Trabajo Práctico N 0: Curvas planas-ecuaciones paramétricas y Coordenadas polares

Transcripción

1 Trabajo Prácico N 0: Curvas planas-ecuaciones paraméricas y Coordenadas polares Curvas planas y ecuaciones paraméricas Hasa ahora hemos represenado una gráfica por medio de una sola ecuación que coniene dos variables e y, por ejemplo: y + y y ln. Eisen siuaciones en las cuales es úil inroducir una ercera variable para represenar una curva en el plano. Supongamos que una parícula se mueve en un plano de modo que las coordenadas (,y), de su posición en cualquier iempo, esán dadas por las ecuaciones: f() y g() para cada número (del dominio común de f y g) la parícula se encuenra en el puno (f(),g()) los punos describen una curva plana C recorrida por la parícula.. Las ecuaciones: f() y g() se denominan ecuaciones paraméricas de C y la variable se llama parámero. Al razar una curva represenada por un par de ecuaciones paraméricas marcamos punos en el plano y. Cada par de coordenadas (,y) viene deerminado por un valor elegido del parámero. Dibujando los punos en orden creciene de, razamos la curva en una dirección específica, eso se conoce como : orienación de la curva. Ejemplo Traza la gráfica de la curva descripa por las ecuaciones paraméricas: y 4 si 3 Página

2 Solución: Consruimos una abla con res columnas (,, y), asignándole valores al parámero (eniendo en cuena el inervalo indicado), obendremos los correspondienes valores de e y: y / / / Observa, por ejemplo, que para el valor - se obiene simuláneamene (-) 4 0 e y - Dibujando esos punos en orden creciene de, obenemos la curva de la siguiene gráfica: Observaciones: Vemos que esa gráfica no define a y como función de. Eso nos muesra que pueden usarse las ecuaciones paraméricas para represenar gráficas que son más generales que las gráficas de las funciones. Cuando no se específica el inervalo de variación de se sobreeniende que (-,+ ) o bien odos los valores reales para los que esán definidas f() y g(). No es necesario que el parámero en un conjuno de ecuaciones paraméricas represene el iempo. Puede ocurrir que dos conjunos de ecuaciones paraméricas engan la misma gráfica? La respuesa es afirmaiva. Comprueba que el conjuno de ecuaciones paraméricas: 4 y 4 si 3 / describe la misma gráfica del ejemplo. Ejercicio : Dibuja la curva represenada por las ecuaciones paraméricas: a) 3 y + b) y c) 3 y Página

3 d) y e) y f) cos y sen Eliminación del parámero En el ejemplo consruimos la gráfica puno a puno, ese proceso puede, a veces, simplificarse hallando una ecuación recangular (en e y). Ese proceso se llama eliminación del parámero Ejemplo : EL siguiene ejemplo muesra ora forma de eliminar el parámero. Ejemplo 3: Obiene una ecuación caresiana de la gráfica de las ecuaciones paraméricas: cos y sen 0 π Solución: En ese caso a fin de eliminar el parámero de las dos ecuaciones paraméricas, debemos usar la ya conocida relación : sen + cos. Elevamos al cuadrado en cada ecuación: Sumamos miembro a miembro: 4 cos y 4 sen + y 4 sen + 4 cos + y 4( sen + cos ) + y 4 Página 3

4 Página 4 La gráfica de esa ecuación es una circunferencia con cenro en (0,0) y radio ; como [0,π ] se obiene la circunferencia complea. Precaución!!! Al pasar ecuaciones de la forma paramérica a la recangular el dominio de implicado por las ecuaciones paraméricas puede verse alerado. En ales casos es necesario ajusar el dominio de la ecuación recangular de forma que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paraméricas. Tal siuación la mosramos en el siguiene ejemplo. Ejemplo 4 Dadas las ecuaciones: + + y su gráfica es: Despejando en la primera ecuación: + Susiuyendo en la segunda ecuación: y + + La ecuación y - esá definida para odos los valores de ( R), lo cual, erróneamene nos llevaría a pensar que la gráfica de la curva dada por + + y es

5 Si observamos la ecuación dominio de es > 0. esá definida para > -, luego la resricción del + Por lo ano la ecuación recangular es y -, > 0 Ejercicio Escribe la ecuación recangular correspondiene a los incisos del ejercicio. Ejercicio 3 Deermina en qué difieren una de ora las siguienes curvas planas: a) y + b) cos y cos+ c) e y e + d) e y e + Curiosidad... Chocan los misiles? Supongamos que un misil lanzado desde un siio ubicado a 500 millas de donde used se encuenra sigue una rayecoria de vuelo dada por las ecuaciones paraméricas 00 y 80 6 para 0 5. Dos minuos después, used dispara un misil inercepor que sigue la rayecoria de vuelo (-) y 80(-) 6(-) para 7. El misil inercepor da en el blanco? Solución:En la figura se han graficado las rayecorias de vuelo de ambos misiles. Las dos rayecorias se inersecan claramene, pero eso no significa que los dos misiles colisionen. Para que eso suceda, necesian esar en el mismo puno en el mismo iempo. Página 5

