Fig. 1 Fig. 2. v(t) = N d (t) / dt

Transcripción

1 CAPITUO 6: Análisis de circuis cn elemens dinámics. En ese capíul esudiarems ls elemens almacenadres de energía (bbinas y cndensadres) y su cmpramien cuand se prducen aperuras cierres de inerrupres en circuis que peran en régimen de crriene cninua. Cmenzarems analizand la relación lampere en el dmini empral y lueg esudiarems su cmpramien cuand frman pare de un circui frene a disinas siuacines, l cual ns a a exigir la definición de nueas funcines maemáicas cn las que hasa ahra n hems rajad. 6. Inducres Cuand leanams un clip cn un imán permanene usams la energía asciada al camp magnéic que ése rigina. Ahra bien, dad que d cnducr recrrid pr una crriene genera a su alrededr un camp magnéic, pdems bener la medida del mism en un recin cerrad de superficie S. Dicha medida la denminarems fluj y la indicarems cn la lera. s camps magnéics asciads a dich sisema, siempre cnienen un cier alr de energía. El dispsii físic diseñad para almacenar energía en el camp magnéic se denmina inducr,, frecuenemene, bbina. Su us es ampli en diersas aplicacines, ales cm ransfrmadres, radis, radares, bbinas de ignición, mres, ec. Físicamene, y al sl bje de bener alres de camp aprpiads a un deerminad us necesidad, pdems cnsruir un inducr realizand un arrllamien cnducr sbre una esrucura spre, la cual puede ser magnéica n (pr ejempl, hierr plásic). En la fig. se muesra el dispsii cnecad a un sisema elécric. Red Elécrica i i di/d i Fig. Fig. Según se i en Física, una crriene i() que circula pr un arrllamien genera un camp magnéic, el cual pdrá ser enlazad parcial almene pr las disinas espiras que cnfrman la bbina. Pr ley de Faraday, la f.e.m. generada enre ls exrems del arrllamien, supues que el camp enlazad pr una espira es igual al enlazad en las resanes, será: () = N d () / d dnde es el fluj medi enlazad pr una espira y N el númer de espiras de la bbina. Para núcles cnsiuids pr maeriales magnéics lineales, la relación enre i y es cnsane, ennces definims: i () = N () sea: = N () / i() pr l que d ( ) = N = N d d d i( ) d i( ) [ ] = N d a cnsane de prprcinalidad enre () y di/d se denmina inducancia de la bbina.

2 Físicamene, represenará la energía almacenada en el camp magnéic, pr l que, pr definición: Un inducr es un dipl cuya ensión () es prprcinal a la ariación de la crriene que l recrre cn respec al iemp di /d. a cnsane de prprcinalidad se denmina inducancia, y su unidad es el Henry (H). di( ) d a represenación gráfica de esa relación VA se muesra en la figura, dnde ems que en el eje de sisas figura di ( ) y en el eje de rdenada la ensión (). Dad que esa relación es lineal, ems claramene que el elemen inducancia es un elemen lineal. di( ) a ecuación implica en sí misma una cnención de signs pasia. Su inegración d cn respec al iemp ns cnduce a l siguiene: i () i () Realizand la inegral del primer miembr: i() i( )= d Supniend que la crriene pr la inducancia es cer en =, será: i () = d ecuación que puede escribirse cm: d i = d i ()= denminándse a la crriene: d d = i )= cndición inicial de crriene en el insane, i. i ( ( ) d i d () Si bserams la ecuación () ems que la misma es expresión de la ley de Kirchhff de crrienes, pr l que pdems prpner el siguiene mdel circuial para una inducancia cn cndición inicial de crriene. i i i i Fig. 3 Una inducancia en sí n disipa energía en frma de calr cm l hace una resisencia, sin que almacena energía en un camp magnéic a medida que aumena la crriene, y rerna dicha

3 3 energía al res del circui cuand la magniud de la crriene disminuye. a energía almacenada es: i() di( ) w()= p( ) d = i( ) ( ) d = i( ) d = i( ) d d sea = i () i() w()= En la figura siguiene se han represenad las curas de ensión, crriene, pencia y energía en una inducancia. = i i () () i( ) i( ) Vems que si bien la pencia insanánea puede ser psiia negaia, siend negaia cuand la inducancia deuele la energía almacenada al res del circui, cm >, la energía es siempre psiia nula, sea que la inducancia es un cmpnene pasi. Cmenari: En sisemas físics hallams inducres cuyas inducancias arían desde micr henris a aris henris. s inducres de equips de cmunicacines a menud se bbinan sbre núcles n magnéics, y pdems mdelizarls en frma precisa cm inducancias que sn independienes de la crriene. as inducancias que cnienen maeriales ferrmagnéics en su cnsiución n pueden, en general, ser mdelizadas cm inducancias de alr cnsane. N bsane ell, baj deerminadas cndicines de análisis de un sisema, es psible mdelizarlas cm ales. Esa aprximación puede ser álida pr ejempl en el análisis del cmpramien de mres y ransfrmadres, ls cuales uilizan en su cnfrmación maeriales ferrmagnéics y baj cndicines de us incursinan en znas n lineales del ferrmagnéic uilizad. Asimism, para deerminadas aplicacines, cm pr ejempl ls amplificadres magnéics, se recurre inencinalmene a la caracerísica anómala de ciers cmpnenes. Ess amplificadres se uilizan cm pare de circuis cneridres DC/DC en ala frecuencia.

4 4 Ejercici de aplicación: a) a ensión en una inducancia de,h se muesra en la figura. Si i( )= A, graficar i() para 4 seg. b) Si en la figura la rdenada pasa a ser la crriene i en amperes a raés de la inducancia, graficar la ensión para 4 seg. (V) 3 4 (s) 6. Capacires El dispsii físic que se diseña inencinalmene para almacenar energía en un camp elécric se denmina capacir cndensadr. El us de ls capacires es muy ampli, ya sea en circuis elecrónics (pr ejempl, un sinnizadr de radi usa un capacir de alr arile) en sisemas de pencia (capacires para crrección de facr de pencia). Físicamene, esá cmpues pr ds placas cnducras (a menud hjas de alumini), separadas pr un medi dielécric (aislane), que puede ser sólid, líquid gases. En la figura 4 se muesra un capacir cnecad a un sisema elécric: i = d q / d Red Elécrica i = d / d Fig. 4 El hech de inrducir en un circui elécric, sede de crrienes de cnducción, a un capacir, que iene en su cnsiución un aislane, implica, desde el pun de isa frmal de l que cnsiuye un circui, la aperura del mism, cn la cnsecuene inerrupción de las crrienes de cnducción. Maxwell, para biar dicha anmalía frmal, inrduj en el capacir el cncep de crriene de desplazamien, la cual, en l que hace a la psibilidad de generar camps magnéics, se cmpra de igual frma que la crriene de cnducción, esleciend la cninuidad de ambas en las expresines que regulan el cmpramien elecrmagnéic del desplazamien de cargas elécricas. En las placas puesas del capacir se acumulan cargas iguales per de signs cnraris. Cuand la ensión n es cer, exise un camp elécric resulane cuya medida la denminarems fluj elécric. Ese fluj elécric igualará la carga q en exces en la placa (). Si es cnsane, i será cer, per si aría, ariará e i será n nula. a crriene de cnducción en un cnducr es el resulad del mimien de cargas elécricas: i () = dq() / d Aun cuand en un dielécric ideal ninguna carga pasa pr la zna aislane enre las ds placas, el fluj elécric, cuand n es esacinari, prca en la zna dielécrica, de acuerd a Maxwell, una crriene de desplazamien cuya medida es:

