Tema 4. Filtros Analógicos

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1 Tema 4. Filrs Analógics aracerización Tempral Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 4. Definición x Filr y ( ) = T x( ) x[ n ] ak, bk yn [ ] = T{ xn [ ]} Filr analógic: Sisema en Tiemp ninu que bedece a una ecuación diferencial lineal cn ceficienes cnsanes: N k M l d y d x ak = b k l l d d k= l= Filr digial: Sisema en Tiemp Discre que bedece a una ecuación en diferencias lineal cn ceficienes cnsanes: N [ ] = l [ ] a y n k b x n l k k= l= N, M = órdenes del filr Orden del filr = max(n, M) Si N= Filr MA respuesa impulsinal finia (FIR) Si M= Filr AR respuesa impulsinal infinia (IIR) M { } Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis

2 4. Filrs: el cas elécric Elemens circuiales pasivs Relacines ensión-crriene en ndensadres dv i = + i d 4 v 3 Francisc J. Gnzález, U3M 9 Ejempl v = Vm sin( ω) V = sin(π 5 ) V = mf i = Vmωcs( ω) A = πcs(π5 ) A v = i( ) d v ( ) a crriene adelana a la ensión Sisemas y ircuis 3 Elemens circuiales pasivs ndensadres Energía [Julis] 4. Filrs: el cas elécric v + i dv i = d dv de p = vi = v = d d de = v dv E = v [ ] Julis Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 4

3 4. Filrs: el cas elécric Elemens circuiales pasivs Bbinas Energía [Julis] + v i di v = d di de p = vi = i = d d de = i di E = i [ Julis] Ejempl: = mh p (W) e A i = A < 5 e (- 5 ) V v = V < p E (J) v (V) i (A) seg v seg E i Francisc J. Gnzález, U3M Sisemas y ircuis seg seg 5 4. Filrs: el cas elécric Elemens circuiales pasivs mpramien cn ensines cnsanes ndensadres + i v dv i = d Si v ( ) = ce. dv = i ( ) = cndensadr circui abier d Francisc J. Gnzález, U3M 9 Un cndensadr NO admie cambis insanánes en el vlaje i= El vlaje en un cndensadr es cninu + v( ) = v( ) Sisemas y ircuis 6

4 4. Filrs: el cas elécric Elemens circuiales pasivs mpramien cn crrienes cnsanes Bbinas + i v di v = d Si i ( ) = ce. di = v ( ) = bbina d crcircui Una bbina NO admie cambis insanánes en la crriene v= a crriene en una bbina es cninua: + i( ) = i( ) Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 7 4. Filrs: el cas elécric Filrs elécrics analógics: circuis R, y. s ceficienes a k, y b k dependen de ls valres de R, y Primer rden: circuis R y R x Filr a, b k k { x( )} y ( ) = T R i + vo = vi dvo dv vo vi O + = i = d R R d N k M l dy dx a = bl l d k k k= d l= Francisc J. Gnzález, U3M 9 Para bener la respuesa necesi cncer la ensión inicial en el cndensadr: v ( ) Sisemas y ircuis 8

5 Francisc J. Gnzález, U3M 9 4. Filrs: el cas elécric Filrs elécrics analógics: circuis R, y. s ceficienes a k, y b k dependen de ls valres de R, y Segund rden: circuis R serie y paralel x y di( ) vi ( ) = + Ri( ) + vo ( ) d dvo ( ) di( ) d vo ( ) = i( ) = d d d d vo R dvo + + v O = vi d d Para bener la respuesa necesi cncer la ensión inicial en el cndensadr y la crriene inicial en la bbina: v ( ), i( ) ndicines auxiliares Sisemas y ircuis 9 4. Filrs: el cas mecánic ndicines auxiliares dy b d y F k y b d -b d d y M + b + ky = F d d F M b = y d y( ) dy( ) k d d Mdel d y M d -M d Para reslver la ecuación diferencial, es necesari cncer la psición inicial ( y ( )) y la velcidad inicial ( y ( )) Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis

