Macroeconomía III (Grado en Economía) Universidad de La Laguna. Tema 2. El modelo Neoclásico con tasa de ahorro endógena

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1 Macroeconomía III (Grado en Economía) Universidad de La Laguna Tema 2. El modelo Neoclásico con asa de ahorro endógena Juan Acosa Balleseros Carlos Behencour Marrero Gusavo A. Marrero Díaz Fernando Perera Tallo Deparameno de Análisis Económico Universidad de La Laguna Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.1/30

2 Juan Acosa Balleseros; Carlos Behencour Marrero; Gusavo A. Marrero Díaz; Fernando Perera Tallo Deparameno de Análisis Económico Universidad de La Laguna (España), 2012 Ese maerial elecrónico iene licencia Creaive Commons Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.2/30

3 TEMA 2. EL MODELO NEOCLÁSICO CON TASA DE AHORRO ENDÓGENA 1. Inroducción 2. Elección ópima de la asa de ahorro: el modelo de Ramsey/Cass-Koopmans 2.1. El problema de opimización dinámica y las condiciones de opimalidad 3. El esado esacionario y la dinámica de ransición 3.1. El esado esacionario o equilibrio a largo plazo 3.2. La dinámica de la economía fuera del esado esacionario: el diagrama de fases 4. El problema del planificador: el primer eorema de la economía del bienesar 5. La incidencia de los impuesos 6. Economía abiera Apéndice. El modelo de Ramsey/Cass-Koopmans y los mercados compeiivos 1. Inroducción En el ema 1 se presenó el modelo de Solow, que es un modelo neoclásico de crecimieno en el que la asa de ahorro es exógena. Ese modelo es muy usado para describir, pero no debería ser usado para hablar de opimalidad ni para evaluar políicas. La razón principal es que en Solow la asa de ahorro se asume que es consane y exógena. Para poder abordar cuesiones de opimalidad, las decisiones de ahorro han de ser el resulado de la solución de un problema de opimización dinámica, en el que al consumidor le preocupe ano el presene como el fuuro, dado que ahorrar no es ora cosa que ransferir recursos desde el consumo presene hacia el consumo al fuuro. La endogeneización de las decisiones de ahorro (o de consumo ineremporal) es la principal aporación del modelo que veremos en ese ema: el modelo de Ramsey/Cass- Koopmans. Muy resumidamene, ese modelo explica cómo los agenes deciden cuáno quieren consumir en cada momeno del iempo a ravés de la maximización de su uilidad en un problema de elección ineremporal. Como se verá, la exisencia de rendimienos decrecienes en la acumulación de capial va a seguir originando que el crecimieno se agoe, por lo que ese nuevo modelo no va a permiir solucionar las carencias empíricas deecadas en el modelo de Solow sin progreso ecnológico. Sin embargo, va a proporcionar un modelo mucho mejor fundamenado Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.3/30

4 eóricamene que describe la elección ineremporal en un modelo de equilibrio general dinámico. Además, ese modelo servirá de base a los modelos de crecimieno endógeno que se raarán en el Tema 3. Usaremos ese modelo para: Presenar los fundamenos de los modelos dinámicos de equilibrio general, amplísimamene uilizados para esudiar políicas ópimas, crecimieno económico y enender el comporamieno ineremporal de los agenes. En el marco más básico (sin gobierno, sin exernalidades, sin secor exerior, ec.) aprenderemos a analizar el esado esacionario (equilibrio a largo plazo) y cómo caracerizar las dinámicas de ransición de la economía (la senda de un esado esacionario a oro). Discuiremos la opimalidad de las asignaciones que se derivan del equilibrio compeiivo. Para ello aprenderemos a resolver y a comparar las asignaciones resulanes del equilibrio compeiivo y del problema de un planificador benevolene. Inroduciremos un secor público que recauda impuesos para esudiar la incidencia que sobre las decisiones ópimas ienen los diferenes ipos de impuesos (sobre el consumo, sobre la rena, sobre el capial, ec.) Por úlimo, esudiaremos la incidencia que iene la exisencia de un bien que se impora (ya sea para consumo final o como facor producivo). El esquema del ema es el siguiene. En el aparado 2 se planea y resuelve el problema de elección ineremporal. En el aparado 3 se obiene el equilibrio esacionario y se deduce la dinámica del modelo. En el aparado 4 se discuen las diferencias esenciales del problema de la familias-producivas y del planificador. En los aparados 5 y 6 se considera la incidencia de los impuesos y la economía abiera. 2. Elección ópima de la asa de ahorro: el modelo de Ramsey/Cass-Koopmans En ese ema se modeliza el comporamieno de agenes que deciden su consumo en el iempo. Tal y como se explicó en el ema 1, esa elección de consumo en cada insane del iempo deerminará el ahorro y, como consecuencia, la inversión nea. Por ello, el modelo dinámico que resuelven los agenes de esa economía debe ener en cuena la resricción de recursos (o de renas reales) de la economía. La descripción de esa economía ha de hacerse en base a: su ecnología (la función de producción neoclásica), los recursos iniciales (el valor inicial de la riqueza per cápia, ( 0 ) ) y las preferencias, que vienen dadas por una función de uilidad ineremporal. Exisen varios ipos de agenes: familias (consumidores), empresas (producores), gobierno (sólo lleva a cabo políica fiscal) y en algunos casos ambién se considera el secor exerior. Oros supuesos básicos del modelo son los siguienes: Los agenes viven infinios periodos. Ese supueso puede inerprearse como que la familia consise en un coninuo de generaciones que van naciendo y muriendo sucesivamene y las generaciones pasadas se preocupan por las fuuras. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.4/30

