ELECTRICIDAD IV. Un capacitor está formado por dos conductores, muy cercanos entre sí, que transportan cargas iguales y opuestas.

Transcripción

1 C U R S O: FÍSICA MENCIÓN MATERIAL: FM-30 ELECTRICIDAD I EL CAPACITOR Un capacior esá formado por dos conducores, muy cercanos enre sí, que ransporan cargas iguales y opuesas. El capacior más sencillo es el de placas plano - paralelas, ilusrado en la figura 1. Se puede comprobar que exise una diferencia de poencial enre dichas placas si se coneca a ellas una baería, como lo muesra la figura 1. Los elecrones se ransfieren de la placa A a la placa B, produciendo una carga igual y opuesa sobre las placas. La capaciancia enre dos conducores que ienen cargas iguales y opuesas es la razón de la magniud de la carga sobre cualquier conducor a la diferencia de poencial resulane enre los dos conducores. e e A B fig. 1 La ecuación para la capaciancia (o capacidad) de un capacior es la misma que la ecuación, para un conducor individual, excepo que en ese caso el símbolo se aplica a la diferencia de poencial y el símbolo Q se refiere a la carga que esá presene en cualquiera de los conducores. C = Q 1F = 1C 1 La unidad de medida de la capaciancia es el Farad. En visa de la enorme magniud del Coulomb como unidad de carga, el Farad (o Faradio) es una unidad de capaciancia demasiado grande para las aplicaciones prácicas. Por ese moivo, con frecuencia se usan los siguienes submúliplos: 1 microfarad (µf) = 10-6 F ó 1 picofarad (pf) = F No es raro enconrar capaciancias de sólo unos cuanos picofarad en algunas aplicaciones de comunicación elécrica.

2 La capacidad de un condensador de placas plano- paralelas, en función de la disancia (d) que separa las placas y el área (A) de las placas, esá dada por: ε0 C = A d Se observa que la capacidad del condensador aumenará cuano más grande sea el área A de las placas y más chica sea la disancia d que separa las placas. ε 0 es una consane llamada permisividad del espacio libre, cuyo valor es: Capaciores con dielécricos ε 0 = 8, [C 2 / N m 2 ] Desde el puno de visa aómico los maeriales aislanes ienen como caracerísica que sus elecrones esán firmemene ligados a sus áomos y no ienen liberad de moverse hacia oros áomos del maerial; de ahí el nombre de dielécricos. Para examinar las propiedades de los dielécricos, imaginaremos el siguiene experimeno. Supongamos que a un condensador cargado, con una diferencia de poencial o enre sus placas, lo rellenamos con un maerial aislane. El nuevo disposiivo cumple con odas las propiedades que definen a un condensador y, en consecuencia, saisface la relación: C = Q Si medimos la diferencia de poencial que hay enre sus placas (la baería ya no esá conecada) enconramos que la diferencia de poencial cambió de o (sin dielécrico) a 1 (con dielécrico). Noablemene, cualquiera sea el maerial aislane que se inroduzca, enconraremos siempre que 1 < o (ver figura 2). Más aún, si reiramos el dielécrico la diferencia de poencial vuelve a ser o volímero Indica 0 fig. 2 volímero Indica A qué puede aribuirse esa disminución de la diferencia de poencial que se produce al inroducir un dielécrico? Cambió la carga, la capacidad o ambas? Debido a que el volaje vuelve a ser el mismo al quiar el aislane, se deduce que la canidad de carga permanece consane en odo el experimeno, con o sin maerial enre sus placas. 2

