i = dq dt La relación entre la diferencia de potencial de las armaduras del condensador y su capacidad es V a V b =V ab = q C V c =V bc

Transcripción

1 aleos Física para iencias e ngeniería APÍTUL UT arga de un condensador a ravés de una resisencia La figura muesra un condensador descargado de capacidad, en un circuio formado por una resisencia, un inerrupor, ue inicialmene esá abiero, y un generador de fuerza elecromoriz ε, y resisencia inerna nula. a ε ε c a b c arga del condensador en función del iempo Vamos a esudiar el proceso de carga del condensador. Al cerrar el inerrupor, el condensador no se carga insanáneamene, sino ue conforme ranscurre el iempo, va aduiriendo carga progresivamene. El iempo ue arda el condensador en uedar oalmene cargado depende de su capacidad y de la resisencia del circuio. A parir del insane en ue se cierra el inerrupor, la diferencia de poencial esablecida por el generador enre los punos a y c hace salir elecrones libres de la armadura conecada al puno a y los hace circular hacia la armadura conecada al puno b, a ravés del generador ε, del inerrupor y de la resisencia. Ese movimieno de elecrones libres se inerprea como la circulación de una inensidad en senido conrario, como indican las flechas en rojo de la figura, ue se inicia en la armadura conecada al puno b y ermina en la armadura conecada al puno a. De esa forma, la armadura conecada al puno a se va cargado posiivamene debido a la emigración de elecrones libres, y la armadura conecada al puno b, negaivamene, por la aduisición de esos mismos elecrones libres. Los punos ue esán denominados con la misma lera se encuenran al mismo poencial, porue esán unidos por conducores ue, idealmene, carecen de resisencia elécrica. upongamos ue en un ciero insane después de cerrar el inerrupor, la inensidad de la corriene en el circuio es i, y ue la carga del condensador es. Hay ue hacer noar ue se acosumbra a represenar las magniudes físicas ue son función del iempo, por leras minúsculas, reservando las mayúsculas para los valores finales o consanes de dichas magniudes. La inensidad de la corriene en un circuio de define como i = d d La relación enre la diferencia de poencial de las armaduras del condensador y su capacidad es [1] = = La diferencia de poencial enre los bornes de la resisencia es y susiuyendo [1] en [4], se obiene la ecuación diferencial Efecuando operaciones, V b = = i La diferencia de poencial enre los bornes del generador es, eniendo en cuena [2] y [3], y agrupando variables =( )+(V b ) = +i = + d d = d d d = d expresión ue se puede inegrar fácilmene, ya ue cada miembro es función de una sola variable. negrando en forma indefinida, [2] [3] [4] [5] [6] [7]

2 2 APÍTUL UT aleos Física para iencias e ngeniería d = d expresión en la ue, el numerador del segundo miembro es la diferencial, cambiada de signo, del denominador. Por consiguiene, = ln (V )+ lnk ac siendo ln k una consane de inegración ue se calcula eniendo en cuena las condiciones iniciales: abemos ue para = 0, es =0. usiuyendo esos valores en [9] Despejando ln k, y susiuyendo en [9], ambiando los dos miembros de signo y operando, de donde, y, operando se obiene finalmene, 0 = ln ( )+ lnk = ln ( )+ ln ( ) ln = =e () = 1 e [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] i se represena esa función en un sisema de coordenadas, omando la carga sobre el eje de ordenadas y el iempo sobre el eje de abscisas, se obiene la gráfica ue muesra la figura, en la ue se observa ue para = 0, es = 0, y iene una asínoa horizonal para =, lo ue significa ue la carga del condensador alcanza ese valor para un iempo infinio. i se susiuyen valores en [14] se obiene: Debe enenderse ese iempo como un iempo eóricamene muy grande, ue depende de los valores de y, aunue en la prácica basa un iempo, en general, muy coro, para ue el condensador aduiera la carga final, Q =. Para un condensador dado, la pendiene de la curva es ano mayor, cuano menor es la resisencia, y, recíprocamene, es ano menor, cuano mayor es la resisencia. Para ese ipo de disposiivos se inroduce la denominada cons - ane de iempo del circuio, τ, ue se define como el iempo ue arda la carga del condensador en aumenar hasa 1/e 0,369 de su valor final. τ = nensidad de la corriene de carga en función del iempo Derivando la relación [14] respeco al iempo y susiuyendo en [1] i = d d =V e ac 1 e [15] i() = e [16]

