Tema 12. Problemas Métricos. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 12

Transcripción

1 Tema Problemas Méricos.- Inroducción..- Disancias...- Enre dos punos..- Enre puno y reca...- Enre puno y plano...- Enre dos recas..5.- Enre reca y plano..6.- Enre dos planos..- Ángulos..- Enre dos recas...- Enre reca y plano...- Enre dos planos..- Reca perpendicular a dos recas que se cruzan..- Simerías...- Simérico respeco a una reca...- simérico respeco a un plano. 5.- Proyecciones Orogonales Puno sobre reca Puno sobre plano Reca sobre plano 6.- Ejercicios resuelos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema

2 Maemáicas º Bachillerao CCNN..- Inroducción Al rabajar en el espacio se nos pueden presenar dos ipos de problemas con los elemenos habiuales punos, recas y planos: Problemas Afines: Son los que raan de incidencias perenece un puno a una reca? o esá esa reca conenida en ese plano?, paralelismo, posición relaiva de dos o más elemenos en el espacio e inersecciones. Traados en el capíulo anerior. Problemas méricos: Son aquellas siuaciones en las que inervienen disancias enre los diferenes elemenos del espacio o inervienen ángulos. Por ejemplo, la perpendicularidad es una cuesión mérica. Abordaremos en esa unidad problemas de ése úlimo ipo...- Disancias Desde un puno de visa formal, para un conjuno de elemenos X se define disancia o mérica como cualquier función maemáica o aplicación d a, b de X x X en que verifique las siguienes condiciones: No negaividad: d a, b a, b X Simería: d a, b d b, a a, b X Desigualdad riangular: d a, b d a, c d c, b a, b, c X x X : d x, x. Si x, y X son ales que d x, y, enonces x y....- Disancia enre dos punos La disancia enre dos punos del espacio euclídeo equivale a la longiud del segmeno de la reca que los une, expresado numéricamene La disancia enre dos punos A a, a, a y B b, b, b es el módulo del vecor que une dichos punos: d A, B AB b a b a b a Ejemplo : Calcular la disancia enre los punos A,-, y B5,,- d A, B AB b a b a b a Disancia de un puno a una reca Se llama disancia de un puno a una reca a la longiud del segmeno perpendicular del puno a la reca. Es la menor de las disancias enre el puno dado y un puno cualquiera de la reca. p r Sea la reca definida r definida por y sea Q un puno exerior. La disancia dr PQ dr de Q a la reca r viene dada por: d Q, r dr Ejemplo : Calcular la disancia enre el puno Q,-, y la reca x y z r : PQ dr,,,, 5 d Q, r dr,, Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

3 Maemáicas º Bachillerao CCNN...- Disancia de un puno a un plano Sean el plano : ax by cz d y el puno Pp,p,p, la disancia enre ambos se calcula mediane la expresión: ap bp cp d d P, n Ejemplo : Calcular la disancia enre el puno Q,-, y el plano : x y z ap bp cp d 6 d P, 6 n...- Disancia enre dos recas dr Sean la reca r y la reca s, dadas por r : Pr ds y s : Qs Posición Relaiva Disancia Dibujo Recas Coincidenes d r, s Recas Paralelas d r, s d P, s Es igual a la disancia de un puno de la reca r a la reca s. d P, r s r P Q ds r s ds Recas Secanes d r, s Recas que Se Cruzan d r, s de P Q, dr, ds r s dr ds Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

4 Maemáicas º Bachillerao CCNN..5.- Disancia de una reca a un plano dr Sea la reca r dada por r : Pr y el plano dado por : ax by cz d Posición Relaiva Disancia Paralelos Reca Conenida en Plano Secanes d r, d P r, ap bp cp d d P, d r, d r, r n Dibujo..5.- Disancia enre dos planos Sean los planos y 'dados por : ax by cz d y ': a ' x b' y c ' z d ' Posición Relaiva Disancia Paralelos Coincidenes Secanes d, ' d d ' d, ' d, ' a b c Dibujo..- Ángulos Para esudiar el ángulo enre dos recas, reca y plano y dos planos, necesiaremos los vecores direcores de las recas y los vecores normales de los planos. Con la expresión del produco escalar, calcularemos el menor ángulo que forman las direcciones dadas por los vecores direcores y normales....- Ángulo enre dos recas dr r, r, r x y z Sean la reca r y la reca s, dadas por r : P p, p, p r y ds s, s, s x y z s :. Q q, q, q s El ángulo que forman ambas recas viene dado por: cos dr ds r s r s r s x x y y z z dr ds r r r s s s x y z x y z Noa: El ángulo siempre es el menor de los ángulos. Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

