1 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R 0102) Movimiento Rectilíneo Horizontal

Transcripción

1 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R ) Movimieno Recilíneo Horizonal ) Concepos basicos Definir disancia recorrida, posición y cambio de posición. Definir vecores posicion, velocidad y aceleración en movimienos en dimensión. Diferenciar velocidad media y aceleración media de velocidad y aceleración insanánea. Disancia Recorrida y Cambio de Posición Considere la siuación ilusrada en la figura.un auomovilisa debe pasar por una cuesa para llegar a su desino. Pare en la hosería. Su acompañane oma noa de su recorrido, anoando la hora y la disancia recorrida, leída direcamene del cuenakilómeros del auo. Hora Referencia Kilomeraje :5 Salida de la Hosería 448,3 :3 Paso frene al servicenro 446,8 :3 Frene al cedro, regreso por escasez de bencina. 445, :38 Llegada al servicenro 443,4 :5 Parida hacia la cuesa 443,4 : Nuevamene frene al cedro 443,7 :43 Llegada a la cima 4465,5 parir de esos daos consruyen la siguiene abla Hora [min] [min] Kilomeraje d [km] d[km] vmedia[km/h] :5 448,3 8 6,5 88,3 : ,8 6,5 8 8,3 6,3 : , 34,8 7 8,3 7, : ,4 43, 3, : ,4 43, 9 8,3 55,3 : ,7 5, ,8 47, : ,5 85, Donde Figura ) Ilusración del problema Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R : iempo medido a parir del insane de salida de la hosería. : inervalo de iempo ranscurrido enre dos referencias sucesivas. d: disancia recorrida por el auomóvil desde que salió de la hosería. d: disancia recorrida enre dos referencias sucesivas. vmedia d / : rapidez media enre dos referencias sucesivas. parir de esos daos se pueden consruir los gráficos de disancia recorrida v/s iempo (figura a) y su correspondiene rapidez media en función del iempo (figura b). Se observa que la disancia recorrida siempre es posiiva y creciene, y su rapidez media de cambio enre dos insanes es siempre posiiva. La rapidez insanánea de cambio de disancia recorrida es lo que marca el velocímero del auomóvil. Mirando sólo esos gráficos, Se podría decir en que insanes el móvil se devolvió a la hosería? La respuesa es no. El cuenakilómeros del auo aumena su cuena siempre, independienemene de si el auo va de Saniago a alparaíso o viceversa. Similarmene, el velocímero del auo siempre marcará un valor posiivo independiene de la rayecoria seguida. Luego, la información que proporciona la disancia recorrida respeco del movimieno es incomplea. coninuación, describiremos la misma siuación anerior, consideraremos la posición del auo con respeco a la hosería a lo largo del camino. Para ello considere la siguiene abla, obenida con los mismos daos aneriores. [min] [min] s [km] s[km] vmedia_s [Km/h] 8 6,5 88,3 8 6,5 8 8,3 6,3 6 34,8 7-8,3-7, 33 6,5 3, 46 6,5 9 8,3 55, , ,8 47, 98 68,6 (a) Figura ) (a) Gráfico de disancia recorrida v/s iempo; (b) Gráfico de rapidez media de cambio de disancia recorrida en función del iempo (b)