5 i() = d () / d Esa crriene de desplazamien iguala exacamene a la crriene de cnducción, pr l que la KC n se ransgrede. a relación enre fluj y ensión es aprximadamene cnsane para la mayría de ls dielécrics. Debid a que es igual a la carga q, la relación enre carga y ensión es ambién una cnsane C: C = q() / () Es ns permie escribir la crriene en función de la ensión : dq( ) i= = d d d q( ) dc( ) d ( ) [( )( ) ] = = C ( ) d d siend la cnsane de prprcinalidad C la capacidad de las placas. De esa frma mdelizams el almacenamien de energía en un camp elécric cn un cmpnene de red llamad capacir ideal. Pr definición, ennces: Un capacir es un dipl cuya crriene i es direcamene prprcinal a la deriada de la ensión cn respec al iemp. a cnsane de prprcinalidad se denmina capacidad y su unidad es el Faradi (F). a figura 5 muesra la represenación gráfica de su relación VA, así cm la cnención que uilizarems para senids asciads de ensión y crriene. Vems que en el eje de sisas se ha represenad d ( ) y en el eje de rdenadas a la crriene i. a relación enre ambas es cnsane, d pr l que decims que el capacir es un elemen lineal. 5 i C d/d i C C C i() () Fig. 5 Fig. 6 Si inegrams la expresión de la relación lampere del capacir respec a ns da: Supniend que () =, será: la cual puede escribirse cm: () () () () = d = C () () = C i C = C i i d i d d C i d d

6 6, l que es l mism: denminándse a la ensión: () = ( )= () C C i i d d c cndición inicial de ensión en el iemp, c. El mdel del capacir cn cndicines iniciales es el msrad en la figura 6. Un capacir ideal n disipa energía elécrica en frma de calr cm l hace una resisencia. Un capacir real sí disipa calr cm cnsecuencia del prces que curre en el dielécric. A medida que aumena la ensión, un capacir almacena energía en el camp elécric y rerna dicha energía al res del circui cuand la ensión disminuye. a energía almacenada, expresada en jules, es: d( ) w()= p( ) d = ( )i( ) d = ( )C d = d = () c ( ) c C ( ) d = C ( ) () c (=_ ) Cm C>, la energía es siempre psiia nula, sea que una capacidad es un cmpnene pasi. En la siguiene figura se pueden bserar las curas de ensión, crriene, pencia y energía en un capacir. c = C ()

7 7 a mayría de ls capacires psee una capacidad que es independiene de la ensión y la crriene. Alguns dispsiis prácics hacen us de capacidades dependienes de ensión. Un de ess dispsiis, el did aracr, se uiliza para la sinnía elecrónica de radis eleisres, reemplazand a un capacir de ajuse mecánic. Ejercicis de aplicación: ) Hallar la crriene pr un capacir de μf para > si la ensión enre sus brnes es: () = 5 cs 3 V para. Ra: i() =,3sen3. ) Deerminar la crriene en un capacir de C=mF cuand el laje a raés de él es el represenad pr la señal que se e en la figura siguiene (V) (s) Ra: << seg i = ma seg << seg i = ma 3) a crriene i() del circui de la figura es cer para < e i()= cs 5 ma para. El laje inicial del capacir es /5 V. Deermine () para. i() CO 5mF () Ra: ()= /5 /5 /5sen eyes de Cnmuación Si bserams las relacines lampere crrespndienes a la bbina y al capacir d i( ) d i C d ( ) d ems claramene que impnen limiacines en cuan a la frma en que puede ariar la crriene en la inducancia la ensión en el capacir, dad que las deriadas deben ser finias. Si la crriene pr una inducancia pudiera ariar bruscamene, cm se muesra en la figura 7, su i () Fig. 7

8 8 deriada en endería a, y la ensión en brnes ambién l haría. Dad que n exisen elemens reales que puedan enregar pencia infinia, esa siuación es inadmisible en un circui físic, excep que definams maemáicamene funcines que ns permian reslerla, cm erems más adelane. A parir de esa cnsideración, pdems enunciar las eyes de Cnmuación: Primera ley de cnmuación: a crriene en una inducancia debe ariar cn cninuidad. i ( ) i ( ) Segunda ley de cnmuación: a ensión en brnes de un capacir debe ariar cn cninuidad. C ( ) ( C s alres en el insane inicial sn las cndicines iniciales de crriene y de ensión halladas al esudiar cada cmpnene. A parir de las leyes de cnmuación, ems que en una bbina sin cndicines iniciales se cmpra cm un circui ier, mienras que un capacir inicialmene descargad se cmpra cm un crcircui. Más adelane en ese mism capíul erems que, mediane el emple de nueas funcines (escalón, impuls) pdrems analizar circuis en ls cuales la ensión en un capacir la crriene en una inducancia presenen una ariación brusca. Ejercici de aplicación ) En el circui de la figura, el inerrupr ha esad ier el iemp suficiene cm para que se llegue al régimen permanene. En = se cierra. Calcular ls alres de crriene indicads en = i ) =,H i f ()=A = R i R =R = R ) Para la red de la figura, a = 4 e 3 V y b = e 3 V. Deerminar las siguienes canidades para >. i) ii) i iii) i i) i 3 i i F a b 4F i 3 Ra: = e 3, i = 3 e 3, i = 4 e 3, i 3 = 8 e Prpiedades básicas de ls capacires e inducancias inarianes en el iemp. Memria. Supngams alimenar un capacir lineal cn una fuene de crriene i(). Cnsiderand que el capacir n psee carga inicial, es decir, () =, benems:

9 9 i() C () ()= C i( ) d Pdems bserar que, a diferencia de la ensión en una resisencia que depende sól de la crriene pr la misma en un insane, la ensión en el capacir depende de l currid cn la crriene en el ineral (, ). ueg, pdems decir que el capacir iene memria. Supngams ahra que cncems el alr de la ensión () en algún insane de iemp <, lueg, la ecuación anerir, inegrada desde a resula: () = C i( ) d C i( ) d ( ) C i( ) d En ras palras, para bener el alr de la ensión en un insane >, debems especificar la cndición inicial de ensión ( )= c y que ns permie prescindir de la hisria anerir a dich insane, dad que la misma resume el efec de i() desde = a = en el alr de () el cualquier insane de iemp pserir a. Pr dualidad, se deduce que el inducr iene memria, y que la crriene pr el mism esá dada pr: i() () i() = i( ) ( ) d a prpiedad de memria en un capacir un inducr queda eidenciada claramene en ls circuis equialenes anes benids, ls cuales, de acuerd a l esudiad en el capíul 3, sn duales y se muesran en la figura 8 a y 8 b: i() i() i() i() C () V C (a) C Es ns permie decir que: () Fig.8 a) Un capacir lineal inariane en el iemp cn una ensión inicial V es equialene, desde el pun de isa exern, a un dipl cmpues pr un capacir de la misma capacidad, inicialmene descargad, en serie cn una baería de V ls b) Un inducr lineal inariane en el iemp cn una crriene inicial I es exernamene equialene a un dipl cnsiuid pr un inducr de igual inducancia cn crriene inicial cer en paralel cn una fuene de crriene cnsane de I amperes. () (b) i () I ()

10 Cninuidad Cnsiderems el circui de la fig. 9 a, dnde la crriene esá descria pr la nda cuadrada "discninua" de la fig. 9b. i s (A) (b) i s () C = 5 F (a) C () c() (V) 3 3 (s) (c) (s) Fig. 9 Supniend que c () = y a parir de la relación lampere del capacir benems la frma de nda de ensión, que resula unidireccinal y cninua, al cm se muesra en la fig. 8c. Ese fenómen de "alisad" resula ser una prpiedad general msrada an pr las ensines en ls capacires cm pr las crrienes en las inducancias y en frma más precisa, pdems planearla cm sigue: a) Si la frma de nda de crriene i c () en un capacir lineal inariane en el iemp permanece acada en un ineral cerrad [ a, b ], ennces la frma de nda de la ensión c () en el capacir es una función cninua en el ineral ier ( a, b ). En paricular, para cualquier insane R que saisfaga que a < T < b, c (T ) = c (T ). b) Si la frma de nda de la ensión () en un inducr lineal inariane en el iemp permanece acada en un ineral cerrad [ a, b ], lueg, la frma de nda de la crriene i () a raés del inducr es una función cninua en el ineral ier ( a, b ). En paricular, para cualquier iemp T que saisface que a < T < b, i (T ) = i (T ). En ras palras, ls límies pr izquierda y derecha de la función sn iguales. Energía almacenada en un capacir un inducr inariane en el iemp. Cnsiderems un capacir lineal de C Faradis que iene cm ensión inicial ( ) = V, y una carga inicial q( ) = Q = CV en un insane =. Supngams que en el insane = el capacir se cneca a un circui exern, al cm se muesra en la figura: i() N C ( ) = V Fig. a energía que ingresa al capacir en el ineral (, ) esá dada pr la ecuación: d( ) W c (, ) = p d i d C C d d ( ) ( ) C [ ( ) V ] (4)

11 Nóese que da ez que ( ) < V, ennces w c (, ) < y que la energía sea negaia sl significa que la misma es drenada del capacir y rernada al circui exern N. Pr el carácer dual de ambs elemens, pdems decir que una energía igual a: i W (, ) = = ( ) I es almacenada en un inducr lineal que psee una crriene inicial i( ) = I un fluj inicial ( ) = = I. 6.5 Elemens acplads sin íncul galánic. Inducancia muua Faraday esleció experimenalmene que la ariación de fluj magnéic debid a la ariación de crriene en un cnducr induce una ensión en r cnducr que enlaza al mism fluj. Se dice ennces que ales cnducres se encuenran acplads induciamene. Es cnsiuye un efec indesele cuand, pr ejempl, una línea de ala ensión se acpla cn líneas elefónicas adyacenes. Sin embarg, el efec de inducción muua iene un ampli us an en ls sisemas elecrónics cm en ls de pencia, dad que cnsiuye la base de ls ransfrmadres. Ds bbinas de alambre ubicadas de manera que las espiras de cada una de ellas enlacen las líneas de camp de la ra cnfrman un par de inducres acplads. A menud se ubica una bbina denr de la ra de manera que la mayr canidad de fluj enlazad pr una sea ambién enlazad pr la ra. En la fig. se muesra un esquema de ds bbinas ubicadas una al lad de la ra. Obserems que se ha asignad una marca a ls finales de las bbinas en ls brnes a y c. Es se debe a que si las crrienes ingresan pr el brne marcad en cada bbina el fluj cread pr las mismas araiesa a ambas bbinas en la misma dirección. Φ l,: fluj que enlaza sól espiras de las bbinas ó. Φ : fluj debid a i que enlaza espiras de Φ : fluj debid a i cd que enlaza espiras de a i i cd c l l cd b d bbina bbina Fig. N d el fluj que enlaza una espira de una bbina enlazará necesariamene las ras, pr l que ls flujs msrads sn ls flujs medis pr espira. Despreciand la resisencia de ls bbinads, la ley de Faraday ns da la ensión en brnes de la bbina cn N espiras: = N d d d d = N N d d Para un maerial magnéic lineal, la relación enre fluj y crriene es cnsane, l cual implica

12 que la auinducancia de la bbina, y la inducancia muua enre las bbinas y, = N / i sn cnsanes. M = N / i cd Esas definicines ns permien escribir la ensión en función de la crriene: d d = i M icd () d d En frma similar pdems msrar que: d d cd = icd M i (3) d d dnde la auinducancia de la bbina y la inducancia muua enre las bbinas y sn cnsanes. En el capíul en el cual esudiarems ls circuis cn acplamien induci erems que M = M = M, pr l que pdems prescindir de ls subíndices. Ahra esams en cndición de definir un nue cmpnene de redes elécricas denminad inducancia muua de la siguiene frma: Inducancia muua es el cmpnene de redes que rigina una d.d.p. en brnes de una inducancia de alr prprcinal a la deriada de la crriene a raés de una segunda inducancia. Se dice ennces que las inducancias esán acpladas, y la cnsane de prprcinalidad M se denmina inducancia muua. Su unidad es el Henry (H). El símbl cn el que se represenan se muesra en la fig.. Uilizand el cncep de fuenes cnrladas, pdems dibujar un mdel equialene que represene a las ecuacines () y (), el cual se muesra en la figura 3. i M icd cd Fig. i M di cd /d Fig. 3 icd cd M di /d El sign psii en el segund sumand de las ecuacines () y (3) implica que las crrienes i e i cd prducen flujs auinducids y de inducción muua en las bbinas de igual dirección (flujs adiis), al cm se muesra en la fig., dad que las crrienes ingresan a cada bbina pr el erminal marcad haciend que el fluj pase pr la mismas en igual dirección. s brnes que prcan flujs adiis al ingresar la crriene pr ells reciben el nmbre de brnes hmólgs, y se indican cn algún ip de símbl (*,, ). En el cas de que una crriene n ingresara pr el brne hmólg, ls flujs serían susracis y en la ecuación aparecerá un sign mens () en el érmin muu. A md de resumen, pdems decir que la inducancia muua es un mdel que iene en cuena la ransferencia de energía elécrica desde una inducancia a ra pr medi del acplamien magnéic, y ma en cuena la ensión inducida en una bbina cm resulad de la ariación de crriene a raés de ra.

