Crecimiento óptimo: El Modelo de Cass-Koopmans-Ramsey

Transcripción

1 Crecimieno ópimo: El Modelo de Cass-Koopmans-Ramsey

2 1. El modelo de crecimieno ópimo En el modelo de Solow-Swan se suponía una asa de ahorro consane Ahora permiimos a los agenes deerminar de forma ópima la rayecoria de su consumo, La esrucura del modelo se debe a Ramsey (1928) y poseriormene Cass (1965) y Koopmans (1965) Ahora la asa de ahorro ópima durane la ransición puede ser creciene, decreciene o consane dependiendo de cieras combinaciones de valores parámericos esrucurales

3 2. Solución del planificador: Modelo de Ramsey Elige las sendas de consumo y ahorro que maximizan el bienesar del agene represenaivo, represenado mediane una función de uilidad que verifica cieras propiedades deseables, y condicionado a la verificación de la resricción de recursos (RR) de la economía. Donde: Problema en érminos per capia: θ Max U () { c, k} sujeo a: Siendo: la asa de descueno del consumo fuuro c el consumo per capia y uc ( ) la felicidad insanánea per capia f ( k ) la función de producción neoclásica, supondremos: f ( k ) = k α σ deermina el grado de curvaura de la función de uilidad insanánea RR 1 σ θ θ c 1 U() = e u( c ) d = e d 1 σ RR: c + k + ( n+ δ ) k = f ( k ) inversión Nóese que en el modelo de Solow: k + ( n+ δ ) k = sy

4 Noa sobre la función de producción Uilizamos la función de producción neoclásica que verifica las llamadas condiciones de Inada, y que presena rendimienos consanes a escala en los facores rabajo y capial, lo que permie su represenación en forma inensiva según la cual la producción per cápia puede expresarse como función únicamene del capial per cápia No consideramos progreso ecnológico porque queremos esudiar las flucuaciones de coro plazo, por lo que simplifica el análisis obener series que no muesran crecimieno de largo plazo (el crecimieno de la rena per cápia en el esado esacionario es nulo si no hay progreso écnico)

5 Noa sobre la función de uilidad: Se denomina función de uilidad con aversión relaiva al riesgo consane, iene la venaja de que dicha aversión al riesgo se resume en el valor del parámero. σ σ Cuano mayor es el parámero, mayor es la aversión al riesgo, lo que implica mayor concavidad de la función de uilidad y mayor suavidad en el perfil de consumo (menor volailidad del consumo a lo largo del ciclo económico) 1/σ se denomina elasicidad de susiución ineremporal del consumo Casos pariculares: σ = implica función de uilidad lineal σ =1 implica función de uilidad logarímica La baja volailidad observada en las series de consumo de economías reales implica que deberíamos usar en el modelo σ >1 Teoremas del Bienesar: En ausencia de exernalidades, la solución del planificador coincide con la que resularía de una economía compeiiva descenralizada sin gobierno en la que ineracúan familias y empresas.

6 Condiciones de opimalidad para el problema del planificador: Planeamos la función Hamiloniano: 1 σ θ c 1 θ α H( k, c, λ) = e + e λ ( k ( n+ δ) k c) (1) 1 σ donde e θ λ es el muliplicador valor presene o precio-sombra de la variable de esado k y derivamos respeco de las 2 variables de decisión para obener las condiciones de primer orden, juno con la llamada condición de ransversalidad (CT) σ θ Hc = : c e = λ, (2) α H : 1 k = λ λ αk ( n+ δ) = λ (3) f ' ( k ) CT :lim e θ λ k = Combinando las ecuaciones (1) y (2) obenemos la llamada Condición de Keynes-Ramsey o condición de Euler: c c 1 α 1 = α k ( n+ δ) θ σ r k Tasa de crecimieno del consumo

7 Noas sobre la decisión ópima consumo-ahorro: La asa de crecimieno del consumo será posiiva (negaiva, nula) cuando el ipo de inerés de equilibrio r sea mayor (menor, igual) a la asa de descueno, θ, eso es, la elección consumo-ahorro ópima viene deerminada por la condición c σ = [ r θ ] c Dado un exceso del rendimieno sobre la asa de descueno, cuano menor sea la aversión al riesgo del agene (menor sigma), mayor será la variación experimenada por el consumo (más voláil) La condición de ransversalidad garaniza que la senda de las variables no sea explosiva, eviando que se realice una acumulación de capial excesiva o por el conrario deficiene (en el primer caso acabaríamos sin consumo y en el segundo sin capial)

8 Esado esacionario ópimo (maximiza el bienesar agregado): Como en Solow-Swan, el esado esacionario se caraceriza por c = k = eso es, niveles consanes para las variables per capia (k SS, c SS ). Las variables agregadas crecerán a la asa n (crecimieno poblacional). La evolución dinámica de la economía viene definida por: (a) La ley de evolución del capial (como en Solow): k = k α ( n+ δ ) k c (b) La regla Keynes-Ramsey: c c 1 α 1 = α k ( n+ δ + θ) σ

