Universidad de Montevideo Macroeconomia II. Money-In-the-Utility Function (MIU)

Transcripción

1 Universidad de Monevideo Macroeconomia II Danilo R. Trupkin Class Noes (very preliminar Money-In-he-Uiliy Funcion (MIU Inroduccion En lo que va del curso hemos viso modelos reales donde las ransacciones no requieren de medio de cambio donde ampoco hay razones para almacenar dinero en forma de reserva de valor y donde ampoco exise la necesidad de uilizar dinero que sirva las veces de unidad de cuena. Con el objeo de inroducir dinero en un modelo neoclasico Walrasiano la primer preguna que uno se hace es la siguiene: Cual es en realidad el rol del dinero para generar que los agenes lo demanden? Es que para que el dinero enga valor posiivo en equilibrio debe haber demanda posiiva por ese. En oros erminos la preguna fundamenal es como modelar la demanda por dinero. En ese aspeco podemos desacar denro de la lieraura de economia monearia res enfoques:. Asumir que el dinero brinda uilidad (modelo de Sidrauski Imposicion de cosos de ransaccion: Cosos al inercambio de asses (modelos a la Baumol-Tobin El dinero como medio requerido para ransacciones de cieros bienes (modelos de cash-in-advance; i.e. Clower 967 Dinero y iempo se combinan para producir servicios de ransaccion para compras de bienes (Brock 974 El rueque direco es cososo (search models; i.e. Kiyoaki and Wrigh Dinero como asse uilizado para ransferir recursos ineremporalmene (Samuelson 958; modelos de OLG con dinero La dificulad que se observa en la eoria monearia en general y en esos enfoques en paricular es que odos los modelos de una manera u ora involucran shorcus i.e. asumen cieras condiciones que luego deben ser evaluadas en erminos de su robusez. Las referencias mencionadas en esas noas las pueden enconrar en Walsh (2003 cio en el programa del curso.

2 2 Un Modelo Simple de MIU Supongamos que la funcion de uilidad del agene represenaivo es u = u(c z donde c es el consumo y z son los flujos de servicios de ransaccion que brindan las enencias de dinero. La funcion u se asume sandard al como la venimos viendo en el curso pero ademas asumimos que el lim z 0 u z (c z = para odo c. Que es z? El concepo de z no puede ser cisrcunscripo solo a la canidad nominal de dinero sino a su comando sobre los bienes es decir a una medida de los servicios de ransaccion. Al agene cieramene le impora: M ( P canidad de pesos valor de cada peso en erminos de bien. Si el flujo de servicios es proporcional al valor real del sock de dinero per capia enonces podemos escribir z = M P m. La criica naural a ese ipo de marco concepual es que el dinero no es modelizado expliciamene. Una de las defensas esgrimidas es que los modelos con demanda de dinero explicia pueden ser represenados en realidad a raves de un modelo de MIU. Asumimos que exisen bonos cuya asa nominal de ineres es i y ransferencias reales lump-sum del gobierno τ en erminos per capia. Suponemos ademas poblacion consane normalizada a de manera de absraernos de la diferencia enre variables per capia y agregadas y del crecimieno poblacional. La resriccion de recursos de esa economia es y + τ + ( δk + ( + i B P + M P = c + k + M P + B P donde y es oupu δ la asa de depreciacion y k y B los socks de capial fisico y de bonos al comienzo del periodo. Dicha resriccion se encuenra expresada en erminos reales es decir en erminos de bienes. Dado que B y M son acivos expresados nominalmene se divide a ambos por P de modo de expresarlos en funcion de sus poderes de compra. Asumimos que es el capial formado al final del periodo precedene el cual se usa para producir bienes en : y = f(k. Noemos que las variables de esado de esa economia llevan subindices : k M y B. Por oro lado son las enencias de dinero al 2

3 final del periodo M P lo que le da uilidad al agene. Reescribiendo la resriccion de recursos en erminos reales y expresando los bonos y el dinero como enemos que B = B P = b P P P + π M = M P = m P P P + π f(k + τ + ( δk + ( + i b + m + π = c + k + m + b donde + π P /P. L = El problema en forma de Lagrangiano: =0 { [ β u(c m + λ f(k + τ + ( δk + ( + i ]} b + m c k m b + π Las condiciones necesarias de primer orden con respeco a c k b y m a las que hay que agregar la resrciccion de recursos y la ransversaliy condiion son: u c (c m λ = 0 ( λ + βλ + [f k (k + δ] = 0 (2 ( + i λ + βλ + = 0 (3 + π + ( u m (c m λ + βλ + = 0 (4 + π + Del cociene enre (2 y (3 enemos que λ = βλ +[f k (k + δ] ( λ βλ +i + +π + lo que implica la siguiene ecuacion: ( + i = [f k (k + δ]( + π + = ( + r ( + π + que se puede aproximar ademas como i r + π + 3