13 Prcedimien para deerminar ls brnes hmólgs. A cninuación describirems un méd para deerminar ls brnes hmólgs, supniend que cncems el senid de arrllamien de las bbinas acpladas. Cada un de ls pass que se describen a cninuación se indican en la figura siguiene: a ( pas ) ( pas 3) a d ( pas ) ia b ( pas 5) c ( pas 4) ic c ( pas 6) Fig. 4 Pas : Elegir arbirariamene un brne de una bbina, y asignarle una marca (brne a, ). Pas : Asignar una crriene al brne marcad, y darle nmbre (i a ). Pas 3: Usar la regla de la man derecha para deerminar la direccin del camp magnéic cread pr i a denr del núcle (Φ a ). Pas 4: Elegir arbirariamene un brne de la segunda bbina (pr ejempl el c) y asignarle una crriene, la cual se muesra cm i c Pas 5: Usar la regla de la man derecha para deerminar la dirección del fluj cread pr i c denr del núcle (Φ c ). Pas 6: Cmparar ls senids de ls flujs Φ a y Φ c. Si ienen el mism senid, ubicar la misma marca en el brne de la segunda bbina pr el cual enra la crriene i c. En la figura, ls flujs ienen el mism senid, pr l que la marca a en el brne c. Si ls flujs uieran senids diferenes, ubicaríams la marca en el brne de la bbina pr el cual sale la crriene. as plaridades relaias de las bbinas acpladas pueden ambién deerminarse experimenalmene, pr ejempl uilizand un scilscpi Energía en circuis acplads induciamene. Ceficiene de acplamien k. Analizarems a cninuación la energía al almacenada en bbinas acpladas, para l cual uilizarems el circui msrad en la figura 5: i M i Fig. 5 Cmenzarems supniend que las crrienes i e i y que n hay energía almacenada en las bbinas. Hacems que i aumene desde cer hasa un alr arbirari I y calculams la energía almacenada cuand i =I. Dad que i =, la pencia al enregada al par de bbinas acpladas es i, y la energía almacenada es:

14 4 w dw I i di W I Ahra manendrems i cnsane en el alr I e incremenarems i desde a algún alr arbirari I. Durane ese ineral de iemp la ensión inducida en la bbina pr i es cer di prque I es cnsane. a ensión inducida en la bbina pr i es M, pr l que la d pencia enregada al par de bbinas acpladas es: p di d ( ) IM i a energía al almacenada en el par de bbinas cuand i =I es: O, l que es l mism: w w dw W I I M I W I I di M I I i I di I Si inerims el prcedimien, sea, incremenams primer i desde hasa I y lueg incremenams i desde hasa I, la energía al almacenada es W I I I I I Tan esa ecuación cm la anerirmene benida expresan la energía al almacenada en un par de bbinas acpladas en función de la crriene pr las auinducancias y y pr la inducancia muua M, siend la única diferencia enre ambas el ceficiene del prduc I I. Cuand el medi es lineal, la energía almacenada al es la misma independienemene del rden usad para eslecer I e I, dad que en ese ip de medis el fluj magnéic resulane depende sl de ls alres finales de i e i, n de la frma cm las crrienes alcanzan ess alres. Si el fluj resulane es el mism, la energía almacenada es la misma, pr l que M =M. Además, dad que I e I sn alres arbiraris de i e i, pdems represenar las crrienes pr sus alres insanánes, pr l que la energía al almacenada en las bbinas acpladas es: M M w( ) I I IIM Ce cmenar que cuand las crrienes n enran a las bbinas pr ls brnes hmólgs, el sign de Mi i se iniere, pr l que en general será: w( ) I I IIM Uilizarems esa úlima ecuación para demsrar que M n puede exceder el alr. Dad que las bbinas acpladas sn elemens pasis, la energía almacenada al nunca puede ser negaia, pr l que la ecuación anerir indica que la canidad I I I I debe ser mayr igual a cer cuand i e i sn ambs psiis ambs negais, crrespndiend el alr límie a hacer esa canidad igual a cer: M

15 I I IIM para hallar el alr de M sumams y resams el érmin i i al primer miembr de la ecuación anerir, l cual ns genera un cuadrad perfec: i i i i M ) El érmin elead al cuadrad nunca puede ser negai, per puede ser cer, pr l que w() sl si M O, l que es l mism, M k ( k ) Denminándse a k ceficiene de acplamien. Ejercicis de aplicación: Un par de inducancias acpladas iene, para ls senids de referencia indicads en la figura (a), la siguiene mariz inducancia: Hallar la inducancia equialene para las cnexines msradas en las figuras (b) y (c). a i c i V V a b _ b c d (a) a _ d b d c 5 (b) Ra: b) eq = 4H c) eq = 6H (c) 6.6 Mdels de señal y caracerización de las mismas. Hiualmene se uiliza el érmin señal para designar una ensión () una crriene i() que ineresa en un circui físic y, en la misma frma en que exise un mdel maemáic para el circui físic que se esa esudiand, exisen mdels maemáics para las señales (ensines y crrienes) en dich circui. a señal de enrada a cualquier sisema es una "fuerza" a la cual el sisema puede respnder. En un circui sisema elécric, esa "fuerza" será una ensión una crriene. a señal de salida es la respuesa del circui a la señal de enrada. Pdrá ser similar a la enrada cmpleamene diferene, pr ejempl, la señal de enrada pdrá ser una ensión y la señal de salida una elcidad (cas de un mr). Una señal es generalmene una función del iemp. Pdrá her señales simples y muy cncidas, ales cm senides expnenciales, algunas muy cmplicadas y casi descncidas, cm la z humana un ruid aleari. En cualquier cas, es necesari ser capaz de represenarla maemáicamene. Pdems desarrllar la idea de señales ip, de prueba, siend ineresane calcular la respuesa de ls circuis a las mismas. A pesar de que una señal ip raramene exise cm señal real, la res

16 6 puesa a la misma ns dirá l suficiene acerca del sisema cm para cmenzar a enenderl y, pr cnsiguiene, pder mdelizarl crrecamene. Dicha señal debe ser simple e infrmaia, en el senid de que ipifica a las señales que exisen en el sisema real. Una imprane prpiedad de las redes es que la respuesa a deerminada señal, una ez hallada, puede usarse para encnrar la respuesa a ra, cm curre cn la función impuls y la respuesa a la misma. Cm ejempl de l anes mencinad analicems el mdel de circui de la fig. 6(a), cmpues pr una fuene de señal de alr E, un inerrupr ( llae) S y una resisencia R. Al cerrar el inerrupr en el insane, la ensión () idealmene ma la frma msrada en la fig. 6(b). Maemáicamene, () es una función cn alr para <, y cn alr E para >, per indefinida para =. R Fig. 6 Físicamene es una nda isible en un ORC. Si bserams las curas reales, ems que el "escalón" n es insanáne, sin que el exrem superir es redndead y el inferir n es un ángul rec. Es decir, la figura 6 muesra una idealización de l que curre en la realidad, dnde bserams que se requiere un cier iemp para llegar de a V, cm se muesra en la fig. 7. Ese iemp de crecimien r iene ds caracerísicas impranes: n es definible en frma precisa, y cambia de un a r dispsii. En cnsecuencia, pdems definir arbirariamene a r cm el iemp que la magniud arda en llegar desde el 5 % al 9 % 95 % de su alr final. Fig. 7 Es imprane recncer que cualquier represenación cuaniaia de una señal real es necesariamene una aprximación, dad que la ariación real de su ampliud en el iemp es sumamene cmpleja. Si la frma de nda es simple (senidal, expnencial), la aprximación será buena, per, en cass más generales, la aprximación lleará implíci un errr Exciación cninua y similar. Esudiarems ds funcines, el puls y el escalón, las cuales sn muy úiles dad que numersas funcines exciación pueden represenarse a raés de ellas. Quizás el escalón sea la más cncida, dad que se la ha esudiad en la lieraura sbre Tería de Circuis desde hace larg iemp, hiend sid inrducida pr Heaiside (8595) a fines del sigl XIX.

17 7 a) Escalón uniari. Inerpreación física. Expresión maemáica. Cm ejempl para una función escalón cnsiderems el circui físic msrad en la fig. 8 (a), dnde se supne que una red pasia se cneca a una fuene de alr cnsane E ls (una baería) mediane el cierre del inerrupr S en un insane de iemp, y cuy mdel cn una fuene genérica e() se muesra en la fig. 8 (b). Fig. 8 Si nuesr inerés se cenra en el esudi de la respuesa much iemp después del cierre del inerrupr, la función exciación puede cnsiderarse una ensión cnsane de alr E. Sin embarg, si querems er qué curre inmediaamene lueg de cerrar la llae, biamene n es crrec er la exciación cm una cnsane, dad que la caracerísica sbresaliene de la misma es la discninuidad que presena en el insane de la cnmuación Es decir, el cambi súbi en la exciación desde un alr cer anes de la cnmuación a un alr ncer lueg de la misma (cm se muesra en la fig. 8) caracerizará la nauraleza de la respuesa del circui en ese insane. Nuesr bjei es bener una caracerización de la nauraleza discninua de la exciación en el insane =, es decir, lgrar que la función e s () de la figura 8 (b) represene a la descripa gráficamene en la fig. 9. Fig. 9 Hasa el mmen, la razón pr la cual necesiams presenar a e s () gráficamene es prque n enems una función maemáica analíica que indique dich sal, dad que las funcines que "salan" n sn analíicas. Heaiside slucinó el prblema inenand una función que represena pr definición a dich sal. Nrmalizand el alr E en V, y el iemp en que se prduce la discninuidad en seg., llamó a la función escalón uniari, y l indicó cn el símbl (). () = > < Fig. (a) Esa función iene un alr cer para d iemp menr que cer, y un alr un para d iemp mayr que cer. Hay un cambi rup, discninuidad, en =, es decir, cuand el argumen de la función cambia de negai a psii. Más adelane erems que ra uilidad

18 8 fundamenal de esa función es inerprear simplemene la deriada de una función en un pun de discninuidad. Un escalón que esé desplazad en el iemp, al cm se muesra en la fig. (b), se represena pr la función escalón uniari desplazada ( ): ( ) = > sea > < sea < Fig. (b) Vems así que el escalón uniari desplazad ( ) iene un alr igual a mienras su argumen ( ) es menr que cer, y un alr un siempre que su argumen es mayr que cer. Así, la función definida cm: < () = V > expresada en función del escalón uniari resula: () = V ( ) pudiend bserarse nueamene que el escalón aparece dnde el argumen es cer (pun de discninuidad). Una sucesión de escalnes uniaris puede usarse para represenar maemáicamene una gran ariedad de funcines, cm erems a cninuación. b) Función puls uniari. Un puls cuadrad de alura uniaria y anch T, cm el de la fig. (a), puede represenarse pr ls escalnes uniaris de la fig. (b). (c) Fig. Simbólicamene, pdems escribir: () = () ( T) El puls desplazad msrad en la fig. (c) puede expresarse cm: h () = ( ) = ( ) ( T)

19 Ejempl : a ensión en brnes de una inducancia de alr H esá dada pr: Vl ( ) V Vls s s Se desea bener la elución de la crriene,,i () en función del escalón uniari, respeand la cnención de signs pasia. Slución: Escribims () en función del escalón uniari: () = V () y lueg, aplicand la relación VA: () = di / d benems i(): 9 i( ) = V ( ) d = V ( ) d = () A Hems benid así una nuea función denminada función rampa, que erems más adelane. Ejempl : Obener la expresión empral de la nda f() msrada en la fig. (a). f() Fig. (a) Vems que esa nda puede represenarse pr la serie de funcines escalón msradas en la fig. (b). f() Fig. (b) Cn l que pdems escribir la elución empral pedida: f() = () ( ) ( ) 5 ( 3 ) 6 ( 4 ) Vems así que la muliplicación pr () bia la necesidad de la definir una función en arias pares, cnsiuyend una nación más manejle. Un ejempl prácic de aplicación sería el siguiene: querems ransmiir infrmación uilizand

20 pulss de disina duración (códig Mrse). Para ell pdems perar la llae de la fig. 8(a) en disins insanes de iemp, cnecand y descnecand la ensión e s (), de manera de prducir ls pulss deseads. s pulss de la fig. 3 (a), pr ejempl, represenan la lera A en dich códig. Una ez más las subidas y bajadas esán idealizadas, en la prácica (fig. 3 b) las esquinas esán redndeadas y ls iemps de crecimien y decaimien n sn cer.: Fig. 3 En función del escalón uniari, esa señal resula: () = V [( T ) ( T ) ( T 3 ) ( T 4 )] a psibilidad de ransmisión de infrmación pr medi de un ren de pulss es bia. Pueden pr ejempl, ser de disinas aluras y duracines para represenar muesras de una nda más cmpleja que llea infrmación. O pueden ser idénics en duración y amañ, y su sla presencia ausencia en iemps predefinids represenar ls dígis de un códig binari. Una secuencia de dichs dígis puede represenar cualquier mensaje que se desee, cnsiuyend una frma muy prácica de ransmisión. Ejempls: Ejercici de aplicación: Expresar las señales msradas en función del escalón uniari. a) b) [V] [s] [s] Ras: a) (). () ( ) 3. ( ) ( ). ( ) ( 3). ( 3) ( 4) b) () 5 () 5 ( ) 5( ) 5( 4)

