SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO

Transcripción

1 SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO Es ese maerial se presenan algunas gráficas confeccionadas con el sofware MAPLE A coninuación de cada una se indica la senencia uiliada para obenerla Tenga en cuena que: ) anes de realiar ese ipo de gráficas es necesario cargar por una sola ve durane la sesión de rabajo el paquee de comandos gráficos escribiendo wihplos): ) después de ingresar cualquier senencia se debe erminar con ; Ejercicio : Esudiar represenar gráficamene el lugar geomérico de los punos del espacio cua ecuación es: a) Esa ecuación represena en R ) un plano proecane sobre el plano coordenado XY b) Implíciamene la variable asume cualquier valor) La ecuación podría escribirse represena un cilindro circular proecane sobre el plano XZ > wihplos): > impliciplod^^ numpoinslabels[]); c) 6 Esa ecuación represena en R un cilindro elípico proecane sobre el plano XY Se muesran las gráficas 6 de la superficie cilíndrica de la direcri de ecuaciones: Observación: La curva direcri es una elipse Considerada como una curva de R se epresa a ravés de la inersección del cilindro elípico con el plano coordenado XY En la gráfica que se muesra el eje Z es perpendicular al plano del papel La ecuación de esa elipse como curva en R se epresa a ravés de la ecuación: 6 > impliciplod*^^ numpoinslabels[]);

2 d) Esa ecuación represena un cilindro parabólico proecane sobre el plano X cua direcri esá dada por las ecuaciones: > impliciplod^*--55-numpoinslabels[]); e) 6 Esa ecuación represena un cilindro hiperbólico proecane sobre el plano XY cua direcri esá dada por las ecuaciones: 6 > impliciplod*^-^ numpoinslabels[]); f) sen Es la ecuación de un cilindro proecane sobre el plano XY Las ecuaciones a la curva direcri que se represena en el segundo gráfico sen corresponden > impliciplodsin)--*pi*pi-55-55numpoinslabels[]); g) Es la ecuación de un cilindro hiperbólico proecane sobre el plano XZ La curva de ecuaciones: corresponde a la direcri que se represena juno a la superficie

3 > impliciplod* labels[]numpoins); h) Sea A { ) R / } P A P perenece al menos a uno de los planos coordenados YZ o XY i) Es la ecuación de un cilindro elípico proecane sobre el plano XY >impliciplod5*^6**5*^ numpoinslabels[]); j) No eise ningún puno del espacio R cuas coordenadas verifiquen esa ecuación Ejercicio : Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica en los siguienes casos: Γ P ) a) Generari paralela al eje direcri dada por las ecuaciones: La superficie cilíndrica esa formada por odos los punos g ) R ) cuando ) varia en Γ ) ) Γ ) R Despejando de ) reemplaando en ) resula: que perenecen a las recas: En consecuencia: es la ecuación de la superficie cilíndrica parabólica proecane sobre el plano XY pedida Se muesra su gráfica la de la curva direcri conenida en el plano XY >impliciplod^* numpoins);

4 Γ 5 P ) b) Generari paralela al vecor - ) la direcri es la curva La superficie cilíndrica esa formada por odos los punos g) - ) Γ ) cuando ) varía en Γ Γ ) 5 ) que perenecen a las recas: Despejando de ) reemplaando en ) resula: Eliminando el parámero obenemos la ecuación: represena la superficie cilíndrica hiperbólica buscada ) 5 ) 5) ) 5) ) que Γ 5 Se muesran las gráficas de la superficie cilíndrica de la direcri de ecuaciones: > impliciplod*--5))^-*-5))^ labels[]numpoins); c) Proecane sobre el plano YZ direcri la circunferencia en ese plano de cenro ) radio La superficie cilíndrica esa formada por odos los punos P ) que perenecen a las recas: g ) R 5) cuando ) varia en Γ ) Γ 6) ) Γ ) ) Γ Despejando de 6) reemplaando en 5) resula: Luego ) buscada es la ecuación de la superficie cilíndrica circular proecane sobre el plano YZ