5 Esos agenes oman decisiones dinámicamene. Eso es, se preocupan no sólo por el presene, sino ambién por el fuuro, y las decisiones que oman hoy afecan a los recursos que endrán disponibles en el fuuro y, por ano, a su bienesar fuuro. No exise inceridumbre en el modelo, es decir, los agenes hacen previsiones perfecas (idea de expecaivas racionales) de las sendas fuuras de precios, impuesos, ec. No exise heerogeneidad enre los agenes que viven en la economía. Así, resolvemos el problema de lo que se conoce como agene represenaivo. Eso equivale a la idea de que exisen muchos que son iguales. Así, ese ipo de modelos será úil para analizar sólo aspecos de eficiencia en la asignación de recursos y no para esudiar aspecos de desigualdad y de equidad. Por úlimo, supondremos que las empresas operan en un enorno compeiivo (los facores se remuneran en base a su producividad marginal y los beneficios son cero) y las familias son las dueñas, en úlima insancia, de las empresas y del capial. Eso permie uilizar a la familia-producora como un agene ( doble ) que facilia mucho la resolución de los problemas El problema de opimización dinámica y las condiciones de opimalidad En el modelo de Solow se ha supueso que los agenes ahorran una pare consane de su rena sin cuesionar la racionalidad de ese comporamieno. En ese aparado se describirá la acuación de una economía en la que a los agenes se les permie deerminar la rayecoria de consumo de forma ópima. El modelo se debe a Ramsey (1928) y poseriormene fue perfeccionado por Cass (1965) y Koopmans (1965). Para coninuar con un planeamieno sencillo del problema, supondremos que la elección ópima de producción, consumo e inversión es llevada a cabo por familias-producoras. La idea es que ahora no se raa de una regla de decisión exógena (como en Solow), sino de seguir aquélla que consigue el mejor resulado en érminos de bienesar para el agene que resuelve el problema (la familia-producora en ese caso). En cualquier caso, hay que dejar claro que el resulado al que vamos a llegar uilizando familias producoras es el mismo que podríamos obener planeando un modelo con mercados descenralizados, al y como se muesra en el apéndice del ema. Las preferencias de la familia-producora esarán represenadas por una función de uilidad que valora el consumo en cada momeno del iempo. Se supone que esa función de uilidad presena la siguiene forma, donde c( es el consumo per cápia en el momeno. [ c( )] ; u (c) > 0 ; u (c) < 0 ; limu (c) = + u [2.1] c 0 En cada momeno del iempo exisirán L( personas, por lo que la uilidad de la sociedad, suponiendo que la asa de crecimieno de la población es n>0, queda 1 [ c( )] u[ c( )] e n L ( )u = [2.2] 1 Tenemos que L(0)=1. L( ) 0 n = L( )e donde L(0) es la población en el momeno inicial. Supondremos que Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.5/30

6 El problema de las familias-producoras consisirá en maximizar la siguiene función de uilidad oal, que conempla el flujo de uilidad que se espera desde el momeno acual hasa el final del periodo de planificación. max c( ) s.a. 0 e ρ u ( ) = ( 0 ) > 0 [ c( )] f e n [ ( )] d c( ) ( n + δ )( ) [2.3] donde ρ > 0 es la asa de descueno subjeiva de la uilidad o asa de preferencia emporal, que mide el grado de impaciencia en el consumo de los agenes. También se puede decir que la asa de preferencia emporal represena el hecho de que los individuos, aunque alruisas con respeco a sus descendienes, prefieren el consumo propio más que el de sus hijos, es decir, el ipo de descueno represena el grado de egoísmo paerno en un mundo con alruismo inergeneracional. Es imporane ener e cuena que para que para que la uilidad sea finia (es decir, para que la función objeivo del problema [2.3] no sea infinia) se debe imponer la resricción de que los érminos del inerior de la inegral se aproximen a cero cuando iende a infinio. Eso requiere que ρ > n. Como se verá, esa resricción del valor de la asa de preferencia emporal será imporane para garanizar la eficiencia dinámica del equilibrio esacionario de ese modelo. Nóese que la resricción dinámica del problema [2.3] es precisamene la resricción de recursos que dedujimos en el ema 1. Esa es una condición de facibilidad en la relación consumo-capial, dados los recursos exisenes en la economía y la ecnología. Las condiciones de opimalidad (ambién denominadas de primer orden) se obienen a parir del siguiene Hamiloniano: 2 H( ) = e ( ρ n ) u [ c( )] + µ ( ){ f [ ( )] c( ) ( n + δ )( )} donde µ( es el muliplicador dinámico de Lagrange, que mide la renuncia en érminos de uilidad a la que hay que hacer frene para acumular una unidad adicional de capial. Las condiciones de opimalidad de ese problema son las siguienes: H ( = 0 c( H ( = µ ( ( H ( = ( µ ( A las que hay que añadir la condición de ransversalidad, que comenaremos más adelane. 2 En clase se explicará en mayor dealle el significado del Hamiloniano, que en definiiva es algo similar a un Lagrangiano pero en un conexo de opimización dinámica. No se dará un curso de opimización dinámica. Tan sólo se presenará la forma de resolver esos problemas y las inuiciones de sus condiciones. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.6/30

7 Operando: e ( ρ n) ( ρ n) u' [ c( )] µ ( ) = 0 µ ( ) = e u' [ c( )] µ ( ) ( ) = { f ' [ ( )] ( n + δ )} f = µ ( ) [ ( )] c( ) ( n + δ )( ) [2.4] Para eliminar µ(, se oman logarimos neperianos de la primera ecuación de [2.4] y se deriva respeco al iempo: µ ( ) u ( ) [ c( )] ln µ ( ) = ( ρ n ) ln u' c( ) = ( ρ n ) µ ( ) u [ c( )] c( ) Después, se susiuye en la segunda ecuación de [2.4], obeniéndose u u [ c( )] [ c( )] c( ) = f ' o, de forma equivalene, c( )u u [ c( )] [ c( )] [ ( )] ρ δ c( )( ) = c( ) f ' [ ( )] ρ δ Definiendo la elasicidad de la uilidad marginal respeco del consumo como [ c( )] [ c( )] [2.5] c( )u σ [ c( )] = > 0 [2.6] u Así, la condición [2.5] queda: c( ) [ ( )] δ = σ [ c( )] + ρ f ' [2.7] c( ) A esa condición se la conoce como la condición de Ramsey-Keynes o condición de opimalidad de la decisión de consumo ineremporal (o de consumo-ahorro). La expresión anerior expresa que la ganancia por dejar de consumir una unidad de bien en el insane acual hoy y desinarla a inversión (pare izquierda de la ecuación) ha de igualar el cose de dejar de consumir esa unidad de bien (pare derecha de la ecuación). La ganancia viene dada por el produco marginal neo. El cose proviene de la impaciencia de los agenes (medido por la asa de preferencia emporal) que les lleva a preferir consumir lo anes posible. Además, la preferencia de los agenes por rayecorias de consumo planas hace que cuando c ɺ ( > 0 exisa un menor aliciene a inverir. Lo conrario sucede cuando se espera que el consumo disminuya en el fuuro ( c ɺ ( < 0 ). Al resolver el problema de opimalidad ineremporal, las familias esán ordenando el consumo en el iempo asegurándose que cuando en un período reiran una unidad de consumo per cápia y la desinan a inversión, la saisfacción que se obiene de un mayor consumo en el período siguiene compensa la saisfacción perdida hoy. Con ese crierio, reasignarán el consumo enre los periodos hasa que no haya ganancias por hacerlo. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.7/30