3 Podemos concluir enonces que lo que varía al inroducir un maerial aislane es la capacidad del condensador. Es decir, el nuevo condensador iene una nueva capacidad C 1, mayor que la capacidad que iene con vacío C 0, dada por: C 1/ C 0 = (Q/ 1 ) / (Q / 0 ) = 0 / 1 = k La consane K, que es la lera griega kappa, recibe el nombre de consane dielécrica. Se puede escribir la nueva expresión de la capaciancia como: C = k ε 0 A d Al parecer, ese resulado indica que se podría alcanzar una capaciancia muy grande reduciendo la disancia (d) enre las placas. En la prácica, el valor mínimo de d esá limiado por la descarga elécrica que puede producirse a ravés del maerial dielécrico que separa las placas. Para cualquier separación de placas dada, exise un campo elécrico máximo que se puede producir en el dielécrico anes de que ocurra una descarga disrupiva en el mismo y comience a conducir. Ese campo elécrico máximo se conoce como la resisencia dielécrica, y su valor en el caso del aire es de alrededor de /m. La consane dielécrica depende de cada maerial y su valor más bajo corresponde al vacío, que cumple con K = 1. En la Tabla se dan las consanes dielécricas de algunos maeriales caracerísicos. Maerial Consane dielécrica (k) acío 1 Aire seco 1,00059 Eanol 1,0061 Teflón 2,1 Benceno 3,1 Nylon 3,4 idrio Pyrex 5,6 Tianao de esroncio 250 3

4 Combinaciones de Capaciores Conexión en paralelo C 1 C 2 C 3 fig. 3 Consideremos la capaciancia del conjuno, es decir, la capaciancia equivalene, C EQ, de un condensador único que susiuya al conjuno. Evidenemene, el volaje en las armaduras de ese capacior sería igual a, y para que pueda susiuir al conjuno, la carga Q en sus placas deberá ser igual a la suma de las cargas exisenes en cada capacior de la conexión. Enonces: Pero, como C EQ = Q/, vemos que Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 C EQ = C 1 + C 2 + C 3 C EQ = C 1 + C 2 + C 3 Conexión en serie C 1 C 2 C 3 fig. 4 Consideremos la capaciancia del conjuno, es decir, la capaciancia equivalene, C EQ, de un condensador único que susiuya al conjuno. La diferencia de poencial en la capaciancia equivalene, es igual a la suma de los volajes en cada uno de los capaciores. Enonces, = como la carga en las armaduras de cada condensador es la misma, enemos que: Q Q Q Q = + + = + + C C C C C C C C EQ EQ

5 Energía de un capacior cargado Considere un capacior que esaba descargado inicialmene. Cuando una fuene de diferencia de poencial se coneca al capacior, la diferencia de poencial enre las placas se incremena en la medida que se ransfiere carga. A medida que se acumula más y más carga en el capacior, se vuelve cada vez más difícil ransferir una carga adicional. Supongamos ahora que se represena como Q la carga oal ransferida y la diferencia de poencial final como. La diferencia de poencial promedio a ravés de la cual se mueve la carga se expresa de ese modo: final + inicial = = = promedio Pueso que la carga oal ransferida es Q, el rabajo oal (W) realizado en conra de las fuerzas elécricas es igual al produco de Q por la diferencia de poencial promedio promedio. Por lo ano, W = Q 1 1 = 2 2 Q Ese rabajo es equivalene a la energía poencial elecrosáica de un capacior cargado. Si parimos de la definición de la capaciancia (Q=C), esa energía poencial se puede escribir de diversas maneras: E = 1 2 Q = 1 2 C2 = 2 Q 2C Cuando C se expresa en Farad, en ol y Q en Coulomb, la energía poencial esará expresada en Joule. Esas ecuaciones se aplican por igual a odos los capaciores independienemene de cómo esén consruidos. 5