5 Maemáicas º Bachillerao CCNN...- Ángulo enre reca y plano dr r, r, r x y z Sean la reca r, dada por r : P p, p, p r y el plano : ax by cz d En ángulo formado por la reca y el plano es complemenario del ángulo que forman el vecor normal del plano n y el vecor direcor de la reca dr dr n sen sen r, cos dr, n dr n r La reca r, será paralela al plano, cuando el produco escalar dr n, o lo que es lo mismo: r a r b r c. x y z...- Ángulo enre dos planos Sean los planos : ax by cz d y ': a ' x b' y c ' z d ', el ángulo enre ambos es el mismo que el ángulo enre sus vecores normales n y n '. n n ' aa ' bb' cc ' cos, ' cos n, n ' n n ' a b c a ' b' c'..- Reca perpendicular común a dos recas que se cruzan Para calcular la reca perpendicular común a dos recas que se cruzan, seguiremos el siguiene méodo: Escribimos las recas r y s en paraméricas. Obenemos de cada una de ellas un puno genérico A y B respecivamene, y sus vecores direcores dr y ds. Hallamos las componenes del vecor que une los punos A y B, AB, como ése vecor es orogonal a dr y ds, los producos escalares AB dr son nulos, y del sisema formado podemos despejar AB ds los dos parámeros. Susiuimos los valores hallados en las expresiones genéricas de A y B, y ya enemos esos punos. Con un puno y el vecor, ya enemos la ecuación de la reca. Aunque podemos dar la reca ambién como inersección de dos planos: La reca p, perpendicular común queda deerminada por el core de los planos α y β. Se observa que p viene dada por: Ver figura de Ar X, ur, ur us p : de As X, us, ur us Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

6 Maemáicas º Bachillerao CCNN y Ejemplo : Obener la perpendicular común a las recas r : z x y s : z Para obener la perpendicular común a dos recas que se cruzan, lo primero es escribir las recas en forma paraméica: Reca r: Reca s: ˆ ˆ ˆ n,, i j k dr,, n,, ˆ ˆ ˆ n,, i j k ds,, n,, x Si x= Un puno de r es el P,, y z x Si y= Un puno de r es el Q,, y z Obenemos un puno genérico de cada una: A r ; A,, B s ; B,, Hallamos las componenes del vecor AB ; AB B A,, Y ese vecor iene que ser perpendicular al vecor direcor de r dr y al vecor direcor de s ds. dr AB,,,, ds AB,,,, Si susiuimos en las recas r y s, obenemos los punos: A,, y B,, x Ya enemos dos punos de la reca, como AB B A,,, la reca perpendicular común a r y s, es: r ' y z..- Simerías...- Simérico de un puno A respeco de una reca Para hallar el simérico de un puno respeco de una reca, seguiremos los pasos siguienes: Hallamos el plano perpendicular a la reca r, que pasa por el puno A. Hallamos el puno de inersección, M, enre la reca y el plano. Hallamos el puno simérico A con la condición de que M sea el puno medio del segmeno AA '. Las coordenadas del puno medio de un segmeno se calculan: A A' M Ejemplo 5: Calcular las coordenadas del puno simérico del,,7 respeco de la reca r: Calculamos el plano perpendicular a r que coniene al puno A,,7. z x y Para ello hacemos el produco escalar del vecor direcor de la reca dr=,, por el vecor perpendicular a la reca y que pasa por le puno x-,y-,z-7,, x, y, z 7 : x y z 8 Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-5