5 >impliciplod-)^^-55--); d) Generari paralela a la reca de ecuación cua direcri es la hipérbola equiláera con cenro en el origen de coordenadas eje focal se encuenra sobre la reca de ecuación La miad de la disancia focal es de longiud igual a Debemos enconrar la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus focos se encuenran sobre la reca Pensando en que los ejes e han sido roados 5º llegamos a que la ecuación de la hipérbola en el sisema roado es: ` ` 7) Reemplaamos en 7) las ecuaciones de roación correspondienes: Γ ecuaciones 8) ) ) obenemos las La superficie cilíndrica esá formada por odos los punos P ) que perenecen a las recas: g ) R ) cuando ) varia en Γ Despejando ) parámero obenemos: ) ) de ) reemplaando en 8) resula: ) ) Eliminando el > impliciplod-)*-*)---numpoinslabels[]); e) Generari paralela a la reca de ecuación cua direcri es la curva ) Esudiar graficar la curva direcri Como la curva direcri es una ecuación de º grado con érmino recangular efecuamos la roación de ejes correspondiene a 5º para idenificar de qué curva se raa 5

6 Las ecuaciones de roación esán dadas por: ) ) reemplaándolas en ) obenemos que es la ecuación de una hipérbola con cenro en el puno de coordenadas: ) ) vérices en ) ) ± La superficie cilíndrica esa formada por odos los punos que perenecen a las recas: ) cuando ) P R g ) ) varia en Γ ) Γ ) Despejando de ) reemplaando en ) resula: ) ) ) ) ) Eliminando obenemos la ecuación de la superficie cilíndrica buscada: ) ) ) ) > impliciplod)*)))---numpoinslabels[]); Ejercicio : Hallar la ecuación de la superficie cónica en los siguienes casos: a) Vérice V ) direcri Γ La superficie cónica esa formada por los punos de las recas que conienen al vérice V ) a un puno de la direcri Γ 6

7 Las ecuaciones de dichas recas se pueden epresar a ravés de: ) ) ) ) g con variando en Noar que esas ecuaciones paraméricas no permien obener las coordenadas del vérice del cono) ) Γ Luego ) ) ) ) ) Γ Γ ) Reemplaando ) en ) resula: ) ) ) ) ) 6 Eliminando el parámero enre ambas se obiene: ) 6 ) La epresión del primer miembro no esá definida en ) que son las coordenadas del vérice La ecuación ) ) ) ) ) ) ) 6 se saisface ambién para consiue la ecuación de la superficie pedida Por la raón dada aneriormene la gráfica no muesra el vérice del cono No se visualia ese puno que ambién perenece a la superficie) > impliciplod**-)/-)))^**-)/-)))^ numpoins5); d) Direcri consiuida por odos los punos P ) cua disancia al puno Q ) es igual a la miad de la disancia de P ) a la reca de ecuación 8 Vérice V ) Con esas condiciones buscamos la ecuación de la direcri: )) ) r P d P Q d ) ) ) r P d P Q d 7

8 ) ) ) 6 8 ) 6 que represena a una elipse con cenro en ) focos sobre la reca La superficie cónica esa formada por los punos de las recas que conienen al vérice V ) a un puno de la direcri ) Γ 6 Las ecuaciones de dichas recas se pueden epresar a ravés de: ) ) ) g con variando en Γ ) Luego 5) ) ) ) Γ ) Γ 6 6) Reemplaando 5) en 6) resula: ) ) 6 ) ) Eliminando el parámero enre ambas se obiene la ecuación: ) ) ) El primer miembro no esá definido en ) que son las coordenadas del vérice La ecuación ) ) se saisface ambién para consiue la ecuación de la superficie pedida > impliciplod/)*-)^/-)^)^/-)^---numpoins5); Ejercicio : Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al roar las curvas siguienes alrededor del eje indicado Idenificar represenar gráficamene si es posible la superficie obenida: a) Parábola de vérice en el origen de coordenadas foco F ) alrededor del eje X 8