4 siendo esa una expresion de la ecuacion de Fisher. Reescribamos ahora la condicion (4 como λ = u m (c m + βλ + ( + π + y dividamos ambos lados por la condicion ( uilizando ademas el hecho de que λ + = u c (c + m +. De esa manera enemos: = u m(c m u c (c m + βu ( c(c + m + u c (c m + π + o u m (c m u c (c m = βu ( c(c + m + u c (c m + π + De la condicion de Euler deducida de (2 y ( enemos que. (5 βu c (c + m + u c (c m = + r con lo que (5 queda expresada como u m (c m u c (c m ( ( = + r + π + = + i i = (6 + i para lo cual se ha usado la relacion de Fisher que nos dice que ( + i = ( + r ( + π +. La relacion (6 muesra que la asa marginal de susiucion enre los saldos reales y el consumo um(cm u c(c m i +i. se iguala en el opimo al coso de oporunidad de manener dinero Inerpreacion: A un momeno cualquiera una alernaiva al dinero lo consiuye el bono que paga i/( + π en erminos reales en el periodo +. Su valor presene sera i/(+π +r = i (+r(+π = i +i. Ese es precisamene el coso de oporunidad del dinero. Finalmene en equilibrio enemos que la demanda de dinero es igual a la ofera de dinero: M d = M s mienras que las enencias de bonos se igualan a 0 ya que el modelo asume agenes idenicos. Por oro lado asumimos que la ofera de dinero crece a una asa consane θ : M = ( + θm y que dicho crecimieno del dinero se inroduce en la economia a raves de las 4

5 rasferencias τ : τ = M M P = ( + θm M P = θm P P P = θm + π. (7 Dados esos supuesos endremos enonces que el equilibrio en el mercado de dinero implica: M P = m = ( + θm P P P = ( + θm + π. (8 Habiendo descripo hasa aqui las condiciones de equilibrio del modelo evaluaremos ahora las propiedades del mismo en seady sae (el largo plazo para luego cenrarnos en la dinamica de coro plazo. Para eso ulimo modificaremos el modelo simple a raves de la inroduccion de inceridumbre y la eleccion de ocio-rabajo por pare del agene. 3 El Seady Sae El sisema de equilibrio del modelo en seay sae se expresa de la siguiene manera. La ecuacion de Euler juno con las condiciones opimas de bonos y dinero resulan u c (c m = βu c (c m[f k (k + δ] (9 ( + i u c (c m = βu c (c m (0 + π ( u c (c m = u m (c m + βu c (c m ( + π La resriccion de recursos por su pare resula: f(k + τ δk + m + π = c + m. Noemos que de (7 las ransferencias en seady sae son en ano que de (8 se deduce que lo que implicaq que π = θ. τ = m = θm + π ( + θ m (2 ( + π De esa manera la resriccion de recursos queda expresada como f(k + θm + π δk + m + π = c + m 5

6 la cual resula en f(k δk = c. (3 De (9 enemos que β = f k(k + δ (4 de donde se exrae el nivel de capial fisico en seady sae. De la resriccion de recursos (3 luego se deduce el nivel de consumo de seady sae mienras que de la funcion de produccion resula el nivel de oupu de seady sae. Asi enemos que los niveles de las variables reales de largo plazo no dependen de la asa de inflacion (superneuralidad del dinero. Por oro lado noemos que en el sisema de seady sae el dinero solo aparece en la forma de m i.e. los saldos reales. Eso implica que cualquier cambio en la canidad nominal de dinero acompanado por un aumeno proporcional de precios que deja invariane m no iene efecos sobre el equilibrio real de la economia (neuralidad del dinero. En consecuencia que variables son afecadas por la asa de inflacion? De la ecuacion (0 enemos que + π β = + i i = + π β. β Con lo cual aumenos de la asa de crecimieno de dinero (que llevan a aumenos de la asa de inflacion generan aumenos de la asa de ineres nominal de largo plazo. Asimismo de esa expresion se obiene el valor de la asa de ineres nominal de seady sae. Finalmene dados el nivel de consumo y la asa de ineres nominal deerminados previamene de la condicion (6 en seady sae i.e. u m (c m u c (c m = se obiene el nivel de saldos reales de largo plazo. i + i (5 Elasicidad de la demanda de dinero a la asa de ineres Supongamos que la funcion de uilidad es del ipo CES (consan elasiciy of subsiuion en consumo y saldos reales: u(c m = [ac + ( am ] ; 0 < a < b > 0 b. 6