6 4.3 Filrs analógics: respuesa general Respuesa general de un filr analógic de primer rden. dy( ) + y( ) = x( ) x d ndición auxiliar y = Y Tips de señales de enrada K K x x Francisc J. Gnzález, U3M 9 x( ) x Mdel dy( ) + y( ) = x( ) d y = Y y d d y Sisemas y ircuis 4.3 Filrs analógics: respuesa naural Respuesa naural de un filr analógic de primer rden. ( ) dy + y = d ndición auxiliar y = Y º) Plinmi caracerísic Si... N d y ay + a an N d + + d = Francisc J. Gnzález, U3M 9... ennces P( s) = a + a s a s En nuesr cas... N Ps ( ) N = s+ x Mdel d d y Sisemas y ircuis

7 4.3 Filrs analógics: respuesa naural Respuesa naural de un filr analógic de er rden. dy ( ) + y = y = Y d º) alcular raíces del Plinmi caracerísic Ps ( ) = s+ raiz s r = 3º) a slución de la ecuación diferencial es de la frma s r y = Ae = Ae A es una cnsane que hay que deerminar mprbar que cumple la ecuación diferencial dy d + y = A e + Ae = A y > Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis Filrs analógics: respuesa naural Respuesa naural de un filr analógic de primer rden. dy ( ) + y = y = Y d 4º) Aplicar la cndición auxiliar para despejar A m y=y = = 5º) Obener la respuesa y = Ae = Y Y = y Y e y > Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 4

8 4.3 Filrs analógics: respuesa naural Ejempl: Respuesa naural de un circui R paralel. Pr la bbina circula una crriene inicial de I amperis I + - ( ) di Kirchhff: Vlajes + Ri = d di( ) R dy ( ) i y i y d + = d + = = R y = Y e i = I e R I i I e R Para calcular la crriene se necesia su valr inicial en la bbina. ( ) R di v = = i R = I Re d Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 5 Respuesa naural de un circui R paralel. El cndensadr iene un vlaje inicial de V vlis dv( ) v( ) + = d R Para calcular el vlaje se necesia su valr inicial en el cndensadr. a crriene es Francisc J. Gnzález, U3M Filrs analógics: respuesa naural V ( ) y = Y e v = V e ( ) dv dy + v = + y = d R d v y = R R R dv Ve v i = = = d R R Sisemas y ircuis 6 V v V R e

9 4.4 Filrs analógics: respuesa al escalón Respuesa al escalón de un filr analógic de primer rden. dy + y = K, x = Ku d y y = Y º) Plinmi caracerísic Ps ( ) = s+ raiz s r = d d º) Slución general (para ) y = YF + Ae, dnde Y F y A sn ds cnsanes que hay que deerminar mprbar que se cumple la ecuación diferencial dy Y F + y = A e + YF + Ae = = K d Pr an = K YF Mdel Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis Filrs analógics: respuesa al escalón Respuesa al escalón de un filr analógic de primer rden. dy ( ) x + y = K, dy( ) + y d = K, K d y = Y 3º) Para despejar la cnsane A hay que aplicar la cndición auxiliar y = K + Ae, Si y = Y K + A = Y A = Y K uand, y = K e + Ye, y( ) = K = YF ( ) ( ) y = Y + Y Y e, F F Y F Y y = Y y y Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 8

10 Francisc J. Gnzález, U3M Filrs analógics: respuesa al escalón Respuesa al escalón desplazad. dy d Slución general (para ) Si + y = K y ( ) = Y, ( ) y = K + Ae, ( ) m, cuand, y( ) = K = YF x Ku( ) ( ) y = Y A+ K = Y A = Y K F ( F ) ( ) = y Mdel y = Y + Y Y e, Y F Y d y d Sisemas y ircuis Filrs analógics: respuesa al escalón Respuesa de un circui R paralel a un escalón. Expresión genérica: Slución de la expresión genérica: ircui R: Francisc J. Gnzález, U3M 9 dy d + V v Ecuación: ( ) v( ) dv + = IS, d R v = V ndición inicial: ( ) Valr final: ( ) S + y = K, v y = R ( ) y = YF + Y YF e, ( ) R v = ISR+ V ISR e, v = I R V v I S Sisemas y ircuis K IR S =

11 Ejercicis Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis Ejercicis Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis

12 Ejercicis Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 3 Ejercicis Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 4