3 aleos Física para iencias e ngeniería APÍTUL UT 3 i i se represena esa función en un sisema de coordenadas, omando la inensidad i sobre el eje de ordenadas y el iempo sobre el eje de abscisas, se obiene la gráfica ue muesra la figura, en la ue se observa ue para = 0, es i = y iene una asínoa horizonal para i = 0, lo ue significa ue la inensidad se anula al cabo de un iempo infinio. [17] Diferencia de poencial enre las armaduras del condensador en función del iempo usiuyendo [14] en [2] se obiene = = 1 V 1 e ac 1 e =V 1 e ac [18] i se represena esa función en un sisema de coordenadas, omando sobre el eje de ordenadas y el iempo sobre el eje de abscisas, se obiene la gráfica ue muesra la figura, en la ue se observa ue para = 0, es = 0 y iene una asínoa horizonal para =, lo ue significa ue la diferencia de poencial enre las armaduras del condensador alcanza el valor al cabo de un iempo infinio Diferencia de poencial enre los exremos de la resisencia en función del iempo usiuyendo [16] en [3]: = i = e e e [19] i se represena esa función en un sisema de coordenadas, omando sobre el eje de ordenadas y el iempo sobre el eje de abscisas, se obiene la gráfica ue muesra la figura, en la ue se observa ue para = 0, es y iene una asínoa horizonal para = 0, lo ue significa ue la diferencia de poencial enre los exremos de la resisencia alcanza ese valor al cabo de un iempo infinio Descarga de un condensador a ravés de una resisencia + a b c a Para esudiar ese proceso supongamos ue, una vez ue el condensador anerior ha aduirido un carga final, abrimos el inerrupor y desconecamos el generador, dejando el inerrupor abiero. La siuación es la ue muesra la figura. Debe enenderse ue cuando se dice ue el condensador ha aduirido un carga final, la armadura posiiva ha uedado cargada con una carga + y la armadura negaiva, con una carga. En el insane = 0, se cierra el inerrupor y el condensador se descarga a ravés de la resisencia. Pueso ue la placa a esá cargada posiivamene, y la placa b, negaivamene, exise una diferencia de poencial inicial V b enre dichas placas.

4 4 APÍTUL UT aleos Física para iencias e ngeniería Esa diferencia de poencial crea un campo elécrico en el circuio dirigido de a hacia b. El campo elécrico debido a una diferencia de poencial esá siempre dirigido de los punos de mayor poencial hacia los de menor poencial. a b c a Los elecrones de la armadura b comienzan a circular a ravés de la resisencia,, y del inerrupor, hacia la armadura a, originando una corriene elécrica ransioria, de inensidad variable i, cuyo senido convencional es de a hacia b, a ravés del inerrupor y de la resisencia,, es decir, en senido conrario al movimieno de los elecrones. El condensador no se descarga insanáneamene debido a la oposición ue ofrece la resisencia al paso de los elecrones. La diferencia de poencial enre los punos a y b, en un insane >0, es = [20] Por ora pare, la diferencia de poencial enre los punos c y b, es según la ley de hm, pero = V c, pueso ue el conducor ue une a con c por la pare superior del circuio, incluido el inerrupor, carece de resisencia. De modo ue como los primeros miembros de las igualdades aneriores [20] y [21] son iguales, los segundos miembros serán iguales = [22] La inensidad de una corriene, cuando es variable, se define, en general, como pero hay ue ener en cuena ue, en ese caso, la carga de las armaduras del condensador esá disminuyendo, y hay ue poner de manifieso dicha variación. De modo ue la inensidad es usiuyendo [23] en [22] se obiene de donde, = d d ecuación diferencial ue se resuelve agrupando variables, e inegrando en forma indefinida, V c = [21] i = d d i = d d d = d ln + lnk = La consane de inegración, ln k, se resuelve eniendo en cuena los valores iniciales. abemos ue para = 0, es = Q o, y en consecuencia susiuyendo en [25] en [24], y efecuando operaciones, y despejando, ln + lnk = 0 lnk = ln ln ln = ln = =e [23] [24] [25]