7 De esa manera u c (c m = [ac u m (c m = [ac De la condicion de equilibrio (6 se iene que + ( am ] b ac b + ( am ] b ( am b u m (c m u c (c m ( am b = ac b = i + i ( a /b ( /b i m = c a + i En logarimos la demanda de dinero resula log m = ( a b log a b log ( i + i + log c. De aqui que la elasicidad de la demanda de dinero respeco a su coso de oporunidad una funcion de la asa de ineres es igual a /b. Por su pare la elasicidad-consumo (paralelo al concepo de elasicidad-ingreso de la demanda de dinero es igual a uno. Noemos que en seady sae ( a /b ( m = β /b c a + π Lo cual implica que los saldos reales de largo plazo son funcion decreciene ano de la inflacion como del paramero a (el peso relaivo de las preferencias sobre el bien de consumo. La Tasa de Inflacion Opima Hemos viso que el coso de oporunidad privado de manener dinero es una funcion de la asa de ineres es decir de i/( + i. Por oro lado el coso marginal social de producir dinero (de imprimirlo es cercano a cero. La brecha que aparece enre ambos cosos cuando la asa de ineres es posiiva implica una ineficiencia para la sociedad. Esa ineficiencia podria ser eliminada si el coso de oporunidad es cero; y ello ocurre cuando la asa nominal de ineres es cero. Pero noemos que i = 0 implica lo siguiene. De la ecuacion de Fisher sabemos que + i = ( + r( + π = ( + π β 7

8 lo cual implica que con i = 0 endremos = ( + π π = β < 0 β es decir que la asa de inflacion opima resula ser una asa de deflacion e incluso esa se aproxima a la asa de reorno del capial ya que β = + r π = + r = r + r r. 4 Modelo Esocasico con Decision Ocio-Trabajo El modelo de Sidrauski ambien puede generar No-Superneuralidad durane la ransicion hacia el seady sae. Para analizar la dinamica del modelo ahora vamos a inroducir inceridumbre a raves de dos ipos de shocks. Un shock de producividad y un shock moneario i.e. a la asa de crecimieno del dinero θ. Ademas inroduciremos en el modelo la posibilidad de eleccion enre ocio y rabajo. La funcion de produccion se asume de la forma y = e z k α n α donde z es el shock de producividad y n = l es el iempo asignado a acividades del mercado donde l es ocio. El shock real posee un proceso esocasico de la forma z = ρz + e ; 0 ρ < e i.i.d.(0 σ 2 e. Definimos u θ θ como las desviaciones de la asa de crecimieno del dinero respeco de su seady sae. Esas desviaciones poseen un proceso esocasico descripo por u = γu + φz + ϕ ; 0 γ < ϕ i.i.d.(0 σ 2 ϕ. La funcion de uilidad por su pare se asume de la forma u(c m l = [ac + ( am Φ ] Φ + Ψ l η ; 0 < a < b η Φ Ψ > 0 η Al inroducir la decision de ocio por pare del agene debemos enonces adicionar a las condiciones de equilibrio enunciadas arriba la condicion de primer orden respeco a aquella variable. En la forma general la misma resula similar a la hallada en los modelos de RBC visos en clases aneriores excepo por el hecho de que ahora el dinero afecara el iempo 8

9 dedicado al rabajo. Es decir dicha condicion de opimo resula u l (c m l u c (c m l = f n(k n. (6 Noemos que ahora cieramene es probable que el dinero afece los seady saes de la ofera de rabajo y del consumo eliminando asi la superneuralidad enconrada previamene. El sisema de equilibrio en su forma paramerica con inceridumbre y ofera de rabajo elasica queda ahora descripo por las siguienes siee ecuaciones: u m (c m l u c (c m l = X b Φ ( am b b Φ X ac b = i + i u l (c m l u c (c m l = Ψ( n η b Φ X b Φ X ac b ac b b Φ = βe {[X = ( αe z k α n α + ac b + ( r = E αe z + k α n α + δ ] } ( + r e z k n α α + ( δk = k + c ( θ m = m + π ( + i = ( + r ( + π + donde X ac + ( am. Tenemos enonces 7 ecuaciones con 7 endogenas: c m n i k r π. Se procede luego a aproximar ese sisema de ecuaciones no lineales alrededor del seady sae al como lo describimos en clase cuando esudiamos la resolucion de modelos DSGE. El objeivo en paricular es hallar los pahs de las variables endogenas consisenes con el equilibrio. Ahora a diferencia de lo viso en el modelo simple con ofera de rabajo inelasica los niveles de seady sae dependeran de la asa de crecimieno del dinero a raves del efeco de la inflacion sobre la ofera de rabajo. De esa manera se elimina la propiedad de superneuralidad del dinero. En paricular las variables en seay sae resulan de la siguiene manera: 2 2 Para mas dealle sobre las derivaciones del seady sae lean el Apendice del Capiulo 2 de Walsh (2003 y en especial las paginas 84 y 85. 9

