Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo LTI. Caracterización completa de un sistema LTI continuo en términos de su respuesta al impulso unitario.

Transcripción

1 Sisemas Lineales e Invarianes en el Tiempo LTI La Inegral Convolución Caracerización complea de un sisema LTI coninuo en érminos de su respuesa al impulso uniario. Represenación de señales coninúas en érminos de los impulsos 2 x() ^ x(): Aproximación a ravés de una función escalera x( 2 ) x( 2 ) δ ( + 2 ) 2 x( ) δ ( + ) x( ) x() δ () x() x( ) δ ( ) x( ) 2

2 x` HL = x HkDL d D H - kdl D k=- 1ê D, d D HL = : D, para oro valor > δ HL ieneunampliuduniaria xˆhl = x Hk L δ H k L k= x ˆHL = lim x Hk L δ H k L ; k= con eso se mejora la función escalera u HL = 9, < 1, = u HL = δ HλL λ u HL = du HL d Como se puede apreciar, en = exise una disconinuidad por lo que no es posible la diferenciación. Pero se puede considerar una aproximación del escalón uniario u (). u() es una idealización an cora que no es significaiva para propósios prácicos.

3 δ HL = du HL d δ HL = lim δ HL La Convolución esá relacionada con la respuesa al impulso a ravés: x HL = x HλL δ H λl λ u HL = u HλL δ H λl λ u HL = δ H λl λ yaqueu HλL = para λ < y u HλL = 1 para La respuesa al impulso uniario y la represenación de la inegral de Convolución de un sisema LTI se por: x ˆHL = x Hk Lδ H k L represenacióndelaseñalcomopulsosescaladosyreardados k= La respuesa y ˆHL de un sisema lineal a esa señal será la superposición de las respuesas a las versiones escaladas y desplazadas de δ (). Definimos a ˆ hk HL como la respuesa a un sisema LTI a la enrada δ ( - k ). ỳ HL = x HkDL h` kd D k=- y HL = lim x HkDL h kd HL D D Æ -

4 x(λ)hλ() Área sombreada = x(k )hk () λ k (k+1) y HL = - x HlL hl HL l Æ Forma general de la respuesa de un sisema lineal coninuo en el iempo Si enemos que h l HL = h H - ll Æ por ser sisema invariane en el iempo y HL = - x HlL h H - ll l Æ Inegral convolución o inegral de superposición Represenación de un sisema LTI coninuo, en érminos de su respuesa a un impulso uniario. y() = x() * h()

5 Propiedades de la Convolución Propiedad Conmuaiva Consise en: x() * h() = h() = x() Un ejemplo de ello es una señal riangular. - x HlL h H - ll l = - x H - ll h HlL l Propiedad Disribuiva Consise en: x() *[h 1 () + h 2 ()] = x() * h 1 () + x() * h 2 () Esa propiedad es úil en érminos de inerconexión de sisemas. y 1 HL = x HL * h 1 HL y 2 HL = x HL * h 2 HL y HL = x HL * h 1 HL + x HL * h 2 HL y HL = x HL 1 HL + h 2 HLD Podemos ener la combinación de la propiedad conmuaiva y 1 HL + x 2 HLD h HL = x 1 * h HL + x 2 HL * h HL Propiedad asociaiva x HL 1 HL * h 2 HLD HL * h 1 HLD * h 2 HL

6 Propiedades de la Convolución con funciones de singularidad Sisema idenidad. x HL * d HL = - x HlL d H - ll l x HL * d HL = - x HL d H - ll l x HL * d HL = x HL - d H - ll l x HL * d HL = x HL Æ Un sisema LTI con respuesa al impulso h HL = d HL es un sisema idenidad. Sisema inegrador perfeco. x HL u HL = x HλL u H λl λ x HL u HL = x HλL λ Unsisema LTIconrespuesaalimpulso h HL = u HL esuninegrador perfeco. Ejemplo de aplicación. x HL * d HL x HL = u HL u HL * d HL = - u HlL d H - ll l u HL * d HL = d H - ll l Sisema Diferenciador perfeco. x HL * d d HL d = - x HlL d ' H - ll l x HL * d d HL d = d x HL d Æ Un sisema LTI con respuesa al impulso h HL = d ' HL es un diferenciador perfeco.

7 Sisema con impulso reardado. x() * δ( a) = x( a) Ejemplos. 1. Sea la señal x() = aδ() + bδ( o ). Esa señal es la enrada de un sisema LTI con respuesa al impulso h() = ke c u(). Podemos ver que la enrada es la suma ponderada de dos funciones desplazadas. Como el sisema es lineal e invariane en el iempo, no exise ningún inconveniene. La respuesa del sisema a un impulso unidad en su enrada es igual a h() y HL = ab HL + bh H - L y HL = ake -c u HL + bke -c H - L u H - L 2. Considere un sisema con respuesa al impulso h HL = e -a u HL a > x HL = e -b u HL b π y HL = - e -bl u HlL e -a H - ll u H - ll l y HL = e -bl e -ah - ll l y HL = e -b l e -a e l a l y HL = e -a e l Ha-bL l Ha -bl el -a y HL = e Ha - bl y HL = y HL = e -ai Ha -bl -1 + e j k a -b e b - e -a a- b ƒ y z {

8 Ejercicios de la Convolución 1. Para la señales de iempo coninuo x() y v() que muesra la figura siguiene, calcule la Convolución x() * v(), para y grafique la señal resulane. El primer paso, es definir maemáicamene como esán descrias la señales que se muesran aneriormene.

