Análisis de la estabilidad y solvencia del fondo de un plan de pensiones de prestación definida

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1 Análisis de la esabilidad y solvencia del fondo de un plan de pensiones de presación definida rancisco José Peláez ermoso 1 Ana García González Deparameno de Economía Aplicada aculad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Valladolid RESUMEN El objeivo principal que los auores de ese rabajo nos proponemos con su realización, es analizar la esabilidad y la solvencia del fondo de un plan de pensiones de presación definida promovido por una empresa a favor de sus rabajadores. Eso va a permiir al gesor financiero o al acuario del plan disponer de una herramiena adecuada para conocer, en odo momeno, si el plan dispone de los recursos financieros suficienes para poder hacer frene al pago de los compromisos conraídos con sus posibles beneficiarios. Para conseguir ese propósio, esablecemos, en primer lugar, un modelo en iempo discreo represenaivo de la esrucura que caraceriza a ese ipo de planes de pensiones, con dos versiones del mismo. En segundo lugar y para ambas versiones, deerminamos la ecuación que rige la rayecoria que define la evolución del fondo de pensiones, variable más relevane del modelo. A coninuación, realizamos un análisis de la esabilidad de esa variable, para, poseriormene, hacer una simulación prácica del modelo para las dos versiones. Traamos con ello de disponer en odo momeno, con los resulados obenidos de la misma, de información sobre el comporamieno dinámico del fondo de pensiones, lo que va a permiir al gesor una mayor capacidad para la oma de decisiones. Por úlimo, para complear ese rabajo, realizamos un análisis de la 1 ppelaez@eco.uva.es anagar@eco.uva.es 109

2 rancisco José Peláez ermoso sensibilidad del fondo de pensiones ane pequeñas variaciones en los valores de algunos de los parámeros que inervienen en el modelo y que se supone influyen en su rayecoria. El objeivo de ese úlimo esudio no es oro que el de poder comprobar si los valores de la variable relevane del modelo se modifican susancialmene ane ales variaciones. Palabras clave: análisis de sensibilidad, dinámica de sisemas, esabilidad, méodos acuariales de disribución de coses, planes y fondos de pensiones. 1. INTRODUCCIÓN Los planes y fondos de pensiones del sisema de empleo, como así les denomina la Ley y el Reglameno por los que se rigen 3, son insrumenos financieros de ahorro e inversión a largo plazo, de carácer privado, promovidos por las propias empresas a favor de sus empleados a efecos de incenivar su fidelidad, el incremeno de su producividad y el diferimieno de salarios a su jubilación a ravés del ahorro sisemáico realizado durane su acividad laboral. Como argumenan disinos auores como Jimeno y Licandro 1999 y Munnell 1990, exisen muliud de razones que han conribuido, si cabe, a un creciene desarrollo de los planes y fondos de pensiones de empleo en el mercado de rabajo, enre las que cabe reseñar el cuesionamieno acual de la viabilidad financiera del sisema público de pensiones; el bajo índice de naalidad, refrendado por una asa de fecundidad cada vez más reducida y, sobre odo, los cambios demográficos que afecan a la evolución fuura de la población, cuya esperanza de vida se espera vaya en aumeno, ernández Cordón En consecuencia, ese ipo de planes son un insrumeno que pueden uilizar las empresas para financiar las pensiones de jubilación de sus rabajadores, lo que va a permiir al fuuro pensionisa manener un nivel de vida similar al que poseía en acivo. 3 Ar. 4 de la Ley 8/1987, de 8 de junio, ar..3.a y ar. 5 del Real Decreo 304/004, de 0 de febrero, por el que se aprueba el Reglameno de Planes y ondos de Pensiones. 110