9 ; La Generari es la parábola de ecuaciones: Si consideramos F ) la ecuación de la superficie que se pide es: F ± ) Operando se obiene la ecuación: que corresponde a un paraboloide de revolución > impliciplod^^*6--numpoins5); b) Hipérbola de focos ) -) que pasa por el puno P) alrededor del eje Y Las ecuaciones de la hipérbola son de la forma a a con La ecuación de la superficie de revolución que resula de roar dicha hipérbola alrededor del eje Y es: a a a El valor de a se obiene eniendo en cuena que P ) preende a la superficie Esa superficie de revolución recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas > impliciplod^/86-^/56-^/ numpoins5labels[]); Γ R c) eje Y Son ecuaciones paraméricas de la parábola conenida en el plano XY Pasando a la forma caresiana considerando a la curva en el espacio sus ecuaciones son: ; La superficie de revolución que se genera iene por ecuación: siguiene aspeco: su gráfica presena el

10 > impliciplod^sqr^^)-55--numpoins5labels[] ); d) eje X cos π Γ sen Son ecuaciones paraméricas de un arco de elipse cua ecuación caresiana es de la forma: con Considerando a la generari como una curva en el espacio sus ecuaciones son: ; Al girar esa curva alrededor del eje X se obiene un elipsoide de revolución de ecuación: : > impliciplod^/^^---numpoins); Ejercicio 5: Dados los punos A) B-5) verificar que el lugar geomérico de los punos P) al que BP AP es una esfera Enconrar las coordenadas del cenro su radio ) ) ) ) ) ) 6 5 5) APBP BP AP Se raa de la ecuación de una esfera con cenro 5 5 C radio r

11 > wihploools):c : sphere[5//-5/] sqr7/)):plos[displa]c scalingconsrained); Ejercicio 6: Hallar la ecuación de la esfera con cenro en el puno C-) que además se inerseca con la reca deerminado un segmeno de longiud Unas ecuaciones paraméricas de la reca dada son: r) R 5 Para enconrar el radio miremos el siguiene dibujo: 6 d C Sea d la disancia del cenro a la reca sabemos que: ) u u P C r C d donde es un puno de la reca P u es un vecor dirección de la misma Haciendo los cálculos se obiene que 5 ) r C d Aplicando el eorema de Piágoras el radio de la esfera es: r La ecuación de la esfera es: ) ) ) 8 Su gráfica iene el siguiene aspeco: > wihploools):c : sphere[-] sqr8)):plos[displa]c scalingconsrained);

12 7) Idenificar graficar las superficies cuas ecuaciones son las siguienes: a) b) c) d) 6 e) f) g) h) a) Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada elipsoide Realiamos a 5 6 coninuación un esudio de la misma para llegar a obener su represenación gráfica: i) Simerías con respeco a los ejes coordenados eje X: Si el puno P ) perenece a la superficie el puno P ) simérico de P con respeco al eje X ambién perenece a la superficie recíprocamene) en raón de que: ) ) La gráfica de la superficie es simérica con respeco al eje X eje Y: Por la misma raón si el puno Q ) perenece a la superficie el puno Q ) simérico de Q con respeco al eje Y ambién perenece La gráfica de la superficie es simérica con respeco al eje Y eje Z: Si R ) perenece a la superficie R ) simérico de R con respeco al eje Z ambién perenece La gráfica de la superficie es simérica con respeco al eje Z En sínesis se raa de una superficie cua gráfica es simérica con respeco a los res ejes coordenados llamados ejes de simería Por lo ano el origen de coordenadas es el cenro de simería Simerías con respeco a los planos coordenados plano XY: Si el puno P ) perenece a la superficie el puno P ) simérico de P con respeco al plano XY ambién perenece recíprocamene) en raón de que: ) La gráfica de la superficie es simérica con respeco al plano XY plano YZ: Si el puno Q ) perenece a la superficie el puno Q ) simérico de Q con respeco al plano YZ ambién perenece La gráfica de la superficie es simérica con respeco al plano YZ plano XZ: Si R ) perenece a la superficie R ) simérico de R con respeco al plano XZ ambién perenece La gráfica de la superficie es simérica con respeco al plano XZ En sínesis la gráfica es simérica respeco a los planos coordenados ii) Inersecciones con los ejes coordenados vérices):