8 La condición [2.7] (opimalidad ineremporal) juno con la resricción de recursos o ecuación de ransición (resricción del problema [2.3]) son las dos condiciones necesarias para poder caracerizar la solución del problema de la familia-producora. La condición de ransversalidad Además de las dos condiciones aneriores, en ese ipo de modelos dinámicos ha de imponerse una condición adicional que permia poder caracerizar la senda de equilibrio ópimo, al y como se explicará en el siguiene aparado. Esa condición es lo que se conoce como condición de ransversalidad y viene dada por: ( ρ n ) [ c( )] e = 0 lim ( ) µ ( ) = lim ( )u' [2.8] En ese caso, la condición de ransversalidad indica que el valor presene del soc de capial (el capial por su precio sombra, que es el muliplicador) que los agenes dejarán al final del periodo de planificación ha de ser igual a cero. No es posible que sea negaivo y que sea posiivo claramene no es ópimo, ya que los agenes acumulan capial para el fuuro, pero cuando no hay fuuro nunca es ópimo dejar sin usar algo que enga valor. Más adelane veremos la relevancia de esa condición para poder esablecer la rayecoria de equilibrio del modelo. 3. El Esado esacionario y la dinámica de ransición 3.1. El esado esacionario o equilibrio a largo plazo La ecnología de ese modelo es la misma que presenamos en el ema 1 cuando analizamos el modelo de Solow. Por ello, ambién ahora, los rendimienos decrecienes en la acumulación de capial conducen a que el crecimieno se agoe. De ese modo, usando un razonamieno similar al del ema 1, se puede llegar la conclusión de que el esado esacionario (EE) en esa economía viene caracerizado por un nivel consane de consumo y de capial per capia. Eso es: = c ( ( ) = 0 Las dos condiciones que resumen la evolución ópima (y facible) de c y vienen dadas por 2.13 y 2.9 (además de la condición de Transversalidad). Las volvemos a escribir para faciliar la exposición: c( ) [ ( )] δ = σ [ c( )] + ρ f ' [2.9] c( ) ( = f[(]-c(-(n + δ)( [2.10] Así, para caracerizar el esado esacionario, imponemos que cɺ ( = ɺ ( = 0 en esas dos condiciones, y nos queda (los aseriscos denoan que las variables son de equilibrio esacionario): Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.8/30

9 El produco marginal del capial en el esado esacionario iguala a la suma de la asa de preferencia emporal y la asa de depreciación del capial físico. f ' ( *) = ( ρ + δ ) [2.11] La curva que proporciona la resricción de recursos de la economía en esado esacionario (que analizamos en el ema 1). Su inerpreación es que el soc de capial per cápia queda inalerado en el iempo si se consume exacamene la producción que queda después de desconar la depreciación del capial per cápia: * * * c = f ( ) ( n + δ ) [2.12] Como la condición [2.11] no depende del consumo, sino an sólo de, de ella se puede obener direcamene el esado esacionario del capial. Susiuyendo ese valor en [2.12] se obiene el consumo de equilibrio. La represenación gráfica del equilibrio esacionario se muesra en el gráfico 1. La represenación de la ecuación cɺ = 0,[2.11], en el plano (c,) es una línea verical (un valor de independiene del valor de c). La ecuación [2.12], como ya sabemos desde el ema 1, es una curva en forma de U-inverida que deermina los valores de y c para los cuales ɺ = 0. La inersección de ambas curvas deermina la localización exaca del esado esacionario, dado que ése es el puno en el que se verifica simuláneamene que cɺ = 0 y ɺ = 0. El equilibrio esacionario es, por ano, compaible con la condición de opimalidad ineremporal y la resricción de recursos de la economía. c cɺ = 0 c * ɺ = 0 * g Gráfico 1: El equilibrio esacionario Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.9/30

10 La eficiencia dinámica del modelo de Ramsey/Cass-Koopmans En el ema 1 aprendimos a idenificar los equilibrios dinámicamene eficienes y los ineficienes. Sabemos, por ano, que los punos que quedan a la izquierda de la regla de oro son eficienes. En el gráfico 1 se ha represenado un equilibrio esacionario que es eficiene. Realmene, es fácil demosrar que en el modelo de Ramsey/Cass-Koopmas sólo es posible obener equilibrios eficienes. El razonamieno es el siguiene: * < g f ( *) > f ( g ) Además sabemos que en el equilibrio esacionario se verifica [2.11]: f ' ( *) = ρ + δ Y que en el máximo de la curva ɺ = 0 se cumple: ( ) = n + δ f g Por ano, siempre que la asa de preferencia emporal supere a la asa de crecimieno de la población el esado esacionario será eficiene: f ( *) > f ( g ) ρ + δ > n + δ ρ > n Pueso que ρ > n, podemos asegurar que el esadio esacionario siempre será eficiene en ese modelo. Por ano, la reca cɺ = 0 siempre debe represenarse a la izquierda del capial de la regla de oro La dinámica de la economía fuera del esado esacionario: el diagrama de fases Las ecuaciones [2.9] y [2.10] (además de la condición de ransversalidad) definen el comporamieno dinámico en el iempo del consumo y del capial, es decir, la solución de ese sisema de ecuaciones describe la rayecoria emporal que seguirán ambas variables en el equilibrio. El gráfico 2 muesra cómo se compora el capial per cápia fuera del esado esacionario. Por una pare, desde el ema 1 sabemos que cuando la economía esá por encima de la curva ɺ = 0 se esá consumiendo más de lo que es facible para dejar el capial per cápia inalerado y, como consecuencia, el soc de capial per cápia se reducirá. Cuando se consume menos de lo que indica esa curva, el capial per cápia iende a aumenar. Por ora pare, la evolución del consumo per cápia se obiene de la condición de Ramsey-Keynes, [2.9]. Despejando: ( c( v c c( ) 1 ),( )) = = c( ) σ { f ' [ ( )] ρ δ } [ c( )] 1 = σ { f ' [ ( )] f ' [ *]} [ c( )] Nóese que cuando la economía se encuenra con niveles de capial inferiores al el esado esacionario el consumo es creciene, ya que cuando (<*, enemos que f ' [ ( )] < f ' [ *] y, en consecuencia, v c >0. Es decir, la rayecoria ópima de consumo es creciene para esos niveles de capial. La explicación de ese resulado es la siguiene, si los Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.10/30