3 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. Con esos anecedenes, es lógico considerar, en general, que el fin úlimo que ha de buscar un plan de pensiones es suminisrar deerminadas indemnizaciones de carácer económico ane el posible acaecimieno de algunas coningencias sobre los individuos a favor de quienes se crea el plan. De ese modo, raa de miigar, en la medida de lo posible, las consecuencias económicas que se derivan del acaecimieno de las mismas. Como conraparida, esos planes de pensiones obligan a realizar a los acuales parícipes y/o al promoor del plan aporaciones de diferenes cuanías que deben de ser capaces de financiar los compromisos económicos por ellos garanizados. Lo aneriormene expueso conduce a que cualquier plan de pensiones de presación definida del sisema de empleo, como el analizado en ese rabajo, que se caraceriza, enre oras cosas, por esablecer previamene la cuanía de la presación que cubre una deerminada coningencia, lleva consigo un riesgo imporane para el empresario promoor en relación con su capacidad fuura para garanizar al compromiso. Lo conrario sucede con los planes de pensiones de aporación definida del sisema de empleo, en los que no exise riesgo para el empresario y sí para el rabajador. En relación con la solvencia del fondo asociado a un plan de pensiones de presación definida, exisen auores como Dufresne 1989, Zimbidis y Haberman 1993 y Gerrard y Haberman 1994 que analizan esa caracerísica desde diferenes punos de visa. Por ano, para un esudio dinámico del fondo de un plan de pensiones, es preciso conocer si ése dispone en odo momeno de los recursos financieros suficienes para hacer frene a la coberura de las obligaciones conraídas con sus parícipes, es decir, si el plan es solvene y, por ora pare, eniendo en cuena las aporaciones realizadas al fondo del plan, si el nivel alcanzado por ése se maniene esable en el iempo. Considerando odo lo reseñado, esablecemos como principal objeivo de ese rabajo deerminar la evolución y analizar la esabilidad en el iempo del fondo de pensiones donde se maerializan las aporaciones del plan, de forma que pueda conrolarse, en odo momeno, el nivel de recursos que ése dispone y conocer si esá en disposición de cubrir las necesidades de carácer económico que el plan garaniza. Eso es así porque el fondo del plan es la variable más significaiva del modelo represenaivo del plan de pensiones descrio en ese rabajo. De esa manera, el gesor financiero o el acuario del 111

4 rancisco José Peláez ermoso plan dispondrá, en odo momeno, de información suficiene que le va a permiir decidir punualmene sobre deerminados exremos relacionados con la gesión financiera del fondo de pensiones, como qué políica es la más adecuada para la inversión de los recursos financieros disponibles, Boulier y Dupré 00, o qué méodo acuarial uilizar para la valoración del plan y disribución racional de coses, eniendo en cuena la siuación económica y financiera de la empresa promoora del mismo, Anderson 199. Para ese propósio, planeamos en ese rabajo un modelo maemáico represenaivo de un plan de pensiones de esas caracerísicas, a ravés del cual, podamos esudiar su evolución y conocer en odo momeno su capacidad para hacer frene a los compromisos conraídos con sus parícipes. A coninuación procedemos a su simulación con el fin de poder comprobar cómo se modifican los valores de las variables que en él inervienen ane pequeñas modificaciones en los valores de algunos de sus parámeros. De igual forma, para poder consruir el modelo asociado a un deerminado sisema de pensiones de esas caracerísicas que nos permia analizar su evolución en el iempo, uilizamos la meodología seguida por la Dinámica de Sisemas y aplicada por diversos auores para el esudio de los sisemas económicos y de previsión social, que nos va a permiir analizar su comporamieno a ravés de las diferenes ecuaciones que recogen las inerrelaciones exisenes enre las variables y parámeros asociadas a los mismos, orreser 1971, Aracil Sanonja 1981 y Aracil Sanonja y Toro El conenido de ese rabajo se esrucura como sigue: en la sección se planea un modelo represenaivo de un plan de pensiones de presación definida del sisema de empleo, para el que describimos la meodología seguida por la Dinámica de Sisemas para su esudio, así como las variables, parámeros e hipóesis que inervienen en su análisis. En las secciones 3 y 4 se describen dos versiones en iempo discreo de ese modelo, deerminándose para ambas los diagramas de flujos correspondienes, la evolución del fondo del plan de pensiones y su esabilidad, con el fin de conocer su comporamieno a ravés del iempo. Para finalizar esa sección, hacemos una simulación prácica del modelo para daos hipoéicos asociados a un plan de pensiones 11

