EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. 20 enero 2012

Transcripción

1 EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. enero La duración del examen será de : h. El problema vale un 4% de la noa final. Los problemas y un % cada uno. Problema : (Noa: los aparados. y. son independienes). Queremos hallar el polinomio de Hermie h() que inerpola a la función f ( ) = sin( ) en los punos y = π. = a) Rellenar la siguiene abla con los daos necesarios para la inerpolación: π f ) ( f '( De qué orden será el polinomio resulane? Jusificar ) b) Consruir el correspondiene riángulo de diferencias divididas (generalizadas). c) Dar la expresión del polinomio de h() a parir de las diferencias divididas. d) Hallar una coa del error de inerpolación e( ) f ( ) h( ) = en el inervalo [,π ].. Queremos hallar el polinomio de segundo grado, p () = a + b + c que verifique la condición p'(-) = y que mejor ajuse (en el senido de mínimos cuadrados) los daos de la siguiene abla: - y - a) Dar la expresión más general de un polinomio de grado que verifique p'(-)=. b) Planear (sin resolver) el sisema sobredeerminado al que llegamos para resolver el problema de ajuse.

2 EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. enero Problema : Sea la ecuación Se pide: x e = Comprobar que iene una raíz s en el inervalo [ a, b] = [, ]. Se quiere calcular un valor aproximado de la raíz s uilizando el méodo de Newon, a parir de un puno inicial x. Calcular un x [ ab, ] para el cual el méodo es convergene. Demosrarlo. A parir del valor x obenido, calcular la primera ieración del méodo de Newon x. A parir del valor x obenido, calcular el número de ieraciones necesarias para obener una aproximación de la solución s con un error menor que la precisión de la máquina (coma floane en doble precisión). Problema : La solución exaca del sisema Ax = b dado por: es x = y x =. Se pide: 7 5 x 7 x =.7 a) Calcular la facorización LU de la mariz, y a parir de ella calcular. b) Se define el condicionamieno de una mariz como. Esimar el condicionamieno para la mariz A del sisema anerior. c) Resolver el sisema perurbado: 7 5 x 7 x. =.69 y calcular la perurbación relaiva de su solución. Jusificar dicho resulado a parir del condicionamieno de la mariz A del sisema.

3 EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. enero Problema :. a) Rellenar la siguiene abla con los daos necesarios para la inerpolación: π f ( ) = sin( ) f '( ) = cos( ) - 4 condiciones -> 4 coeficienes -> polinomio grado b) Consruir abla de diferencias divididas (generalizadas) y dar la expresión de h() a parir de las diferencias divididas Se raa de planear la abla de diferencias divididas repiiendo aquellos punos donde nos dan valor de la función y derivada. En el caso de Hermie nos dan función y derivada en cada puno, así que repeiremos cada puno (= y =pi) dos veces. En los casos en los que la definición ordinaria de diferencia dividida daría / usamos la generalización de las diferencias divididas: [, ] f '( ) f = [ ] f[, ] f[,, ] f [,,, ] f π π f '() = cos() = = π f '( π) = cos( π) = = π π = π π / π ( / π) π = Las diferencias divididas resulan ser (primera fila),, y. π Por lo ano el polinomio de inerpolación de Hermie es: h () = + ( ) ( ) + ( ) ( ) = π π d) Hallar una coa del error de inerpolación e( ) f ( ) h( ). = en el inervalo [,π ] IV f ( ζ) Coa del error: e() = ( π) 4! Las derivadas de f=sin() serán o sen o cos, odas ellas acoadas por : e() ( π) 4! El segundo érmino endrá su máximo (denro del inervalo) en el puno medio = π / (si no se ve claro se comprueba derivando) y el mayor valor posible de e() es: π π e() 4!.5

