DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS ONDAS VIAJERAS

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Francisco Moya Agüero
hace 6 años
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1 DESCRIPCIÓN MAEMÁICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Ecuación de onda de la orma Signo - = Espacio ( x ± v ) iempo El argumeno de la unción se denomina ase de la onda. Para que sea una onda viajera en la ase siempre debe aparecer la dependencia de la variable espacial de la variable emporal. Y Velocidad de 0,5 propagación La onda viaja en el senido posiivo del eje X 0,0 Signo + La onda viaja en el senido negaivo del eje X 0,5 Y 0,05 0,00 = ( x v ) -0,05 0,0 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0 X 0,0 0,05 0,00 X = ( x + v ) -0,05 0,0 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0

2 DESCRIPCIÓN MAEMÁICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Espacio iempo Periodo Ecuación de onda de la orma = ( x ± v ) Funciones periódicas ( x ± v ) = ( x ± v ) + Velocidad de propagación Funciones armónicas Aquellas en las que es senoidal o cosenoidal Velocidad de propagación Longiud de onda Forma alernaiva: ω v = = = = k Frecuencia Número de ondas Periodo Frecuencia angular ω = x ± = k = g Número de ondas ω = = k = kx ± ω = g k ( kx ± ω) Fase Frecuencia angular ( kx ± ω) Y X

3 DESCRIPCIÓN MAEMÁICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Ejemplo Pulso de la orma = ( x v ) 2 donde x, esán en meros, en segundos, v = 0.50 m/s Veamos la represenación gráica para dierenes valores del iempo Debido a la presencia de ese signo - el pulso se desplaza a medida que ranscurre el iempo en el senido posiivo del eje X con una velocidad de 0.50 m/s,0 (m) = 0 0,8 = 5 = 0 Cada uno de esos periles represena la orma del pulso para el valor de iempo indicado 0,6 0,4 0,2 0, x (m) 3

4 DESCRIPCIÓN MAEMÁICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Ejemplo 2 Pulso de la orma sen = + ( 2x + ) ( 2x + ) 2 donde x, esán en meros, en segundos Escribamos el pulso de manera que aparezca explíciamene x+v Veamos la represenación gráica para dierenes valores del iempo (m) sen 2 x + 2 = x + 2 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0,0-0, -0,2 = 4 = 2 Debido a la presencia de ese signo + el pulso se desplaza a medida que ranscurre el iempo en el senido negaivo del eje X con una velocidad de 0.50 m/s = 0 Cada uno de esos periles represena la orma del pulso para el valor de iempo indicado -0,3-0,4-0, x (m) 4

5 DESCRIPCIÓN MAEMÁICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Ejemplo 3 Onda armónica = cos ( x ) donde x, esán en meros, en segundos (a aparece direcamene el grupo x-v, con v =.00 m/s) Frecuencia longiud de onda = cos ( x ) = cos( kx ω) ω = = =rad/s = s - k = =m = m - = s (m),2,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8 Debido a la presencia de ese signo - el pulso se desplaza a medida que ranscurre el iempo en el senido posiivo del eje X con una velocidad de.00 m/s Veamos la represenación gráica para dierenes valores del iempo = 0 = = 2 -,0 -, x (m) 5

6 DESCRIPCIÓN MAEMÁICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Ejemplo 4 π Pulso amoriguado = cos x e 2 donde x, esán en meros, en segundos π 0. x 2 π ω = = = rad/s 2 - = s 4 2 π k = = 2 π =m = 4 s Observación: esos valores corresponden a un pulso NO AMORIGUADO, en el pulso amoriguado no son exacamene iguales (m),0 0,5 0,0 = 0 = 0.25 = ,5 -,0 0,0 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 x (m) 6

7 ONDAS ARMÓNICAS. EJEMPLO. Son aquellas en que la unción es una unción armónica (seno o coseno) Una onda sonora de recuencia 500 Hz se propaga a ravés de ciero gas con una velocidad de km/s. La variación máxima de la presión respeco al medio donde se propaga es Pa. Escribir la ecuación de la onda propagándose en el senido posiivo del eje X. Cuál es su longiud de onda su periodo? ω = 500 Hz ω k = = = 0.5 m v 000 = Acos ( kx ω) = 2 0 x cos ( Pa) (variación de presión, Pa),00,000 = = 4π m k (variación de presión, Pa) = = 0.004π s ω, Presión a lo largo del eje X en = 0 X (m) 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 7 (s) Presión en x = 0 en unción del iempo

8 (variación de presión, Pa) ONDAS ARMÓNICAS. EJEMPLO 2. Para la onda sonora del ejemplo anerior se pide: a) valores de presión en = 0 para los punos x = 5 m x = 5 m; b) represenar la onda viajera en los punos x = 0, x = 5 m x = 5 m en unción del iempo. ω = v 500 = ω = 500 Hz k = 0.5 m = Acos( kx ω) = 2 0 cos 500 ( Pa) a) en = 0 para los punos x = 5 m x = 5 m b) Onda viajera para los punos x = 0, x = 5 m x = 5 m,00,000 5,0 5,0 = 2 0 = 2 0 cos cos ( 2.5) = ( Pa) ( 7.5) = ( Pa) = = 4π m k (variación de presión, Pa) ( 500 ) ( Pa) 0, = 2 0 cos x 2 ( ) ( Pa) 5, = 2 0 cos ( ) ( Pa) 5, = 2 0 cos, Presión a lo largo del eje X en = 0 X (m) 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 8 (s) Presión en unción del iempo

9 ONDAS ARMÓNICAS. FASE INICIAL DISINA DE CERO. ( kx ω +δ ) Consideremos la onda armónica = Acos δ se llama ase inicial porque en x = 0 = 0 el valor de esá dado por Comparación enre δ = 0, δ > 0 δ < 0,00 = A cos ( kx ω ) A cos ( kx ω +δ ) = Acos( kx ω δ ) = ADELANA ARASA = Acosδ Dierencia de ase: dos ondas de la misma recuencia número de ondas pueden compararse viendo su desase (dierencia de sus ases respecivas).,008,006,004,000,004,006,008,00 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 Observación imporane: aquí se han represenado las res ondas en unción de para un mismo valor de x. Los desases son racciones de periodo.. Las mismas ondas; igual desase pero dierene elección del origen de iempos 9

10 ONDAS ARMÓNICAS. EJEMPLO 3. La gráica adjuna muesra dos ondas viajeras propagándose hacia la derecha con la misma velocidad v = 200 m/s. Las unidades del eje horizonal son segundos, las del eje verical son unidades arbirarias. Calcular el desase enre ambas, la recuencia angular el número de ondas escribir la ecuación de onda de cada una de ellas.,06,02 Ecuaciones escrias sin el desase que inroduciremos luego = A cos( kx ω) 2 = A2 cos( kx ω) Por inspección direca de la igura A = A2 = = 2 = 0.02 s,008,004 El máximo de 2 se alcanza anes que el de, siendo la dierencia emporal igual a = 2 = s,000,004,008,02 2,06 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 Número de ondas: ω v = k Pueso que alcanza su máximo en el origen de iempos, podemos escribir las ecuaciones de las dos ondas como ω 00 π k = = = π m v Comparando máximos, 2 esá adelanada /6 de periodo respeco a, lo cual equivale a un desase de π δ = = = rad 6 3 Frecuencia angular: 2 ω = = = 00π rad/s 0.02 π = 0.008cos x 00 2 π π = 0.02 cos x 00π 2 (adelanada respeco a ) π + 0 3

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