1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

Transcripción

1 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara DESCIPCIÓN DEL MOIMIENTO ) Concepos basicos Definir disancia recorrida, posición cambio de posición. Definir ecores posicion, elocidad aceleración en moimienos en dimensión. Diferenciar elocidad media aceleración media de elocidad aceleración insanánea. Disancia ecorrida Cambio de Posición Considere la siuación ilusrada en la figura.un auomoilisa debe pasar por una cuesa para llegar a su desino. Pare en la hosería. Su acompañane oma noa de su recorrido, anoando la hora la disancia recorrida, leída direcamene del cuenakilómeros del auo. Hora eferencia Kilomeraje :5 Salida de la Hosería 8, : Paso frene al sericenro 6,8 : Frene al cedro, regreso por escasez de bencina. 5, :8 Llegada al sericenro, :5 Parida hacia la cuesa, : Nueamene frene al cedro,7 : Llegada a la cima 65,5 parir de esos daos consruen la siguiene abla Hora [min] [min] Kilomeraje d [km] d[km] media[km/h] :5 8, 8 6,5 88, : 8 6,8 6,5 8 8, 6, : 6 5,,8 7 8, 7, :8,,, :5 6,, 9 8, 55, : 55,7 5,,8 7, : 98 65,5 85, Donde Figura ) Ilusración del problema Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara : iempo medido a parir del insane de salida de la hosería. : ineralo de iempo ranscurrido enre dos referencias sucesias. d: disancia recorrida por el auomóil desde que salió de la hosería. d: disancia recorrida enre dos referencias sucesias. media d / : rapidez media enre dos referencias sucesias. parir de esos daos se pueden consruir los gráficos de disancia recorrida /s iempo (figura a) su correspondiene rapidez media en función del iempo (figura b). Se obsera que la disancia recorrida siempre es posiia creciene, su rapidez media de cambio enre dos insanes es siempre posiia. La rapidez insanánea de cambio de disancia recorrida es lo que marca el elocímero del auomóil. Mirando sólo esos gráficos, Se podría decir en que insanes el móil se deolió a la hosería? La respuesa es no. El cuenakilómeros del auo aumena su cuena siempre, independienemene de si el auo a de Saniago a alparaíso o iceersa. Similarmene, el elocímero del auo siempre marcará un alor posiio independiene de la raecoria seguida. Luego, la información que proporciona la disancia recorrida respeco del moimieno es incomplea. coninuación, describiremos la misma siuación anerior, consideraremos la posición del auo con respeco a la hosería a lo largo del camino. Para ello considere la siguiene abla, obenida con los mismos daos aneriores. [min] [min] s [km] s[km] media_s [Km/h] 8 6,5 88, 8 6,5 8 8, 6, 6,8 7-8, -7, 6,5, 6 6,5 9 8, 55, 55,8,8 7, 98 68,6 (a) Figura ) (a) Gráfico de disancia recorrida /s iempo; (b) Gráfico de rapidez media de cambio de disancia recorrida en función del iempo (b)

2 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Donde s: disancia del auo a la hosería (a lo largo del camino). s: Cambio de posición enre dos referencias sucesias. media_s s / : rapidez media correspondiene. En la abla, se obsera que los cambios de signo indican cambios en el senido del moimieno. parir de esos daos se pueden consruir los gráficos de posición /s iempo su correspondiene rapidez media en función del iempo. (a) (b) Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara : posición del móil en. : elocidad del móil en. a : aceleración del móil en. Si a, se habla de Moimieno ecilíneo Uniforme (MU), o moimieno con elocidad consane. a es consane, se habla de Moimieno ecilíneo Uniformemene celerado (MU), o moimieno con aceleración consane. La posición, elocidad aceleración de un móil son canidades físicas ecoriales. Como el moimieno es unidimensional, la dirección de ése es siempre la misma, dada por el ecor uniario ˆ, por lo que los ecores pueden ener dos orienaciones posibles: + ˆ - ˆ. elocidades media e insanánea, aceleraciones media e insanánea. Esos gráficos nos proporcionan una información más complea respeco del moimieno del auo, pues a parir de él podemos conocer cuando el auo se aleja de la hosería o se acerca a ella. Usualmene, el moimieno será descrio en érminos de su posición con respeco a un puno de referencia conenienemene esablecido. Modelo General para el moimieno recilíneo en una dimensión En la figura se muesra un móil en el insane. El senido del eje indica los alores posiios. O Figura ) (a) Gráfico de posición /s iempo; (b) Gráfico de rapidez media de cambio de posición en función del iempo El modelo general para el moimieno recilíneo en una dimensión esá dado por: ( ) + + a [] a [] ( ) + ( ) a [] a Figura ) Sisema de referencia general para el moimieno recilíneo en una dimensión Tal como a cualquier canidad física, se pueden aplicar los concepos de rapidez media rapidez insanánea de cambio a la posición elocidad de un móil. En referencia a la figura 5, podemos decir que son las posiciones ( ) a ( ) del móil, que corresponden a la rapidez ( ) ( ) insanánea de cambio de posición Figura 5) Posición, elocidad aceleración de un móil en del móil en los insanes, respeciamene. simismo, a es la aceleración insanánea de cambio de posición del móil o rapidez insananánea de cambio de elocidad del móil en los insane referidos. Para a consane, esa aceleración es la misma en. La rapidez media de cambio de posición del móil enre se define como: [] La aceleración media de cambio de posición del móil (o rapidez media de cambio de la elocidad del móil ) enre se define como: [5] Donde (): posición del móil en función de. (): elocidad del móil en función de. (): aceleración del móil en función de.