5 aleos Física para iencias e ngeniería APÍTUL UT 5 = e [26] e raa de una función exponencial decreciene, ue, en un sisema de coordenada (, ), iene el eje de iempos como asínoa horizonal. De modo ue arda un iempo muy grande, en eoría infinio, en descargarse, aunue en la prácica basa un iempo, en general, muy coro, para ue el condensador se descargue por compleo. La consane de iempo del circuio, =, represena en ese caso, el iempo ue arda la carga del condensador en disminuir hasa una fracción, 1/e, de su valor inicial nensidad de la corriene de descarga en función del iempo usiuyendo [26] en [23], i = d d = Q 0 e 1 = e i i = e [27] e raa, igualmene, de una función exponencial decreciene, ue, en un sisema de coordenada (i, ), iene el eje de iempos como asínoa horizonal. De modo ue la inensidad de la corriene arda un iempo muy grande, en eoría infinio, en anularse, aunue en la prácica basa un iempo, en general, muy coro. La consane de iempo del circuio, τ =, represena en ese caso, el iempo ue arda la inensidad de la corriene en disminuir hasa una fracción, 1/e, de su valor inicial Diferencia de poencial enre las armaduras del condensador en función del iempo usiuyendo [26] en [20] = = = e = e [28] e raa, igualmene, de una función exponencial decreciene, ue, en un sisema de coordenada (, ), iene el eje de iempos como asínoa horizonal. De modo ue la diferencia de poencial enre las armaduras del condensador arda un iempo muy grande, en eoría infinio, en anularse, aunue en la prácica basa un iempo, en general, muy coro. La consane de iempo del circuio, τ =, represena en ese caso, el iempo ue arda la diferencia de poencial enre las armaduras del condensador en disminuir hasa una fracción, 1/e, de su valor inicial Diferencia de poencial enre los exremos de la resisencia en función del iempo usiuyendo [27] en [21]: V c =V cb = i = e = e

6 6 APÍTUL UT aleos Física para iencias e ngeniería V cb = e [29] i se comparan las expresiones [28] y [29], se observa ue son iguales, lo ue puede resular un poco exraño. in embargo, si se iene presene ue = V cb =V c [30] y resamos miembro a miembro esas igualdades se obiene: b =( ) (V c ) = +V b = = 0 lo ue es evidene si se iene en cuena ue los punos a y c son elécricamene euivalenes, pueso ue el ramo de circuio ue va de a hacia c por la pare superior, incluido el inerrupor, carece de resisencia, como ya se indicó aneriormene, y por ano, se encuenran al mismo poencial. V cb la función [29] es, igualmene, de una función exponencial decreciene, ue, en un sisema de coordenada (V cb, ), iene el eje de iempos como asínoa horizonal. De modo ue la diferencia de poencial enre los exremos de la resisencia arda un iempo muy grande, en eoría infinio, en anularse, aunue en la prácica basa un iempo, en general, muy coro. La consane de iempo del circuio, τ =, represena, igualmene, el iempo ue arda la diferencia de poencial enre los exremos de la resisencia en disminuir hasa una fracción, 1/e, de su valor inicial.