 6, resulado para el que, obviamene, no era necesario usar la convolución Para k : L k s + k senk senk k senkv senk v dv [ [cos[kv ] cosk] dv ] sen[kv ] k k k cosk v [ ] senk sen k cosk [ ] senk cosk, k k k k donde en el úlimo paso hemos usado que la función seno es impar sen x senx En la inegración hemos converido el produco de senos en una suma usando las fórmulas del coseno de la suma y de la diferencia: cosa + b cosa cosb sena senb cosa b cosa cosb + sena senb sena senb [cosa b cosa + b], siendo en nuesro caso a kv, b k v a + b k, a b kv Observemos que ambién se puede realizar el cálculo de I senkv senk v dv usando la fórmula del seno de la diferencia para senk v: I senk senkv senk v dv senk sen kv k sen3 k k coskv senkv dv cosk cosk cosk + senkv [ senk coskv cosk senkv] dv coskv cosk senk 4k sen kv dv senk k 4 dv sen3 k k cosk, cosk v senkv k

15 donde en el úlimo paso hemos usado que senk senk cosk sen 3 k senk cos k y además que b Para calcular g, la aniransformada de aplicaremos que Gs 3s 5 s + 4s + 7 e 3s, L[f au a]s Fse s, es decir, L [Fse s ] f au a Para ello, necesiamos conocer la aniransformada de Hs 3s 5 3s + s + 4s + 7 s s + s s que resula ser h 3e cos 3 3 e sen 3 Observemos que hemos procedido de esa manera porque el denominador de Hs iene raíces complejas, con lo que combinando las siguienes propiedades: obenemos L[e a f] Fs a, L[cosb] L[e a cosb]s s s + b, L[ senb] b s + b s a s a + b, L[ea senb]s b s a + b Finalmene la aniransformada pedida es g h 3u 3 3e 3 cos[ 3 3] e 3 sen[ 3 3] u 3 3 {, < 3, 3e 3 cos[ 3 3] 3 e 3 sen[ 3 3], 3 5

16 EJERCICIO 4a Enconrar los valores de λ IR para los que el problema de conorno X x + λxx, X dx π, dx iene solución no rivial Deerminar para dichos valores de λ las soluciones correspondienes SOLUCIÓN Tenemos que resolver la familia de ecuaciones lineales de segundo orden, de coeficienes consanes, homogéneas, X x+λxx, según los valores de λ, y después imponer las condiciones de conorno X X π para ver cuándo exise solución no nula Como la ecuación auxiliar de la ecuación dada es r + λ, dependiendo del signo de λ aparecen como soluciones funciones disinas Veamos esos res casos por separado Caso : λ > r λ < r ±i λ, Xx C cos λx + C sen λx De esa forma, X x λ[ C sen λx + C cos λx] e imponiendo las condiciones de conorno: X C + C, X π λ[ C sen λ π + C cos λ π], C, λ π λc cos La única posibilidad para que exisa solución no rivial es que cos λ π λ π n + π n,,, λ n + n,,,, con lo que cuando λ > sólo exise solución no rivial para y las soluciones en ese caso son X + n + X, X X π, Caso : λ X Xx C x + C, X x C, es decir, sólo exise la solución rivial Caso 3: λ < λ n n +, n,,,, X n x C sen [n + x], C IR, n,,, X C + C, X π C, C C, r λ > r ± λ, Xx C cosh λ x + C senh λ x De esa forma, X x λ [C senh λ x + C cosh λ x] e imponiendo las condiciones de conorno: X C + C, λ [C senh λ π + C cosh λ π ], X π C, λ C cosh λ π,, de donde deducimos que C C, pueso que coshx >, x IR Si hubiéramos escrio la solución sin usar las funciones hiperbólicas habríamos llegado a la misma conclusión: que para λ < el problema de conorno dado sólo admie la solución rivial: Xx D e λx + D e λ x, X x λ D e λ x D e λx, X D + D, X π λ D e λ π D e λ π, 6,

17 de donde deducimos que D D, pues e λ π +e λ π aparece al susiuir D D en la segunda ecuación Resumiendo, los valores de λ y las soluciones no riviales correspondienes son: λ n n +, X n x C sen [n + x], C IR, n,,, Finalizamos dibujando las gráficas de las funciones X x sen x, X x sen 3x, X x sen 5x, X 3 x sen 7x, hemos omado en odas la consane arbiraria C, en el inervalo [, π ] Observamos que odas salen del origen X n y que ienen angene horizonal en x π X n π X X x x X X x x