3 5 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara 6 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara En la siguiene abla se resumen las diferencias enre rapideces aceleraciones medias e insanáneas apidez celeración Media (enre ) Insanánea (en ) + a a Muchas eces se suele hablar de elocidad rapidez de un móil. Para efecos de ese curso, el érmino elocidad se referirá al ecor elocidad compleo (incluendo magniud orienación + ˆ ó - ˆ ), mienras que el érmino rapidez es un escalar que se referirá solamene a la magniud del ecor elocidad, que a su ez es igual a la rapidez insanánea de cambio de la disancia recorrida. Esos crierios se especifican en la siguiene abla: Inicio Ecuación de posición Ecuación de elocidad ( ) ( ) + a + + a erasado en T ( ) ( ) ( ) -T + a -T -T + - T + a -T delanado en T ( ) ( ) ( ) + T + a + T + T + + T + a + T ( ) ( ) ( ) ( ) eardo adelano de moimienos. En más de una ocasión ha problemas en los cuales el moimieno de uno de los móiles implicados pare con un reardo o adelano respeco a la referencia. Tales siuaciones se enfrenan de la siguiene manera (er figura 6). () (-T) (+T) Si el moimieno pare con un reardo -T T de T, las ecuaciones de posición Figura 6) Inepreación de moimienos con reardo adelano elocidad se ealúan en T Si el moimieno pare con un adelano de T, las ecuaciones de posición elocidad se ealúan en +T

4 7 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ) Moimieno con elocidad consane o ecilíneo Uniforme (MU) Conocer aplicar las ecuaciones de posición elocidad en el MU Consruir, inerprear analizar gráficos de posición elocidad en función del iempo para el MU. Calcular e inerprear el área bajo la cura del gráfico elocidad /s iempo en el MU En el moimieno recilíneo uniforme (MU), la aceleración del móil es nula (a ), por lo que ambien se denomina moimieno con elocidad consane. Con referencia a la figura 9, se puede deerminar que la elocidad del cuerpo esá dada por: De [6] se puede despejar la diferencia de posiciones : ( ) [7] En la figura 8 se muesra el gráfico de elocidad /s iempo para un MU. El área bajo la cura achurada enre es igual a: ( ) [8] ( ) ( ) [6] Comparando las ecuaciones [7] [8] se llega fácilmene a la conclusión de que, por lo que el área bajo la cura del gráfico elocidad /s iempo enre los insanes es igual al cambio de posición del móil enre ales insanes. Si en la ecuación [7] hacemos los siguienes reemplazos: (posición inicial) () Figura 9) Moimieno con elocidad consane Figura ) Gráfico de elocidad /s iempo para un MU 8 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Se llega a la ecuación de posición para un móil en MU () + [9] La ecuación [9] corresponde a la ecuación de una reca, cuo gráfico se aprecia en la figura 9. En ese gráfico: La posición inicial corresponde al inerseco de la reca con el eje de las ordenadas. La elocidad es la pendiene del gráfico. eardo adelano en MU Considere res móiles moiéndose a la misma elocidad pariendo desde la misma posición inicial. Uno de ellos pare en su ecuación de posición es ( ) + ; el segundo pare con un reardo de T respeco del primero, su ecuación de posición es ( ) + ; el ercer móil, en ano, pare con un adelano de T respeco del primero, su ecuación de posición es ( ) +. Esas posiciones se muesran en el gráfico de la figura 7. Del gráfico se puede deducir que: T, de donde ( ) T + + ( -T ), de donde ( ) + T + + ( T ) + T Ejemplo Considere los móiles de la figura 8, donde D 6 [km], 5 [m/s] 7 [m/s]. Deermine el insane posición de encuenro si: () Figura 9) Gráfico de posición /s iempo para un móil con MU + -T T Figura ) eardo adelano en el MU D Figura ) Ejemplo de MU () () ()

5 9 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara a) paren simuláneamene en b) pare [s] después que c) pare [s] anes que Desarrollo: Preguna a) Las ecuaciones de posición de esán dadas por: ( ) 5 ( ) D 6-7 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ( ) D ( + ) 6-7 ( + ) En el insane en que se encuenran, () (). Luego: Ealuando el iempo obenido en cada una de las ecuaciones de posición: (.5) [ m] [ s] (.5) [ m] En el insane en que se encuenran, () (). Luego: Ealuando el iempo obenido en cada una de las ecuaciones de posición: ( 5) [ m] [ s] ( 5) [ m] Preguna b) Las ecuaciones de posición de esán dadas por: ( ) 5 ( ) D ( - ) 6-7 ( - ) En el insane en que se encuenran, () (). Luego: Ealuando el iempo obenido en cada una de las ecuaciones de posición: ( 6.75) [ m] [ s] ( 6.75) [ m] Preguna c) Las ecuaciones de posición de esán dadas por: ( ) 5