11 agenes esperan siuarse a largo plazo sobre el capial correspondiene al esado esacionario, cuando se pare de un nivel de capial inferior, las expecaivas son que el capial crecerá en el fuuro y, por ano, hay expecaivas de ampliación de las posibilidades de consumo fuuras. En consecuencia, la rayecoria de consumo es creciene en el iempo. Por un razonamieno similar, podemos probar que cuando el capial per cápia supera su valor de esado esacionario, el consumo será decreciene en el iempo. Reuniendo lo dicho, las curvas cɺ = 0 y ɺ = 0 dividen el espacio en cuaro regiones. La dinámica de cada una de esas regiones se represena por flechas, al y como se observa en el gráfico 2. Ese esquema para esudiar la dinámica de la solución se denomina diagrama de fases. c c = 0 II c * I = 0 IV III * Gráfico 2: Diagrama de fases El ipo de equilibrio que describen esas ecuaciones es lo que se denomina equilibrio de puno de silla, que se caracerizan por ener una única rayecoria al equilibrio de esado esacionario. El reso de rayecorias llevan a largo plazo a siuaciones que no son equilibrio (no son fruo de la resolución del problema de opimización). Eso genera un resulado muy imporane: la única rayecoria convergene al esado esacionario es precisamene la que resula de resolver el problema dinámico que hemos planeado; cualquier ora rayecoria que no ermine convergiendo en el equilibrio esacionario no es ópima. Nóese que ese resulado facilia mucho las cosas a la hora de analizar cambios en las economías y realizar ejercicios de políica. Si uviéramos muchas rayecorias que convergieran al esado esacionario, no sabríamos cual es la ópima. En ese caso, al ener un equilibrio de puno de silla, enemos claro que la única rayecoria convergene en la ópima. Para enender mejor el resulado de puno de silla y poder caracerizar la rayecoria convergene, siuémonos en alguno de los cuadranes que delimian las curvas ɺc = 0 y ɺ = 0. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.11/30

12 Por ejemplo, si la economía pare del cuadrane I, es fácil observar que esa erminará por converger a (=0 y a un nivel de c( muy grande. Pero odas esas rayecorias incumplen la condición de facibilidad (se produce cero y se consume infinio). Por su pare, si parimos del cuadrane III, la dinámica nos lleva a una siuación de c(=0 y de ( muy grande. Pero esa siuación, aunque facible, incumple la condición de ransversalidad, al ser la uilidad marginal de c=0 infinio (el valor del capial en el infinio no será cero). Así, los únicos cuadranes consisenes con una rayecoria convergene son el II y el IV. Pero no cualquier puno que para de esos cuadranes convergerá al esado esacionario. Por ejemplo, si el puno de parida es el cuadrane II, pero esá muy cerca de la U-inverida y alejado de la línea verical, en muy pocos periodos la economía pasará al cuadrane III y nos iremos a una solución que incumple la condición de ransversalidad. Un razonamieno análogo podemos hacer para punos del cuadrane IV. En conclusión: dado (0), exise un solo valor de c(0) que siúe a la economía en una senda convergene al esado esacionario que, además, es la única consisene con las condiciones de opimalidad. Para enender mejor el resulado de puno de silla y poder caracerizar la rayecoria convergene usaremos el gráfico 3, que se ha represenado empleando una función de uilidad con elasicidad ineremporal de susiución consane 3. Tal y como se presena en el gráfico, sólo exise una única rayecoria de convergencia al esado esacionario. Además, comprobaremos que la rayecoria que maximiza la uilidad y, por ano, la rayecoria de consumo que elegirán los agenes es precisamene la única rayecoria de convergencia. c A'. c=0. =0 A c, o co,, c o B o * g Gráfico 3: La dinámica del modelo ** 1 σ 3 Para faciliar la exposición hemos supueso que la función de uilidad es c( 1 u ( c( ) = 0 < σ < 1. Esa función de 1 σ uilidad se le llama función insanánea de uilidad con elasicidad de susiución consane, ambién denominada función con elasicidad ineremporal consane o con aversión relaiva al riesgo consane. La función logarímica presena una elasicidad de susiución igual a 1. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.12/30

13 En el gráfico 3 se represena una economía con capial inicial o menor que *. Sea c o el valor del consumo que corresponde a ese volumen de capial en la rayecoria puno de silla. Si los agenes escogen un nivel de consumo algo superior al como c' o, ese nivel de consumo permiiría en los primeros momenos acumular capial y, al mismo iempo, incremenar el consumo per cápia. No obsane, la elección de consumo es al que, pasado algún iempo, la economía se enconraría en un puno como A en el cual el consumo elegido sólo permie reponer el capial que se ha depreciado. Si los deseos de consumo permanecieran consanes, la economía permanecería en A para siempre. No obsane, en A los agenes desean incremenar el consumo y, por ano, se empezará a inverir una canidad inferior a la necesaria para reponer el capial y, por consiguiene, el capial comienza a disminuir. Dado que los agenes siguen deseando incremenar su consumo, el capial seguirá disminuyendo hasa llegar al puno A' en el cual odo el capial se habrá consumido y, a parir de ese momeno, el nivel de consumo será cero. Es decir, la economía, a parir de un deerminado momeno finio, quedaría arapada para siempre en el origen. Por ano, la uilidad que se obendría de esa elección sería la que implica a coro plazo unos niveles de consumo elevados y, a parir de un ciero momeno y para siempre, un consumo igual a cero. Si con un capial per cápia 0, se elige un nivel de consumo ligeramene inferior c'' o. En los primeros momenos se reproducirá una paua de consumo y acumulación de capial crecienes aunque, en ese caso, el consumo crece más lenamene en favor de una acumulación de capial más rápida. Al cabo de ciero iempo, la economía alcanzará un puno como B en el cual los agenes no desean incremenar el nivel de consumo, pero, dado que el nivel de consumo alcanzado es muy bajo, se seguirá acumulando capial. A parir de ese momeno, con más capial los agenes disminuyen su consumo, lo que a su vez permie acumular más capial en el iempo. La endencia a largo plazo es alcanzar un puno como **, donde el nivel de capial alcanzado es an grande que el consumo ha de ser cero para permiir su reposición. En ese caso, la economía ha manenido unos niveles de consumo muy bajos que les ha llevado a acumular demasiado capial. Si la economía elige un nivel de consumo inicial al como c o, inuiivamene se aprecia que, en érminos de uilidad, ofrece unos resulados mejores que los dos aneriores. En primer lugar, ofrece una paua de consumo más esable en el iempo que la que ofrece la primera rayecoria comenada y ofrece mayores niveles de consumo que la rayecoria comenada en segundo lugar. Es decir, si las familias uvieran que ir eligiendo niveles de consumo desde c'' o hacia arriba observarían que odas las rayecorias que comienzan con consumos inferiores a c o ofrecen niveles de consumo en el iempo cada vez menores. Si eligen niveles de consumo superiores a c o obendrían consumos mayores, pero poco esables en el iempo, pueso que en algún momeno se agoaría el capial y se reduciría a cero. En las dos rayecorias descrias se obiene que el consumo per cápia acaba siendo cero, por lo que no se verifica la condición de ransversalidad (ya que a uilidad marginal del consumo iende a infinio cuando el consumo es cero). Por ano, la elección ópima exige que la economía se siúe sobre la única rayecoria de convergencia. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.13/30