13 eje X: ± 5 A -5 ) A 5 ) son los punos en que la superficie inercepa al eje X eje Y: B - ) B ) son los punos de inersección con el eje Y eje Z: C -) C ) son los punos de inersección con el eje Z iii) Inersecciones con los planos coordenados raas o secciones principales): plano XY: Se raa de una elipse con semieje maor de longiud 5 sobre el eje X semieje menor de longiud sobre el eje Y plano XZ: Se raa de una elipse con semieje maor de longiud 5 sobre el eje X semieje menor de longiud sobre el eje Z plano YZ: Se raa de una elipse con semieje maor de longiud sobre el eje Y semieje menor de longiud sobre el eje Z iv) Inersecciones con planos paralelos a los coordenados: plano paralelo al plano coordenado YZ: Si 5 < se obienen elipses con eje focal paralelo al eje Y sobre el plano X Si 5 > no ha inersección Si 5 se obienen los punos A -5 ) A 5 ) plano paralelo al plano coordenado XZ: Si < se obienen elipses con eje focal paralelo al eje X sobre el plano Y Si > no ha inersección Si se obienen los punos B - ) B )

14 plano paralelo al plano coordenado XY: < Si se obienen elipses con eje focal paralelo al eje X sobre el plano Z Si > no ha inersección Si se obienen los punos C -) C ) Se raa de una superficie acoada La figura muesra el elipsoide juno con algunas raas que resulan de las inersecciones del mismo con planos paralelos al plano coordenado XY > impliciplod^/5^/6^/-55--labels[]); b) Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Paraboloide circular o de revolución Realiamos a coninuación un esudio de la misma para llegar a obener su represenación gráfica: i) Simerías con respeco a los ejes coordenados eje X: Si el puno P ) perenece a la superficie el puno P ) simérico de P con respeco al eje X ambién perenece a la superficie recíprocamene) en raón de que: ) ) La gráfica de la superficie es simérica con respeco al eje X La gráfica no es simérica con respeco a los ejes Y Z Esa superficie carece de cenro de simería Simerías con respeco a los planos coordenados plano XY: Si el puno P ) perenece a la superficie el puno P ) simérico de P con respeco al plano XY ambién perenece recíprocamene) en raón de que: ) La gráfica de la superficie es simérica con respeco al plano XY plano YZ: Si el puno Q ) perenece a la superficie el puno Q ) simérico de Q con respeco al plano YZ ambién perenece La gráfica de la superficie es simérica con respeco al plano XZ El paraboloide circular no es simérico con respeco al plano YZ ii) Inersecciones con los ejes coordenados: en odos los casos resula el origen de coordenadas iii) Inersecciones con los planos coordenados:

15 plano XY: Se raa de una parábola conenida en el plano XY con vérice en el origen foco sobre el eje X en el puno ) plano XZ: Se raa de una parábola conenida en el plano XZ con vérice en el origen foco sobre el eje X en el puno ) plano YZ: resula el origen de coordenadas ) iv) Inersecciones con planos paralelos a los coordenados: plano paralelo al plano coordenado YZ: Si < no se obiene ningún puno Si > se obienen circunferencias con cenro en ) radio que aumena a medida que crece Si se obiene el origen de condenadas plano paralelo al plano coordenado XZ: Para cada valor de se obiene una parábola conenida en el plano Y con vérice en el puno foco en Esas parábolas se alejan del eje X a medida que aumena plano paralelo al plano coordenado XY: Para cada valor de se obiene una parábola conenida en el plano Z con vérices en el puno foco en Esas parábolas se alejan del eje X a medida que aumena El Paraboloide circular es una superficie no acoada En la figura se muesran algunas raas que resulan de las inersecciones del Paraboloide con planos paralelos al plano coordenado XY Las inersecciones de la superficie con planos paralelos al plano YZ son circunferencias por lo ano se raa de un Paraboloide de revolución 5 > impliciplod^^* numpoins5labels[]);

16 c) Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Hiperboloide de dos hojas 6 Realiamos a coninuación un esudio de la misma para llegar a obener su represenación gráfica: i) Simerías Siguiendo los pasos realiados en los ejercicios aneriores podemos concluir que la superficie es simérica con respeco a: Los res ejes coordenados Los res planos coordenados El origen de coordenadas ii) Inersecciones con los ejes coordenados: eje X: - ) ) no eise inersección con el eje Y no eise inersección con el eje Z iii) Inersecciones con los planos coordenados: plano XY: 6 se raa de una hipérbola conenida en el plano XY con focos sobre el eje X plano XZ: 6 se raa de una hipérbola conenida en el plano XZ con focos sobre el eje X plano YZ: no eise ningún puno cuas coordenadas verifiquen las ecuaciones del sisema Por lo ano no ha inersección con el plano YZ iv) Inersecciones con planos paralelos a los coordenados: plano paralelo al plano coordenado YZ: X 6 Si > se obienen elipses con eje focal paralelo al eje Y sobre el plano X A medida que aumena las elipses se agrandan indefinidamene Si < no ha inersección Si se obienen los punos - ) ) plano paralelo al plano coordenado XZ: Y 6 Cualquiera sea el valor de resulan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X sobre el plano Y A medida que aumena en valor absoluo los planos respecivos se alejan del plano XZ los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamene plano paralelo al plano coordenado XY: Z 6 6

17 Cualquiera sea el valor de resulan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X sobre el plano Z A medida que aumena en valor absoluo los planos respecivos se alejan del plano XY los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamene Se raa de una superficie no acoada En la figura se muesran algunas raas que resulan de las inersecciones del Hiperboloide de dos hojas con planos paralelos al plano coordenado XY > impliciplod^/6-^/-^/ numpoins5 labels[]); d) Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Hiperboloide de una hoja 6 Realiamos a coninuación un esudio de la misma para llegar a obener su represenación gráfica: i) Simerías Siguiendo los pasos realiados en los ejercicios aneriores podemos concluir que la misma presena simerías con respeco a: Los res ejes coordenados Los res planos coordenados El origen de coordenadas ii) Inersecciones con los ejes coordenados: eje X: - ) ) eje Y: - ) ) no eise inersección con el eje Z iii) Inersecciones con los planos coordenados: plano XY: se raa de una elipse conenida en el plano XY con focos sobre el eje X plano XZ: 6 se raa de una hipérbola conenida en el plano XZ con focos sobre el eje X plano YZ: 6 se raa de una hipérbola conenida en el plano YZ con focos sobre el eje Y 7

18 iv) Inersecciones con planos paralelos a los coordenados: plano paralelo al plano coordenado YZ: X 6 Si < se obienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y sobre el plano X Si > se obienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z sobre el plano X Si se obienen dos recas de ecuaciones: ± sobre los planos X ± 6 plano paralelo al plano coordenado XZ: Y Si < se obienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje X sobre el plano Y Si > se obienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z sobre el plano Y Si se obienen dos recas de ecuaciones: ± sobre los planos Y ± plano paralelo al plano coordenado XY: Z Cualquiera sea el valor de resulan elipses con eje focal paralelo al eje X sobre el plano Z A medida que aumena en valor absoluo los semiejes de las elipses aumenan indefinidamene Se raa de una superficie no acoada En la figura se muesra algunas raas que resulan de las inersecciones del Hiperboloide de una hoja con planos paralelos al plano coordenado XY > impliciplod^/^/-^/ numpoins5labels[]); e) Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Paraboloide hiperbólico i) Simerías Es simérica con respeco a: eje Z planos coordenados YZ ZX ii) Inersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas ) iii) Inersecciones con los planos coordenados: 8