18 EJERCICIO 4b Sea el problema de conorno en la semibanda infinia < x < π, y >, definido por la ecuación de Laplace no homogénea juno con las condiciones de conorno Consideremos el cambio de variables u x + u y e y senx, u, y uπ, y y >, ux, u x, senx y < x < π, < x < π ux, y vx, y + Φy senx, donde vx, y es la nueva función incógnia y Φy es una función suficienemene derivable a Aplicar el cambio de variables, para una función Φy cualquiera, al problema de conorno dado b Deerminar las funciones Φy que ransforman la ecuación de Laplace no homogénea para ux, y en la misma ecuación, pero homogénea, para vx, y c Enre dichas funciones Φy, elegir la que conduzca al mayor número de condiciones de conorno homogéneas para v d Con esa úlima función Φy, enconrar, rivialmene, la solución ux, y del problema original SOLUCIÓN a Nos piden que apliquemos el cambio dado al problema de conorno compleo Transformamos, en primer lugar, la ecuación e inmediaamene después las condiciones de conorno Así, el cambio que nos dan, ux, y vx, y + Φy senx, ransforma la ecuación original en: u xx v xx Φy senx, u yy v yy + Φ y senx, v xx Φy senx + v yy + Φ y senx e y senx v xx + v yy [Φ y Φy + e y ] senx Las condiciones de conorno, ras el cambio, que debe verificar v son: v, y u, y Φy sen Φy, vπ, y uπ, y Φy senπ Φy, vx, ux, Φ senx Φ senx Φ senx, v y x, u y x, Φ senx [ Φ ] senx Por ano, el problema que se obiene ras el cambio dependiendo de la función Φ es v xx + v yy [Φ y Φy + e y ] senx, v, y, vπ, y, vx, Φ senx, v y x, [ Φ ] senx 8

19 b Para que vx, y verifique la ecuación de Laplace homogénea, v xx +v yy, enemos que exigir que Φy verifique Φ y Φy e y Deerminar las funciones Φy que ransforman la ecuación de Laplace no homogénea para u en la misma ecuación, pero homogénea, para v, es por ano, enconrar la solución general de esa ecuación lineal, de segundo orden, de coeficienes consanes y no homogénea Hay pues que enconrar la solución general de la homogénea y sumarle una solución paricular de la complea Así: Φ y Φy, r, r ±, Φ h y C coshy + C senhy o, alernaivamene, Φ h y D e y + D e y Por raarse de una ecuación lineal de coeficienes consanes, y ser el miembro de la derecha adecuado, podemos usar el méodo de los coeficienes indeerminados para enconrar una solución paricular de la complea Por la forma de la función, planearemos Φ p y Ae y, pero como esa función ya es solución de la ecuación homogénea, la muliplicamos por la poencia más baja de y que evie esa siuación en ese caso y Así, buscamos Φ p y Ae y y, Φ p y Ae Ae y y, y y Ae y y e y A Φ p y e y y Por ano, la solución general es Φy C coshy + C senhy + e y y o, alernaivamene, φx D e y +D e y +e y y Cualquiera de esas funciones Φy nos conduce a la ecuación de Laplace homogénea para v c Para enconrar enre dichas funciones la que conduzca al mayor número de condiciones de conorno homogéneas para v, vimos al hacer el cambio que las dos primeras son siempre homogéneas v, y vπ, y independienemene de la función Φy que se elija La ercera condición, vx, Φ senx, se anulará eligiendo una función Φy que verifique Φ, mienras que para anular la cuara, v y x, [ Φ ] senx, basa con pedir que Φ Es decir, podemos conseguir que las cuaro condiciones de conorno sean homogéneas eligiendo Φy de manera que: Φ, Φ, Φ C cosh + C senh +, Φ C senh + C cosh + e, C, C, C +, C En los cálculos aneriores hemos enido en cuena que Φ y C senhy + C coshy + ye y Por ano, la función buscada es: Φy senhy + ye y Observemos que si hubiéramos rabajado con la expresión de las exponenciales, en vez de con la de las funciones hiperbólicas, habríamos llegado a: Φ, Φ Φ D + D,, Φ D D D +, D, y, por ano, a Φy ey e y + ye y, que coincide con la obenida aneriormene, eniendo en cuena que senhx e x e x / d Pueso que al aplicar el cambio dado con la función Φy enconrada obenemos la ecuación de Laplace homogénea con odas las condiciones homogéneas, eso quiere decir que, rivialmene, su solución es vx, y y que, por ano, la solución del problema original es ux, y vx, y + senhy + ye y senx + senhy + ye y senx senhy + ye y senx 9