14 4. El problema del planificador: el primer eorema de la economía del bienesar El equilibrio esacionario que hemos obenido uilizando a las familias producoras es idénico al que se alcanzaría si planeáramos una economía con mercados descenralizados en la que operan economías domésicas y empresas inercambiando bienes y facores producivos 4. En oras palabras, son dos formas disinas de obener el equilibrio compeiivo de la economía. Inmediaamene surge la cuesión de si ese equilibrio compeiivo es ópimo en el senido de Pareo. En ese caso, la respuesa es simple, pues, en una economía an sencilla como la que hemos modelizado, el primer eorema de la economía del bienesar garaniza que las asignaciones resulanes del equilibrio compeiivo son pareo-ópimas. Es decir, como exise compeencia perfeca en odos los mercados, no hay exernalidades ni bienes públicos y no exise secor público que disorsione con su acuación el comporamieno de los agenes, se cumplen los supuesos de ese eorema. Lo que viene a decir ese imporane resulado es que, bajo esas condiciones, y si el objeivo es la eficiencia (no hablamos de equidad), el mercado es capaz de asignar los recursos de la forma más eficienemene posible. Si deseásemos verificar ese resulado endríamos que comparar el equilibrio compeiivo con el resulado al que llegaría un planificador social, que es el ópimo pareiano. La cuesión es que el problema que resuelve el planificador en ese caso es exacamene el mismo que el de las familias producoras. Sin embargo, a parir de ese momeno surgirán muchos escenarios en los que ambos problemas sean disinos y, por ano, el equilibrio compeiivo se alejará de la opimalidad pareiana. Por ello, es imporane dar la inuición sobre las principales diferencias enre el problema de las familias-producoras y el del planificador. Haciendo problemas en clase se acabará enendiendo mucho mejor esas diferencias. En general, dada una deerminada economía, con sus propias caracerísicas (reflejadas por las preferencias, la ecnología, la exisencia o no de gobierno, de impuesos, de exernalidades, de secor exerior, ec.), vamos a poder resolver dos ipos de problemas: 1) el de la economía real, que en nuesro caso esá asociado al del equilibrio compeiivo o al de las familias-producoras (en el apéndice se demuesra que son equivalenes); 2) el del planificador, que permie caracerizar las asignaciones pareo-ópimas de la economía. Enfaizamos que ese úlimo problema no se corresponde al de una economía real. El inerés de su resolución esá en usarlo como puno de referencia y poder así hacernos la preguna son las asignaciones del equilibrio compeiivo pareo ópimas? Para responder enemos que comparar las condiciones de opimalidad obenidas del problema del planificador con las obenidas del problema de las familias-producivas. Si son iguales, concluiremos que las asignaciones derivadas del equilibrio compeiivo (fruo de las fuerzas del mercado) son pareo-ópimas. Cuando no lo sean surgen nuevas pregunas, cuáno se aleja nuesra economía de la eficiencia pareiana? En qué dirección nos debemos mover para acercarnos al pareo-ópimo? Exise alguna medida de políica que permia alcanzar el pareo-ópimo? En ese caso, el papel del gobierno para corregir las ineficiencias será crucial. Lo relevane en ese caso es deerminar qué políica es capaz de corregir las ineficiencias y de hacer que las asignaciones sean eficienes. A ese ejercicio de políica se le conoce como políicas Ramsey. 4 En el apéndice se muesra ese resulado. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.14/30

15 De manera muy inuiiva y muy preliminar, las diferencias principales enre el problema del planificador y de la familia-producora son los siguienes. La manera en que debemos planear le problema del planificador es el siguiene: el planificador maximiza la uilidad de la familia, sujea a la resricción de recursos de la economía. En ese caso, nóese que hablamos de recursos, por lo que esa resricción igualará el oal de recursos disponibles (neos de la depreciación) al uso de esos recursos (en unidades físicas), por ejemplo en consumo y en acumulación de capial. Si exisieran oros posibles usos (por ejemplo, usar recursos para sanidad, o educación o gasos en infraesrucuras, ec.), el planificador ambién los consideraría. Para el planificador sólo exisen preferencias (función de uilidad), ecnología (la función de producción) y recursos ( (0), por ejemplo). En ningún caso se consideran impuesos, precios, salarios, ec. Por su pare, el problema de la familia-producora deberá planearse de la siguiene manera: maximizar la uilidad de la familia, sujea a la resricción de renas (en unidades físicas) de la familia producora. En el modelo básico inicial que esamos raando en ese ema, nóese que la rena (en bienes) de la familia producora es precisamene lo que se produce en la economía. Esa familia-producora, además, iene que hacer frene a la depreciación (ya que es dueña del capial). Y los usos de esas renas iene que decidir si usarlos en bienes de consumo o en acumular más capial. En ese senido, es muy fácil darse cuena que con el modelo básico que hemos considerado hasa ahora los dos problemas son exacamene el mismo, aunque la manera de inerprearlos es disino. Así, es obvio que el primer eorema del bienesar se cumple en ese caso. Para enender un poco mejor la diferencia enre el problema del planificador y de la familia-producora, pongamos un ejemplo (que no resolveremos ahora). Supongamos que la función de uilidad depende de dos bienes, c( y de g(, pero la familia producora an sólo decide sobre c( (g( es, por ejemplo, gaso en sanidad). En el equilibrio compeiivo (el mundo real) ese gaso en sanidad es financiado por un impueso de cuanía fija, que denoamos por T(. Cómo serían ahora los problemas de la familia producora y el del planificador? El problema del planificador: max ( ρ n) ( ), ( ) c(, g ( 0 s. a. f ( ( n + δ ) ( = ɺ ( + c( + g( [2.13] (0) > 0 e u c g d En ese problema, las variables de conrol son c( y g(, y la de esado sigue siendo (. El planificador considera la decisión conjuna de c( y g( y la acumulación de capial, dado los recursos exisenes neos de la depreciación, las preferencias y los recursos exisenes. De ese problema se obienen las asignaciones pareo-ópimas. El problema de la familia-producora: max ( ρ n) ( ), ( ) c( 0 s. a. f ( ( n + δ ) ( T ( = ɺ ( + c( [2.14] (0) > 0 e u c g d Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.15/30

