5. Modelos dinámicos

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1 5. Modelos dinámicos Los modelos lineales dinámicos son un caso paricular de una clase más grande de modelos dinámicos. En general los modelos dinámicos se caracerizan por ener una dinámica en los parámeros del modelo i.e. los parámeros no son fijos sino cambianes o dependienes del iempo. Los modelos dinámicos ienen su principal aplicación en el análisis de series de iempo o en modelos de regresión con errores auocorrelacionados. En general son mu úiles en análisis secuenciales debido a que la acualización de los parámeros debe de hacerse con base en daos obenidos secuencialmene. MOELO LINEAL: Considera el modelo de regresión lineal Y ' donde coniene p variables predicoras siendo la primera el inercepo. Suponga ahora que el vecor de coeficienes cambia con el iempo i.e. Observación: Y ' N V Evolución: G N W para 2... donde V W son precisiones G es una mariz. Eplicación: ) La primera ecuación define el modelo observacional para una respuesa Y su relación con p covariables o variables eplicaivas. La primera variable eplicaiva es por lo general una consane o inercepo que represena el nivel de la serie. Como Y es univariado enonce es un Maesría en ciencia de daos 58

2 vecor de la forma '. Es posible considerar a Y como p mulivariado en cuo caso es una mariz de dimensión mp. 2) La segunda ecuación conocida como la ecuación de esado o de sisema especifica la evolución de los parámeros a ravés del iempo. Si el modelo inclue p coeficienes cambianes enonces la evolución se define mediane una mariz de ransición G de dimensión pp. 3) La forma general del modelo lineal dinámico iene errores con varianzas dependienes del iempo V W que denoan la varianza observacional la varianza del sisema respecivamene. CASOS PATICULAES: ) Si G I W j para j...p- enonces el modelo lineal dinámico se reduce al modelo usual de regresión lineal múliple con coeficienes fijos. 2) En general W es una mariz de varianzas covarianzas de dimensión pp sin embargo para simplificar la esimación es común suponer que los parámeros varían con el iempo independienemene unos de oros (covarianzas cero) por lo que en ese caso W sería una mariz diagonal W W Wp. 3) Más aún es común ambién suponer que las varianzas V W son consanes en el iempo. En ese caso la dinámica sólo se represena en los coeficienes de regresión. Maesría en ciencia de daos 59

3 MOELO SIMPLIFICAO. Observación: Evolución: Y ' N V j G j j j N W j...p- j para 2... ANÁLISIS EL MOELO: Consideremos el modelo general lineal dinámico. El análisis Baesiano requiere de especificar una disribución inicial sobre los parámeros del modelo que en ese caso son ' p 2 donde. ebido a la relación de evolución de los coeficienes es suficiene con esablecer una disribución inicial sobre el vecor. Sea la información disponible al iempo de manera que: es la información inicial La forma de realizar la acualización es de manera recursiva mediane el Teorema de Baes secuencial i.e. Inicial (al iempo ): f f f d Final (al iempo ): f f f Prediciva (a un paso): f f f d Maesría en ciencia de daos 6

4 6 Maesría en ciencia de daos En el caso paricular del modelo lineal dinámico normal enemos Inicial (al iempo ): C m N f Final (al iempo ): C m N f Inicial (al iempo ): a N f Prediciva (a un paso): Q q N f donde m G a W ' G C G a ' q V ' Q q ' V a m ' ' V C Las ecuaciones para a m C son conocidas como las recursiones del filro de Kalman. Las ecuaciones recursivas de acualización Baesiana se complican o simplemene no eisen en forma eplícia si se asigna una disribución inicial a las varianzas V W C. Ecepo en un caso cuando * VW W * VC C con 2 S n 2 n Ga V.

5 En ese caso condicional en V las ecuaciones recursivas de acualización son iguales a las aneriores juno con una ecuación más de acualización para V ó de la forma n n S Ga con 2 2 n n 2 S q S S n. Q Marginalizando V las disribuciones normales se convieren en -Suden. SUAVIZAMIENTO. Oro caso ineresane en las especificaciones del modelo lineal simplificado es cuando las precisiones de las ecuaciones de observación de evolución esán relacionadas de la siguiene manera. enoemos por V W las respecivas precisiones sea > un parámero. Si enonces juega el papel de facor de suavizamieno. Para valores grandes de la serie predicha por el modelo producirá valores mucho más suaves que la serie observada. Por el conrario si es pequeño la serie predicha será más parecida a la serie de daos observada. MOELOS CON TENENCIA LINEAL. Eisen varias formas de definir una endencia lineal en un modelo dinámico lineal. Aquí se presenan dos opciones: Maesría en ciencia de daos 62