4 EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. enero. Queremos hallar el polinomio de segundo grado, p () = a + b + c que verifique la condición p'(-) = y que mejor ajuse (en el senido de mínimos cuadrados) los daos de la siguiene abla: - y - Dar la expresión más general de un polinomio de grado que verifique p'(-)=. p '() = b + c p'( ) = b c = b = c luego la expresión de p() queda como p() = a + c + c = a + c( + ) Planear (sin resolver) el sisema sobredeerminado al que llegamos para resolver el problema de ajuse. El problema queda como uno de ajusar los daos ( y ) en un espacio de dimensiones, usando la base {, } +. El sisema sobredeerminado a resolver es pues: y a y c y a c Problema : Sea la función f ( x) = e x coninua. a) f ( ) f () =..(.9) < la función cambia de signo en el inervalo [ a, b] = [, ] y por ano f(x) iene una raíz s [, ]. x x b) f '( x) = e, f ''( x) = e max f ''( x) x x x [,] e max f ''( x) = max e = e, min f '( x) = min e = e M = =.6. x [,] x [,] x [,] x [,] min f '( x) x [,] Si omamos el puno x =. 5 enemos que e. = s x 5. Para ese valor de x se verifica e =. 7. Podemos concluir que el méodo de Newon es convergene M e para x =. 5, ya que e. M Las ieraciones del méodo de Newon ienen la forma f ( xn ) exp( xn ) / exp( xn ) x n+ = xn = xn = xn + f '( x ) exp( x ) n x [,] 4 n

5 EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. enero Si arrancamos en x =. 5 la primera ieración es exp(.5) x = x [,] La coa del error del méodo de Newon viene dada por la expresión n n n e e 5 e n ( Me ) = = M e e 4 x [,] e Donde se ha susiuido el valor de M = y la coa. 5 e. Operando y omando logarimos en dos ocasiones obenemos e 5 e n log log( ) / log( ) / log() x [,] Luego, arrancando en x =. 5, con n=7 ieraciones obenemos la solución con la 5 precisión de la máquina ( ). Problema : a) Hacemos la descomposición o facorización Por ano: Para calcular la ª columna de, resolvemos el sisema y para calcular los elemenos de la ª columna, resolvemos con, haciendo, enemos, sisema riangular inferior, cuya solución es: 5

6 EXAMEN ALGORÍTMICA NUMÉRICA. enero Resolviendo ahora es decir, en nuesro caso, sisema riangular superior, cuya solución es:, operando de la misma forma iene como solución: Con lo que: b) Trabajando, por ejemplo, con la norma, el condicionamieno es : que indica que la mariz esá mal condicionada (el condicionamieno ópimo es ) c) Resolvemos el sisema aprovechando la descomposición pueso que la mariz de ambos sisemas es la misma variando ligeramene sus érminos independienes. La perurbación relaiva es: de la mariz. mayor del % lo que se jusifica por el mal condicionamieno 6

7 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero Ejercicio : Se desea inerpolar la siguiene abla de daos: y con un polinomio p() del grado adecuado. Generar la mariz H del correspondiene sisema lineal y resolver:. Adjunar código usado. Lisar coeficienes del polinomio inerpolador. Repeimos la inerpolación usando funciones u() del ipo: E u( ) = Acos( ) + Bsin( ) + C + De +. + Generar la nueva mariz H y resolver.. Código para generar la mariz H. Resolver y lisar los coeficienes de u() Evaluar ambas funciones inerpoladoras en el inervalo [,5] y hacer una gráfica superponiendolas sobre los punos de la abla (dibujados como punos aislados de color rojo). Usar línea azul para p() y verde para u().. Adjunar código y gráfica obenida. Calcular el condicionamieno de las marices H y H (usar la función cond de MATLAB). Qué conjuno de coeficienes (los de p() o los de u()) podemos esperar que hayan sido calculados con un menor error? Jusificar..4 Resulados. Responder a la preguna y jusificar respuesa Verificarlo calculando la discrepancia enre los daos de la abla ( y ) y los correspondienes valores de p( ) y u( ). Se confirman las expecaivas?.5 Código, Lisado de discrepancias. Responder a la preguna Finalmene queremos ajusar los daos de la abla anerior con una función de la forma f ( ) = A + B cos( ). Planear el sisema lineal a resolver para hallar los coeficienes A y B..6 Código para resolver el problema de ajuse. Coeficienes A y B enconrados Superponer sobre la gráfica anerior la nueva curva de ajuse (inervalo [,5])..7 Adjunar código y gráfica obenida. Calcular los residuos de ajuse, eso es, la diferencia enre los daos ( y ) y los resulados del ajuse en los punos dados ( f ( ) ).8 Código y residuos obenidos.