16 La variable de esado es claramene (. Pero la variable de conrol es sólo c(. La familia producora NO decide sobre g( (ni ampoco sobre T(), aunque sí le afeca, pero no decide sobre ello. Será el gobierno, en base a la recaudación, el que esablezca la canidad de g( en la economía. Las familias siempre oman como dadas las variables de políica (impuesos, gasos públicos, subvenciones, ec.) Será la canidad pareo-ópima? Para responder a esa preguna habrá que compararlo con el resulado del problema del planificador. Por úlimo, enfaicemos que no debemos confundir el planificador con el gobierno. El gobierno es oro agene que paricipa de la economía real (del problema de la familia producora). En ese ipo de modelos, su misión será la de poner impuesos, subvenciones y gasar en gaso público que afeca a la uilidad o a la función de producción. En general, su problema es el que denominamos anes como problema de Ramsey, que consise en diseñar la políica que corrija las ineficiencias que se deriven en el equilibrio compeiivo. Todo eso lo enenderemos mejor en fuuras lecciones y haciendo ejercicios. 5. La incidencia de los impuesos A coninuación vamos a inroducir un gobierno de la manera más sencilla posible. El objeivo es enender la incidencia que ienen los diferenes ipos de impuesos sobre la decisiones de consumo ineremporal y, por ano, sobre la evolución y esado esacionario del consumo y del capial de la economía. Consideremos varios aspecos anes de comenzar con el análisis. Primero, las subvenciones pueden verse como impuesos con ipos negaivos, por lo que la explicación de los efecos de los impuesos es la inversa de los de las subvenciones. En segundo lugar, y cenrándonos ya sólo en impuesos, el esablecimieno de un impueso siempre va a ener un efeco rena negaivo. El objeivo de ese epígrafe no es enender ese efeco rena, que es rivial, sino la incidencia que los diferenes ipos de impuesos ienen sobre las decisiones ineremporales de los agenes. Por ello, y con el fin de no mezclar ambos efecos, eliminaremos el efeco rena. Eso se consigue suponiendo que los impuesos que paga la familia-producora son devuelos a las propias familias en forma de ransferencias (por ejemplo, ayudas a hijos, subsidios de desempleo, ec.). Como esamos suponiendo que odas las familias son iguales, eso no genera ningún efeco redisribuidor que podría afecar de disina manera a unos que a oros. Las ransferencias que hace el gobierno a las familias suponemos que son de cuanía fija y son recursos sin conraparida. Por ello, a lo largo de ese aparado denoaremos a esas ransferencia de cuanía fija por Tr(>0. Los ipos de impuesos que vamos a considerar son los siguienes: Cuanía fija (impuesos lump-sum): T(, no dependen ni del consumo, ni de la rena, ec. Indirecos o sobre el consumo: τ c c(, donde τ c es el ipo marginal (enre cero y uno) del impueso (el IVA, por ejemplo) Impuesos direcos sobre la rena oal (brua): τ y f((), donde τ, enre cero y uno, es el ipo marginal medio imposiivo de las renas oales (del rabajo y el capial) Impuesos sobre la riqueza: τ (, es un impueso que se aplica sobre el soc de capial exisene en la economía. Su ipo marginal ambién ha de esar enre cero y uno. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.16/30

17 Impueso sobre la inversión nea: τ ɺ ( Impueso sobre la inversión brua: τ [ ɺ ( + ( δ + n) ( ] Siempre vamos a suponer (en ese ema y el siguiene) que el presupueso de los gobiernos es equilibrado (no pueden endeudarse ni ahorrar). En el caso que esamos raando, eso implica que el mono oal de Tr( iene que ser siempre igual a la recaudación imposiiva oal realizada en cada periodo de iempo. Impuesos sobre la rena Usemos un ejemplo para ilusrar la incidencia de ese ipo de impuesos sobre la economía. Supongamos la función de producción neoclásica. Además, exise secor público y 1 σ c( 1 la población crece a una asa n>0. La función de uilidad insanánea es, donde 1 σ σ>0, σ diferene de 1 (ya que en ese caso la función sería la logarímica). El gobierno recauda un impueso sobre la rena, con ipo imposiivo τ fijo, que dedica en su oalidad a conceder ransferencias a las familias. Planeemos y resolvamos el problema de las familias-producoras. Ese consise en maximizar el flujo de uilidad que se espera desde el momeno acual hasa el final del periodo de planificación, sujea a su resricción de renas (la ecuación de ransición del capial). Esa resricción queda: δ τ f ( ( n + ) ( f ( + Tr( = ɺ ( + c( La pare izquierda son las renas neas de depreciación e impuesos e incluyendo las ransferencias (con signo negaivo lo que se paga y con posiivo lo que e dan). A la derecha esán los posibles usos de esas renas neas, que sean decididas por las familias-producoras: consumo y acumulación de capial. Así, la variable de conrol es c ( y la de esado (. Todas las variables de políica son omadas como dadas (exógenas). Reordenando esa condición obenemos la habiual ecuación de ransición del capial: ɺ ( = f ( (1 τ ) ( n + δ ) ( c( + Tr( Así, el problema queda de la siguiene manera: 1 σ c( 1 ( ρ n) max c( 0 e d 1 σ s. a. ɺ ( = (1 τ ) f ( c( ( n + δ ) ( + Tr( [2.15] (0) > 0 Calculamos las condiciones de primer orden a parir del Hamiloniano: H = e + f c n + + Tr 1 σ 1 σ c( 1 ( ρ n) ( ) µ ( ) (1 τ ) ( ) ( ) ( δ ) ( ) ( ) { } [2.16] donde µ( es el muliplicador dinámico de Lagrange, que mide la renuncia en érminos de uilidad a la que hay que hacer frene para acumular una unidad adicional de capial. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.17/30