7 Maemáicas º Bachillerao CCNN Calculamos el puno de inersección de la reca r y el plano π. x Para ello escribimos la reca r en forma paramérica r : y y la susiuimos en el plano π. z Y susiuyendo en la ecuación paramérica obenemos el puno deseado. Puno de inersección de r y π H,,8 H es el puno medio enre A y su simérico A, por ano: Y el puno simérico del,,7 es el puno A' 5, 5,9 A A' H A' H A 6,-,6-,,7=5,-5, Simérico de un puno A respeco de un plano Para hallar el simérico de un puno respeco de un plano, seguiremos los pasos siguienes: Hallamos la reca perpendicular al plano que pasa por el puno P. Hallamos el puno de inersección, M, enre la reca y el plano. Hallamos el puno simérico P con la condición de que M sea el puno medio del segmeno PP '. P P ' M P ' M P Ejemplo 6: Hallar el puno simérico de P,, respeco del plano : x y z Primero calculamos la reca perpendicular al plano π que pasa por el puno p: El vecor direcor de la reca será el vecor normal del plano: dr n,, x Así que la reca perpendicular al plano que pasa por el puno p será: r : y z Calculamos el puno M que es el puno inersección enre la reca y el plano susiuyendo las ecuaciones paraméricas de la reca en la ecuación del plano π. Por ano las coordenadas del puno M serán: s 7 x M : y M,, z Ahora obligamos al puno M a ser el puno medio enre el puno P y su simérico P. / P P x x / M P M P x x x x / P P y y / M P M P Coordenadas de P ',, y y y y / P P / z z M P M P z z z z Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-6

8 Maemáicas º Bachillerao CCNN.5.- Proyecciones Orogonales.5..- Proyección orogonal de un puno sobre una reca La proyección orogonal de un puno P sobre una reca r, será oro puno P pereneciene a la reca y al que el vecor PP ' que una los punos P y P es perpendicular al vecor direcor de la reca. Para hallar la proyección orogonal de un puno sobre una reca dada por la ecuación: x p y p x y z pz r : v v v debemos seguir los siguienes pasos: x y z. Deerminar la ecuación del plano perpendicular a la reca r que pasa por el puno P. Para ello, uilizamos el vecor direcor de la reca como vecor normal del plano y uilizamos la ecuación del plano dado su vecor normal y un puno: v x p v y p v z p x x y y z z. El puno que esamos buscando la proyección orogonal es el puno de inersección enre la reca y el plano. Resolvemos el sisema formado por las ecuaciones de la reca y del plano. v a v p v a v p v a v p x x x x y y y y z z z z de donde hallamos el valor de que nos permiirá calcular las coordenadas del puno Q: v p a v p a v p a x x x y y y z z z vx vy vz x z Ejemplo 7: Halla la proyección orogonal del puno P,, sobre la reca r de ecuación: r : y En primer lugar, hallamos la ecuación del plano perpendicular a la reca r que pasa por el puno P: El vecor normal de dicho plano será el vecor direcor de la reca: dr=,,, y la ecuación del plano es de la forma: x y z k Como debe pasar por el puno P,,: k k k Tenemos: : x y z x Resolvemos el sisema, pasando primero la ecuación de la reca a su forma paramérica: r y z 5 7 y susiuyendo el valor de en la ecuación paramérica, obenemos: x, y, z Así, la proyección orogonal del puno P sobre la reca r será el puno P ',, Aunque ambién se podría hacer de esa ora manera:. Como Q perenece a la reca, sus coordenadas deben verificar la ecuación de la reca: q a v q a v q a v. El vecor PQ es perpendicular a la reca, por ano, el produco escalar de dicho vecor con el vecor direcor cela reca es cero: PQ v v q p v q p v q p Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-7

9 Maemáicas º Bachillerao CCNN. Resolvemos la ecuación resulane: v a v p v a v p v a v p. De donde hallamos el valor de que nos permiirá calcular las coordenadas del puno Q:.5..- Proyección orogonal de un puno sobre un plano v p a v p a v p a v v v La proyección orogonal de un puno P sobre un plano es oro puno Q pereneciene al plano, y al que el vecor PQ es perpendicular al plano. Para hallar la proyección orogonal de un puno sobre un plano dado por la ecuación: : A x B y C z D Debemos de seguir los siguienes pasos:. Deerminar la ecuación de la reca perpendicular al plano π que pasa por el puno P. Para ello, uilizamos el vecor normal al plano como vecor direcor de la reca: x p A r : y p B z p C. El puno que esamos buscando la proyección orogonal es el puno de inersección enre la reca con el plano. Resolvemos el sisema formado por las ecuaciones de la reca y del plano. De donde: A p A B p B C p C D D Ap Bp Cp A B C Ejemplo 8: Halla la proyección orogonal del puno P-,, sobre el plano : x y z En primer lugar, calculamos la ecuación de la reca perpendicular al plano π y que pasa por P: v,, El vecor direcor de dicha reca es el vecor normal del plano: La ecuación de la reca que pasa por P y con vecor direcor v x es: r : y z Deerminamos el puno de inersección del plano con la reca: : x y z 9 x 6 Susiuyendo el valor de, enemos: y 7 9 z Por ano la proyección orogonal del puno P-,, sobre el plano π es el puno Q,, 7 Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-8