5 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. de esas caracerísicas. En la sección 5 realizamos un análisis de la sensibilidad del modelo sólo para la segunda versión del mismo, eniendo en cuena las variaciones en algunos de sus parámeros, a fin de comprobar cómo varía el valor del fondo de pensiones frene a pequeñas modificaciones de los mismos. Por úlimo, en la sección 6 se recogen algunas conclusiones deducidas de los resulados obenidos de la simulación para ambas versiones del modelo.. EL MODELO En ese rabajo analizamos un genérico plan de pensiones de presación definida del sisema de empleo, que acaba de ser implanado por una deerminada empresa a favor de sus rabajadores, y que se caraceriza porque sólo el promoor del plan realiza aporaciones periódicas durane la vida laboral de cada rabajador a su cuena de posición en el fondo de pensiones donde se inegra el plan. Esas aporaciones, juno con los inereses generados por su inversión, Villalón 1997, van a financiar la fuura pensión de jubilación de cada rabajador que, para el desarrollo de ese rabajo, suponemos es la única que garaniza el plan. Ese modelo es aplicable a planes de pensiones del sisema de empleo en los que se uilizan ano méodos acuariales de presaciones acumuladas como de presaciones proyecadas para su valoración y disribución de coses, Bezuen Zalbidegoiia y Blanco Ibarra Planeamos y analizamos el modelo represenaivo de ese ipo de plan de pensiones en forma discrea, enfoque mucho más realisa que el que se realizaría en el campo coninuo, además de simplificar significaivamene algunos de los desarrollos y cálculos inherenes a su esudio. De igual forma, siguiendo ese enfoque, realizamos un análisis de la sensibilidad del fondo del plan, variable más relevane del modelo, a ravés de los coeficienes de sensibilidad ano absoluos como relaivos que miden las variaciones que el fondo experimena ane pequeñas modificaciones en los valores de algunos parámeros y condiciones iniciales del modelo, Aracil Sanonja Realizamos ese análisis considerando dos versiones diferenes del modelo planeado. En la primera se considera que las hipóesis de parida, esablecidas al comienzo del plan por el acuario, se verifican exacamene en cada período de su 113

6 rancisco José Peláez ermoso valoración, lo que implica la inexisencia de desviaciones acuariales, McGill Ese es un enfoque más opimisa y menos real que el que se conempla en la segunda versión, cuando sí se consideran como posibles la exisencia de desviaciones enre la realidad experimenada en cada período de valoración del plan y las hipóesis iniciales esablecidas para los diferenes parámeros y magniudes del modelo. Para ambas versiones, se realiza un análisis de la evolución y comporamieno del fondo de pensiones y se esudia la esabilidad del mismo a lo largo del iempo, con el fin de comprobar la solvencia que el plan de pensiones ofrece a sus posibles beneficiarios..1 Variables y parámeros del modelo Para poder describir la evolución del modelo represenaivo de un plan de pensiones de las caracerísicas indicadas, pasamos a reseñar a coninuación las principales variables que en él inervienen, uilizando la nomenclaura específica seguida por Anderson 199, Haberman y Sung 1994 y Bowers e al. 1997: : fondo de pensiones donde se maerializan los recursos financieros aporados por el empresario promoor al plan al comienzo del período genérico de valoración, 1. AL : provisión maemáica o fondo ideal del plan en el momeno. Represena el valor acuarial de los compromisos conraídos en forma de presaciones económicas por el plan hasa ese momeno con sus parícipes. NC : cose normal que financia la provisión maemáica del plan y se devenga de forma anual al comienzo de cada periodo. UAL : provisión maemáica no consiuida del plan en, siendo UAL = AL. Si esa variable oma un valor negaivo, se puede inerprear como que el fondo del plan no cubre el nivel de recursos requerido para el pago de los compromisos económicos adquiridos hasa ese momeno. SC : cose suplemenario que amoriza la provisión maemáica no consiuida del plan en. Ese cose adicional se devenga al comienzo de cada período y viene definido como SC = z UAL, donde z es el ano de amorización anual de la provisión maemáica no consiuida en cada período. 114

7 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. C : conribución oal aporada anualmene por el promoor del plan al fondo de pensiones al comienzo del período, 1. Viene definida como C = NC SC. P : valor acuarial en de las pensiones causadas a favor de los parícipes que alcanzan la edad de jubilación en ese momeno. r : ano de rendimieno anual producido en por las inversiones de los acivos donde se maerializan los recursos financieros del fondo de pensiones. i : ano de inerés écnico anual uilizado en la valoración del plan durane el período. g : gaso anual ocasionado por la gesión financiera del fondo de pensiones donde se inegra el plan. Ese gaso viene definido como un porcenaje del nivel alcanzado por el fondo del plan en cada período de su valoración 4. 1 R : rendimieno anual obenido por las inversiones de los acivos del fondo de pensiones al final del período genérico de valoración del plan, 1: [ C P g ] R 1 = r. Ga 1 : ganancia acuarial del plan. Es una medida del resulado económico obenido al final de cada período de valoración del plan, influyendo en su deerminación la gesión financiera del mismo.. Hipóesis del modelo A coninuación describimos las hipóesis de parida que debe de fijar el acuario del plan a su creación para poder realizar el análisis y poserior valoración del mismo: El colecivo de parícipes que inegra el plan es abiero y esacionario, es decir, se maniene consane en el iempo, ya que suponemos que coinciden las enradas y salidas en cada período. Ese planeamieno es coherene con el supueso de que la empresa promoora del plan enga esablecido un 4 A ese respeco, el Reglameno según Real Decreo 304/004, de 0 de febrero, por el que se regulan los Planes y ondos de Pensiones, esablece en el ar. 84.1, que la comisión que podrán percibir las sociedades gesoras de fondos de pensiones será del % como máximo. 115