21 6.6. Función rampa uniaria y función rampa parólica Dad que la función escalón uniari se puede uilizar para generar una amplia serie de funcines pr inegracines sucesias, se suele indicar al escalón cn el subíndice cm (). a función que buims en el úlim ejempl inegrand el escalón uniari se denmina rampa uniaria y se designa mediane (): () = ( ) d es decir: ( ) Si bien el escalón n esa definid en cer, en ese pun crece infiniamene rápid, desde a, de frma que su inegral iene el alr anerirmene expresad. Nóese que () es adimensinal. a función benida pr inegración, llamada rampa, iene dimensines de iemp, sal que se mdifique pr la muliplicación pr una cnsane adecuada. En efec, la función benida a parir del escalón de ensión de la figura : ()=V ()= T iene frma de rampa y dimensines de ensión. V T ( ) d Análgamene, la rampa parólica se designa cn (), y se biene inegrand la rampa uniaria: la cual es igual a: Esas funcines se ilusran en la figura 4: () = ( ) d Fig. 4 Ese prces puede repeirse indefinidamene, y las funcines benidas pueden uilizarse para describir frmas de nda más cmplicadas, cm pr ejempl la de la figura siguiene.

22 6.6.3 Función impuls uniari dela de Dirac (). a) Relación enre la función y la función escalón Hems definid la función puls, que resula ser una función simple, cuya caracerísica puede resumirse diciend que su escalón de encendid debe energizar el circui, y su escalón de apagad debe desenergizarl. a duración del puls puede ser larga en cmparación cn la cnsane de iemp del circui, puede ser muy cra, cas que puede ser ineresane en cuan a que inyeca una magniud (ensión crriene) en el circui per desaparece anes de que puedan prducirse muchas mdificacines en el mism. A fin de demsrar la relación exisene enre la función escalón y el impuls, parirems de un puls de anch (duración) cncida, al cm se muesra en la figura 5 a. Supngams ahra reducir a la miad la duración del puls, per dblar su alura (figura 5 b). Es l hace más agud, per el área encerrada pr el mism se maniene, pudiend nsrs, de alguna manera, marla para represenar el efec del puls. Repeims arias eces la reducción del anch del puls, hasa que el mism sea muy angs y muy al (figura 5 c). Fig. 5 a represenación maemáica del cas exrem (Fig. 5d) en que la duración es infiniesimal y la alura aumena sin límie ns cnduce a una nuea función, a la que se denmina impuls uniari, cuya alura es infinia per encierra un área igual a la unidad. Esa función ambién se denmina dela de Dirac, se indica en frma reiada cn la lera, y maemáicamene se define a parir del área que encierra:

23 () d = 3 siend: < ()= > Sus dimensines sn, de frma que el área sea adimensinal. Es cer cuand su argumen n es cer, y su inegral desde cualquier pun a la izquierda a cualquier pun a la derecha es uniaria. Na: Si ems el impuls cm un puls de anch cer y área uniaria, se deduce fácilmene que: ( ) d = < > l que n es mas que el escalón uniari. En base a es, pdems afirmar que el impuls uniari es la deriada del escalón uniari, l cual frmalmene pdems escribir cm: d () = () d en frma similar a cm cncluims que la rampa uniaria es la deriada de la rampa parólica, y el escalón uniari es la deriada de la rampa uniaria b) Función desplazada a una disancia del rigen. Es la función () rasladada un iemp hacia la derecha, según se e en la figura 6, y se la designa ( ). Esa función es sól para =. En frma bree la definirems cm: ( ( ) d = )= ( ) d = Fig. 6 c) Prpiedades de la función Prduc pr una cnsane Siend k una cnsane, el alr de las áreas limiadas pr las funcines k () y k ( ) será: k ( k () ) k () d = k k ( ) d = k Prpiedad de muesre Es una prpiedad sumamene imprane, y surge de hacer: f() ( ) d = f ()

24 4 dnde la función f() se supne cninua en, es decir, en el pun de aplicación del impuls. Esa ecuación muesra que el impuls brra d alr de la función, msrand sl el alr que f() ma en =, y su alidez surge de recrdar que ( ) es siempre cer excep en =. Si muesreams una función genérica f() cn un impuls aplicad en cer y cn un impuls aplicad en = endrems: Paridad: Recrdand que: f() () f() ( d = ) d f() () = d = f() f( ) f () cn f() cninua, pdems demsrar que la función es una función par: ( ) = ( ) 6.7 Cmpramien de capacires e inducancias frene a exciacines discninuas 6.7. Análisis del cmpramien de un capacir. Supngams que cnecams una fuene de ensión ideal en brnes de un capacir lineal de F, cuya frma de nda se muesra en la fig. 7 (c). Esa frma de nda cnradice la exigencia impuesa al capacir de que la ensión en sus brnes ariara cn cninuidad, pr l que, en principi, sería una siuación que n pdríams resler. Para cmenzar el análisis, supndrems que la elución de la fuene es la msrada en la figura 7(b). A parir de la relación lampere del capacir, i() = C d / d, ems que la crriene i c () es un puls recangular de alura / y anch igual a, cm se muesra en la fig. 7 (c). Si ahra hacems que el iemp de subida de la rampa de la fuene disminuya, el al del puls que represena la crriene aumena. Es imprane nar que el área de ese puls es, independienemene del alr de. Fig. 7

25 5 En el límie, si hacems que el iemp de subida de la rampa ienda a cer ( ), la elución empral de la fuene s () iende a la función discninua escalón uniari, al cm se e en la fig. 7 (d) y maemáicamene se indica a cninuación: lim s ( ) ( ) a misma cnsideración ( ) aplicada a la crriene de la figura 3 ns cnduce al impuls de crriene msrad en la figura 7(e). En cnsecuencia, pdems decir que si la ensión en brnes de un capacir aría en frma discninua (escalón), la crriene cn que respnde el capacir n esará acada, sin que será un impuls, es decir: lím i c () en Si en el ejempl anerir fueran E V y C F la discusión seguiría siend álida, pues el área baj el impuls cambiará de A = a A = C x E. Esa siuación se puede simular cnecand una baería de E lis en paralel cn un capacir de C Faradis en el insane =. a crriene resulane será, ennces, un impuls de área A = C x E amperes. Na: en la prácica sól se nará un alr de crriene grande per fini, dad que das las baerías físicas ienen una resisencia inerna n nula. A cninuación ems el mdel del circui eniend en cuena la resisencia inerna de la baería: Δ R i E C Baería real Si al mism circui de la fig. 7 l alimenams cn un impuls de crriene de área A = aplicada en = 5 s (figura 8 a) i s () = A ( 5) la respuesa en ensión será la msrada en la fig. 8 (b): Fig. 8