10 Maemáicas º Bachillerao CCNN.5..- Proyección orogonal de una reca sobre un plano La proyección orogonal de una reca r sobre un plano π es ora reca s que esá conenida en el plano, y al que el plano π que coniene a las dos recas es perpendicular al plano π. Para hallar la proyección orogonal de una reca sobre un plano, hallamos la ecuación del plano que coniene a r y que además es perpendicular al plano dado π. La ecuación de la reca vendrá dada en forma implícia como inersección de los planos π y π. Ejemplo 9: Halla la proyección orogonal de la reca r sobre el plano : x y z En primer lugar, calculamos la ecuación de la reca perpendicular al plano π y que pasa por P: v,, El vecor direcor de dicha reca es el vecor normal del plano: La ecuación de la reca que pasa por P y con vecor direcor v x es: r : y z Deerminamos el puno de inersección del plano con la reca: : x y z 9 x 6 Susiuyendo el valor de, enemos: y 7 9 z Por ano la proyección orogonal del puno P-,, sobre el plano π es el puno Q,, 7 Ora forma de calcular la proyección orogonal de una reca sobre un plano, que puede resular ineresane dependiendo del problema al que nos enfrenamos, sería la siguiene: Obener la inersección de la reca r con el plano π, que es un puno al que llamaremos P. Calculamos la proyección orogonal de un puno cualquiera de r sobre el plano π, llamémoslo Q. Obenemos la ecuación de la reca que pasa por esos dos punos P y Q. Dicha reca será la proyección orogonal buscada. Acividades Propuesas:.- Halla la proyección orogonal del puno P,, sobre la reca x y z r :.- Halla la proyección orogonal del puno P,, sobre el plano : x y z.- Halla la proyección orogonal de la reca x y z r : sobre el plano : x y z Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-9

11 Maemáicas º Bachillerao CCNN.6.- Ejercicios Resuelos.- Hallar la disancia del puno P al plano deerminado por los punos A,,; B,,; C,,, x y z siendo P en que la reca r : cora al plano : x y z Lo primero que vamos a hacer es calcular la ecuación del plano, para calcularla, necesiamos vecores direcores y un puno. Vamos a calcular los vecores AB, AC, AX, donde X es el punox,y,z del plano: AB,, AC,, AX x, y, z Esos res vecores han de ser coplanarios, y para ello ienen que cumplir que su produco, mixo sea cero. x z y y z y z Por ano la ecuación del plano pedido es: y z Lo siguiene es calcular P. Para ello escribimos la ecuación de la reca r en forma paramérica, y la susiuimos en la ecuación del plano π x r y : y z z 8 8 De donde obenemos Si susiuimos en la ecuación paramérica de la reca, obenemos el puno pedido: P,,5 La disancia de un puno a un plano se calcula de la siguiene manera: d P, apx bpy cpz d n Como P,,5 y : y z, susiuyendo, obenemos: apx bpy cpz d 9 d P, n x 5 x y z.- Calcular la disancia enre las recas r : y s : y z 8 Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