6 Circuio RC Considere el circuio ilusrado en la figura 5, que coniene sólo un capacior y un resisor. Cuando el inerrupor se mueve a S 1, el capacior empieza a cargarse rápidamene mediane la corriene i. Sin embargo, a medida que aumena la diferencia de poencial Q/C enre las placas del capacior, la rapidez de flujo de carga al capacior disminuye. En cualquier insane, la caída ir a ravés del resisor debe ser igual que la diferencia de poencial enre volaje 0 de las erminales de la baería y el volaje presene en el condensador i S 1 R S 2 0 C fig. 5 0 Q C = ir donde i = corriene insanánea. Q = carga insanánea en el capacior. Con la uilización de herramienas de cálculo diferencial e inegral, se puede deducir que la carga insanánea del capacior es: Q() = C 0 1 e - RC y la corriene insanánea se obiene por medio de - i() = 0 e RC R Inicialmene, la carga Q es cero, y la corriene i es máxima. Por lo ano, en el iempo =0. 0 Q = 0 e i = R 6

7 Las ecuaciones para calcular la carga y la corriene insanánea, se simplifican en el insane paricular en que = RC. Ese iempo, generalmene represenado por τ, se llama consane de iempo del circuio. τ = RC En la figura 6 se muesra el comporamieno gráfico del proceso de carga del condensador en el iempo. Q Q MAX 0,63 Q MAX RC fig. 6 5 RC La carga en un capacior se elevará al 63 por cieno de su valor máximo después de cargarse por un periodo de una consane de iempo. La figura 7 muesra el comporamieno de la corriene en el circuio durane la carga del capacior, la cual se aproxima a cero mienras aumena la carga de ése. i i MAX 0,37 i MAX RC fig. 7 5 RC La corriene suminisrada a un capacior disminuirá al 37 por cieno de su valor inicial después de cargarse por un periodo de una consane de iempo. Noa: Por razones prácicas, un capacior se considera oalmene cargado después de un periodo de iempo igual a cinco veces la consane de iempo (5RC).Si el inerrupor de la figura 19 ha permanecido en la posición S 1 durane ese lapso de iempo, por lo menos, se puede suponer que el capacior ha quedado cargado al máximo C 0. Si se mueve el inerrupor a la posición S 2, la fuene de volaje queda desconecada del circuio y se dispone de un camino o rayecoria para la descarga. 7

8 EJEMPLOS 1. Uno de los elemenos más presenes en los circuios es el condensador, de el se afirma que Es (son) correco(s) A) sólo I B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo II y III. I) el condensador almacena energía que después puede ser liberada para fines prácicos. II) un condensador o capacior almacena energía a ravés del campo elécrico enre sus placas. III) La capacidad del condensador varía al variar el volaje enre sus placas. 2. Se iene un capacior cargado con carga Q, el capacior no esá conecado a un circuio. Si las placas del condensador se acercaron enre sí de modo que la separación enre ellas disminuyó a la cuara pare, enonces es correco afirmar que A) la carga almacenada disminuyó a la cuara pare. B) el volaje enre ellas disminuyó a la cuara pare. C) la capacidad disminuyó a la cuara pare. D) la capacidad no puede cambiar. E) el volaje enre ellas no puede cambiar. 3. Cuando en un condensador de placas paralelas el área de las placas se cuadruplica y la disancia enre ellas disminuye a la miad, la capacidad del condensador A) no varía. B) aumena al doble. C) disminuye a la miad. D) se ocuplica. E) Aumena dieciséis veces. 4. Para un condensador de 100 microfaradios, someido a un volaje de 40 será correco afirmar que la energía almacenada en el es igual a A) J. B) 8 J C) J D) J E) J 8

9 PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. En el circuio que se aprecia en la figura 8 el capacior C 1 = 8 µf, C 2 = 4 µf y la diferencia de poencial es de 20. Con los daos dados y por lo que muesra la figura es correco afirmar que la carga oal almacenada en los condensadores es A) C. B) C. C) C. D) C. E) C. C 1 Q 1 C 2 Q 2 fig Con respeco a la capacidad de un condensador de placas plano-paralelas, es incorreco afirmar que A) las res siguienes afirmaciones son verdaderas. B) la capacidad es direcamene proporcional al área de las placas. C) la capacidad es inversamene proporcional a la disancia que separa las placas. D) al inroducir un dielécrico, la capacidad aumena. E) las res afirmaciones aneriores son falsas. 3. Para el circuio que muesra la figura 9 es correco afirmar que el volaje y la carga almacenada en el condensador son respecivamene 4 Ω A) 20 y 10-4 C B) 4 y 10-6 C C) 5 y 4 C D) 20 y 4 C E) 4 y fig. 9 5 µf 4. Para el circuio que muesra la figura 10 es correco afirmar que el volaje y la carga almacenada en el condensador, son respecivamene A) 4 y 10-6 C B) 20 y 10-4 C C) 5 y 4 C D) 20 y 4 C E) 4 y 10-5 C 20 4 Ω fig µf 9