2 3 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R Donde s: disancia del auo a la hosería (a lo largo del camino). s: Cambio de posición enre dos referencias sucesivas. media_s s / : rapidez media correspondiene. 4 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R (): aceleración del móvil en función de. : posición del móvil en. : velocidad del móvil en. a: aceleración del móvil en. En la abla, se observa que los cambios de signo indican cambios en el senido del movimieno. (a) (b) Si a, se habla de Movimieno Recilíneo Uniforme (MRU), o movimieno con velocidad consane. Si a, se habla de Movimieno Recilíneo Uniformemene celerado (MRU), o movimieno con aceleración consane. parir de esos daos se pueden consruir los gráficos de posición v/s iempo y su correspondiene rapidez media en función del iempo. La posición, velocidad y aceleración de un móvil son canidades físicas vecoriales. Como el movimieno es unidimensional, la dirección de ése es siempre la misma, dada por el vecor uniario ˆ, por lo que los vecores pueden ener dos orienaciones posibles: + ˆ y - ˆ. Para simplificar la noación, se suelen omiir los vecores uniarios, rabajando solamene con las magniudes. Esos gráficos nos proporcionan una información más complea respeco del movimieno del auo, pues a parir de él podemos conocer cuando el auo se aleja de la hosería o se acerca a ella. Usualmene, el movimieno será descrio en érminos de su posición con respeco a un puno de referencia convenienemene esablecido. Modelo General para el movimieno recilíneo con acelearción consane en una dimensión En la figura 4 se muesra un móvil en el insane. El senido del eje indica los valores posiivos. El modelo general para el movimieno recilíneo en una dimensión esá dado por: ( ) + + a [] a [] ( ) + ( ) a [3] Donde (): posición del móvil en función de. (): velocidad del móvil en función de. Figura 3) (a) Gráfico de posición v/s iempo; (b) Gráfico de rapidez media de cambio de posición en función del iempo a O Figura 4) Sisema de referencia general para el movimieno recilíneo en una dimensión elocidades media e insanánea, aceleraciones media e insanánea. Tal como a cualquier canidad física, se pueden aplicar los concepos de rapidez media y rapidez insanánea de cambio a la posición y velocidad de un móvil. En referencia a la figura 5, podemos decir que y son las posiciones ( ) a ( ) del móvil, y que y corresponden a la rapidez ( ) ( ) insanánea de cambio de posición Figura 5) Posición, velocidad y aceleración de un móvil en y del móvil en los insanes y, respecivamene. simismo, a es la aceleración insanánea de cambio de posición del móvil o rapidez insananánea de cambio de velocidad del móvil en los insane referidos. Para a consane, esa aceleración es la misma en y. La rapidez media de cambio de posición del móvil enre y se define como: [4] La aceleración media de cambio de posición del móvil (o rapidez media de cambio de la velocidad del móvil ) enre y se define como: [5]

3 5 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R 6 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R En la siguiene abla se resumen las diferencias enre rapideces y aceleraciones medias e insanáneas Rapidez celeración Media (enre y ) Insanánea (en ) + a a Muchas veces se suele hablar de velocidad y rapidez de un móvil. Para efecos de ese curso, el érmino velocidad se referirá al vecor velocidad compleo (incluyendo magniud y orienación + ˆ ó - ˆ ), mienras que el érmino rapidez es un escalar que se referirá solamene a la magniud del vecor velocidad, que a su vez es igual a la rapidez insanánea de cambio de la disancia recorrida. Esos crierios se especifican en la siguiene abla: Inicio Ecuación de posición Ecuación de elocidad ( ) ( ) + a + + a Rerasado en T ( ) ( ) ( ) -T + a - T - T + -T + a - T delanado en T ( ) ( ) ( ) + T + a + T + T + + T + a + T ( ) ( ) ( ) ( ) Reardo y adelano de movimienos. En más de una ocasión hay problemas en los cuales el movimieno de uno de los móviles implicados pare con un reardo o adelano respeco a la referencia. Tales siuaciones se enfrenan de la siguiene manera (ver figura 6). () (-T) (+T) Si el movimieno pare con un reardo -T T de T, las ecuaciones de posición y Figura 6) Inepreación de movimienos con reardo y adelano velocidad se evalúan en T Si el movimieno pare con un adelano de T, las ecuaciones de posición y velocidad se evalúan en +T

4 7 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R ) Movimieno con velocidad consane o Recilíneo Uniforme (MRU) Conocer y aplicar las ecuaciones de posición y velocidad en el MRU Consruir, inerprear y analizar gráficos de posición y velocidad en función del iempo para el MRU. Calcular e inerprear el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s iempo en el MRU En el movimieno recilíneo uniforme (MRU), la aceleración del móvil es nula (a ), por lo que ambien se denomina movimieno con velocidad consane. Con referencia a la figura 9, se puede deerminar que la velocidad del cuerpo esá dada por: De [6] se puede despejar la diferencia de posiciones : ( ) [7] En la figura 8 se muesra el gráfico de velocidad v/s iempo para un MRU. El área bajo la curva achurada enre y es igual a: ( ) [8] ( ) ( ) [6] Comparando las ecuaciones [7] y [8] se llega fácilmene a la conclusión de que, por lo que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s iempo enre los insanes y es igual al cambio de posición del móvil enre ales insanes. Si en la ecuación [7] hacemos los siguienes reemplazos: (posición inicial) () Figura 9) Movimieno con velocidad consane Figura ) Gráfico de velocidad v/s iempo para un MRU 8 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R Se llega a la ecuación de posición para un móvil en MRU () + [9] La ecuación [9] corresponde a la ecuación de una reca, cuyo gráfico se aprecia en la figura 9. En ese gráfico: La posición inicial corresponde al inerseco de la reca con el eje de las ordenadas. La velocidad es la pendiene del gráfico. Reardo y adelano en MRU Considere res móviles moviéndose a la misma velocidad y pariendo desde la misma posición inicial. Uno de ellos pare en y su ecuación de posición es ( ) + ; el segundo pare con un reardo de T respeco del primero, y su ecuación de posición es R ( ) R + ; el ercer móvil, en ano, pare con un adelano de T respeco del primero, y su ecuación de posición es ( ) +. Esas posiciones se muesran en el gráfico de la figura 7. Del gráfico se puede deducir que: T, de donde R ( ) T + + ( - T ), de donde ( ) + T + + ( T ) R + T Ejemplo Considere los móviles y de la figura 8, donde D 6 [km], 5 [m/s] y 7 [m/s]. Deermine el insane y posición de encuenro si: () Figura 9) Gráfico de posición v/s iempo para un móvil con MRU + -T R T Figura ) Reardo y adelano en el MRU D Figura ) Ejemplo de MRU () () R ()