12 Maemáicas º Bachillerao CCNN Para calcular la disancia enre dos recas, lo primero que hay que hacer es ver la posición relaiva de ambas recas. P, Q5,,8 r s dr,, ds,, Vemos que sus vecores direcores no son proporcionales, por ano las recas, o se coran o se cruzan. Si se coran, la disancia enre ellas es, y si se cruzan la disancia se calcula uilizando la expresión: d r, s dr ds de dr, ds, PQ dr dr Si el rango de ds es, los vecores son coplanarios y las recas se coran, si el rango de ds PQ PQ enonces los vecores no son coplanarios y las recas se cruzan. dr ds PQ , Por ano se cruzan. 9 es, i j k Como se cruzan, calculamos dr ds i j k 9 de dr, ds, PQ 9 Y ahora calculamos la disancia: d r, s 9 9 dr ds x y z 6.- Obener las ecuaciones de los planos que son perpendiculares a la reca r : y x z disan unidades del puno P-,,. Calcular el seno del ángulo formado por r y el plano coordenado OXY. Para la ecuación del plano a una reca, necesiamos el vecor direcor de la reca: i j k dr i j k j i j k j,, Sea u x, y, z un vecor perpendicular a la reca r, un haz de planos perpendiculares a esa reca viene dado por: u dr x, y, z,, Por ano el haz de planos es: x y z K Si la disancia de P-,, al plano es. Tenemos que: apx bpy cpz d k 5 K d P, n 9 Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

13 Maemáicas º Bachillerao CCNN De donde: 5 K 9 que al resolver obenemos: K= y K= - Por ano las ecuaciones de los planos pedidos son: : x y z : x y z Como el puno P no perenece a la reca porque no cumple su ecuación, enemos dos planos que esán a una disancia de unidades, uno por delane del puno y oro por derás. d= P d= Para calcular el seno formado por una reca un plano uilizamos la ecuación: ds n Sen r, Cos r, n dr n,,,, 9 Donde el vecor n,, es el vecor normal del plano OXY Z=. Si cogemos como vecor normal el,, ó,,.obenemos el mismo resulado, de forma general uilizamos el vecor n,,..- Obener el área del riángulo cuyos vérices son los punos de inersección del plano : x y z 6 con los ejes coordenados. Para resolver ese ejercicio de forma rápida escribiremos la ecuación del plano en forma segmenaria, ya que esa ecuación nos da los punos de core con los respecivos ejes. x y z x y z 6 x y z Por ano los vérices del riángulo son m,,, n,6, y,,. Y ahora para calcular el área del riángulo uilizamos el módulo del produco vecorial. Sabemos que el área del paralelogramo formado por los vecores mn y m vale el módulo de su produco vecorial, por ano el área del riángulo formado por ellos es la miad. S mn m,6,8 5 x y z 5.- Calcular la disancia del puno P,-, a la reca r : x y z Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

14 Maemáicas º Bachillerao CCNN Para calcular la disancia de un puno a una reca, necesiamos el vecor direcor de la reca y un puno de ella. ˆ i ˆ j ˆ k dr i k 6j k i j 5ˆ i ˆ k 7 ˆ j 5, 7, Para obener un puno, resolvemos el sisema dando a z el valor, Z=. x y x y x y y y= x=7 Por ano un puno de la reca es A7,-, La disancia de un puno a una reca viene dada por: d P, r AP dr dr AP 7,.,, 6, 7, Y ahora: i j k i j k j k AP dr 6 7 j 7k j 7k,, AP dr 5 d P, r dr Calcular las coordenadas del puno simérico del,,7 respeco de la reca dada por las z ecuaciones x y Calculamos el plano perpendicular a r que coniene al puno A,,7. Para ello hacemos el produco escalar del vecor direcor de la reca dr=,, por el vecor perpendicular a la reca y que pasa por le puno x-,y-,z-7,, x, y, z 7 : x y z 8 Calculamos el puno de inersección de la reca r y el plano π. x Para ello escribimos la reca r en forma paramérica r : y y la susiuimos en el plano π. z Y susiuyendo en la ecuación paramérica obenemos el puno deseado. Puno de inersección de r y π H,,8 H es el puno medio enre A y su simérico A. Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