18 Calculando las condiciones de primer orden: H( ) = 0 c( c( ) σ e ( ρ n) = = c e σ ( ρ n) µ ( ) 0 µ ( ) ( ) [2.17] H( ) = µ ( ) µ ( ){( 1 τ ) f ' [ ( )] ( n + δ )} = µ ( ) [2.18] ( ) H ( = ɺ ( ɺ ( = (1 τ ) f [ ( ] c( ( n + δ ) ( + Tr( µ ( [2.19] Operando de la forma habiual (omando logarimos neperianos de la expresión [2.17] y derivando respeco al iempo): µ ( ) c( ) ln µ ( ) = ( ρ n ) σ ln c( ) = ( ρ n ) σ, µ ( ) c( ) Combinando esa expresión con la [2.18], se obiene la ecuación de Ramsey-Keynes, cuya inerpreación, como es habiual, es que los agenes elegirán en odo momeno el consumo per cápia que consiga que los beneficios de ahorrar una unidad adicional igualen los beneficios de consumirla. En oras palabras, el produco marginal del capial después de impuesos y neo de depreciación del capial debe igualar a la asa de preferencia emporal eniendo en cuena que los agenes prefieren rayecorias de consumo planas. c( ) ( 1 τ ) f ' [ ( )] δ = ρ + σ [2.20] c( ) Por úlimo, eniendo en cuena que las ransferencias vienen dadas por Tr( = τ f (, la expresión [2.19] queda reducida a: ( ) = f [ ( )] c( ) ( n + δ )( ) [2.21] Hemos de desacar en ese puno que la resricción presupuesaria del gobierno la hemos omado como dada al resolver el problema de la familia-producora (eso es, al derivar el Hamiloniano). Una vez enemos las condiciones de opimalidad, para calcular cómo evolucionan las variables en esa economía, sí enemos que considerar esa resricción presupuesaria. Sin embargo, en ningún caso hemos de imponer esa condición anes de resolver las condiciones de opimalidad, al ser considerada como exógena. Pueso que el produco marginal del capial es decreciene ane aumeno del capial per cápia, el crecimieno se agoa. En esas circunsancias, el equilibrio esacionario se define, como siempre en ese ema, de la siguiene manera: [ ( )] = δ ρ c = 0 ( 1 τ ) f ' + [2.22] [ ( )] ( n + δ )( ) = 0 c( ) = f [2.23] Las ecuaciones [2.22] y [2.23] definen el equilibrio compeiivo de la economía, en el que el capial per cápia es aquel que consiga que el produco marginal del capial después de impuesos y neo de depreciación iguale a la asa de descueno de la uilidad. La ora Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.18/30

19 condición de opimalidad es la de ransversalidad, pero esa no cambia respeco a la del conexo básico analizado en el aparado 2 de ese ema. En ese puno hay que hacer noar que el impueso sobre la rena que hemos considerado no afeca a la curva ɺ = 0, ya que se esá eliminado el efeco rena negaivo que genera el impueso, al devolver su mono oal en forma de ransferencias. Sin embargo, alera a la condición de Ramsey-Keynes, es decir, sí esá afecando a la decisión ineremporal del consumidor. Cuando eso ocurre podemos concluir que el impueso es disorsionane, en el senido de que afeca a la decisión ineremporal de consumo presene versus consumo fuuro (o consumo ahorro). En qué senido? Es fácil darse cuena, a parir de la condición [2.22], que el esado esacionario del capial es menor cuano mayor es el ipo marginal imposiivo. La razón es que un mayor ipo marginal sobre la rena aumena el cose de acumular capial para los siguienes periodos, lo que lleva a los consumidores a susiuir en mayor medida consumo fuuro a favor del consumo presene. En ese senido decimos que el aumeno del impueso genera un efeco susiución que eleva el consumo presene a cosa de consumo fuuro, al desincenivar la acumulación de capial físico. Todo lo expueso se eniende perfecamene si represenamos cómo afeca un aumeno del ipo marginal imposiivo en el diagrama de fases. Primero represenamos las expresiones [2.22] y [2.23] en el gráfico 4. El puno de inersección enre ambas curvas proporciona, como siempre, el equilibrio esacionario de la economía. c c = 0 0 * c 0 = 0 0 * Gráfico 4: El equilibrio esacionario Como ya hemos razonado, un aumeno de τ no afeca a la curva ɺ = 0, ya que la mayor recaudación imposiiva es compensada con un incremeno de las ransferencias. Sin embargo, la curva c ɺ = 0 se desplaza hacia la izquierda, ya que el aumeno de la arifa imposiiva reduce el rendimieno de ahorrar y hace necesaria una reducción del soc de Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.19/30

20 capial per cápia para que el produco marginal después de impuesos y neo de depreciación iguale a la asa de preferencia emporal. Por ello, el nuevo equilibrio esacionario se siúa (gráfico 5) con menores capial y consumo per cápia. Lo que esá ocurriendo es que, al reducirse la renabilidad de ahorrar, los agenes aumenan en el coro plazo su gaso en consumo (efeco susiución a largo plazo). De ese modo, la economía se siúa en la nueva rayecoria de convergencia. A parir de ese momeno, la economía se dirige paulainamene (a lo largo de la rayecoria de convergencia) al nuevo esado esacionario a medida que va reduciéndose el soc de capial per cápia y el consumo per cápia. c c 0 * c = 0 1 c = 0 0 S 1 = 0 c 1 * S 1 1 * 0 * Gráfico 5: Aumeno del impueso sobre la rena que se devuelve en forma de ransferencias A coninuación, presenamos los resulados de los demás impuesos, pero omiimos los dealles del análisis, que dejamos para que el alumno los desarrolle por su cuena. Tan sólo mosramos los resulados finales y algunos comenarios relevanes. Para simplificar la noación, siempre usaremos τ para referirnos al ipo imposiivo correspondiene. En caso de que en un problema hubiesen dos o más ipos de impuesos, obviamene (al menos que se diga lo conrario), habría que disinguirlos poniéndoles subíndices, por ejemplo. Se considera siempre la misma función de uilidad, y la condición de ransversalidad y la condición inicial coinciden con las que se ha empleado hasa ahora. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.20/30