5 9 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R a) y paren simuláneamene en b) pare 3 [s] después que c) pare 3 [s] anes que Desarrollo: Preguna a) Las ecuaciones de posición de y esán dadas por: ( ) 5 ( ) D 6-7 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R ( ) D ( + 3) 6-7 ( + 3) En el insane en que y se encuenran, () (). Luego: Evaluando el iempo obenido en cada una de las ecuaciones de posición: ( 3.5) [ m] [ s] ( 3.5) [ m] En el insane en que y se encuenran, () (). Luego: Evaluando el iempo obenido en cada una de las ecuaciones de posición: ( 5) [ m] [ s] ( 5) [ m] Preguna b) Las ecuaciones de posición de y esán dadas por: ( ) 5 ( ) D ( - 3) 6-7 ( - 3) En el insane en que y se encuenran, () (). Luego: Evaluando el iempo obenido en cada una de las ecuaciones de posición: ( 6.75) [ m] [ s] ( 6.75) [ m] Preguna c) Las ecuaciones de posición de y esán dadas por: ( ) 5

6 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R 3) Movimieno con aceleracion consane o Recilíneo Uniformemene celerado (MRU) Conocer y aplicar las ecuaciones de posición, velocidad y aceeración en el MRU Consruir, inerprear y analizar gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del iempo para el MRU. Calcular e inerprear el área bajo la curva de los gráficos velocidad v/s iempo y aceleración v/s iempo en el MRU Conocer y aplicar la epresión v a D v Relacionar los concepos de móvil acelerando y móvil frenando con los senidos de aceleración y velocidad Resolver gráfica y analíicamene problemas de encuenro enre dos móviles con MRU y/o MRU ( ) ( ) a Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R Si en la ecuación [] hacemos los siguienes reemplazos: (velocidad inicial) () Se llega a la ecuación de velocidad para un móvil en MRU () + a [3] La ecuación [3] corresponde a la ecuación de una reca, cuyo gráfico se aprecia en la figura 4. En ese gráfico: La velocidad inicial corresponde al inerseco de la reca con el eje de las ordenadas. La aceleración a es la pendiene del gráfico. () a Figura 4) Gráfico de velocidad v/s iempo para un MRU En el movimieno recilíneo uniforme (MRU), la aceleración del móvil es una consane no nula (a ), por lo que ambien se denomina movimieno con aceleración consane. Con referencia a la figura, se puede deerminar que la aceleración a del cuerpo esá dada por: a [] De [] se puede despejar la diferencia de velocidades : ( ) ( ) Figura ) Movimieno con aceleración consane ( ) a [] En la figura 5 se observa el mismo gráfico anerior, pero con el área bajo la curva enre y achurada. Del análisis anerior, sabemos que el área bajo la curva del gráfico velocidad v/s iempo enre los insanes y es igual al cambio de posición del móvil enre ales insanes. sí: ( v + v ) ( - ) [4] - Reemplazando v de v v + a ( ) se llega a: [ v + v + a ( - )] ( - ) - [5] Desarrollando convenienemene la epresión anerior, se llega a: () a Figura 5) Área bajo la curva del gráfico de velocidad v/s iempo para un MRU En la figura 3 se muesra el gráfico de velocidad v/s iempo para un MRU. El área bajo la curva achurada enre y es igual a: ( ) a [] Figura 3) Gráfico de aceleración v/s iempo para un MRU Comparando las ecuaciones [] y [] se llega fácilmene a la conclusión de que, por lo que el área bajo la curva del gráfico aceleración v/s iempo enre los insanes y es igual al cambio de velocidad del móvil enre ales insanes. ( ) ( ) - v - + a - [6] Si en la ecuación [6] hacemos los siguienes reemplazos: (posición inicial) y (velocidad inicial) () Se llega a la ecuación de posición para un móvil en MRU