15 Maemáicas º Bachillerao CCNN A A' Para calcular el puno medio de un segmeno uilizamos: H A' H A 6,-,6-,,7=5,-5,9. Por ano el puno simérico del,,7 es el puno A ' 5, 5,9 y z 7.- Hallar el puno de la reca r : x que equidisa del puno A,, y del origen de coordenadas. x Lo primero es escribir la ecuación de la reca en forma paramérica: r : y z Un puno P, genérico de esa reca es: P,, Tiene que ocurrir que OP PA OP,, y PA,,,, De donde Por ano el puno P de la reca que equidisa del origen y del puno A es: P,, 8.- Consideramos los planos : x 5 y ' x y Qué ángulo deerminan ambos planos?. Hallar el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos. Para ver el ángulo que deerminan dos planos, lo hacemos usando sus vecores normales: n n',,,, 6 6 Cos, ' a b c a' b' c' Para que el plano sea perpendicular a ambos, su vecor normal ambién lo iene que ser. i j k n " n n ' 6 ˆ k De aquí que el vecor n ",,6 Enonces el plano que buscamos es el plano: 6z+k=, y como dice que pasa por el,, enonces k= z es el plano pedido. x 9.- Hallar el puno de la reca r : y cuya disancia al puno P,, sea 5 z Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-

16 Maemáicas º Bachillerao CCNN Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-5 Un puno genérico de la reca es el,-,+ como la disancia de un puno a una reca se calcula: dr dr AP r P d, Lo primero es calcular el vecor AP-,-,- y dr,-, 5 6 ˆ ˆ k i k j i dr AP y como dr Enonces la disancia del puno a la reca es 5. Por ano si calculamos en puno de inersección enre la reca r y ora reca perpendicular que pase por P, enemos el puno buscado. Sea Q el puno,-,+, y P,, enonces el vecor PQ=-,-,-, y el produco escalar PQ dr= porque ambos vecores son perpendiculares. PQ dr=-,-,-,-,=-+-+-= 6-6= = Por ano el puno de la reca que esá a una disancia 5 del puno P es:,, : Q.- Enconrar los punos de : z x y x r que disen del plano : z y x Lo primero es ver cual es la posición relaiva de la reca y el plano. Escribimos La mariz M y M* M y * M RangM==RangM*, Por ano reca y plano son secanes. Tienen que exisir dos punos de la reca a una disancia del plano, uno por encima y oro por debajo. Escribimos la reca en forma paramérica, para ello necesiamos el vecor direcor y un puno:,, ˆ ˆ ˆ k j i k j i dr Puno si hacemos Z= A,, Por ano z y x r : Un puno cualquiera de la reca es -,,-, pues calculamos la disancia de un puno a un plano y la igualamos a. Y eso nos dará dos valores para. : z y x 5 9, n d cp bp ap P d z y x 5 5

17 Maemáicas º Bachillerao CCNN Por ano los punos siuados a una disancia del plano son,, y,, x y z.- Un cuadrado iene uno de sus lados sobre la reca r : y oro lado sobre la x y z x y z 5 reca s :. Calcula el área del cuadrado. Lo primero que enemos que hacer es ver la posición relaiva de las recas r y s: Calculamos el vecor direcor de la reca r: i j k dr 8ˆ i ˆ j 8 ˆ k 8,, 8 Si comparamos dr y ds vemos que dr ds Por ano las recas r y s son paralelas. Calculamos la disancia enre ellas, y el área del cuadrado será esa disancia al cuadrado. Necesiamos un puno de s, A=,,-5 ds=,-,- y un puno de r, P,, por ser homogéneo el sisema. Calculamos el vecor AP,,5 i j k AP ds 5 7 ˆ i ˆ j 5 ˆ k 7,,5 AP ds 9 d r, s d P, s ds 9 Por ano el área del cuadrado: A.- Hallar el plano de la familia mx y z m que esá siuado a disancia del origen. apx bpy cpz d m m d P, m m m m m n m m De donde m Por ano el plano de la familia es: x y z x y z.- Explicar como se obiene la perpendicular común a dos recas que se cruzan. Obener la y x perpendicular común a las recas r : y s : z z Para obener la perpendicular común a dos recas que se cruzan, lo primero es escribir las recas en forma paraméica: Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-6