6 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ) Moimieno con aceleracion consane o ecilíneo Uniformemene celerado (MU) Conocer aplicar las ecuaciones de posición, elocidad aceeración en el MU Consruir, inerprear analizar gráficos de posición, elocidad aceleración en función del iempo para el MU. Calcular e inerprear el área bajo la cura de los gráficos elocidad /s iempo aceleración /s iempo en el MU Conocer aplicar la epresión a D elacionar los concepos de móil acelerando móil frenando con los senidos de aceleración elocidad esoler gráfica analíicamene problemas de encuenro enre dos móiles con MU /o MU ( ) ( ) a Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Si en la ecuación [] hacemos los siguienes reemplazos: (elocidad inicial) () Se llega a la ecuación de elocidad para un móil en MU () + a [] La ecuación [] corresponde a la ecuación de una reca, cuo gráfico se aprecia en la figura. En ese gráfico: La elocidad inicial corresponde al inerseco de la reca con el eje de las ordenadas. La aceleración a es la pendiene del gráfico. () a Figura ) Gráfico de elocidad /s iempo para un MU En el moimieno recilíneo uniforme (MU), la aceleración del móil es una consane no nula (a ), por lo que ambien se denomina moimieno con aceleración consane. Con referencia a la figura, se puede deerminar que la aceleración a del cuerpo esá dada por: a [] De [] se puede despejar la diferencia de elocidades : ( ) ( ) Figura ) Moimieno con aceleración consane ( ) a [] En la figura 5 se obsera el mismo gráfico anerior, pero con el área bajo la cura enre achurada. Del análisis anerior, sabemos que el área bajo la cura del gráfico elocidad /s iempo enre los insanes es igual al cambio de posición del móil enre ales insanes. sí: ( + ) ( - ) - [] eemplazando de + a ( ) se llega a: [ + + a ( - )] ( - ) - [5] Desarrollando conenienemene la epresión anerior, se llega a: () a Figura 5) Área bajo la cura del gráfico de elocidad /s iempo para un MU En la figura se muesra el gráfico de elocidad /s iempo para un MU. El área bajo la cura achurada enre es igual a: ( ) a [] Figura ) Gráfico de aceleración /s iempo para un MU Comparando las ecuaciones [] [] se llega fácilmene a la conclusión de que, por lo que el área bajo la cura del gráfico aceleración /s iempo enre los insanes es igual al cambio de elocidad del móil enre ales insanes. ( ) ( ) a - [6] Si en la ecuación [6] hacemos los siguienes reemplazos: (posición inicial) (elocidad inicial) () Se llega a la ecuación de posición para un móil en MU

7 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara () + + a [7] La ecuación [7] corresponde a la ecuación de una parábola, cuo gráfico se aprecia en la figura 6. En ese gráfico: La posición inicial corresponde al inerseco de la reca con el eje de las ordenadas, que corresponde al insane. La elocidad es la pendiene de la reca angene al gráfico en el insane. La aceleración a esá relacionada con la aberura de la parábola. o Para a > la parábola se abre hacia el eje posiio de las ordenadas, mienras que para a < la parábola se abre hacia el eje negaio de las ordenadas. o Mienras maor sea la magniud de a, más cerrada es la parábola. elación independiene del iempo. De la ecuación [] se puede despejar la diferencia enre los insanes como: eemplazando [8] en []: ( + ) ( ) [8] a D - a D [9] a a La ecuación [9] resula eremadamene úil para analizar MU sin saber nada acerca del iempo. Móil acelerando móil frenando Diremos que un móil con MU esá acelerando cuando su rapidez (magniud del ecor elocidad) aumena con el iempo. Ello se produce cuando su ecor elocidad su ecor aceleración ienen la misma orienación ( + ˆ ó - ˆ ). a > a < Figura 6) Gráfico de posición /s iempo para un móil con MU Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Por el conrario, diremos que un móil con MU esá frenando cuando su rapidez disminue con el iempo. Ello se produce cuando su ecor elocidad su ecor aceleración ienen orienaciones opuesas enre sí. Todo eso se resume en la siguiene abla: ( ) Siuación ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nálisis de Discriminane Orienación ( ) Orienación ( ) + ˆ ˆ Orienación del moimieno + + ˆ + ˆ - ˆ + ˆ - ˆ + ˆ - ˆ - ˆ - ˆ - ˆ ( ) umena Disminue Disminue umena Móil.. celerando Frenando Frenando celerando Considere el siguiene problema, ilusrado en la figura 7: Dos auos se mueen en la siguiene forma: en ciero insane el auo pare del reposo se muee con aceleración a,5 [m/s ] a a consane; en ese mismo insane el auo pasa por un puno siuado a disancia D 8 [m] derás de la largada de con una rapidez se muee con aceleración a -,7 [m/s ] consane. Calcule el 8 [m] Figura 7) Ilusración del problema alor mínimo de para que pueda alcanzar a. Para al alor de calcule el iempo empleado por para alcanzar a las elocidades de en el insane del encuenro. parir de la figura, considerando como referencia ( ) la posición inicial de, se pueden planear las siguienes ecuaciones de posición elocidad para ambos ehículos: ( ) [a] ().5 [b]