21 Impueso sobre el consumo Resricción: f ( ( n + δ ) ( τc( + Tr( = ɺ ( + c( Reescribiendo: ɺ ( = f ( ( n + δ ) ( (1 + τ ) c( + Tr( Nóese que en ese caso el ipo marginal imposiivo sobre el consumo aparece con signo posiivo, ya que encarece la adquisición del bien de consumo. Condiciones de opimalidad una vez susiuida la resricción presupuesaria del gobierno, que es τ c( = Tr(, cɺ ( f '[ ( ] δ = ρ + σ c( ɺ ( = f ( ( n + δ ) ( c( Comenarios. La condición de Ramsey-Keynes no se ve afecada por el impueso sobre el consumo. Eso implica que no disorsiona la decisión ineremporal de los agenes (no exise efeco susiución enre consumo presene y fuuro). Sólo exisiría un efeco rena igual para odos los periodos de iempo si el impueso no se devolviera en forma de ransferencias. Pero como sí se devuelve, ampoco se da ese efeco rena. Impueso sobre la riqueza Resricción: f ( ( n + δ ) ( τ ( + Tr( = ɺ ( + c( Reescribiendo: ɺ ( = f ( ( n + δ + τ ) ( c( + Tr( Condiciones de opimalidad una vez susiuida la resricción presupuesaria del gobierno, que es τ ( = Tr(, cɺ ( f '[ ( ] δ τ = ρ + σ c( ɺ ( = f ( ( n + δ ) ( c( Comenarios. La condición de Ramsey-Keynes se ve afecada por el impueso sobre el capial. Comparando con el impueso sobre la rena, su efeco es aún más direco. Eso implica la gran disorsión que iene ese impueso sobre la decisión ineremporal de los agenes (exise un efeco susiución imporane). Como el impueso se devuelve en forma de ransferencia, no se da un efeco rena. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.21/30

22 Impueso sobre la inversión nea: Resricción: f ( ( n + δ ) ( τ ɺ ( + Tr( = ɺ ( + c( Reescribiendo: 1 ɺ ( = f ( ( n + ) ( c( + Tr( 1+ τ { δ } Condiciones de opimalidad una vez susiuida la resricción presupuesaria del gobierno, que es τ ɺ ( = Tr(, f ' ( cɺ ( δ = ρ + σ 1 + τ c( ɺ ( = f ( ( n + δ ) ( c( Comenarios. La condición de Ramsey-Keynes se ve afecada por el impueso sobre la inversión nea. Eso implica que el impueso disorsiona la decisión ineremporal de los agenes (exise un efeco susiución imporane) y desinceniva la acumulación de capial. Como el impueso se devuelve en forma de ransferencia, no se da un efeco rena. Un comenario final sobre la incidencia de los impuesos y asignaciones pareo-ópimas En ese conexo, dado que no exise ningún bien que el gobierno enga que financiar, la asignación pareo ópima viene dada por las condiciones [2.9] (opimalidad ineremporal) y la [2.10] (resricción de recursos), que recordemos eran cɺ ( f '[ ( ] δ = ρ + σ c( ɺ ( = f ( ( n + δ ) ( c( Si comparamos esás dos condiciones con las condiciones derivadas del problema de la familia producora bajo los disinos escenarios imposiivos considerados, fácilmene vemos que el esablecimieno de un impueso sobre el consumo es el único que permie alcanzar, en esa siuación, la asignación pareo ópima. En los demás casos, la única manera es reducir el ipo marginal a cero. La incidencia de los impuesos y el papel del secor público lo reomaremos en el ema 3. Enonces veremos que, bajo deerminadas condiciones de la economía, que lo ópimo desde el puno de visa de la políica fiscal puede ser esablecer un impueso (o una subvención) sobre la rena, o sobre el capial. Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.22/30

23 6. Economía abiera El modelo básico de Ramsey/Cass-Koopmans se puede ampliar para que enga en cuena la exisencia de bienes imporados. Dado que odo esá medido en unidades físicas, el precio del bien exerior viene expresado por la relación real de inercambio (RRI), que denoaremos por θ en odo el ema. La RRI mide el precio (real) de los bienes exranjeros expresados en la canidad de bienes nacionales necesarios para inercambiar una unidad de bien exranjero. Así, cuano mayor sea la RRI, más caro será el bien exranjero en érminos de los bienes nacionales; dicho de oro modo, más compeiivos serán nuesros producos en relación a los exranjeros. Para simplificar, siempre se supondrá que la balanza de pagos esá equilibrada en odo momeno, lo que hace que no haya ni exceso ni defeco de ahorro del secor exerior. Esos bienes exranjeros que se imporan pueden ener diferenes usos: pueden ser de consumo final (afecan direcamene a la función de uilidad insanánea), inermedios (afecan a la función de producción pero no se acumulan) o de capial (afecan a la función de producción y sí se acumulan). En ese aparado vamos a considerar la primera de las posibilidades: Bien de imporación que se emplea como bien de consumo final Empecemos señalando que se siguen maneniendo los supuesos habiuales según los cuales la función de producción en érminos per capia es y = A( α, 0 < α < 1, A>0. La población crece a la asa n y la asa de depreciación del capial es δ. La función de uilidad debe ser ampliada para incluir al bien de imporación, ya que es consumido por las economías domésicas. Para simplificar la exposición, supongamos una función de uilidad logarímica, separable: u [ c( ),m( )] = ln c( ) + γ ln m( ) γ > 0 [2.24] c( es el consumo de producos nacionales y m ( es el consumo de producos exranjeros, ambos expresados en érminos per cápia. El parámero γ mide la preferencia relaiva que iene el consumidor represenaivo de m( respeco a c(. Así, siγ = 1 el consumidor es oalmene indiferene enre consumo nacional e imporado; si γ = 1 a igualdad de canidades le oorga más uilidad consumir m( que c(; si γ < 1, ocurre lo conrario. El problema de las familias-producoras, como siempre, consise en maximizar el flujo de uilidad que se obiene desde el momeno acual hasa el final del periodo de planificación, eniendo en cuena que ρ (ρ>0) es la asa de descueno subjeiva de la uilidad. En ese caso, las familias-producoras eligen c( y m( (ambas son variables de conrol para las familias producoras y ambién para el planificador). La resricción de renas (reales) de las familias-producivas en el conexo básico es el siguiene: lo que se produce, neo de la depreciación (pare izquierda de la ecuación) se puede desinar a los siguienes posibles usos: c(, θm( o en ɺ (, α A( ( n + δ ) ( = c( + θm( + ɺ ( Despejando, se obiene la ecuación de ransición, que indica que la variación del soc de capial per cápia corresponde a la canidad de bienes de capial (per cápia) que se pueden adquirir con los recursos que quedan después de desconar de la producción per cápia, el Acosa, Behencour, Marrero y Perera, 2012 Tema 2 Pág.23/30