Práctico 1. Macro III. FCEA, UdelaR

Transcripción

1 Prácico 1. Macro III. FCEA, UdelaR Ejercicio 1 Suponga una economía que se compora de acuerdo al modelo de crecimieno de Solow-Swan (1956), se pide: 1. Encuenre la ecuación fundamenal del modelo de Solow-Swan. 2. Encuenre el equilibrio de esado esacionario. Encuenre la asa de crecimieno de equilibrio. 3. Analice gráficamene el impaco sobre el crecimieno económico de una reducción permanene en la asa de depreciación del sock de capial. cápia y el produco per cápia de equilibrio. 4. Analice gráficamene el impaco sobre el crecimieno económico de un incremeno permanene en la asa de crecimieno de la población. 1

2 La solución a los punos 1 y 2 se pueden ver en el libro. Respuesa se pide 3 Gráfico del problema Respuesa se pide 4 Debido al incremeno permanene en la asa de crecimieno de la población, la curva de expansión del capial roará hacia la izquierda, de al forma que cuando se inercepe con la curva de expansión nea del capial deerminará el nuevo esado de equilibrio con un capial per cápia (k 2 ) más bajo y un menor produco per cápia (y 2 ) Gráfico del problema En la versión de Barro, mosrada en la pare inferior del gráfico, vemos que el incremeno permanene en la asa de crecimieno de la población causa un movimieno hacia arriba de la curva de depreciación, de forma que se encuenra un nuevo puno de equlibrio (E 2 ) en la inersección con la 2

3 curva de ahorro. En ese puno exise un capial per cápia menor. Noese a su vez el incremeno en el crecimieno poencial de la economía. g P OT ENCIAL = n+ asa de progreso ecnológico Si n g P OT ENCIAL 3

4 Ejercicio 2 Suponga la exisencia de una economía cuya función de producción agregada es: Y = A K 3/4 L 1/4, y que su asa de ahorro agregada represena el 35 % del produco agregado de cada año. Por su pare, la asa de depreciación del capial es 10 % año, la asa de crecimieno de la fuerza de rabajo es 1 % año y, finalmene, se conoce que el índice del nivel ecnológico es igual a uno. Denro de ese marco, se pide: 1. Encuenre la ecuación fundamenal del modelo de Solow-Swan. 2. Encuenre la asa de crecimieno de equilibrio. 3. Encuenre los valores del capial per cápia y el produco per cápia de equilibrio. 4. Encuenre el salario y la asa de reorno brua del capial y grafique sus valores. 5. Encuenre la paricipación de los salarios y los beneficios bruos en el ingreso. Respuesa 1. La ecuación fundamenal del model de Solow-Swan es: k = s.f(k, A) (δ + n)k De los daos enemos: s = 0, 35, δ = 0, 10, n = 0, 01, A = 1, Y = A K 3/4 L 1/4, dividiendo la función de producción por el número de rabajadores (L ) y eniendo en cuena que: L = L α L β cuando α + β = 1, obenemos: Y = A K3/4 L L 3/4 L1/4 L 1/4 Y L = ( K L ) 3/4 y = Ak 3/4 k = 0, 35.k 3/4 (0, 11)k 2. En el equilibrio enemos: γ k = 0 k = 0 Dividiendo la ecuación fundamenal de Solow-Swan por el capial per cápia (k ), obenemos: k 1 = 0, 35 (0, 11) k k 1/4 4

5 3. Resolviendo la ecuación anerior con respeco a (k ), obenemos: ( ) 0, 35 4 k = k = 102, 5 0, 11 Susiuyendo (k ) en la funcion de producción obenemos: y = (102, 5) 3/4 y = 32, 21 s y = 11, 27 Gráfico del problema 4. Mercado de Capial MP k = r MP k = ( d k 3/4 ) dk = ( ) ( ) 3 1 1/4 r = 0, , 5 Mercado de Trabajo MP L = W MP L = f(k ) f (k ) k W = Ak 3/4 ( ) 1 W = Ak 2/4 W = 4 5. La paricipación de los salarios: w y = W Y = (8, 05347) (32, 21) = 0, 25 ( ) 3 A 4 ( ) 1 (1) (102, 5) 3/4 4 W = 8, k 1/4 (k )

6 La paricipación de los salarios en el ingreso nacional es 25 % La paricipación de los beneficios: rk y = B Y = (102, 5) (0, ) (32, 21) = 0, 75 La paricipación de los beneficios en el ingreso nacional es 75 % Gráfico del problema 6