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8 Ejercicio 4 Ubica los punos que ienen el conjuno dado de coordenadas polares. a) (, π ) b) (5, π/6 ) c) (, -π/4) d) (3, -5π/6 ) e) (-, π/4) f) (-, -π/) Relación enre coordenadas polares y caresianas de un puno Para esablecer esa relación hacemos coincidir el polo con el origen del sisema de coordenadas y caresianas, el eje polar como la pare posiiva Eje polar (eje ) del eje y el rayo para el cual θ π/ como la pare posiiva del eje y. Supongamos que P es un puno cuya represenación en coordenadas caresianas es (, y) y (ρ, θ ) su represenación en coordenadas polares. Las coordenadas polares (ρ, θ ) se relacionan con las coordenadas caresianas (, y) como sigue: cos θ ρ y sen θ ρ ρ cosθ yρsenθ Inversamene: y g θ 0, ρ + y Ejemplo a) Para el puno (ρ, θ ) (, π ) enemos: cos π - y sen π 0 Luego las coordenadas recangulares son (-, 0) Página 8

9 b) Para el puno (, y) (-, ), del segundo cuadrane, enemos: 3 gθ θ π. 4 ρ + ( ) 3 Luego un conjuno de coordenadas polares es: (ρ, θ ) (, π ) 4 Ejercicio 5 a) Obiene las coordenadas caresianas (o recangulares) de los punos cuyas coordenadas polares son: (3, π ), (, -3π /4), (-4, π /3), (-, -7π /6) b) Obiene un conjuno de coordenadas polares de los punos cuyas coordenadas caresianas son ( considera ρ > 0 y Ecuaciones polares y ecuaciones caresianas 0 θ< π ): (,-), (- 3, ), (,), (-5, 0) Para converir una ecuación recangular a la forma polar, simplemene susiuimos por ρ cos θ e y por ρ sen θ. Para pasar una ecuación polar a una forma recangular puede ser necesario ciero ingenio. Veamos los siguienes ejemplos: Ejemplo 3 a) si enemos la ecuación y, susiuimos y obenemos la ecuación polar ρ sen θ ( ρ cos θ ). b) Inversamene si enemos: ρ 4 sen θ como sen θ sen θ cos θ ρ 8 sen θ cos θ como θ y cos, senθ ρ ρ 8 y + y ρ, ρ + y + y 8 y + y ( + y ) 8 y Ejercicio 6 a) Obiene una ecuación caresiana de la gráfica que iene la ecuación polar indicada: a) ρ cos θ a) ρ cos θ - a3) 6 ρ 3senθ a4) ρ 4 Página 9

10 b) Obiene la ecuación polar de la gráfica que iene por ecuación caresiana indicada: b) + y a 0 b) y 4 b3) 3- y + 0 b4) y 4 Gráficas polares La gráfica de una ecuación en coordenadas polares, denominada gráfica polar, consise de aquellos punos, y sólo aquellos, que ienen al menos al menos un par de coordenadas polares que saisfacen la ecuación. Comenzaremos con los siguienes ejemplos: Ejemplo 4 Describe las gráficas de las ecuaciones polares siguienes y halla las ecuaciones recangulares correspondienes: a) ρ b) θ π/4 c) ρ sec θ d) ρ 3 cosec θ Solución a) ρ consa de odos los punos que esán a unidades del polo. En oras palabras, esa gráfica es una circunferencia cenrada en el polo y radio. Ec. Polar ρ, ec. caresiana: + y 4 b) la gráfica de la ecuación θ π/4 es saisfecha por odos los punos cuyas coordenadas polares son (ρ, π/4 ) sin imporar el valor de ρ. Por ano, la gráfica de esa ecuación es una reca que coniene al polo y forma un ángulo de π/4 radianes con el eje polar. Ecuación polar: θ π/4 g θ y (ec. caresiana). Observación: la misma reca esá dada por las ecuaciones : θ 5π/4, θ 9π/4, θ -3π/4,.ec. Página 0

11 c) la gráfica de ρ sec θ no es an evidene. Ayudándonos de su ecuación caresiana: ρ sec θ ρ ρ cos θ, ahora vemos que es una cosθ reca verical. d) del mismo modo la gráfica de ρ 3 cosec θ no es evidene. ρ 3 cosec θ ρ sen θ 3 y 3, reca horizonal Ejemplo 5 Dibuja la gráfica polar de cada una de las siguienes ecuaciones: a) ρ 4 sen θ b) ρ 5 cos θ Solución a) Pueso que el seno es una función periódica ( período π ), podemos obener el recorrido de valores de ρ considerando valores de θ en el inervalo [0, π ] Página

12 En general: ρ b sen θ (b ce) Circunferencias de radio, angene al eje polar, cenro sobre el rayo π / o sobre su prolongación Página

13 Esas gráficas se denominan LIMAÇON, palabra francesa que proviene del laín lima que significa caracol. Eisen 4 ipos de caracoles que dependen de la razón b a : a CARACOL CON LAZO, 0 < < (ejemplo 6-a) b a CARDIOIDE (forma de corazón) (ejemplo 6-b) b a CARACOL CON HENDIDURA, < < ( ejemplo ρ 3+ cos θ ) b a CARACOL CONVEXO (sin hendidura) ( ejemplo ρ - sen θ ) b Página 3

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