9 Represenación gráfica: 1. Imponemos k α α = en (a): k = ( n+ δ) k c c = k ( n+ δ) k SS SS SS SS SS SS Lo que describe una curva en el plano (c,k) que es cóncava: c k ss ss c = αk ( n+ δ); = α α 1 k < 2 α 1 ss α 2 2 ( ) kss Máximo de la curva: 1 1 α css α = kgr = (Regla de oro) k n+ δ ss c = 2. Imponemos en (b), permiiendo obener el esado esacionario ópimo: 1 α 1 1 α 1 α 1 α α 1 α α α SS = + + SS = SS = ( + ) αk n δ θ k c n δ n+ δ + θ n+ δ + θ n+ δ + θ Eso demuesra que el esado esacionario es único.

10 c α c = : kss = n + δ + θ 1 1 α c SS ( ) k α = : k n +δ k k SS k GR k Max 1 = n + δ 1 1 α k Es direco demosrar que kss < kgr : la regla de oro implica una sobre-acumulación de capial, permie un mayor nivel de consumo cuando se alcanza el esado esacionario, pero es necesario sacrificar demasiado consumo previamene. Imponer una asa de ahorro consane (Solow-Swan) es subópimo (en Cass- Koopmans la asa de ahorro se deermina ópimamene periodo a periodo)

11 c c = Modelo de Ramsey c k < c > c < k > k = k SS k k Dirección de los cambios en consumo: c c 1 α 1 α = αk ( n δ θ) k kss : ( n δ θ), c 1 α σ + + = = + + = k α k < ( > ) kss : > ( < )( n+ δ + θ), c ( ) 1 α > < k Dirección de los cambios en capial: k α α = k ( n+ δ) k c c = css : kss ( n+ δ) kss c = k = α c < ( > ) c : k ( n+ δ ) k c > ( < ), k > ( < ) SS SS SS

12 c c = Modelo de Ramsey c k < c > c < k > k = k SS k k c III II I IV k

13 Trayecoria esable c c SS Diagrama de fases k SS k

14 Trayecoria esable: Para cada nivel del sock de capial, hay un solo valor que puede omar el consumo para que la economía converja al esado esacionario ópimo. Esa rayecoria es un conjuno de valores (c,k) que consiuyen la solución del planificador, y se caraceriza por verificar la condición de ransversalidad lim e θ λ k = SS SS Se denomina condición de esabilidad a la función que esablece el valor que debe omar la variable de conrol, el consumo, como función de la variable de esado, el capial, para que la economía se siúe en la rayecoria esable. Es del ipo: c = f( k parámeros esrucurales), Necesiaremos anas condiciones de esabilidad como variables de conrol haya en el modelo.

15 Ese ipo de dinámica se denomina esabilidad de puno de silla: para que un sisema dinámico presene esa evolución dinámica la mariz de ransición que relaciona el vecor de variables en el periodo y en el periodo +1 debe verificar algunas propiedades (un auovalor negaivo y uno posiivo si esamos en iempo coninuo, o uno menor que 1 y oro mayor que 1, en valor absoluo, si esamos en iempo discreo) Sólo si la variable de conrol se siúa en la rayecoria esable la economía converge al esado esacionario, cualquier oro valor de la variable de conrol implicaría que la economía se alejaría progresivamene del esado esacionario. Sólo la rayecoria esable verifica odas las condiciones de primer orden (incluyendo ransversalidad), ésa evia rayecorias explosivas que implicarían que a largo plazo desaparecería el capial (si consumimos demasiado, kt ) o el consumo (si inverimos demasiado, c ) T

16 La forma de la rayecoria esable depende de los valores paraméricos: por ejemplo, si la aversión al riesgo es ala la rayecoria es muy lineal y iene poca pendiene, para garanizar que la senda de consumo sea suave c Aversión riesgo baja Aversión riesgo ala k

17 En general no es posible deerminar la expresión analíica de la rayecoria esable o de la condición de esabilidad, pero podemos obener soluciones numéricas aproximadas (log-linealizamos el sisema de condiciones de primer orden en orno al esado esacionario). Trayecoria esable aproximada (condición de esabilidad) c Trayecoria esable c SS k SS k

18 3. Problema descenralizado Modelo de Ramsey 1. Familias: Propiearias de acciones emiidas por las empresas, cada acción da derecho a una unidad de capial y proporcionan un rendimieno real (r ) Propiearias de una unidad de rabajo por el que reciben un salario (w ). La rena salarial más la remuneración de los acivos deerminan su rena disponible Deciden cómo disribuyen su rena disponible enre consumo y ahorro (inversión en capial) 2. Empresas: Alquilan rabajo (L ) a cambio de un salario y emien acciones que son compradas por las familias, a las que pagan un rendimieno Son además propiearias del capial producivo (K ) que uilizan, juno con el rabajo, para obener una producción de acuerdo con la ecnología que ienen disponible y la venden en el mercado de produco a cambio de un precio, que normalizamos a 1 (bien numerario). El produco es un bien homogéneo que puede desinarse a consumo o a inversión. Toman como dado: w, r y el precio del produco (son precio-acepanes en mercados de facores y de produco)