18 Maemáicas º Bachillerao CCNN Reca r: ˆ i ˆ j ˆ k x n,, dr,, Si x= Un puno de r es el P,, y n,, z Reca s: ˆ i ˆ j ˆ k x n,, ds,, Si y= Un puno de r es Q,, y n,, z A r ; A,, Obenemos un puno genérico de cada una: B s ; B,, Hallamos las componenes del vecor AB ; AB B A,, Y ese vecor iene que ser perpendicular al vecor direcor de r dr y al vecor direcor de s ds. dr AB,,,, ds AB,,,, Si susiuimos en las recas r y s, obenemos los punos: A,, y B,,, ya enemos dos punos de x la reca, como AB B A,,, la reca perpendicular es: r' y z.- a Deerminar la ecuación de un plano pasando por el puno A-,-, y siendo v,, un vecor normal al mismo. Creamos un haz de planos paralelos de la forma: X-Y-Z+K= Y calculamos que plano del haz pasa por ese puno, susiuyendo el puno en el haz de planos paralelos k= -+-+K= K=- : x y z b Deerminar las ecuaciones paraméricas de la reca s que se obiene al corarse el plano : x y z con el plano ': z Si susiuimos ' : z en el plano : x y z, obenemos la reca r : x y Que es la forma general de la ecuación de una reca, si operamos enemos: y x x La forma paramérica de r: y z Si lo hacemos de la forma habiual; calculamos el vecor direcor de r: dr,, Y para calcular un puno, z=, y=, x=; por ano la reca r iene por ecuaciones paraméricas: ˆ i ˆ j ˆ k Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-7

19 Maemáicas º Bachillerao CCNN x r: y z c Deerminar las ecuaciones paraméricas e la reca r que pasa por los punos B,, y C,-, Calculamos el vecor BC C B,,, y con el vecor y un puno,, escribimos las paraméricas: x r: y z d Enconrar la posición relaiva enre las recas r y s de los aparados aneriores: x x r: y y s: y Rang dr, ds z z PQ Q P,, Rang dr, ds, PQ Por ano las recas r y s SE CRUZAN. e Hallar un puno D de la reca r que esé a la misma disancia de los punos B y C. Un puno genérico de la reca r es el -, -,, calculamos los vecores BD ycd : BD,, Como esán a la misma disancia, el modulo de los dos vecores serán iguales. BC,, BC BD 8 8 Por ano el puno buscado es el,, 8 8 = 5.- Considera el riángulo que iene por vérices los punos A,,, B,,- y C,-, a Razonar si es recángulo: El riángulo es recángulo si alguno de esas parejas de vecores es orogonal: AB,,, AC,, BA,,, BC,, CA,,, CB,, AB AC,,,, BA BC,,,, 6 CA CB,,,, b Calcular la reca r que pasa por B y es perpendicular al lado AC. Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-8

20 Maemáicas º Bachillerao CCNN x Calculamos las ecuaciones paraméricas de la reca AC. r : y, un puno genérico de la reca es z el G,,. Si calculamos el vecor que une el puno genérico y el puno B: GB B G,,, ese vecor y el vecor de la reca son perpendiculares, por ano: GB dr,,,, 6 Por ano el vecor GB,, x Y la ecuación de la reca que pasa por B y es perpendicular a AC, es: r : y z c Calcular la reca S que pasa por los punos A y C: x s : y z a D es el puno de core de r y s, calcular el módulo de BD Como ambas recas esán en paraméricas, igualamos las paraméricas para obener el puno de core enre ellas. ; El puno de core es el,, BD D B,,,,,, BD 9 b Calcular la longiud del lado AC: La longiud del lado AC es el módulo del vecor AC ; AC 6 c Calcular el produco vecorial de los vecores AC y AB y comprueba que su módulo es igual a h b, siendo h el módulo del vecor BD y b la longiud del lado AC calculados aneriormene ˆ i ˆ j ˆ k AC AB,, AB AC ; h b z 6.- Consideramos los punos A,, y B,, y la reca r: x y a Deerminar un puno C de la reca que equidise de los punos A y B x Escribimos r en forma paramérica: r : y, un puno genérico de ella es el G,+,+. z Si calculamos los vecores AG y BG, como los punos A y B esán a la misma disancia, el módulo de esos vecores ha de ser el mismo. Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-9

21 Maemáicas º Bachillerao CCNN Raúl González Medina 6 Espacio Afín D XII-,,,,,,,,,,,, B G BG A G AG BG AG De donde: Por ano el puno que esá a la misma disancia de A y B es el -,, b Calcular el área del riángulo ABC El área del riángulo ABC se calcula como: ,,9 ˆ ˆ ˆ k j i AC AB S ABC