19 plano XY: se raa de un par de recas conenidas en el plano XY que conienen al de coordenadas de ecuaciones: ± plano XZ: se raa de una parábola conenida en el plano XZ con foco sobre el eje Z en el puno ramas hacia el senido negaivo del eje plano YZ: se raa de una parábola conenida en el plano YZ con foco sobre el eje Z en el puno ) ramas hacia el senido posiivo del eje iv) Inersecciones con planos paralelos a los coordenados: plano paralelo al plano coordenado YZ: X o Se obienen parábolas cuos vérices se alejan del plano YZ cuando aumena en valor absoluo Las ramas de las parábolas son ascendenes en el senido posiivo del eje Z plano paralelo al plano coordenado XZ: Y o Se raa de parábolas cuos vérices se alejan del plano XZ cuando aumena en valor absoluo Si < las ramas se abren en el senido negaivo del eje Z Si > las ramas se abren en el senido posiivo del eje Z plano paralelo al plano coordenado XY: Z Esas ecuaciones represenan hipérbolas para disinos valores de Si > el eje focal es paralelo al eje Y Si < el eje focal es paralelo al eje X Si crece en valor absoluo los planos respecivos se alejan del plano XY los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamene Es una superficie no acoada En la figura se muesra algunas raas que resulan de las inersecciones del Paraboloide hiperbólico con planos paralelos al plano coordenado XY MEJORAR LA SUP > impliciplod^/-^/---numpoins5labels[]);

20 f) Es la ecuación de un Hiperboloide de una hoja La superficie no se inercepa con el eje coordenado Y Se muesran dos gráficas de la misma superficie > impliciplod^/-^/^/ numpoins5labels[]); g) Es la ecuación de una superficie cónica Realiamos su esudio para represenarla luego gráficamene i) Simerías La superficie presena simerías con respeco a: Los res ejes coordenados Los res planos coordenados El origen de coordenadas ii) Inersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas iii) Inersecciones con los planos coordenados: o plano XY: se obienen un par de recas por el origen conenidas en el plano XY Sus ecuaciones son: ± plano XZ: se obiene el origen de coordenadas plano YZ: se obienen un par de recas por el origen conenidas en el plano YZ Sus ecuaciones son: ± iv) Inersecciones con planos paralelos a los coordenados: plano paralelo al plano coordenado YZ: X o Para disinos valores de se obienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y Si crece en valor absoluo los planos se alejan del plano YZ los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamene plano paralelo al plano coordenado XZ: Y Cualquiera sea el valor de resulan circunferencias con cenro en ) sobre el plano Y A medida que aumena las circunferencias se alejan del plano XZ su radio crece indefinidamene

21 plano paralelo al plano coordenado XY: Z o su equivalene Para disinos valores de se obienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y Si crece en valor absoluo los planos se alejan del plano XY los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamene Podemos concluir que se raa de una superficie no acoada Esa superficie recibe el nombre paricular de cono circular reco a que las inersecciones con los planos Y son circunferencias con cenros sobre el eje Y > impliciplod^^*^ labels[]); ) ) ; h) Esa ecuación es equivalene a: proecanes que conienen al eje X de ecuaciones: se muesran ambos planos que represena a un par de planos En la gráfica que sigue > impliciplod[-] labels[]); 8) Hallar e idenificar las ecuaciones de las proecciones sobre los planos coordenados de las siguienes curvas: a) γ ) 7) 8) La ecuación 7) es un paraboloide de revolución que iene al eje X como eje de roación La ecuación 8) represena a un plano que coniene al origen de coordenadas Si observamos las gráficas de ambas superficies al como se muesran en las figuras que siguen vemos que la inersección enre ambas aparena ser una circunferencia o una elipse Si despejamos en 8) reemplaamos en 7) obenemos la ecuación: ) Todo puno cuas coordenadas saisface el sisema es consecuencia del sisema ambién saisface la ecuación ) que