26 6 Maemáicamene, susiuims la expresión de i s () en la relación VA del capacir, y supniend que el capacir se halla inicialmene descargad (() = V) y su capacidad es C = 5 F, endrems que: c()= 5 A ( 5) d Haciend un cambi de ariles = 5 será: c ()= A ( ) d = A 5 [ ( A c ()= ( 5 ) 5 5 ) ( 5 ) ] c () = < 5 > 5 es decir, psee una discninuidad en = 5 s., cm se bsera en la fig. 8 (b) Análisis del cmpramien de una inducancia. En el aparad anerir hems cnsiderad la siuación de una fuene de ensión ideal cnecada a una capacidad. Supngams ahra que cnecams una fuene de crriene ideal en brnes de una inducancia, y querems ser cm es la elución de la ensión en brnes de la misma. a respuesa surgirá a parir de la crrespndiene relación lampere, la cual planea que la ensión es prprcinal a la deriada de la crriene, siend la auinducancia del elemen la cnsane de prprcinalidad. d i ( ) d i s () Fig. 9 Supngams, primer, que la crriene is() que alimena a la inducancia es una rampa, cm la de la fig. 9 (a). Esá clar que la ensión () que aparece en brnes de la misma iene la frma del puls recangular de la fig. 9 (b). Si la rampa is() iene alr final Is y un iemp de crecimien, lueg el puls de ensión () iene una alura Is/ y una duración. Es surge pr inspección de la gemería del circui y la nción básica de que la deriada, en frma gráfica, es la pendiene de la cura que represena la función. a pendiene de la rampa lineal es una cnsane n nula durane el iemp de crecimien, y cer durane cualquier r ineral

27 7 de iemp. Nams ambién que el área baj el puls recangular () es (alura).(duración) = (is/ ) x = Is, un alr independiene de. Pr l an, si ahra hacems el límie cuand, la crriene is() se aprxima a un escalón de alr Is y () se aprxima a un impuls de alr Is. Para llegar a ese resulad hems supues que la crriene es la magniud aplicada ( causa ) y la ensión es la respuesa de la red ( efec ). Maemáicamene, la relación lampere deerminada pr la inducancia es ciera independienemene de qué alr, () i(), sea la causa y cuál el efec. Pdems cncluir, pr l an, que un impuls de ensión aplicad a una inducancia prduce cm respuesa un escalón de crriene. En las cnsideracines anerires, el impuls de ensión iene el alr I s, y el escalón de crriene asciad iene el alr I s. Si ambs alres se muliplican pr la misma cnsane, la relación enre ensión y crriene ( causa y efec) permanece inarile. Tal peración es siempre psible en un sisema lineal, y pr l an pdems planear que si un impuls uniari (cnsiderad cm una fuene) se aplica a una inducancia, la respuesa es un escalón uniari de crriene de alr / amperes. Ahra enems ds resulads ineresanes que pdems cmparar. Un impuls uniari de crriene aplicad a una capacidad, insanáneamene ubica una carga de Cb en la misma, y un impuls uniari de ensión aplicad a una inducancia crea insanáneamene una crriene finia en la misma. El paralelism enre ess ds planes puede cmplearse a raés de cnsideracines físicas. Si la inducancia se e cm una bbina, lueg la ensión en sus brnes puede pensarse cm la elcidad de cambi del fluj, sea () = n d/d, siend n el númer de uelas en la bbina y el fluj enlazad. Dad que, pr definición, = n /i, ems que una crriene de alr / crrespnde a un fluj n =. Pdems ennces decir que un impuls uniari de crriene aplicad a una capacidad ubica insanáneamene una carga de Cb en la misma, y que un impuls uniari de ensión aplicad a una inducancia crea un fluj insanáne de Weber en la misma. a inrducción de una carga en la capacidad represena la adición súbia de una canidad finia de energía al sisema del cual es pare la capacidad. Una carga de Q Cb en C Faradis represena una energía de Q / C Jules. Análgamene, la inrducción de un fluj en una inducancia represena un agregad de energía a la red de alr I /. En cnclusión, un impuls uniari de crriene en una capacidad eslece insanáneamene una carga de Cb e insera /C jules de energía, mienras que un impuls uniari de ensión aplicad a una inducancia de Henris eslece insanáneamene un fluj de Wb (y una crriene de / amperes), e insera una energía de / Jules. Ejercicis de aplicación ) a) a siguiene función represena la crriene a raés de un capacir de /3 F en función del iemp: i ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) (4 ) ( ) ( 4) Se pide: i) Obener la gráfica de i(). ii) Calcular y expresar en función del escalón la d.d.p. en brnes del capacir, cnsiderand (= ) = V. 3 Ra. ii) () ( ). () ( ) 6. ( ) ( ),5 8. ( ) ( 4) c

28 8 ) En el circui de la figura, la llae se cierra en =,5 s, hiend permanecid iera un larg iemp. Hallar la expresión de i (). =,5 s ()= V 5. 5 F i () Ra: i(). (,5). (,5). A 6.8 Caracerización de señales. Hasa ahra hems is alguns méds para represenación de señales. Sin embarg, el méd para represenar una señal depende, en gran medida, del ip de señal a ser cnsiderada. Si bien exisen numersas clasificacines de las señales, a cninuación mencinarems sl algunas que pueden resularns aplicles en nuesr curs. as frmas de nda a las que harems referencia sn las represenadas en la fig Cninuas N cninuas Fig 3 Decims que una señal es cninua cuand n psee sals bruscs (discninuidades). Pr ejempl, en la fig. 3, las señales (b) y (d) sn cninuas en ls inerals de iemp msrads. as

29 9 señales (a) y (c), en cambi, sn discninuas para mas de un insane de iemp. En efec, la señal (c) iene una discninuidad en insane = T/, y la señal (a) en el insane T/4. Para inrducir frmalmene el cncep de cninuidad, definims el límie pr izquierda y pr derecha: x( x( )= lím x() )= lím x() s alres x( ) y x( ) sn, respeciamene, ls alres de x() un insane después y un insane anes de =. El cncep de cninuidad puede, ennces, expresarse cm sigue: Una señal es cninua en = si y sl si: x( ) = x( ) = x( ) Una señal que n es cninua en = se dice que es discninua en dich pun Periódicas N periódicas: Una señal periódica es aquella que repie la secuencia de alres exacamene lueg de un iemp fij cncid cm períd, T. Mas precisamene, una señal x() es periódica si y sl si exise T > al que, para d : x( T) = x() El menr alr de T que erifica es se llama períd, y define la duración de un cicl cmple. a frecuencia fundamena; de una señal periódica es: f = / T Una señal n periódica, aperiódica, es aquella para la que n exise, y cnsiuye una clase muy imprane de señales. Tdas las señales de la fig. 3 sn periódicas. Or ejempl de una señal periódica es la función cs ( ) la cual es periódica de períd T = /En la prácica, ejempls de señales periódicas sn las secuencias de pulss recangulares usadas en radar, y la nda diene de sierra usada cm base de iemp en ls scilscpis. En casi ds ls cass es psible escribir una expresión maemáica explícia para la señal periódica inlucrada. Señales n periódicas ípicas sn las frmas de nda de la z, ls ransiris debids a cnmuación, y las señales alearias debidas a perurbacines impredecibles de cualquier índle. A eces será psible escribir expresines maemáicas explícias para señales n periódicas, y ras eces n. Ora clase de señales represenan el cas límie enre señales periódicas y n periódicas. Esas señales cuasiperiódicas sn realmene la suma de ds más señales periódicas cn períds n cnmensurles. a señal resulane es n periódica, dad que n exise T que saisfaga la ecuación anes isa, per ienen muchas de las prpiedades de las señales periódicas, y pueden represenarse pr un numer fini de señales periódicas. Esas señales surgen en el análisis de disins ips de sisemas de cmunicacines Alearias n alearias Para esa clasificación planearems que una señal alearia es aquella de la que se iene cier grad de inceridumbre anes de que curra. En general se refiere a señales que sn alearias en el senid que su magniud aria en frma erráica e impredecible. Pr ejempl, la salida de un recepr de radi respndiend a perurbacines amsféricas, fuenes de ruid inern, ec.