9 Ahora ya enemos las señales con sus respecivas funciones maemáicas que las describen, ahora procedemos a deerminar la Convolución: x HL * v HL = - x HlL v H - ll l Se raa de ir leyendo la Ecuación; es decir, como nos podemos fijar x(λ) es la señal que permanecerá fija, en cambio la señal v(-λ) se inverirá y luego por medio de se irá desplazando desde la izquierda a la derecha. Para hacer el gráfico con respeco a λ en remplazo de la variable, se procede a realizar exacamene el mismo gráfico, solamene hay un cambio de variable, pero siguen siendo las mismas funciones. Como hemos viso, en el gráfico anerior solo hemos inverido la señal v(λ), ahora vamos a empezar a mover la señal inverida. Conforme vayamos moviendo la señal la vamos a ir muliplicando y observando su señal resulane. Luego con esos parámeros enconraremos la Convolución resulane para cada inervalo deerminado.

10 La Convolución para 1. y HL = x HL * v HL y HL = H1LH2L λ y HL = 2 λ» y HL = 2 Seguimos moviendo la señal v(λ). La Convolución para 1 3. y HL = x HL * v HL y HL = 1 y HL = 2 λ» 1 H1LH2L λ y HL = 2 H H 1LL y HL = 2

11 Seguimos moviendo la señal v(λ). La Convolución para el inervalo 3 4. Seguimos moviendo la señal v(λ). y HL = x HL * v HL y HL = 1 3 y HL = 2 λ» 1 3 H1LH2L λ y HL = 2 H3 H 1LL y HL = La Convolución para el inervalo 4, es igual a cero, como se puede ver en el grafico anerior.

12 De esa manera si hacemos un resumen de la Convolución de esas señales sería la siguiene: y HL = 9 La gráfica de la Convolución es la señal y() ) x() * v(). i j k y z { = Para corroborar ese resulado ingresamos a Malab y ipiamos los siguienes comandos. convplo('usep()-usep(-3)','2*usep()-2*usep(-1)',[ 3],[ 1],1/2) Malab nos da el siguiene resulado, la línea en verde es la señal que se queda esáica, la señal en rojo es la señal que se ha inverido y se mueve de izquierda a derecha y la señal en amarillo es la Convolución resulane.

13 2. Para la señales de iempo coninuo x() y v() que muesra la figura siguiene, calcule la Convolución x() * v(), para y grafique la señal resulane. Primero debemos obener la función maemáica que gobierna esas señales. La señal de la izquierda simplemene se raa de una señal consane de ampliud 2, que va en el inervalo [ 2], aunque ambién podemos ver que la señal que la señal x() esá dada por la siguiene fórmula x() = 2u() 2u(-2). Y a la señal de la derecha la podemos obener a ravés de la ecuación de reca pendiene al como se muesra a coninuación: y2 y1 y y1 = Hx x1l x2 x1 v HL 2 = 2 H L 2 v HL 2 = 1 HL v HL = 2 Las gráficas en función de λ son exacamene las mismas, en realidad solo hemos hecho un cambio de variable.

14 Ahora procedemos a realizar la Convolución de las señales. Y conforme leemos la ecuación vamos haciendo el despliegue de las señales. y HL = x HL v HL y HL = x HλL v H λl λ Primero inverimos la señal v(λ), al como sigue: Si muliplicamos las señales aneriores, podemos ver que la resulane es cero, por lo ano para el parámero, la Convolución es igual a. Si movemos la señal a de izquierda a derecha enemos el siguiene resulado.

15 La Convolución en el inervalo 2: y HL = x HL * v HL y HL = x HlL v H -ll l y HL = 2 * H2 -H - lll l y HL = l l y HL = 4 l - 2 l + l 2 y HL = y HL = 4-2 Seguimos moviendo la señal v(), hacia la derecha, al como se muesra a coninuación:

16 La Convolución en el inervalo 2 4: y HL = x HL v HL y HL = x HλL v H λl λ y HL = H2 H λll λ y HL = λ λ y HL = 4 λ 2 λ + λ 2» 2 2 y HL = A4 H 2L 2 H 2L + H 2L 2 E y HL = 12 4 A E y HL = y HL = Seguimos moviendo la señal v(), y enemos: Como se puede apreciar en el gráfico anerior, cuando el parámero, esa fuera en el límie 4, la Convolución resulane es igual a cero. Como resumen enemos: y HL = i y j z k 4 {

17 Si graficamos esa señal enemos como resulane: Si obenemos esa señal a ravés de Malab, enemos lo siguiene: convplo('2*usep()-2*usep(-2)','2-',[ 2],[ 2],1/2) La resulane es: