Tema 4. Filtros Analógicos

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1 Tema 4. Filros Analógicos Caracerización Temporal Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios

2 4. Definición x() Filro y ( ) = T x( ) x[ n ] ak, bk yn [ ] = T{ xn [ ]} Filro analógico: Sisema en Tiempo Coninuo que obedece a una ecuación diferencial lineal con coeficienes consanes: N a k M l d y() d x() = bl l d k k k= d l= Filro digial: Sisema en Tiempo Discreo que obedece a una ecuación en diferencias lineal con coeficienes consanes: N [ ] = [ ] a y n k b x n l k k= l= N, M = órdenes del filro Orden del filro = max(n, M) Si N= Filro MA respuesa impulsional finia (FIR) Si M= Filro AR respuesa impulsional infinia (IIR) M l { } Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 2

3 4.2 Filros: el caso elécrico Elemenos circuiales pasivos Relaciones ensión-corriene en Condensadores dv() i () = C v () = + i () d i( ) d + v ( ) C 4 v () 3 C Ejemplo ( ) v( ) = VI sin ω 2 - dv( ) i( ) = C = VIωC cos ω d ( ) Francisco J. González, UC3M 29 La corriene adelana a la ensión Sisemas y Circuios 3

4 Elemenos circuiales pasivos Condensadores Energía [Julios] 4.2 Filros: el caso elécrico v () + i () dv() i () = C d C dv() de() p () = vi ()() = Cv () = d d de() = Cv() dv() [ ] 2 () () Julios E = Cv 2 Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 4

5 4.2 Filros: el caso elécrico Elemenos circuiales pasivos Bobinas Energía [Julios] di() de() p () = vi ()() = Li () = d d de() = Li() di() [ ] 2 () () Julios E + v () = Li 2 i () di() v () = L L d Ejemplo: L= mh p (W) e A i () = A < 5 e (- 5 ) V v () = V < p() E (J) v (V) i (A) seg v () seg E () i () Francisco J. González, UC3M Sisemas y Circuios seg seg 5

6 4.2 Filros: el caso elécrico Elemenos circuiales pasivos Comporamieno con ensiones consanes Condensadores v () + i () C dv() i () = C d dv() Si v ( ) = ce. = i ( ) = condensador circuio abiero d Un condensador NO admie cambios insanáneos en el volaje i= El volaje en un condensador es coninuo v( ) = v( + ) Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 6

7 Elemenos circuiales pasivos 4.2 Filros: el caso elécrico Comporamieno con corrienes consanes Bobinas + i () v () L v () = di() L d di() Si i ( ) = ce. = v ( ) = bobina corocircuio d Una bobina NO admie cambios insanáneos en la corriene v= La corriene en una bobina es coninua: i( ) = i( + ) Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 7

8 4.2 Filros: el caso elécrico Filros elécricos analógicos: circuios R, L y C. Los coeficienes a k, y b k dependen de los valores de R, L y C Primer orden: circuios RL y RC v I () + i() R C + v O () x() a Filro N k, b a k k k k= d l= { x( )} y ( ) = T k M l d y() d x() = bl l d R i() + vo() = vi() dvo () dv () vo() vi() O + = i () = C d RC RC d Francisco J. González, UC3M 29 Para obener la respuesa necesio conocer la ensión inicial en el condensador: v ( ) Sisemas y Circuios 8

9 4.3 Filros analógicos: respuesa general Respuesa general de un filro analógico de primer orden. dy( ) + y( ) = x( ) x() d Condición auxiliar y() = Y Tipos de señales de enrada K K x() x() Francisco J. González, UC3M 29 x( ) x() dy( ) d + y() Modelo y( ) = Y = x( ) y () dy() d dy() d y () Sisemas y Circuios 9

10 4.3 Filros analógicos: respuesa naural Respuesa naural de un filro analógico de primer orden. dy ( ) + y() = y() = Y d 4º) Aplicar la condición auxiliar para despejar A Como y()=y () = y = Ae = Y Y = y() > 5º) Obener la respuesa () = y Y e Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios

11 4.3 Filros analógicos: respuesa naural Ejemplo: Respuesa naural de un circuio RL paralelo. Por la bobina circula una corriene inicial de I amperios = = I i() R L - + ( ) di Kirchhoff: Volajes L + Ri() = d di( ) R dy ( ) i () y () i () y () d + L = d + = = L R () () o y = Y e i = I e o R L I i() I e R L Para calcular la corriene se necesia su valor inicial en la bobina. ( ) R () di () L v = L = i R = IoRe d Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios

12 i() R 4.3 Filros analógicos: respuesa naural Respuesa naural de un circuio RC paralelo. El condensador iene un volaje inicial de V volios R S = V + Para calcular el volaje se necesia su valor inicial en el condensador. La corriene es C + () () o R ( ) v( ) Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 2 C dv d ( ) y = Y e v = V e + R = ( ) dv dy + v() = + y() = d RC d RC o v () y () RC dv() Ve o v() i() = C = = d R R V = RC v() V e RC

13 4.4 Filros analógicos: respuesa al escalón Respuesa al escalón de un filro analógico de primer orden. dy ( ) + y() = K, x() = Ku() d y () y() = Y º) Polinomio caracerísico dy() () d Ps ( ) = s+ raiz s r = 2º) Solución general (para ) y() = Y + Ae, F donde Y F y A son dos consanes que hay que deerminar Comprobar que se cumple la ecuación diferencial ( ) dy d Por ano Modelo dy d Y F + y() = A e + YF + Ae = = K = K YF Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 3

14 4.4 Filros analógicos: respuesa al escalón Respuesa al escalón de un filro analógico de primer orden. dy ( ) x() + y () = K, dy ( ) + y d () = K, y() = Y 3º) Para despejar la consane A hay que aplicar la condición auxiliar y() = K + Ae, Si y() = Y K + A = Y A = Y K Cuando, y () = K e + Ye, y( ) = K = YF K ( ) d Y F Y y() = Y y () y () () ( ) y = YF + Y YF e, Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 4

15 4.4 Filros analógicos: respuesa al escalón Respuesa al escalón desplazado. ( ) dy d Solución general (para ) () Si + y = K y ( ) = Y (), ( ) y = K + Ae, x() Ku( ) ( ) ( ) y = Y A+ K = Y A = Y K = y () Modelo dy() d dy() d Francisco J. González, UC3M 29 Como, cuando, () ( ) F F y( ) = K = YF ( ) y = Y + Y Y e, Y F Y y () Sisemas y Circuios 5

16 4.4 Filros analógicos: respuesa al escalón Respuesa de un circuio RC paralelo a un escalón. Expresión genérica: Solución de la expresión genérica: Circuio RC: Francisco J. González, UC3M 29 () dy d V + - Ecuación: ( ) v( ) dv C + = IS, d R v = V Condición inicial: ( ) Valor final: ( ) S + y () = K, v () y () = RC () ( ) y = Y + Y Y e, F + C ( ) v () ( ) - RC v = ISR+ V ISR e, F v = I R V v () Sisemas y Circuios 6 K ISR = I S C

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18 Ejercicios Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 8

19 Ejercicios Francisco J. González, UC3M 29 Sisemas y Circuios 9

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21 4.7 Propiedades de los filros Linealidad (enrada idénicamene nula, salida iden. nula) Un filro es lineal si la respuesa libre es nula hay linealidad si las condiciones auxiliares son cero. Invarianza emporal La invarianza exige que las condiciones auxiliares se desplacen el mismo valor que la enrada condiciones auxiliares son iniciales. Causalidad Un filro es causal si esá en reposo inicial. Reposo inicial ) las condiciones auxiliares son condiciones iniciales. 2) las condiciones iniciales son nulas. REPOSO INICIAL LINEALIDAD INVARIANZA Francisco J. González, UC3M 29 CAUSALIDAD Sisemas y Circuios 2

22 4.8 Filros: respuesa al impulso Si conocemos la respuesa al escalón de un filro, y ése esá en reposo inicial ( Sisema Lineal e Invariane en el Tiempo), enonces la respuesa al impulso es... Para filros analógicos ds() h () = d dy Ejemplo ( ) + y () = u() y () = d Francisco J. González, UC3M 29 Por ano y() = s() = e u() ds() h() = = e u() d h() > Sisemas y Circuios 22