22 No vale la recíproca es decir eisen punos cuas coordenadas saisfacen ) pero no el sisema 5 Compleando cuadrados en ) se obiene: ) que represena una superficie cilíndrica que coniene a la curva γ ) con generarices paralelas al eje Z La misma es un cilindro proecane sobre el plano YZ La proección de γ ) sobre el plano YZ resula de la inersección del cilindro proecane con el plano YZ Se raa de la circunferencia de ecuaciones: ) 5 Su cenro es - ) su radio 5 Las dos primeras gráficas muesran diferenes visas de las superficies 7) 8) La ercera cuara incluen al cilindro proecane cuas ecuaciones esán dadas en ) La quina muesra la circunferencia proección de γ ) sobre el plano YZ) > impliciplod[^^-*-]-6--numpoinslabels[]); > impliciplod[^^-*-)^-/)^5/]-6-- numpoinslabels[]); > impliciplo-)^-/)^5/-55-55numpoins); Procediendo de la misma forma para obener la ecuación de la curva proecada sobre el plano XZ despejamos la variable de 8) la reemplaamos en la 7) resulando: que represena una superficie cilíndrica que coniene a la curva γ ) con generarices paralelas al eje Y cilindro proecane sobre el plano XZ) La curva γ ) proecada sobre el plano XZ es el lugar geomérico de los punos cuas coordenadas verifican las ecuaciones: o 5 Como en la primera de ellas aparece el érmino será necesario efecuar una roación de ejes para obener su forma reducida Se deja como ejercicio comprobar que se raa de una elipse

23 > impliciplod[^^-*-^-**5*^-*]-6-- numpoinslabels[]); > impliciplo^-**5*^-*-55-55numpoins5); Por úlimo despejamos la variable de 8) la reemplaamos en 7) para obener: 5 que represena una superficie cilíndrica que coniene a la curva γ ) con generarices paralelas al eje Z cilindro proecane sobre el plano XY) 5 La proección de γ ) sobre el plano XY es la curva de ecuaciones: Es necesario efecuar una roación para obener la forma reducida Verifique que se raa de una elipse > impliciplod[^^-*-^**5*^-]-6--numpoins labels[]); > impliciplo^**5*^ numpoins5); ) b) γ ) ) La primera de las ecuaciones corresponde a un paraboloide hiperbólico la segunda a un plano proecane sobre el XY Si despejamos en ) reemplaamos en ) obenemos la ecuación: ) Trabajando algebraicamene se obiene: ecuación que represena una superficie cilíndrica que coniene a la curva γ ) con generarices paralelas al eje X La proección de γ ) sobre el plano YZ resula de la inersección del cilindro proecane con ese plano

24 Es una parábola de ecuaciones: superficies la curva En las figuras que siguen se muesran las > impliciplod[^/-^/*-*--/)^/*)] numpoins labels[]); > impliciplod-/)^/*) numpoins labels[]); Para obener la ecuación del cilindro proecane sobre el plano XZ despejamos de la ) ecuación ) lo reemplaamos en la ) obeniendo: ) cilindro parabólico sobre el plano XY es la parábola de ecuaciones: que siguen se pueden ver las superficies la curva proecada La proección del En las figuras > impliciplod[^/-^/*-*--)^*/)] numpoins labels[]); > impliciplod-)^*/) numpoins labels[]); La curva λ) esá conenida en el plano proecane: La proección de λ ) sobre el plano XY son los punos de la reca: proecane sobre el sobre XY) raa del plano

25 c) γ ) 6 ) ) La ecuación ) corresponde a una esfera la ) a un parabolide de revolución Para enconrar la ecuación de la curva proecada sobre el plano XY reemplaamos en ) resulando: 6 Esa ecuación se verifica para 65 La curva λ ) esá conenida en el plano represenan un par de planos paralelos al XY) 65 por 65 Podemos represenar a la misma a ravés 65 de los sisemas: γ ) 65 o equivalenemene En el primer sisema la curva 65 se epresa como inersección del paraboloide de revolución con el plano en el segundo sisema la curva se epresa como inersección del cilindro con el plano La curva γ ) es una circunferencia con cenro en el puno 65 radio 65 Z Y X La proección de γ ) sobre el plano YZ son los punos del segmeno que verifican: La proección sobre el plano XZ son los punos del segmeno que verifican:

26 La proección sobre el plano XY es la circunferencia de ecuaciones 65 Se muesran las gráficas de las superficies que deerminan γ ) su proección sobre el plano XY ver > impliciplod[^^^6^^] numpoinslabels[]); > impliciplod^^^^)^6---55numpoins5); 6