8 5 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara [a].7 [b] ( ).7 () Cuando los móiles se encuenran, las posiciones de ambos se igualan. Eso es: [] ( ) ( ) Desarrollando [], se llega a la ecuación de segundo grado.6 + 8, que al resolerla da la siguiene solución: 6 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara eemplazando [] en [], se puede calcular el insane en que alcanza a + 7,7[ s] [5]. Finalmene, reemplazando [] [5] en [b] [b], se encuenran las elocidades de los móiles en el insane del encuenro [ ] s [ ] (7.7) m [6a] (7.7) m [6b] s : ±.6 8 ± [].6. Donde 5 es el discriminane de la ecuación de segundo grado. parir de su análisis se puede relacionar su alor con lo que sucede con los móiles. Si < (figura 8a), la raíz del discriminane es compleja la ecuación [] no iene solución real. En érminos de los móiles, eso significa que no alcanza a cruzarse con. Llega a una disancia mínima de, pero no lo alcanza. (a) (b) Se obsera que las elocidades de ambos móiles son iguales en el insane del encuenro. Ejemplo Considere los móiles mosrados en la figura 9. Considere que D 5 [m], 5 [m/s], a 6 [m/s ], [m/s] a [m/s ]. Deermine el insane posición de encuenro si: a) paren simuláneamene en b) pare [s] después que Desarrollo: a D Figura 9) Ejemplo de MU a Si > (figura 8b), la raíz del discriminane es real la ecuación [] iene dos soluciones reales disinas. En érminos de los móiles, eso significa que sobrepasa a, poseriormene sobrepasa a. Preguna a) las ecuaciones de posición de son ( ) + a Si (figura 8c), la raíz del discriminane es nula la ecuación [] iene una única solución real. En érminos de los móiles, eso significa que alcanza juso a cruzarse con anes de que ése úlimo se escape. El mínimo necesario para que alcance a se da para el caso. Luego: [ ] m [] s (c) + ( ) D + + a En el insane en que se encuenran, () (). Luego: 5 + esoliendo la ecuación de º grado: ± + 5 ±.7 [ s] -.7 [ s] Figura 8) nálisis de discriminane. a) < ; b) > ; c).

9 7 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara unque desde un puno de isa maemáico ambas soluciones son correcas, desde un puno de isa físico sólo iene senido el alor posiio, correspondiene a.7 [s]. Luego: (.7) (.7).6 [ m] (.7) (.7).6 [ m] Preguna b) las ecuaciones de posición de son ( ) + a ( ) D + ( -) + a ( -) 5 + ( -) + ( -) 5 + ( -) + ( -) En el insane en que se encuenran, () (). Luego: 5 + esoliendo la ecuación de º grado: ± + ±.5 [ s] -.5 [ s] unque desde un puno de isa maemáico ambas soluciones son correcas, desde un puno de isa físico sólo iene senido el alor posiio, correspondiene a.5 [s]. Luego: (.5) (.5).96 [ m] (.5) (.5).96 [ m] 8 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ) Moimieno erical Conocer aplicar las ecuaciones de posición, elocidad aceleración en el momieno erical (caso paricular del MU) Conocer los casos: lanzamieno erical hacia abajo, lanzamieno erical hacia arriba caída libre. Para el caso lanzamieno erical hacia arriba, definir calcular iempo máimo alura máima esoler gráfica analíicamene problemas de encuenro enre dos cuerpos con Moimieno erical. nálisis de la caída de los cuerpos En los iempos preios a las inesigaciones del físico renacenisa ialiano Galileo Galilei, se sosenía la creencia (heredada de risóeles) de que un cuerpo pesado se demora menos al caer que uno liiano. Galileo refuó esa creencia al hacer el siguiene análisis. Sean un cuerpo pesado un cuerpo liiano, como los ilusrados en la figura. Si unimos con un hilo, formando el cuerpo lo dejamos caer desde gran alura, la suposición de que cae con maor elocidad que llea a dos conclusiones conradicorias enre sí (reducción al absurdo) Figura ) nálisis de Galileo de la caída es más liiano que cae más leno de los cuerpos que En, frena a cae más leno que. es más pesado que cae más rápido que. Para corroborar su razonamieno, Galileo Galileo se subió a la Torre de Pisa (er figura ), dejó caer dos cuerpos de diferene peso. ne la sorpresa de odos, los dos cuerpos llegaron junos al suelo. Si used deja caer una moneda un rozo de papel esirado desde una misma alura inicial, la moneda llegará primero. Pero si arruga el rozo de papel formando una peloa repie el eperimeno, ambos cuerpos llegarán al mismo iempo (er figura ). Eso se debe a que aire opone resisencia a la caída de los cuerpos. Mienras más liiano sea el cuerpo, maor es la resisencia. l respeco, Galileo formuló la siguiene eoría: Dos cuerpos cualesquiera que se dejan caer simuláneamene en el acío, an caendo siempre junos, con iguales elocidades. Eso se aprecia en el clásico eperimeno de laboraorio ilusrado en la figura, en el cual se dejan caer dos cuerpos de diferene peso denro de un recipiene sellado de crisal. Cuando esá llena de aire, el cuerpo más Figura ) Eperimeno de Galileo en la Torre de Pisa Figura ) Eperimeno de la moneda el rozo de papel