7 Ejercicio 3 Considere el modelo de Solow sin cambio ecnológico exógeno, donde: Y = K α (AL) (1 α) Los parámeros de la función de producción Cobb-Douglas se muesran en la Tabla 1, donde α es la paricipación del capial, δ es la asa de depreciación, A es la PTF, s es la asa de ahorro, y n es la asa de crecimieno de la población. Tabla 1 Uilizando la ley de movimieno del capial per cápia conese las siguienes pregunas: 1. Deermine el valor del capial per cápia, la producción y el consume de equilibrio. 2. Los ahorros per cápia sa 1 α k α son mayores, iguales o menores que la inversión necesaria para manener el capial per cápia consane en el equilibrio (n + δ) k?; Por qué? 3. Asuma que la economía comienza en el equilibrio y la asa de ahorro se incremena a s 1 = 0, 2. Compare los valores de sa 1 α k α y (n+δ) k, dada esa nueva asa de ahorro. Esa respuesa será diferene de la obenida aneriormene. Eso implicará que el capial per cápia debería incremenarse, decrecer o permanecerá consane? Por qué? 4. Suponga que la derivada del capial per cápia con respeco al iempo puede ser aproximada de la siguiene forma: k = k +1 k, donde k es el capial per cápia en el momeno. Uilizando al aproximación y la ley de movimieno del capial per cápia del modelo de Solow, obenga una abla con el valor de las variables: k, sa 1 α k α, (n + δ)k y k, para 5 períodos luego del cambio en la asa de ahorro. 5. El capial se incremena, decremena o permanece consane? 6. Obenga un gráfico con el sendero de la producción y el consumo a lo largo del iempo. 7. Calcule la asa de crecimieno de la producción. Exise alguna endencia en dicha variable? Realice un gráfico. 7

8 8. Calcule los valores de y, k y c en el equilibrio con la nueva asa de ahorro. 9. Si la asa de ahorro se incremena hasa 0,7, cuál sería el efeco sobre el consumo per cápia en el largo plazo?; Incremenar la asa de ahorro sería una buena políica?. Qué diría con respeco al efeco sobre el bienesar de esa políica? Respuesa 1. A parir de esa función de producción debemos de hallar la función de esado esacionario, para lo cual enemos que (a) calcular la función de producción per cápia, (b) ver como el aumeno de capial per cápia depende de ésa, (c) hacer que dicho aumeno sea nulo con lo que obendríamos la ecuación de esado esacionario. (d) una vez obenida ésa calculamos el valor del capial, el produco y el consumo. a) Obenemos la función de producción per cápia y = Y L = Kα (AL) (1 α) L k α (A) (1 α) b) Formulamos el incremeno en el capial per capia como una variable que depende de la inversión (que de hecho esá deerminada por el ahorro) menos el capial absorbido por el incremeno en la población y la asa de depreciación. k = s y (δ + n)k = s k α (A) (1 α) (δ + n)k c) Definimos el esado de equilibrio al que el capial per cápia, y por lo ano la producción, permanecen consanes: k = s k α (A) (1 α) (δ + n)k = 0 d) Resolvemos con respeco a: y, k y c k = ( ) 1/1 α sa (1 α) ( ) s 1/1 α k = A δ + n δ + n 8

9 ( ) Susiuyendo: k 0, 15 1/1 0,3 = 2 = 15, 99 0, , 02 y = k α (A) (1 α) Susiuyendo: y = (15, 99) 0,3 (2) (1 0,3) = 3, 7316 Consumo per cápia: en una economía cerrada es el gaso que no es inverido c = (1 s) y Susiuyendo: c = (1 0, 15) (3, 7316) = 3, Ahorro per cápia: sa 1 α k α = (0, 15)(2) 1 0,3 (15, 99) 0,3 = 0, 5597 Inversión requerida: (n + δ) k α = (0, , 02) (15, 99) = 0, 5597 sa 1 α k α = (n + δ) k α Los ahorros per cápia son iguales a la inversión requerida para poder manener el capial per cápia consane. En ese modelo no exise un crecimieno exógeno de la producividad. Por lo ano, en el equilibrio odos los valores per cápia permanecen consanes y los valores agregados crecen a la asa de crecimieno de la población (n). 3. s = 0, 15, s 1 = 0, 2 Nueva asa de ahorro per cápia: s 1 A 1 α k α = (0, 2)(2) 1 0,3 (15, 99) 0,3 = 0, 7463 Inversión requerida: (n + δ) k α = 0, 5597 < 0, 7463 Variación del capia: k = s 1 A 1 α k α (n + δ) k α = 0, , 5597 = 0, 1866 > 0 sa 1 α k α > (n + δ) k α k > 0 k 9