8 rancisco José Peláez ermoso deerminado número de rabajadores en relación con la producción que inena alcanzar. La edad de enrada al plan para odos los parícipes esá fijada a los 5 años. Esa hipóesis se esablece para conseguir que el colecivo de parícipes se manenga esacionario. Las funciones AL, NC y P van a permanecer consanes en odo el horizone emporal durane el cual el plan es operaivo como consecuencia de considerar las dos primeras hipóesis, Haberman y Sung El plan conempla como posibles causas de salida del colecivo previas a la edad de jubilación esablecida 65 años, el fallecimieno, la invalidez y la roación, pero únicamene cubre la presación por jubilación. El ano de inerés écnico de valoración del plan, el ano anual de rendimieno real de las inversiones, el ano de amorización anual de la provisión maemáica no consiuida y el gaso anual por la gesión del fondo de pensiones se suponen consanes durane el horizone emporal en el que se realiza el análisis del plan. El ano anual de amorización de la provisión maemáica no consiuida se calcula de forma lineal. La conribución anual aporada por el promoor del plan al fondo de pensiones se realiza al comienzo de cada período. Las presaciones de jubilación que se devengan a favor de los parícipes que se reiran en cada período son deraídas del fondo del plan al comienzo del mismo. El plan de pensiones analizado es de nueva creación y operaivo durane un horizone emporal ilimiado, pueso que se supone una acividad indefinida para la empresa promoora del mismo. En ese modelo el nivel inicial del fondo de pensiones es nulo, 0 = 0 y, en consecuencia, la provisión maemáica no consiuida al comienzo del plan coincide con la provisión maemáica, es decir, U Α L0 = ΑL0 = AL. Esa variable oma un valor posiivo debido al reconocimieno y no doación al fondo del plan de la cuanía correspondiene al valor calculado para los servicios pasados realizados por los rabajadores en la empresa promoora del mismo hasa su implanación. 116

9 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D..3 Meodología aplicada Para la descripción y análisis del modelo hemos seguido la meodología de la Dinámica de Sisemas, que cuena enre sus principales objeivos la consrucción de modelos que expliquen deerminados comporamienos de los sisemas sociales relacionados con la vida real, enre los que cabrían ciar, los sisemas socio-económicos, de formación de capiales, de mercado de rabajo y de población, enre oros. Han sido diversos auores los que han raado de analizar el comporamieno de esos sisemas a ravés de esa meodología. A modo de resumen y siguiendo las pauas dadas por orreser 1961, pionero de esa eoría, el análisis de cualquier sisema dinámico debe consar de las siguienes eapas: En primer lugar, y a ravés de la observación de la realidad, se eligen los elemenos que definen el comporamieno real del sisema objeo de esudio. Una vez deerminados los elemenos que forman pare del sisema, se buscan las relaciones que exisen enre ellos por medio de los denominados diagramas causales, que permien conocer la esrucura de un sisema dinámico, deerminado por las variables que aparecen en dicho sisema y por la exisencia de relaciones causa-efeco enre dichas variables, aunque la información que proporcionan esas relaciones sea de nauraleza exclusivamene cualiaiva. Una relación causa-efeco enre dos variables es posiiva, si ane una modificación de la variable causa se produce una variación en el mismo senido en la variable efeco y viceversa. Si en el diagrama causal exisen cadenas cerradas de relaciones causa-efeco, denominadas bucles o ciclos de realimenación, se puede volver a la variable de parida siguiendo dichas relaciones causa-efeco. Esos bucles de realimenación pueden ser posiivos, si la variación de un elemeno del sisema se propaga a lo largo de odo el bucle reforzándose la variación inicial, o negaivos, si la variación de un elemeno se ransmie a lo largo del bucle produciéndose una variación de signo conrario en el mismo elemeno. Los primeros se caracerizan porque el número de relaciones causaefeco negaivas que poseen es par o nulo, mienras que los segundos se caracerizan por poseer un número impar de relaciones causa-efeco negaivas. En un diagrama causal coexisen bucles de realimenación posiivos y negaivos, por lo que la ineracción enre 117