10 9 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara pesado llega anes al suelo, pero cuando se repie el eperimeno después de eraer el aire del recipiene con una bomba de acío, ambos cuerpos caen al mismo iempo. Ese efeco fue erificado en 969, durane el primer iaje del hombre a la Luna. El modelo para el moimieno erical que mosraremos a coninuación supone que no eise resisencia del aire. En la realidad eise (er figura ), su efeco es una aceleración de frenado que depende direcamene de la elocidad de caída. Transcurrido un iempo de la caída, el peso la resisencia del aire se igualan el cuerpo cae con elocidad consane. Ecuaciones del Moimieno erical El sisema de referencia general para el moimieno erical se muesra en la figura 5. Las ecuaciones del moimieno erical esán dadas por: g [7a] [7b] ( ) + ( ) g ( ) g [7c] Figura ) Caída de cuerpos en el aire en el acío Donde (): alura del móil en función de. (): elocidad del móil en función de. (): aceleración del móil en función de. : alura del móil en. : elocidad del móil en. g: celeración de graedad. Para moimienos a niel Figura ) Efeco de la resisencia del aire en la caída de los cuerpos. erresre se considera consane (suposicion que se jusificará cuando eamos graiación) de alor 9,8 [m/s ], aunque para efecos de cálculo se suele usar, [m/s ]. El moimieno erical es un caso paricular de MU donde a -g, por lo que odos los concepos isos para el MU son álidos para el moimieno erical. g Figura 5) Sisema de referencia general para el moimieno erical. Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Caída Libre ( ): Caracerizado por enunciados del ipo se suela (deja caer) un cuerpo. Lanzamieno erical hacia arriba ( > ): Caracerizado por enunciados del ipo se lanza (ira) un cuerpo hacia arriba. Para el caso de problemas en los cuales solamene haa cuerpos en caída libre /o lanzamieno erical hacia abajo, resula coneniene usar el sisema de referencia mosrado en la figura 6. En él, las canidades posiias apunan hacia abajo, las ecuaciones de alura, elocidad aceleración quedarían epresadas de la siguiene manera: ( ) + + g [8a] + [8b] ( ) g ( ) g [8c] Lanzamieno erical hacia arriba En la figura 7 podemos disinguir res insanes claes en el lanzamieno erical hacia arriba: Insane ( ): El cuerpo se lanza elocidad de magniud hacia arriba desde la alura inicial, empieza su ascenso. Insane ( T má): El cuerpo alcanza su alura máima má. Se deiene en el aire, por lo que su elocidad iene magniud cero. Después empieza su descenso. Insane ( Tmá): El cuerpo uele a pasar por su niel de lanzamieno, su elocidad iene magniud hacia abajo. En ese caso, podemos disinguir dos parámeros imporanes: La alura máima ( má) que puede alcanzar el cuerpo El iempo máimo (Tmá) que es el iempo, a parir del insane de lanzamieno, que el cuerpo demora en llegar a má. plicando la condición (Tmá) a la ecuación [7b] se llega a g Figura 6) Sisema de referencia para el moimieno erical para lanzamieno hacia abajo /o caída libre Dependiendo del alor de, el moimieno erical se puede clasificar en res ipos: Lanzamieno erical hacia abajo ( < ): Caracerizado por enunciados del ipo se lanza (ira) un cuerpo hacia abajo. ( T ) g Tmá Tmá [9] g má Sabiendo que má (T má), reemplazando [9] en [7a]: Figura 7) Lanzamieno erical hacia arriba

11 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara má ( Tmá ) + Tmá g Tmá [] + g + + g g g g g En la figura 8 se isualizan los gráficos de posición elocidad para un lanzamieno erical hacia arriba. Se aprecia que, para el insane Tmá, el cuerpo alcanza su alura máima má iene elocidad cero, mienras que para Tmá, el cuerpo uele a pasar por su alura inicial de lanzamieno, a una elocidad de magniud, pero dirigida hacia abajo, en senido opueso al del lanzamieno inicial. má () g Ejercicio: Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara En la figura 9 se aprecian dos cuerpos que caen desde gran alura. Mienras el moimieno de es de caída libre, el de es un lanzamieno erical hacia abajo con 5 [m/s]. demás, esá inicialmene H [m] más abajo que. Considere g [m/s ]. Usando el sisema de referencia indicado en la figura 9: a) Si ambos cuerpos paren simuláneamene, calcule el insane en que alcanza a la disancia que uo que recorrer para lograrlo. Figura 9) Siuación de ejercicio de b) Si sale con [s] de reraso con respeco Moimieno erical a, Lo alcanzará? c) Calcule el reardo T de para que, a parir de T, la disancia enre sea consane. Desarrollo: Preguna a) En ese caso, coniene usar el sisema de referencia ilusrado en la figura 6, en el cual odas las canidades con dirección hacia abajo se definen como posiias. sí, las ecuaciones de posición de son: H g () T má T má ( ) H + g ( ) + g En el insane en que alcanza a, () (). Luego: [ s] 5 - T má T má eemplazando en la ecuación para (), se obiene la disancia recorrida por hasa alcanzar a [ m] Figura 8) Gráficos de alura elocidad para un lanzamieno erical hacia arriba. Preguna b) En ese caso, ha que considerar que pare con [s] de reraso. Luego, las ecuaciones de posición de son:

12 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ( ) H + g ( ) ( - ) + g ( - ) 5 ( - ) + ( - ) 5 ( - ) + 5 ( - ) ( 6 + 9) En el insane en que alcanza a, () (). Luego: [ s] 5 Hasa aquí odo parece similar a la preguna a), pero ha un dealle: como pare en [s], endría que alcanzar a en un insane poserior a ese, el resulado obenido para es claramene menor [s] que, por lo que no corresponde a una solución físicamene álida. g 5 [m/s] Para analizar bien esa siuación, eamos qué sucede con la elocidad de en el insane en que se lanza 8 [m] hacia abajo. La elocidad de es igual a: ( ) g l ealuar en [s], obenemos una elocidad de [m/s] hacia abajo. demás, en ese insane, la posición m. de es ( ) [ ] sí, la siuación (que se ilusra en la figura ), sería la siguiene: En [s], pare con 8 [m] de enaja sobre, su elocidad inicial es 6 eces maor que la de, ienen la misma aceleración (g). En esas condiciones, resula eidene que jamás a a alcanzar a, que lo que sucederá es que se alejará cada ez más de. Preguna c) En ese caso, ha que considerar que pare con T [s] de reraso. Luego, las ecuaciones de posición de son: [m/s] Figura ) Siuación de en [s] para la preguna b. Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara hora lo que se busca es que, después de T, la disancia enre permanezca consane, eso es () () consane. esando las dos ecuaciones de posición: [ ] + 5 [ 5-5 T + 5 ( - T + T )] [ 5-5 T T + 5 T ] + 5 [ 5 + ( 5 - T ) 5 T + 5 T ] ( ) ( ) ( -T ) + 5 ( -T ) ( 5 - T ) + 5 T 5 T ( T - 5) T 5 T Para que se cumpla la condición de diferencia consane, el facor que acompaña al iempo iene T - 5 T.5 s. que ser igual a cero. Luego, [ ] La función de elocidad de ambos cuerpos esá dada por: ( ) g ( ) + g ( -T ) 5 + ( -,5) En T, se aprecia que (T) (T) 5 [m/s]. demás, en ese insane, la posición del cuerpo m. es ( ) [ ] En la figura se ilusra la siuación para T. Los dos cuerpos ienen la misma aceleración (g) la misma elocidad inicial (5 [m/s]), por lo que sus moimienos serán iguales. como esá a.5 [m] delane de, se conclue que ambos cuerpos esarán disanciados a.5 [m] durane odo el raeco..5 [m] T [s] Para ese caso, se puede esablecer que: 5 [m/s] Para < T, el cuerpo se acerca a a medida que ambos caen, hasa que en mmeno dado lo alcanza. Figura ) Siuación de en Para T, los cuerpos se manienen a T [s] para la preguna c disancia consane durane su caída. Para > T, se a alejando de a medida que ambos an caendo. g 5 [m/s] ( ) H + g ( ) ( - T ) + g ( -T ) 5 ( -T ) + ( -T ) 5 ( -T ) + 5 ( - T )

13 5 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara 5) Moimieno circular uniforme Periodo frecuencia. elocidad angular angencial. Discos solidarios, en banda en engranaje. Posición rapidez angular consane, θ() Problemas de relojes encuenro de móiles en MCU. Consruir, inerprear analizar gráficos posición rapidez angular en función del iempo. Concepo de aceleración cenripea. Un cuerpo efecúa un moimieno circular cuando se muee sobre una circunferencia, como se ilusra en la figura. Todo moimieno circular se caraeriza por su período por su frecuencia: El período de un moimieno circular es el iempo que emplea el móil en dar una uela enera. Se designa por T, se mide en [s]. Por ora pare, el recíproco del período es la frecuencia, que es el número de uelas que da el móil en [s]. Se designa por f /T, se mide en [/s] ó [Hz]. También se suele epresar en unidades como uelas por minuo, uelas por segundo, reoluciones por minuo (rpm), reoluciones por segundo (rps) similares. Se dice que un móil realiza un Moimieno Circular Uniforme (MCU) cuando su período T es consane. El MCU se puede analizar desde dos punos de isa: Desde el puno de isa del arco recorrido (er figura a). En el MCU, el móil recorre arcos iguales en iempos iguales. Desde el puno de isa del ángulo barrido (er figura b). En el MCU, el móil barre ángulos iguales en iempos iguales. Figura ) Cuerpo en moimieno circular (a) (b) Figura ) Moimieno circular uniforme. (a) Desde el puno de isa del arco recorrido; (b) desde el puno de isa del ángulo barrido 6 elocidades en el MCU Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Considérese el eperimeno ilusrado en la figura. Una persona oma un hilo de [m] de largo, aa a él una piedra en el eremo () ora a 8 [cm] (), Poseriormene, las hace girar a razón de uelas por segundo, le preguna a dos obseradores eernos, a los que denominaremos, cuál de las dos piedras iene maor elocidad. Desde el puno de isa del obserador, la piedra iene maor elocidad, pues recorre una circunferencia maor que la de en el mismo iempo. Desde el puno de isa del obserador, por más uelas que den, ninguna piedra le saca enaja a la ora, pues siempre an junas. Por lo ano, ienen la misma elocidad. Esas conclusiones, aunque aparenemene conradicorias, son simuláneamene cieras, pues los obseradores esaban analizando el MCU desde diferenes punos de isa. El obserador esá analizando la siuación desde el puno de isa del arco recorrido (er figura 5a), la elocidad de la cual hablaba es la elocidad lineal o angencial, que se define como el cuociene enre el arco recorrido el iempo empleado ( s ). Se mide en [m/s], [Km/h], [m/min] oras unidades similares El obserador esá analizando la siuación desde el puno de isa del ángulo barrido (er figura 5b), la elocidad de la cual hablaba es la elocidad angular ω, que se define como el cuociene enre el ángulo barrido el iempo empleado ( ω θ ). Se mide en [rad/s], [rad/min], [grados/s], [grados/min] oras unidades similares Figura ) Ilusración del eperimeno de las piedras (a) s θ Figura 5) a) elocidad angencial; b) elocidad angular (b) Por consideraciones de geomería S θ [] Donde es el radio del círculo. diidiendo por