10 5. Se iene un condensador conecado al como lo muesra la figura 11. Si el valor de la diferencia de poencial aplicado 0 se reduce a la miad, enonces I) la capacidad del condensador se reduce a la miad. II) la energía almacenada en el condensador se reduce a la cuara pare. III) la carga en las placas se duplica. Es (son) verdadera(s) A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y III. E) sólo II y III. 0 C fig En la figura 12, se ienen res condensadores cada uno de capacidad de 6 µf, enonces la capacidad equivalene del sisema es C C A) 18 µf B) 12 µf C) 9 µf D) 4 µf E) 2 µf C fig La capacidad equivalene enre A y B de los condensadores que muesra la figura 13, si cada uno mide 3 µf, es igual a A) 1/3 µf. B) 1 µf. C) 3 µf. D) 6 µf. E) 9 µf. A C 1 C 2 C 3 fig. 13 B 8. En relación a los condensadores mosrados en la figura 14, la diferencia de poencial en los exremos de cada condensador, es respecivamene 1 2 A) 12 y 18. B) 8 y 4. C) 3 y 6. D) 6 y 3. E) 18 y µf 6 µf 12 fig

11 9. En el circuio de la figura 15, se ienen 4 condensadores conecados enre sí como se indica a coninuación: I) Los condensadores C 1 y C 2 esán conecados en paralelo. II) Los condensadores C 3 y C 4 esán conecados en paralelo. III) Los condensadores C 1 y C 3 esán conecados en serie. Es (son) verdadera(s) A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y III. E) odas ellas. C 1 C 2 C 3 fig. 15 C En un circuio abiero donde hay una fuene de volaje, una resisencia y un condensador. Al cerrar el circuio el volaje presene en el condensador irá variando al como se aprecia en el gráfico mosrado en A) B) C) D) E) 11. Si un condensador de 20 µf de capaciancia, maniene una carga de C, la energía almacenada en el es A) 0,04 J B) 0,4 J C) 4 J D) 40 J E) 400 J 12. La carga acumulada por un condensador de 100 µf al cual se le aplica una diferencia de poencial de 40 es A) 0,4 C B) 4x10-2 C C) 4x10-3 C D) 4x10-4 C E) 4x10-5 C 11

12 13. Un circuio formado por 4 condensadores, C 1, C 2, C 3, C 4 de valores C, 2C, 3C y 4C respecivamene, enonces la capacidad equivalene enre P y Q A) 4C B) 20C/3 C) 2C/20 D) 4C/29 E) 20C/29 P Q C 4 C 2 C 3 C 1 fig Un condensador inicialmene descargado se coneca a una pila y adquiere una carga de 2 mc y una diferencia de poencial enre sus placas de 10 v. Cuál es la capacidad, en mf, del condensador? A) 200 B) 20 C) 2 D) 0,2 E) 0, En un circuio donde hay una fuene de volaje, una resisencia y un condensador cargado, al producirse la descarga del condensador a ravés de la resisencia, la forma en que irá variando la inensidad de corriene en el circuio se aprecia en el gráfico mosrado en A) B) C) D) E) I I I I I CLAES DE LOS EJEMPLOS 1D 2B 3D 4A DMDFM-30 Puedes complemenar los conenidos de esa guía visiando nuesra web hp:// 12