13 4.5 Filrs analógics de segund rden Respuesa naural de un filr analógic de segund rden. d y( ) + α + ω y = ω d Plinmi caracerísic Ps ( ) = s + α s+ ω Raíces α ± 4α 4ω, Francisc J. Gnzález, U3M 9 s d = = α ± α ω Si α > ω las raíces sn reales s, < Si α < ω las raíces sn cmplejas. s = α + j ω α = α + jωd s =α j ω α =α jω x y Mdel α dy d d y d (3) Si α = ω enems raíces múliples (muliplicidad ). s = s = α d s = s * Sisemas y ircuis 5 -α - d d 4.5 Filrs analógics º rden: respuesa naural Respuesa naural. Sbreamriguamien. α > ω s s y = A e A e + Subamriguamien. α < ω d ( ) y Ae e A e α jω α jωd = + = α ( ω ) sin ( ω ) = Be cs + Be α d (3) Amriguamien críic. α = ω d y s = α ± α ω, s = α + j ω α = α + jω s =α j ω α =α jω α ( ) ( D + D ) e = d d as cnsanes se bienen a parir de las cndicines auxiliares y ( ), y ( ) Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 6

14 4.5 Filrs º rden: respuesa al escalón Respuesa al escalón Sbreamriguamien. α > ω s s K y ( ) = YF + Ae + Ae YF = ω Subamriguamien. α < ω x Ku ω y K α dy d -α d α jωd α jωd F y = Y + Ae e + A e = α ( ω ) sin ( ω ) = Y + B e cs + B e α F d d Mdel dy d - d (3) Amriguamien críic. α = ω y = Y + D + D e α ( ) F as cnsanes se bienen a parir de las cndicines auxiliares y ( ), y ( ) Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis Filrs analógics: respuesa al escalón Filrs de rden y π ω e α d Subamriguamien Y F Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 8

15 4.5 Filrs analógics de rden Ejempl: filr analógic R serie de rden x. Plinmi caracerísic: ( ) ( ) dv d v v + R v I d + d = y d y( ) dy( ) + α + ω y = ωx d d R Ps ( ) = s + s+ R a =, a = = α, a = ω = Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis Filrs analógics de rden Ejempl: filr analógic R serie de rden x y R α = R R s, = ± ω = Raíces Si Francisc J. Gnzález, U3M 9 Si R < R=? (3) Si R > R = las raíces sn reales: sbreamriguamien las raíces sn cmplejas: subamriguamien enems raíces de muliplicidad : amr. ríic Sisemas y ircuis 3

16 4.5 Filrs analógics de rden Ejempl: filr analógic R paralel de rden is x y ( ) ( ) v dv + i + = is R d di v = d ( ) ( ) ( ) d i S + di + i = I d R d d y d x + α + ω y = ω d. Plinmi caracerísic: Ps ( ) = s + s+ R α =, ω = R Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis Filrs analógics de rden Ejempl: filr analógic R paralel de rden x Raíces y α = R s, = ± R R ω = Si R < Si R > R=? (3) Si R = las raíces sn reales: sbreamriguamien las raíces sn cmplejas: subamriguamien enems raíces de muliplicidad : amr. críic Francisc J. Gnzález, U3M 9 Sisemas y ircuis 3

17 4.7 Prpiedades de ls filrs inealidad (enrada idénicamene nula, salida iden. nula) Un filr es lineal si la respuesa libre es nula hay linealidad si las cndicines auxiliares sn cer. Invarianza empral a invarianza exige que las cndicines auxiliares se desplacen el mism valr que la enrada cndicines auxiliares sn iniciales. ausalidad Un filr es causal si esá en reps inicial. Reps inicial ) las cndicines auxiliares sn cndicines INEAIDAD iniciales. ) las cndicines iniciales sn nulas. REPOSO INIIA INVARIANZA Francisc J. Gnzález, U3M 9 AUSAIDAD Sisemas y ircuis Filrs: respuesa al impuls Si cncems la respuesa al escalón de un filr, y ése esá en reps inicial ( Sisema ineal e Invariane en el Tiemp), ennces la respuesa al impuls es... Para filrs analógics ds h = d dy Ejempl ( ) + y = u y = d Francisc J. Gnzález, U3M 9 Pr an y = s = e u ds h = = e u d h > Sisemas y ircuis 34