30 3 Si ls alres fuurs de la señal n pueden predecirse aún lueg de bserar ls alres pasads, lueg n es psible expliciar una expresión maemáica para la señal. Una señal n alearia es aquella respec de la cual n hay inceridumbre anes de que curra, y para la cual puede escribirse una expresión maemáica explícia. 6.9 Orgnalidad de señales a rgnalidad de señales es una generalización del cncep de ecres rgnales, el cual es, a su ez, una generalización de la definición de líneas perpendiculares. Pr definición, se dice que ds señales reales x () y x () sn rgnales en un ineral a T si y sl si T x() x () d = Operand cn funcines senidales, arribams a ls siguienes resulads: / lim sen d = y T T cs lim T T T/ T/ T/ cs cs d = / lim T T T/ T/ sen sen d = / / = = = = que ns permien bener las siguienes cnclusines: ) En el ineral infini, ls sens y ls csens sn rgnales enre sí, ya sea que engan iguales diferenes frecuencias. Si ambs ienen la misma frecuencia n nula, ls sens y ls csens deben ener el mism desfasaje. Si ambs iene frecuencia cer, el desfasaje de una debe ser al que dicha sinuside enga alr cer. ) s csens sn rgnales a ls csens de disinas frecuencias. 3) s sens sn rgnales a ls sens de disinas frecuencias. 6. Valres caracerísics de las señales 6.. Valr medi cmpnene de cninua Se denmina alr medi cmpnene de cninua de una señal en el ineral a T al definid pr la siguiene expresión: X cc = T T x() d

31 3 Para una señal periódica de períd T, el alr medi en el ineral de iemp infini es igual al alr medi en cualquier períd. Vems que en esa expresión, si el área al enre x() y el eje es cer (el área pr sbre el eje es psiia, el área aj del eje es negaia), la X cc =. ueg, la cmpnene de cninua de una función sen csen es cer, así cm las de las señales a, b y c anerirmene isas (fig. 6). En la fig. 6(d) se muesra una nda periódica cn cmpnene de cninua n nula, que esa represenada pr la línea de puns. señal senidal cn X cc = señal senidal cn X cc 6.. Valr medi de módul El alr medi de módul de una señal en el ineral a T se define cm: X med md = T T x ( ) d Para una señal cn períd T, el alr medi de módul en el ineral infini es igual al calculad en cualquier períd. Físicamene, crrespndería al alr de ensión medid en brnes de la resisencia de carga R del circui recificadr de nda cmplea msrad en la figura siguiene: X máx. T X R máx. V R () T benid cm sigue: 6..3 Valr eficaz (RMS) T/ X máx. X med. mód. = T El alr eficaz de una señal se define cm: X máx. sen d = T T X = x () d T T ( cs X )= máx. También se l denmina alr cuadráic medi alr RMS (R Mean Square), y se l deermina a parir de la pencia media enregada a una carga resisia.

32 3 En efec, supniend la circulación de una crriene arbiraria i() pr una resisencia R, la pencia media srbida pr la misma en el ineral a T es, según ims en el capiul : P= T T T T p() d = Ri ( ) d R T T i ( ) d Al prmedi de la inegral del alr insanáne cuadráic de la crriene se l denmina alr eficaz al cuadrad I de la crriene i(): T I = i () d T de dnde ems que la pencia ma la frma: P = I R Si ahra hacems circular pr la resisencia una crriene cninua de alr numéricamene igual al alr eficaz de la crriene arile en el iemp, la pencia disipada en ambs cass será la misma. Un desarrll similar ns cnduce a: V = T T V ( ) d P R Na: Para una señal periódica, el alr eficaz en el ineral infini iguala al calculad en un períd. Se pueden sumar ls alres eficaces? El cncep is anerirmene sbre rgnalidad ns permiirá resler una imprane cuesión: se pueden sumar ls alres eficaces de las ensines y las crrienes? Para aeriguarl, cnsiderems la ensión () definida, para d, cm sigue: () = () ()... N ()= El alr eficaz de la ensión () es, aplicand la definición: N n= n () V ef lím T T N M T / T / lím ( ) d lím T T T / n T n m T T / ( ) m T / T / ( ) d N n n ( ) d lím T T T / N ( ) N n T / n m m ( ) d En general n será psible hacer simplificacines, per, para el cas especial de señales rgnales, las inegrales de la ecuación anerir sn cer para n m dad que sn sens csens de disina frecuencia, de manera que la ecuación anerir resula ser: V ef = N lim n= T l que ns permie llegar a las siguienes cnclusines: T T/ T/ n N () = n= V ef n

33 Para señales rgnales, el alr eficaz al es la raíz cuadrada de la suma de ls cuadrads de ls alres eficaces: V ef = N n= V ef n 33 Para sinusides de diferenes frecuencias, ( n ), cn ampliudes V mn, la ecuación anerir ma la frma: i [A] V ef = N n= En sínesis: ls alres eficaces NO se suman Na: as cnclusines benidas ns serán de suma uilidad en el esudi de circuis que peran en régimen permanene n senidal, ema que erems más adelane en la maeria Facr de ampliud Se define cm la relación enre el alr máxim y el alr eficaz de una magniud. Vmax k a V 6..5 Facr de frma Se define cm la relación enre el alr eficaz y el alr medi de una magniud. En el cas de ndas senidales, su alr es,, y, dad que el alr medi de las mismas es cer, se calcula mand el alr medi de módul. Veficaz k f V Ejercici de aplicación Dadas las siguienes funcines del iemp deerminar: facr de frma y facr de ampliud. Sus ampliudes para que das disipen igual pencia sbre una resisencia de alr R=5Ω. V eficaz medi m n [s] 6. Señales expnenciales y senidales. as señales expnenciales (ensines crrienes) de la frma: ( )=V e s sn de paricular inerés en la ería de circuis, pudiéndse encnrar res cass, según cm i ( )= I e s