10 4. Solución: 5. El capial se incremena. 6. Solución: 7. Solución: 8. Equilibrio con s 1 = 0, 2 ( ) 1/1 α ( ) k s1 0, 2 1/1 0,3 = A = (2) = 24, 1215 δ + n 0, , 02 y = k α (A) (1 α) = (24, 12) 0,3 (2) (1 0,3) = 4,

11 c = (1 s 1 ) y = (1 0, 2) (4, 2213) = 3, 377 Equilibrio con s 2 = 0, 7 ( ) 1/1 α ( ) k s2 0, 7 1/1 0,3 = A = (2) = 144, 4256 δ + n 0, , 02 y = k α (A) (1 α) = (24, 12) 0,3 (2) (1 0,3) = 7, 2216 c = (1 s 2 ) y = (1 0, 7) (4, 2213) = 2, , 6614 < 3, 377 c < c s podría ser una mala políica pues c bienesar 11

12 Ejercicio 4 Por qué necesiamos que la función de producción sea homogénea de grado 1 para obener la ecuación fundamenal del modelo básico de Solow-Swan? Respuesa Si la función de producción no fuera homogénea de grado 1 no seríamos capaces de expresar la función de producción en érminos per cápia que dependa únicamene del capial per cápia (no seríamos capaces de eliminar el L de la función de producción). Como resulado, los ahorros podrían variar de acuerdo al valor absoluo del rabajo y sería imposible calcular un único equilibrio para cada nivel de ahorros. 12

13 Ejercicio 5 Considere una economía que ha fijado sus ahorros como forma de maximizar el consume. Imagine que esa economía incremena su asa de ahorro. 1. Qué sucederá con la asa de inerés? Qué sucederá con los salarios?. Discua brevemene sus respuesas. 2. Esa nueva siuación es dinámicamene eficiene o ineficiene?. Jusifique su respuesa. Respuesa 1. Si los ahorros se incremenan, la doación de capial se incremena. Dado que en el modelo la cuoa del capial y el rabajo en el ingreso nacional es fija, las asa de inerés deberían bajar y lo opueso con los salarios. Al uilizar procesos de producción más inensivos en capial, la producividad del capial cae (y, por ende, la asa de inerés) mienras que los rabajadores con más máquinas producen más (su produco marginal se incremena y, por ende, su salario). 2. Si enemos exceso de capial, enonces en el coro y largo plazo, queremos reducir el capial para poder alcanzar un incremeno del consumo. En el largo plazo dado que queremos volver a la regla de oro, en el coro plazo porque odos los recursos que uilizamos para amorizar el capial (para poder reducirlo) se gasan en consumo, enonces en el coro plazo el consumo se incremena emporariamene por encima del nivel de la regla de oro. 13

14 Ejercicio 6 En el siguiene gráfico indique el significado económico de los parámeros. 1. Pendiene de la angen a f(k) 2. Longiud del segmeno B 3. Longiud del segmeno C Respuesa 1. Indica el produco marginal del capial, y por lo ano su paga. I 2. El segmeno B es la diferencia enre los ahorros bruos y la depreciación. De esa forma, indica los ahorros neos. 3. El segmeno C nos da el valor de los salarios. Si razamos una linea que vaya desde A hasa el puno en el eje que muesra el nivel de produccion y* (correspondiene al capial k*), enemos que esa disancia es precisamene k*. Ahora la pendiene de f(k) en A se puede compuar como disancia(y*c)/k*. Esa es la asa de ineres o el produco marginal del capial. Es decir asa de ineres = disancia(y*c)/k*, por ano el pago oal al facor capial es: asa de ineres x k* = disancia(y*c), por ano lo resane del produco (la disancia desde el origen hasa C) es la remuneracion al facor producivo rabajo (o la masa salarial) (eniendo en cuena que el valor del produco = masa salarial + rena del capial; los únicos facores considerados en el modelo). 14