7 3 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R () + + a [7] La ecuación [7] corresponde a la ecuación de una parábola, cuyo gráfico se aprecia en la figura 6. En ese gráfico: La posición inicial corresponde al inerseco de la reca con el eje de las ordenadas, que corresponde al insane. La velocidad es la pendiene de la reca angene al gráfico en el insane. La aceleración a esá relacionada con la aberura de la parábola. o Para a > la parábola se abre hacia el eje posiivo de las ordenadas, mienras que para a < la parábola se abre hacia el eje negaivo de las ordenadas. o Mienras mayor sea la magniud de a, más cerrada es la parábola. Relación independiene del iempo. De la ecuación [] se puede despejar la diferencia enre los insanes como: Reemplazando [8] en [4]: ( v + v ) ( ) [8] a D - a D [9] a a La ecuación [9] resula eremadamene úil para analizar MRU sin saber nada acerca del iempo. Móvil acelerando y móvil frenando Diremos que un móvil con MRU esá acelerando cuando su rapidez (magniud del vecor velocidad) aumena con el iempo. Ello se produce cuando su vecor velocidad y su vecor aceleración ienen la misma orienación ( + ˆ ó - ˆ ). a > a < Figura 6) Gráfico de posición v/s iempo para un móvil con MRU 4 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R Por el conrario, diremos que un móvil con MRU esá frenando cuando su rapidez disminuye con el iempo. Ello se produce cuando su vecor velocidad y su vecor aceleración ienen orienaciones opuesas enre sí. Todo eso se resume en la siguiene abla: r ( ) Siuación r ( ) r ( ) r ( ) r r ( ) ( ) r r ( ) ( ) nálisis de Discriminane Orienación r ( ) Orienación r ( ) + ˆ ˆ Orienación del movimieno + + ˆ + ˆ - ˆ + ˆ - ˆ + ˆ - ˆ - ˆ - ˆ - ˆ r ( ) umena Disminuye Disminuye umena Móvil.. celerando Frenando Frenando celerando Considere el siguiene problema, ilusrado en la figura 7: Dos auos y se mueven en la siguiene forma: en ciero insane el auo pare del reposo y se mueve con aceleración a,5 [m/s ] a a consane; en ese mismo insane el auo pasa por un puno siuado a 8 [m] disancia D 8 [m] derás de la largada de con una rapidez y se mueve con aceleración a - Figura 7) Ilusración del problema,7 [m/s ] consane. Calcule el valor mínimo de para que pueda alcanzar a. Para al valor de calcule el iempo empleado por para alcanzar a y las velocidades de y en el insane del encuenro. parir de la figura 4, considerando como referencia ( ) la posición inicial de, se pueden planear las siguienes ecuaciones de posición y velocidad para ambos vehículos: ( ) [a] ().5 [b]

8 5 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R ( ).7 [a] ().7 [b] Cuando los móviles se encuenran, las posiciones de ambos se igualan. Eso es: [] ( ) ( ) Desarrollando [], se llega a la ecuación de segundo grado.6 + 8, que al resolverla da la siguiene solución: 6 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R Reemplazando [4] en [3], se puede calcular el insane en que alcanza a + 7,7[ s] [5] 3. Finalmene, reemplazando [4] y [5] en [b] y [b], se encuenran las velocidades de los móviles en el insane del encuenro [ ] s [ ] (7.7) m [6a] (7.7) m [6b] s : ± ± [3].6 3. Donde 5 es el discriminane de la ecuación de segundo grado. parir de su análisis se puede relacionar su valor con lo que sucede con los móviles y. Si < (figura 8a), la raíz del discriminane es compleja y la ecuación [3] no iene solución real. En érminos de los móviles, eso significa que no alcanza a cruzarse con. Llega a una disancia mínima de, pero no lo alcanza. (a) (b) Se observa que las velocidades de ambos móviles son iguales en el insane del encuenro. Ejemplo Considere los móviles y mosrados en la figura 9. Considere que D 5 [m], 5 [m/s], a 6 [m/s ], 3 [m/s] y a [m/s ]. Deermine el insane y posición de encuenro si: a) y paren simuláneamene en b) pare [s] después que Desarrollo: a D Figura 9) Ejemplo de MRU a Si > (figura 8b), la raíz del discriminane es real y la ecuación [3] iene dos soluciones reales disinas. En érminos de los móviles, eso significa que sobrepasa a, y poseriormene sobrepasa a. Preguna a) las ecuaciones de posición de y son ( ) + a Si (figura 8c), la raíz del discriminane es nula y la ecuación [3] iene una única solución real. En érminos de los móviles, eso significa que alcanza juso a cruzarse con anes de que ése úlimo se escape. El mínimo necesario para que alcance a se da para el caso. Luego: [ ] m [4] s (c) + ( ) D + + a En el insane en que y se encuenran, () (). Luego: Resolviendo la ecuación de º grado: ± ± [ s] y -4.7 [ s] Figura 8) nálisis de discriminane. a) < ; b) > ; c).