14 7 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara s θ ω [] Donde s es la rapidez media de cambio de arco recorrido ω θ es la rapidez media de cambio del ángulo barrido. Haciendo, ω [] Para un cuerpo en MCU, la elocidad angencial se puede definir como: π [] T ω ω, se llega a: Donde T es el período. Similarmene, se puede definir la elocidad angular como: eemplazando [] en [5] π ω [5] T π π ω [6] T T 8 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ω ω En la figura 7 se aprecian dos discos unidos por una correa o banda que no desliza con ellos. Los discos unidos por correa cumplen con las siguienes condiciones: mbos discos ienen el mismo senido de giro mbos discos ienen la misma elocidad angencial, es decir Eise proporcionalidad inersa enre las elocidades angulares de los discos con respeco a sus radios. sí, a maor radio de giro, menor elocidad angular. ω ω [8] ω ω [7] O ω ω O Figura 7) Discos unidos con correa ω Configuraciones de discos conecados La relación obenida en la ecuación [] se puede aplicar para calcular las elocidades angenciales angulares para res diferenes configuraciones de discos conecados, moiéndose en MCU: discos solidarios, discos unidos con correa engranajes En la figura 6 se aprecian dos discos concénricos que no deslizan enre sí, como un disco de música en un ornamesa. En al caso, se dice que los discos son solidarios. Los discos solidarios cumplen con las siguienes condiciones: mbos discos ienen el mismo senido de giro mbos discos ienen la misma elocidad angular, es decir ω ω ω Eise proporcionalidad direca enre las elocidades angenciales de los discos con respeco a sus radios. sí, a maor radio de giro, maor elocidad angencial. ω ω O Figura 6) Discos solidarios En la figura 8 se aprecian dos discos que se manienen en conaco en un puno, en el que no deslizan enre sí. En ese caso, se dice que los discos acúan como engranajes. Los engranajes cumplen con las siguienes condiciones: mbos discos ienen senidos de giro opuesos. mbos discos ienen la misma elocidad angencial, es decir Eise proporcionalidad inersa enre las elocidades angulares de los discos con respeco a sus radios. sí, a maor radio de giro, menor elocidad angular. ω ω [9] ω ω O O ω Figura 8) Engranajes

15 9 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Ejemplo: En la figura 8- se aprecian cuaro discos conecados ω de la siguiene manera: ω El disco el disco son ω solidarios. El disco el disco esán unidos a raés de una banda. El disco el disco son Figura 8-) Ejemplo de ruedas conecadas engranajes Los discos ienen radios respecios,,. Si el disco iene elocidad angular de magniud ω ω senido de giro a faor del reloj, deermine, para los cuaro discos a) Senido de giro b) elocidad angular elocidad angencial, en función de ω los radios ω Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara En la siguiene abla se resumen los resulados obenidos Disco Nº / Param adio eloc. angular ω ω ω ω eloc. angencial ω ω ω ω Senido de Giro Haciendo un análisis disco a disco: Disco ) adio: Senido de giro: a faor del reloj elocidad angular: ω ω elocidad angencial: ω ω Disco ) Es solidario con el disco. adio: Senido de giro: igual al del disco, es decir, a faor del reloj elocidad angular: ω ω ω elocidad angencial: ω ω Disco ) Esá conecado al disco a raés de una banda adio: Senido de giro: igual al del disco, es decir, a faor del reloj elocidad angencial: ω ω elocidad angular: ω Disco ) Esá unido angencialmene al disco (engranajes). adio: Senido de giro: opueso al del disco, es decir, en conra del reloj elocidad angencial: ω ω elocidad angular: ω