19 3. Mercados: Familias y empresas ineracúan en los mercados de facores y producos, fijándose los precios que equilibran demandas y oferas (w, r, p Y ) Mercado de rabajo: se deermina el salario (w ) que equilibra la ofera de rabajo de los hogares (L S ) con la demanda de las empresas (L D ). Mercado de capial: se deermina la asa de alquiler (r ) que equilibra la ofera de capial de las empresas (K S ) con la demanda de los hogares (K D, demanda de inversión, como función de su renabilidad) Mercado de produco: se deermina el precio del bien p Y que equilibra la ofera de produco de las empresas con la demanda de los hogares

20 Familias: Condiciones de primer orden: E mpresa: Modelo de Ramsey 1 σ c 1 Max e θ d { c, v} 1 σ sujeo a: dado ( ) c + v = w + r n v v 1 σ θ c 1 Hc (, v, wr,, μ) = e + μ w + ( r nv ) c 1 σ θ σ Hc = : e c = μ, c 1 = r ( n + θ ) Hv = μ : μ[ r n] = μ c σ θ lim e μ v = { L, K } ( δ ) α 1 α Max K L wl r + K Por la condición de no arbiraje, el rendimieno de los acivos financieros (r ) se iguala en el equilibrio al rendimieno del capial físico (R - ): R = r + δ (3) δ CPO: ( ) αk L = r + δ αk = r + δ αk = r + δ k α 1 1 α α 1 α α α α (1 α) L K = w (1 α) k = w (5) (4)

21 Susiuyendo (4) en (3) obenemos la misma regla Keynes-Ramsey del problema del planificador: c 1 α 1 = α k ( n+ δ + θ) c σ Susiuyendo (4) y (5) en la RP del consumidor y eniendo en cuena que en equilibrio v = k (la empresa emie una acción por cada unidad de capial), obenemos la misma resricción de recursos del planificador: v k = k α ( n+ δ ) k c = k Susiuyendo en la condición de ransversalidad del consumidor obenemos la misma CT del planificador: lim e θ λ k =

22 ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA EN EL MODELO DE RAMSEY El análisis de la dinámica de esa economía se reduce al esudio de las siguienes ecuaciones dinámicas: (suponemos que la producción per cápia viene dada por la función: y = k α ) Regla Keynes-Ramsey: c 1 α 1 dln c 1 ( α 1)lnk = α k ( ) n δ θ αe ( n δ θ) c σ + + = + + d σ Resricción de recursos: k α 1 c dln k ( α 1)lnk lnc lnk = k ( n+ δ) = e ( n+ δ) e k k d Si aproximamos log-linealmene esas dos ecuaciones alrededor del esado esaconario enemos:

23 dln c d η ln c ln css, dln k h θ ln k ln k ss d D x x 1 α η = ( n + δ + θ) > σ donde (1 α)( n + δ) + θ h = > α siendo los auovalores de D: 2 2 θ + θ + 4ηh θ θ + 4ηh μ1 = > θ >, μ2 = <, 2 2 revelando la exisencia de una solución de puno de silla (solución deerminada).

24 La solución a ese sisema dinámico lineal en logarimos iene la forma: D Λ 1 x = Dx x = e x x = Γe Γ x, donde Γ es la mariz de auovalores por la derecha de D y oma la forma: 1 1 μ 1 2 / η 1 η Γ = ; Γ. μ1/ η μ2/ η = μ1 μ 2 μ1/ η 1 Por ano, la solución será como sigue: μ1 μ2 x1 ln c ln css = e b11 + e b12 ( Ω ) μ1 μ2 x2 ln k ln kss = e b21+ e b22 1 b11 = [ μ2(ln c ln css ) + η(ln k ln kss) ] μ1 μ2 1 b12 = [ μ1(ln c ln css) + η(ln k ln kss) ] μ1 μ2 donde μ1 b21 = μ2(ln c ln css) + η(lnk ln kss ) ( μ1 μ2) η μ2 b22 = μ1(ln c ln css) + η(ln k ln kss) ( μ1 μ2) η [ ] [ ] La condición de ransversalidad aplicada a la solución para μ1 el sock de capial implica que b 21 = ya que e b crece más rápido que ln = ln η (ln ln ) (A) e θ. Eso implica que: c css k k ss μ2 21

25 Nóese que esa condición ambién implica que b 11 =. Así, aplicando esas condiciones sobre la solución (Ω) se llega a: μ2 η ln c = ln css e (ln k ln kss) μ2 μ2 η ln k = ln kss + e (ln k ln kss) μ 2

26 Bibliografía: Modelo de Ramsey Novales, Fernández y Ruiz (29): Economic Growh: Theory and Numerical Soluion Mehods, Springer- Verlag, Capíulos 3 y 4 Sala-i-Marin (2): Apunes de crecimieno económico, Anoni Bosch Edior, Capíulo 3