9 7 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R unque desde un puno de visa maemáico ambas soluciones son correcas, desde un puno de visa físico sólo iene senido el valor posiivo, correspondiene a 3.7 [s]. Luego: ( 3.7 ) ( 3.7) [ m] ( 3.7) ( 3.7) [ m] Preguna b) las ecuaciones de posición de y son ( ) + a ( ) D + ( -) + a ( -) ( -) + ( -) ( -) + ( -) En el insane en que y se encuenran, () (). Luego: Resolviendo la ecuación de º grado: ± ±.54 4 [ s] y [ s] unque desde un puno de visa maemáico ambas soluciones son correcas, desde un puno de visa físico sólo iene senido el valor posiivo, correspondiene a.54 [s]. Luego: (.54) (.54) 3.96 [ m] (.54) (.54) 3.96 [ m] 8 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R 4) Movimieno con aceleración variable Relacionar epresiones de (), v() y a() para el caso de acaleración variable. Inerprear gráficos. Hasa aquí, se ha analizado el caso simplificado de movimino recilíneo ( ) a ( ) horizonal con aceleración consane. ( Para analizar ) ( ) movimienos más complejos, en los Figura ) Posición, velocidad y aceleración de un móvil en y cuales la acelearción ambién es una funció del iempo, se ha necesario usar herramienas maemáicas más avanzadas, como cálculo diferencial (ambién se puede hacer usando cálculo inegral, pero en ese curso no se usará pues van a aprender a inegrar en Maemáica II) Considere la siuación de la figura. La velocidad media del móvil enre y esá dada por: [7] Considere que y +. Luego, () y ( + ). Reemplazando en [7] ( + ) ( ) [7a] l aplicar el límie de [7a] cuando, se obiene la velocidad insanánea del móvil, es decir, lim ( ). plicando la definición de derivada: lim ( ) lim ( + ) ( ) ' En oras palabras, la primera derivada de la función de posición del móvil corresponde a su función de velocidad insanánea. ( ) d d [7b] Por ora pare, respeco a la figura, la aceleración media de cambio de posición del móvil (o rapidez media de cambio de la velocidad insanánea del móvil ) enre y se define como: [8] Considere que y +. Luego, () y ( + ). Reemplazando en [8] ( + ) ( ) [8a]

10 9 Física General I Paralelos 5 y. Profesor Rodrigoergara R l aplicar el límie de [8a] cuando, se obiene la aceleración insanánea del móvil, es decir, lim ( ). plicando la definición de derivada: lim lim ( ) ( + ) ( ) ' En oras palabras, la primera derivada de la función de velocidad insanánea del móvil corresponde a su función de aceleración insanánea. d d d d d parir de [7b] y [8b] se puede deducir que ( ) ( ), es decir, d d d d d que la segunda derivada de la ecuación de posición del móvil es igual a su ecuación de aceleración insanánea. Por ora pare, la idea de área bajo la curva (analizada para el caso de aceleración consane) se puede eender para el movimieno con aceleración variable. En general: El área bajo la curva () v/s enre los insanes y es igual al cambio de velocidad insanánea del móvil enre ales insanes () () El área bajo la curva () v/s enre los insanes y es igual al cambio de posición del móvil enre ales insanes () () ( ) d d [8b] parir de la idea de área bajo la curva se define el concepo de inegral. Se puede demosrar (no lo haremos, pues para ello primero ienen que esudiar cálculo inegral) que: l inegrar () se obiene () l inegrar () se obiene () Todo lo anerior se resume en la figura ( ) v( ) d rea bajo la curva ( ) a( ) d v a v rea bajo la curva Pendiene Pendiene d d v ( ) [ ( )] a ( ) [ v( )] d d Figura ) Relación enre (), v() y a()