8 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero Ejercicio : Sea la función r R( x) = + xk Aplicamos la ieración de puno fijo x + = R( x ) =,,,... y obenemos la sucesión r x + = + x K a) Escribir un scrip para calcular las primeras ieraciones de la fórmula anerior, para los valores de r =, K = y arrancando a parir de x. =.a % Escribir aquí el código. % Volcar los resulados. % Converge la sucesión?. En su caso, a que valor?. b) Dibujar una gráfica de la función R (x) en el inervalo [,] (línea azul b ), en cada ieración dibujar el puno ( x, R( x )) (cuadrados rojos rs ). En la úlima ieración dibujar el puno de color verde ( gs )..b Escribir aquí el código. Inserar la gráfica. c) Repeir el aparado a) ierando 7 veces. Consideramos como valor exaco de la raíz el valor de la úlima ieración, eso es, s = x7. Calcular el número de cifras significaivas de precisión obenidas en cada ieración. Dibujar en una gráfica el número de ieración y el número de cifras significaivas de precisión obenidas en esa ieración. Cuál es la velocidad de convergencia (lineal, cuadráica, )?.c % Inserar el código y volcar los resulados. % Inserar la gráfica. % Cuánas ieraciones son necesarias para alcanzar la precisión de la máquina en doble precisión?. % Velocidad de convergencia (lineal, cuadráica, ). d) Repeir el aparado anerior para la función r S( x) = + ( x / K ) para los valores de r =, K = y arrancando a parir de x. =.d % Inserar el código, los resulados y la gráfica.

9 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero Ejercicio : Escribir una ruina que reciba una mariz cuadrada A de amaño N x N, y devuelva dos marices L (riangular inferior) y U (riangular superior), de forma que A=LU. La función debe seguir el siguiene algorimo: ) Inicializar la diagonal de U con unos. ) Para =,, N, hacer L = A Calcular m= Para r desde + hasa N calcular: L m U m U L r r = ( A r L mu mr ) = A r m= L m= L rm U m Verificar que vuesra ruina funciona aplicándola a la mariz: A = 4 6 que debe dar como facorización 6 L = y U =. Adjunar código de la función resulane. Comprobar el error comeido en vuesra ruina para marices grandes. Para ello, crear una mariz de amaño con el siguiene comando: >> N=; A = rand(n)+5*n*eye(n); y verificar la diferencia enre A y el produco LU. Usar alguna norma maricial (función norm de MATLAB) para esimar el orden de las discrepancias.. Adjunar código y volcado de resulados. Finalmene, comparar los resulados de vuesra ruina con la ruina lu de Malab. Crear una mariz de amaño N=5 con el comando anerior y comparar vuesra facorización con la obenida con MATLAB: [L_m U_m] = lu(a). Son iguales los resulados? Qué relación puede haber enre ambos resulados? Jusificar y comenar.

10 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero SOLUCION PROBLEMA =[.5::4.5]'; y =[ ]'; H = [.^4.^.^.^]; c=h\y %Polinomial H,c H=[cos() sin().^.*exp(-)./(+.^)]; c=h\y % Evaluación y gráficas =[.5:.:5]; pp=polyval(c,); uu=c()*cos()+c()*sin()+c()+c(4)*.*exp(-)+c(5)./(+.^); plo(,y,'ro',,pp,'b',,uu,'g'); % Cond y discrepancias fprinf('cond de H = %.f\ncond de H %.f\n',cond(h),cond(h)); disc_=y-h*c, disc_=y-h*c, % Ajuse f=./y; H=[.^ cos()]; c = H\f; A=c(), B=c(), ff=./(a+b*cos()); hold on; plo(,y,'ro',,ff,'r:'); hold off r = y -./(A+B*cos()) % Residuos VOLCADO c = c = Cond de H = 889 Cond de H = 4 El condicionamieno mayor de H indica mayores errores en los coeficienes del polinomio, lo que se refleja en las siguienes discrepancias: disc_ =.e-5 * [ ] disc_ =.e-6 * [.555 ] A =.9899 B =.5 res = GRAFICA

11 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero Solución PROBLEMA Apdos. a) y b) r=,k=,x=,n= y=:.:;ry=r./(+y*k);plo(y,ry,'b.'); hold on; for =:N x=r/(+x*k);rx=r/(+x*k); fprinf('ieración: %d valor x_: %.6f \n',,x); plo(x,rx,'sr'); end r = K = x = N = Ieración: valor x_:.5 Ieración: valor x_:. Ieración: valor x_: Ieración: 4 valor x_: Ieración: 5 valor x_: Ieración: 6 valor x_: Ieración: 7 valor x_: Ieración: 8 valor x_: Ieración: 9 valor x_: Ieración: valor x_: El méodo converge al valor s=. Apdo c) r=,k=,x=,n=7 y=:.:;ry=r./(+y*k); for =:N x=r/(+x*k);rx=r/(+x*k); fprinf('ieración: %d valor x_: %.6f \n',,x); end s=x,r=,k=;x=, for =:N x=r/(+x*k);fx=;erel=abs(x-s)/abs(s);n_cifras()=floor(- log(erel));rx=r/(+x*k); fprinf('ieración: %d valor x_: %.6f N. cifras %d E_rel %.e\n',,x,n_cifras(),erel); end plo([:n],n_cifras,'.') 5

