PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Transcripción

1 I.E.S. CASTELAR BADAJOZ A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 8 (RESUELTOS por Anonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máimo: horas minuos Se valorará la corrección la claridad en el lenguaje (maemáico o no maemáico) empleado por el alumno. Penalian los errores de cálculo. Los errores graves, especialmene, aquellos que lleven a resulados incoherenes o absurdos, serán penaliados con la aplicación del 5 % sobre la caliicación en cuesión. Se valorarán odas las pares que sean correcas, aunque el resulado inal no lo sea. Conesa de manera clara raonada una de las dos opciones propuesas. Cada cuesión se punúa sobre punos. La caliicación inal se obiene de dividir el oal enre. OPCIÓN A º) Deermina odas las marices de la orma que conmuen ( A A ) con la mari A. A A Las marices son de la orma R,

2 º) Deermina el puno A del plano más próimo al puno P(,, ). El ha de recas paralelas perpendiculares al plano ienen como vecor direcor al vecor normal del plano, que es,, n. De las ininias recas del ha anerior, la que pasa por P es r. La solución es el puno Q de inersección del plano con la reca r es:,, Q r

3 º) Se considera la unción a ) Calcular. b ) Calcular los eremos relaivos. c ) Hacer un dibujo de la unción.. Se pide: a ) In de. In de. b ) Para esudiar los eremos relaivos, derivamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para que una unción engo un máimo o un mínimo relaivo es condición necesaria que se anule la primera derivada: ( ). Para dierenciar los máimos de los mínimos recurrimos a la segunda derivada: si es negaiva para los valores que anulan la primera derivada se raa de un máimo, en caso conrario de un mínimo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 [ ] [ ] 8 > para Mínimo, : P relaivo Mínimo 8 < para Máimo, : Q relaivo Máimo Observación: El máimo relaivo se podía haber obenido eniendo en cuena que la unción es simérica con respeco al origen por cumplir que () - (-). c ) Teniendo en cuena que el eje es asínoa de la unción, según se demuesra en el aparado a ), la represación gráica, aproimada, es la que aparece en el gráico adjuno. Y () O P Q

5 º) a ) Se considera la curva e, >. Escribe la ecuación de la unción A() que nos da el área de la región limiada por esa curva las recas,. b ) Hacer un dibujo de la siuación. c ) Calcula A( ). a ) La curva e iene odas sus ordenadas posiivas, por lo cual, el área en unción de viene epresada por la siguiene inegral deinida: e d e d [ e ] ( e e ) A d d e ( e ) A( ) b ) Teniendo en cuena que se raa de una unción eponencial de base posiiva es monóona creciene su recorrido es (, ), por ser e, siendo >, el eje de abscisas es asínoa horional de la curva. Cora al eje de ordenadas en el puno A(, ). La represenación gráica de la siuación es la de la igura: Y () e A O

6 c ) { } L Hopial er Ins e e A. de e e

7 OPCIÓN B º) Demuesra, para marices de dimensión, que el deerminane de un produco de marices es el deerminane del produco de las marices. Es ciero que el deerminane de una suma de marices es la suma de los deerminanes de las marices? Sean las marices a b A c d p. Su produco es: a b a b a bp A. c d p c d c dp El deerminane del produco es el siguiene: A a b c d a bp c dp ( a b)( c dp) ( a bp)( c d) ac adp bc bdp ac ad bcp bdp adp bc ad bcp A Los valores de los deerminanes de las marices son: a b A ad bc A p c d p El produco de los deerminanes es el siguiene: A ( ad bc)( p ) adp ad bcp bc A A B A como se pedía demosrar. Veamos si se cumple que A A : A a c b d a p c b d p A a c b d p ( a )( d p) ( b )( c ) ad ap d p bc b c A

8 a b A ad bc p A c d p A B A como se ha demosrado.

9 º) Deermina un puno de la reca r,,,,,, más próimo al puno P(,, ). El ha de planos perpendiculares a la reca r,,,,,, ienen como vecor normal al vecor direcor de r que es,, n. El ha de planos iene por ecuación general D α. De ls ininias planos del ha anerior, el que coniene al puno P(,, ) iene que saisacer su ecuación:,, D D P D α. La solución es el puno Q de core de la reca r el plano, que es el siguiene: La epresión de r por unas ecuaciones paraméricas es r.,, 7 9 Q r

10 º) Se considera la unción. Se pide: a ) Calcular ;. b ) Calcular los eremos relaivos. c ) Hacer un dibujo de la unción. a ) La unción carece de ie para. de. In de. In b ) Para esudiar los máimos mínimos relaivos calculamos sus derivadas primera segunda:

11 ( ) ( ) Para que eisan máimos o mínimos relaivos es condición necesaria que se anule la primera derivada: ( ) ( ) ( ) ( ) < Má. Má. O(, ) ( ) > Mín. Mín. P(, ) c ) Con objeo de aciliar el dibujo de la unción, vamos a deerminar sus asínoas, que son las siguienes: Horionales: son los valores inios que oma la unción cuando iende a valer ininio; son de la orma. Del primer aparado sabemos que, de donde se deduce que la unción no iene asínoas horionales. Vericales: son los valores de que anulan el denominador: Oblicuas: Para que una unción racional enga asínoas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad maor que el grado del denominador; como en nuesro caso ocurre eso, iene asínoas oblicuas. m m n [ m] n Asínoa oblícua Con los daos aneriores, la represenación gráica de la unción es, aproimadamene, la siguiene:

12 Y () P O

13 º) Dibuja la región limiada por las curas sen, cos, las recas. Calculad el área del recino. Las gráicas de las unciones seno coseno se dierencian en que ienen un desase de (9º). (La palabra coseno se deriva de complemeno del seno) Se raa de dos unciones coninuas cuo dominio es R el recorrido de ambas es. [-, ]; el periodo de ambas es Teniendo en cuena que el coseno de un ángulo es igual al seno del ángulo complemenario, las gráicas de las unciones seno coseno son las que se indican a coninuación, epresadas en el inervalo de un giro. Como puede observarse, en el inervalo comprendido por las dos recas vericales, las ordenadas de la curva cos son maores que las de cos en el inervalo comprendido enre las recas vericales son maores las ordenadas de sen que las de cos, por lo cual el área pedida es la siguiene: ( cos sen ) d ( sen cos ) d [ sen cos ] [ cos sen ] S / / sen cos S ( sen cos ) ( cos sen ) cos sen / / / / - cos sen sen cos sen cos cos sen cos sen u S