15 Ejercicio 7 Considere dos economías, Polonia y Rumania; cuyas asas de crecimieno del capial per cápia se describen en el siguiene gráfico: 1. Argumene cuál de esos países iene una mayor asa de crecimieno. 2. Suponga que Rumania experimena un incremeno de su población por el reorno de pare de la migración que fue a oros países de la Unión Europea. Eso, sin embargo, no cambia la asa naural de crecimieno de la población n. Cómo afecará ese eveno los nivles per cáia de capial y produco en el coro y largo plazo? Respuesa 1. Porugal iene una asa de crecimieno más ala, ya que iene una menor canidad de capial per cápia que Rumania. Aunque ambos van hacia el mismo esado esacionario. Solow sosiene que cuano más alejado esé del esado esacionario, más rápido se crece. 2. En el coro plazo, después de recibir el impaco de la población, ano de capial como la rena per cápia lógicamene habrán de disminuir. Sin embargo, dado que los valores de equilibrio o de esado esacionario siguen siendo los mismos (nuesros ahorros, crecimieno vegeaivo, la función de producción, la asa de depreciación son los mismos) ahora crecemos más rápido, ya que esamos más lejos del esado esacionario. 15

16 Ejercicio 8 Suponga que una economía iene la siguiene función de producción agregada: Y = AK 3/5 L (2/5) Se sabe que la asa de ahorro es de 20 % del PIB, el capial se deprecia a una asa del 5 % por año y la población se incremena un 2 % cada año. Finalmene, se sabe que el sock de ecnología iene un valor 2. Se pide: 1. Deduzca la ecuación fundamenal del modelo de Solow-Swan. 2. Encuenre el capial per cápia de equilibrio. 3. Encuenre el salario y el reorno bruo del capial. 4. En esa economía, la asa de ahorro corriene es eficiene en érminos del consumo que obenemos? Respuesa 1. Y = AK 3/5 L (2/5), s = 0, 2, δ = 0, 05, n = 0, 02, A = 2 Y = I +C F (K, L, A) = (1 s)f (K, L, A)+δK + K K = sf (K, L, A) δk Y = AK 3/5 L (2/5) y = Ak 3/5 d ( K L d ) = K L K L L L = K = sak 3/5 δk L K L kn k = ( sak 3/5 δk ) kn Susiuyendo: k = ( (0, 2)(2)k 3/5 0, 05k ) 0, 02k = 0, 4k 3/5 0, 07k 16

17 k γ k = = 0, 4k 2/5 0, 07 k 2. γ k = 0 0, 4k 2/5 0, 07 = 0 k = 3. w = MP L w = 2 5 Ak3/5 L (2/5) = k3/5 ( ) 0, 07 5/2 ( ) 0, 4 5/2 = k = 77, 9 0, 4 0, 07 Dado que k = 77, 9 w = (77, 9)3/5 = 4 (13, 64) = 10, 91 w = 10, 91 5 r = MP K r = 3 5 Ak 2/5 = k 2/5 = , 7 r = 0, Esa pare nos preguna si esamos eligiendo el nivel de ahorro que nos permie maximizar nuesro consumo, es decir, si esamos en la regla de oro. Para responder a eso, hay varias maneras. Como no se pide demosrar, nos podemos limiar, por ejemplo, a indicar que, dado que (s α) no esamos en la regla de oro. También se probar calcular si la pendiene de la función de ahorro para el k esacionario que hemos obenido es igual a la pendiene de la depreciación o incluso calcular un par de valores de consumo de dos ipos de ahorro similares y ver que uno de ellos es mayor, ec... en general, se puede hacer de muchas maneras. 17

18 Ejercicio 9 Bajo los supuesos esablecidos por el modelo de Solow-Swan, y supueso que la función de producción es Cobb-Douglas, calcular el capial per cápia, de la regla de oro. Calcular ambién el consumo per cápia y la producción per cápia asociada a ese nivel de capial. Se sabe que: Tasa de ahorro igual al 15 %, (s = 0, 15) Tasa de depreciación igual al 1 %, (δ = 0, 01) Tasa de crecimieno de la población igual al 10 %, (n = 0, 10) Paricipación del capial en la función de producción igual al 30 %, (α = 0, 3) Valor del índice ecnológico igual a 50, (A = 50) Respuesa En el modelo de Solow-Swan, el consumo de esado esacionario se calcula como: c = y (δ + n)k Por definición, el sock de capial de la regla de oro es aquel que hace máximo el consumo de esado esacionario: Max k c = y (δ + n)k Enonces: dc dk = 0 αakα 1 (δ + n)k = 0 αak α 1 = (δ + n)k ( ) αa 1/1 α ( ) 0, /1 0,3 k oro = = k oro = 1120, 9 (δ + n) (0, , 1) y oro = A (k oro ) α = (50) (1120, 9) 0,3 y oro = 411 c oro = (1 s) A (k oro ) α = (1 0, 15) (50) (1120, 9) 0,3 y oro = 349, 34 18