6 o Modelo con pendiene. Para 2... Y N V N W N N C C o Modelo dinámico de segundo orden. Para =2 N V Y N W N W 2 2 N N C 2 C 2 EJECICIO 7. Producción de leche (Congdon 2). Se ienen los daos anuales de producción de leche (Y ) en lbs 9 número de vacas ( ) en unidades 6 en el período de 97 a 982. El modelo sugerido para esos daos es: para Observación: Y N V Y N Evolución: V N W N W Además sugieren una varianza consane V W.5. EJECICIO 8. Paricipación de mercado promoción precios (Congdon 2). Se iene una serie de iempo semanal de la paricipación de mercado (S ) de un produco de consumo durane un período de dos años (99-99). El número oal de observaciones es N4. Las flucuaciones en la Maesría en ciencia de daos 63

7 paricipación de mercado esán relacionadas con (P ) precio del produco relaivo al promedio para esos producos (OPOM ) índice del nivel de promoción del produco (CPOM ) índice de producos compeidores. El impaco en la paricipación de mercado debido a un aumeno del precio a un aumeno de la promoción de la compeencia debería de ser negaivo mienras que un aumeno en la promoción del propio produco debería aumenar la paricipación del mercado. Se sugieren dos modelos para esos daos: a) Modelo esáico: S P OPOM CPOM N 2 Las disribuciones iniciales sugeridas por Congdon (2) son: 3 N 42.4 N.25 2 N.25 3 N.25 b) Modelo dinámico: S P 2OPOM 3CPOM N V N j23 j j V V j 2... W j W j j j W j j donde j son facores de descueno de las varianzas observacional de la evolución de los parámeros respecivamene. Los valores de los facores de descueno sugeridos son: Las disribuciones iniciales son:.25i.25 I N N 3 N 2 N 2.25I V Ga.5.5 W Ga j j...3. Maesría en ciencia de daos 64

8 Modelos lineales generalizados dinámicos Los modelos lineales generalizados dinámicos son oro caso paricular de la clase de modelos dinámicos. Esa clase general de modelos dinámicos se puede represenar por las siguienes ecuaciones: Observación: Y f Evolución: f Si omamos al modelo f( ) en la ecuación de observación como un modelo normal obenemos una ecuación de regresión normal como en el modelo esudiado aneriormene. Oras opciones son considerar miembros de la familia eponencial produciendo una ecuación de regresión lineal generalizado. Por oro lado si omamos al modelo f( ) en la ecuación de evolución como un modelo normal más una relación lineal enre - se obiene una ecuación de observación lineal (normal). Es posible ambién considerar oras opciones no lineales para la ecuación de evolución produciéndose modelos dinámicos no lineales. Cuando la serie de iempo de inerés esá represenada por una variable con sopore acoado o discreo es necesario recurrir a los modelos de regresión lineal generalizados dinámicos. Maesría en ciencia de daos 65

9 MOELO LINEAL GENEALIZAO: Considera un modelo de regresión lineal generalizado Y f eponencial EY g ' donde f() es un miembro de la familia es un parámero de escala con un vecor de coeficienes. Suponga ahora que el vecor de coeficienes cambia con el iempo i.e. Observación: Y f g ' Evolución: N G W para 2... donde W es una precisión G es una mariz. En el modelo anerior lo único que cambia con respeco al modelo dinámico lineal previamene viso es la ecuación de observación. La ecuación de evolución no cambia sigue siendo linealnormal. ANÁLISIS EL MOELO: El análisis Baesiano requiere de especificar una disribución inicial sobre los parámeros desconocidos del modelo que en ese caso son el valor inicial de las s ' ( en p algunos casos W ). ecordemos que es la información disponible al iempo al que: es la información inicial Al igual que en el caso anerior la forma de realizar la acualización es de manera recursiva mediane el Teorema de Baes secuencial i.e. Maesría en ciencia de daos 66

10 Inicial (al iempo ): f f f d Final (al iempo ): f f f Prediciva (a un paso): f f f d Sin embargo esas disribuciones inicial final prediciva por lo general no ienen una forma analíica esándar dependen de la familia eponencial elegida de la disribución inicial para ( W ). Las disribuciones iniciales al iempo = comúnmene usadas son: C N Ga a b Aunque por lo general es común suponer que para odo. W Wishar pq Noa : Vale la pena aclarar que la forma analíica de las disribuciones inicial final prediciva no es indispensable a que el análisis se puede hacer a ravés de simulación en un paquee Baesiano como OpenBugs. Noa 2. Ligado a la noa anerior debido a la fleibilidad para realizar análisis de ese ipo de modelos con OpenBugs se puede pensar incluso en modelos más generales como modelos de regresión de escala dinámicos o algo aún más complejo. Maesría en ciencia de daos 67

11 EJECICIO 6 (coninuación ). Consideremos el ejercicio 6 de los mineros. ealmene el número oal de desasres (Y ) es una serie de iempo para una variable con sopore en los eneros posiivos. Enonces una ercer alernaiva de modelado es: c) Modelo Poisson dinámico: Observación: Y Po Evolución: N W con N. W Ga.. N W. Maesría en ciencia de daos 68