12 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero La precisión de la máquina se alcanza en la ieración 59. La velocidad de convergencia es lineal: necesia 4 ieraciones para aumenar una unidad las cifras significaivas de precisión. Apdo d) clear all r=,k=,s=;x=,n=7 y=:.:;sy=r./(+(y/k).^);plo(y,sy,'b.'); hold on; for =:N x=r/(+(x/k)^);fx=;erel=abs(x-s)/abs(s);sx=r/(+(x/k)^); fprinf('ieración: %d valor x_: %.6f Erel %.e\n',,x,erel); plo(x,sx,'sr'); end r = K = x = N = 7 Ieración: valor x_:.5 Erel 5.e- Ieración: valor x_: Erel 7.69e- Ieración: valor x_: Erel 6.98e- Ieración: 4 valor x_: Erel.7e- Ieración: 5 valor x_: Erel 7.8e- Ieración: 6 valor x_: Erel.8e- Ieración: 7 valor x_: Erel 9.764e- Ieración: 8 valor x_: Erel.885e- Ieración: 9 valor x_: Erel.84e+ Ieración: valor x_: Erel 4.799e- Ieración: valor x_: Erel.6e+ Ieración: valor x_: Erel 5.47e- Ieración: valor x_: Erel.48e+ Ieración: 4 valor x_: Erel 5.8e- Ieración: 5 valor x_: Erel.55e+ Ieración: 6 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 7 valor x_: Erel.588e+ Ieración: 8 valor x_: Erel 6.e- Ieración: 9 valor x_: Erel.64e+ Ieración: valor x_: Erel 6.45e- Ieración: valor x_: Erel.6e+ Ieración: valor x_: Erel 6.65e- Ieración: valor x_: Erel.65e+ Ieración: 4 valor x_: Erel 6.7e- Ieración: 5 valor x_: Erel.67e+ Ieración: 6 valor x_: Erel 6.77e- Ieración: 7 valor x_: Erel.67e+ 6

13 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero Ieración: 8 valor x_: Erel 6.79e- Ieración: 9 valor x_: Erel.68e+ Ieración: valor x_: Erel 6.8e- Ieración: valor x_: Erel.68e+ Ieración: valor x_: Erel 6.8e- Ieración: valor x_: Erel.68e+ Ieración: 4 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 5 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 6 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 7 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 8 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 9 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 4 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 4 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 4 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 4 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 44 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 45 valor x_:.6867 Erel.68e+ Ieración: 46 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 47 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 48 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 49 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 5 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 5 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 5 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 5 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 54 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 55 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 56 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 57 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 58 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 59 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 6 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 6 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 6 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 6 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 64 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 65 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 66 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 67 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 68 valor x_: Erel 6.8e- Ieración: 69 valor x_: Erel.68e+ Ieración: 7 valor x_: Erel 6.8e Como se puede observar, en ese caso el méodo ieraivo no converge. 7

14 EXAMEN de LABORATORIO ALGORÍTMICA NUMÉRICA Enero Solución PROBLEMA Apdo. funcion [L,U]=facorLU(A) L=zeros(size(A));U=eye(size(A,)); n=size(a,); for =:n L(,)=A(,) - sum(l(,:-).*u(:-,)'); for l=+:n U(,l)=(A(,l) - sum(l(,:-).*u(:-,l)'))/l(,); L(l,)=(A(l,) - sum(l(l,:-).*u(:-,)')); end end reurn Apdo. Apdo. N=; A = rand(n)+5*n*eye(n); [L U]=facorLU(A); error=norm(a-l*u,) % del orden de e- N=5; A = rand(n)+5*n*eye(n) [L U]=facorLU(A), [L_m U_m]=lu(A), L = U = L_m = U_m = Pueso que son dos facorizaciones riangular inferior por superior, la diferencia esá en las diagonales. La diagonal de L por ese algorimo es la diagonal de U de MaLab. Si llamamos D a la mariz diagonal que iene como diagonal cualquiera de esas dos enonces L*inv(D) es la L que da Malab y D*U es la U que da Malab (pueso que quedan unos en la diagonal de L*inv(D) y la unicidad de la facorización). 8