10 r = β ; y k = c (r + δ; α ( m a ( b + θ β b ( c = ; k a + θ k k = y k δ; n ( y k = α k Finalmene se puede obener una expresion para el nivel de equilibrio de seady sae del rabajo: [ n Φ ( a ( ( n η = H b + a β + θ b ] b Φ b donde H es una funcion de parameros del modelo la cual no depende del paramero θ y por lo ano no depende de la inflacion. Noemos que el lado izquierdo de la ecuacion (7 es una funcion creciene de n. Por su pare el efeco del paramero de poliica monearia θ sobre el lado derecho de la ecuacion dependera del signo de ξ b Φ. Si ξ b Φ > 0 enonces un aumeno de θ que eleva π e i y que por lo ano baja m genera una caida del lado derecho de la ecuacion (7 lo que implica que baja el nivel de n y por lo ano caen el consumo y el oupu. Eso en realidad se deduce del analisis del signo de la derivada cruzada de la funcion de uilidad respeco al consumo y los saldos reales: u cm (c m l. Si ξ b Φ > 0 se puede mosrar que u cm (c m l > 0 lo que es equivalene a decir que el consumo y las enencias reales de dinero son complemenarios. En ese caso un aumeno de π que genera una caida de m (eso sucede siempre lleva a una caida de u c (c m l lo que finalmene lleva a susiuir consumo por ocio (cae c y aumena l cae la ofera de rabajo y por lo ano cae el oupu y. Basados en la evidencia el paramero b se esima en un valor cercano a 2.56 mienras que el paramero Φ se calibra en valores cercanos a 2 (ese es el valor uilizado luego en las simulaciones. De ello resula que los saldos reales serian complemenarios con el consumo y por lo ano un mayor θ conduciria hacia una caida del empleo del consumo y del oupu de largo plazo. Para finalizar con el analisis del seady sae noemos que el caso ξ b Φ = 0 implica que el dinero es superneural ya que no habra efecos de π sobre el nivel de n. Calibracion Los parameros reales son calibrados al como lo vimos en Cooley and Presco (995. Los parameros monearios fueron calibrados de la siguiene manera: θ =.025 (consisene con una asa anual de crecimieno del dinero del orden del 5% σ ϕ =.0089 a =.95 (consisene con un raio m/c.4 b = 2.56 (consisene con una elasicidad de la demanda de saldos reales al coso de oporunidad del dinero del orden de.4 Φ se fija en 2 (7 0

11 pero se modifica de acuerdo con las diferenes simulaciones η = ρ =.95 γ =.5 (ambien modificado en las simulaciones σ e =.007. Dinamica Las simulaciones correspondienes al modelo desarrollado aqui se muesran en las noas de clase que ienen como iulo Simulaciones Modelo MIU. En paricular se puede desacar el caso en que γ = 0. En dicho esado donde el proceso del shock moneario se puede escribir como u = ϕ (por simplicidad asumamos φ = 0 no hay efecos de la poliica monearia sobre la economia real. Es que el shock moneario no afeca fuuros cambios en la asa de crecimieno monearia y por lo ano ampoco afeca la fuura asa de inflacion. Eso puede inerprearse como un aumeno de la canidad de dinero de una vez y para siempre seguido por un aumeno inmediao de los precios (recordemos que aqui los precios no ienen rigidez alguna. En consecuencia el nivel de m no varia y por lo ano no hay ransmision al lado real de la economia. Por el conrario a mayor γ mayor es la ransmision del shock moneario a las variables reales de la economia. Vemos que cuando ξ > 0 un shock moneario genera caida de mn c e y. Se podria desacar ademas el efeco de φ ane un shock ecnologico. Vemos que con ξ > 0 un shock real expansivo genera una correlacion posiiva enre oupu e inflacion cuando φ > 0 y viceversa. Nauralmene cual hipoesis acerca de φ es la mas cercana a la realidad dependera del regimen esudiado de poliica monearia.