16 Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara θ H ( ) ω [] H Posición angular en el MCU Se puede calcular la posición angular de un cuerpo en MCU respeco del iempo en forma análoga a la del moimieno horizonal con elocidad consane. Considerando el sisema de referencia de la figura 9, se puede definir la posición angular θ() como: ( ) θ + ω θ [] simismo, la elocidad angular W() esá dada por: ( ) ω W [] Donde θ es la posición angular inicial (en ) ω es la elocidad angular, que es consane para el MCU. En general, se suele considerar como posiio el senido de giro conra las manecillas del reloj. Una aplicación de posición angular es el cálculo de ángulos enre el horario el minuero de un reloj analógico como el de la figura. En ése, el ángulo enre cada número es de º ó π/6 [rad] El minuero da una uela complea cada hora, por lo que su elocidad angular esá dada por: ω M π h [ rad] rad [ ] π rad π h min [] El horario da una uela complea cada horas hora, por lo que su elocidad angular esá dada por: ω H π [ rad] π rad [ ] π rad h 6 h 6 min [] Tomando como referencia la posición de las : hrs, asumiendo como posiio el senido de giro a faor de las manecillas del reloj, se puede epresar la posición de cada manecilla a raés de las siguienes ecuaciones: Para el horario 9 8 Minuero 7 θ ω Figura 9) Sisema de referencia para medir posición angular º θ H ( ) 6 θ M ( ) 5 Horario Figura ) eloj analógico Para el minuero: celeración cenrípea θ M ( ) ω [5] En esrico rigor, lo que es consane es la magniud de la elocidad angencial de un cuerpo en M.C.U. La elocidad angencial es un ecor que aría con el iempo. si el ecor elocidad aría, enonces iene que eisir una aceleración. Sea una circunferencia de radio, sobre la cual un cuerpo gira con MCU de elocidad angular ω, como se muesra en la figura. El módulo de la elocidad angencial esá dado por: ω [6] Considere los insanes +, enre los cuales el cuerpo barre un ángulo θ. Definimos la rapidez media de cambio de la elocidad angencial como ( + ) ( ) [7] De la figura 5, podemos esablecer que: ( ) ω [ sen( θ ) ˆ + cos( θ ) ˆ ] Usando las idenidades rigonoméricas Se puede epresar [9] como: M [8] ( ) ω [ sen( θ + θ ) ˆ + cos( θ + θ ) ˆ ] [9] ω [ sen( θ + ω ) ˆ + cos( θ + ω) ˆ ] ( a b) sen( a) cos( b) cos( a) sen( b) ( a b) cos( a) cos( b) sen( a) sen( b) sen + + [5a] cos + [5b] θ + θ θ θ θ ω ( ) ( + ) θ ω Figura ) Cuerpo en MCU enre +

17 + Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara ( ) ω [ ( sen( θ ) cos( ω) + cos( θ ) sen( ω) ) ( cos( θ ) cos( ω) sen( θ ) sen( ω) ) ˆ ] [5] eemplazando [8] [5] en [7], se llega a ω [ + ( sen( θ ) cos( ω ) + cos( θ ) sen( ω ) sen( θ )) ( cos( θ ) cos( ω ) sen( θ ) sen( ω ) cos( θ )) ˆ ] [5] En la figura se obsera que, a medida que, el ecor rapidez media de cambio de elocidad angencial dado por [5] iende a omar la dirección del radio el senido hacia el cenro de giro. La aceleración cenrípea es el límie de la epresión [7] cuando. a C lim lim ( + ) ( ) [5] sí, θ : En ese caso, se pueden hacer las aproimaciones ( ω) ω cos( ω ). eemplazando [5] en [5] aplicando esas aproimaciones: a + C ω lim [ ( sen( θ ) + ωcos( θ ) sen( θ )) ( cos( θ ) ωsen( θ ) cos( θ )) ω lim [ ωcos ω [ cos [5] ( θ ) ˆ - ωsen( θ ) ( θ ) ˆ - sen( θ ) ˆ ] En [5] se erifica claramene que a C ω ˆ] [55] ˆ] Se define la aceleración cenrípea como aquella aceleración insanánea que sufre un cuerpo en M.C.U. ˆ ˆ ˆ Figura ) ecor rapidez media de cambio de elocidad angencial. sen θ ω ( ) ( ) Figura ) ecores elocidad angencial aceleración cenrípea en diferenes punos de la raecoria circunferencial. a C Inroducción a la Física Paralelos. Profesor odrigoergara Es un ecor de dirección radial dirigido hacia el cenro de giro. En la figura se muesran los ecores elocidad angencial aceleración cenrípea para diersos puno de la raecoria circular. Se aprecia claramene la perpendicularidad enre ambos ecores. ecores posición, elocidad aceleración de un cuerpo en MCU En la figura se muesra el sisema de referencia para deerminar los ecores posición, elocidad aceleración de un cuerpo en MCU. La ecuación de la posición del cuerpo esá dada por: Donde r ( ) ( ) ˆ + ( )ˆ [56a] ( ) cos( θ + ) ( ) sen( θ + ) ω [56b] ω [56c] La ecuación de la elocidad del cuerpo esá dada por: Donde ( ) ( ) ˆ + ( )ˆ [57a] ( ) ω sen( θ + ω ) ( ) ω cos( θ + ω ) [57b] [57c] La ecuación de la aceleración del cuerpo esá dada por: Donde a ( ) a ( ) ˆ + a ( )ˆ [58a] ( ) ω cos( θ + ω ) ( ) ω sen( θ + ω ) a a [58b] [58c] a c θ ω Figura ) Sisema de referencia para posición, elocidad aceleración de un cuerpo en MCU.