10 rancisco José Peláez ermoso ellos deerminará el comporamieno global del sisema, que dependerá de cuáles de los bucles sean predominanes en cada momeno. Las disinas variables y parámeros que recoge cualquier diagrama de flujos pueden clasificarse en las siguienes caegorías, orreser 1961, Aracil Sanonja 1986 y Aracil Sanonja y Toro 1993: Niveles: variables que deerminan el comporamieno del sisema y que recogen la acumulación de odas las acciones pasadas, siendo modificados por las variables flujo. Cada nivel lleva asociado una ecuación maemáica que deermina su evolución en el iempo. lujos: sirven para inroducir o exraer unidades respeco de las variables nivel y salvo con los niveles, con los que se unen por canales maeriales, con el reso de las variables lo hacen por canales de información. Variables auxiliares: represenan eapas inermedias que se uilizan para deerminar los valores de los flujos a parir de los niveles. Consanes: se uilizan para ajusar unidades de los flujos y de las variables auxiliares. Nubes: se consideran como fuenes o pozos inagoables del sisema de donde se exrae y a donde va a parar la maeria. Son el comienzo y final de los canales maeriales. Canales: sirven para unir las diferenes variables del modelo. Pueden ser maeriales, si ransporan maeria, o de información, si ransmien ésa. Una vez realizada esa clasificación se puede planear el modelo maemáico, que inicialmene se expresa de forma gráfica en el denominado diagrama de flujos, y que, poseriormene, es raducido en una serie de ecuaciones diferenciales de primer orden que proporcionarán el comporamieno dinámico del sisema durane odo el horizone emporal. inalmene, se simula el modelo realizando un análisis de sensibilidad respeco de los principales parámeros que en él inervienen, con el fin de poder comprobar las 118

11 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. posibles desviaciones que aparecen enre las predicciones realizadas y la realidad, a ravés de los resulados obenidos en cada periodo de valoración del modelo. En el caso que exisan desviaciones es necesario ajusar el valor de algunos de los parámeros del modelo o planearlo nuevamene. En nuesro modelo, represenaivo de un plan de pensiones, una vez esablecidas las hipóesis y definidas las variables y funciones que en él inervienen, pasamos a deerminar las relaciones causa-efeco que exisen enre ellas y que vienen recogidas en el diagrama causal correspondiene. Ese diagrama consa de dos bucles de realimenación, uno negaivo y oro posiivo, represenados en el siguiene gráfico: igura 1. Diagrama causal Una vez deerminado ese diagrama, se consruye el diagrama de flujos asociado al modelo, donde, como se verá en el siguiene aparado, se recogen las relaciones enre sus variables y del cual se deducen las ecuaciones maemáicas que van a deerminar su comporamieno durane el horizone emporal esablecido. 3. VERSIÓN 1 DEL MODELO En esa primera versión del modelo, suponemos que las hipóesis acuariales de parida se verifican en cada período de valoración del mismo, es decir, que el ano de inerés écnico de valoración y de los anos de siniesrabilidad esimados para las disinas coningencias cubieras por el plan coinciden con los reales, lo que dará lugar a 119

12 rancisco José Peláez ermoso que no se produzcan desviaciones y, por ano, la ganancia acuarial del plan será nula. Para esa versión del modelo la conribución anual al plan viene definida por la expresión C = z [ AL ] NC. En el análisis del modelo represenaivo del fondo de pensiones que se realiza a coninuación, los parámeros del mismo deben verificar las siguienes condiciones: 0 < r, g, z <1; γ = 1 g z y p = 1 r. Poseriormene se definirán los valores de z que garanizan la esabilidad del modelo. Para esa primera versión del modelo asociado a un plan de pensiones de esas caracerísicas, describimos a coninuación la figura, represenaiva del diagrama de flujos que recoge las relaciones exisenes enre las principales variables: R AL g z r E1 S1 NC E S P C igura. Diagrama de flujos. En ese diagrama de flujos,, represena el fondo del plan,, y es la variable nivel del modelo; el cose normal, la provisión maemáica, la presación, el ano anual de amorización, el ano de rendimieno anual de las inversiones y el gaso anual de gesión son consanes por hipóesis y se represenan, respecivamene, como NC, AL, P, z, r y g; la conribución, C, se represena como C, y es una variable auxiliar; E1, E, S1, S son los flujos de enrada y de salida definidos como: 10

13 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. 11 [ ] [ ]. 1 1 P S g S AL z NC C E g P C r R E = = = = = = 3.1 Evolución del fondo del plan de pensiones A parir del diagrama de flujos, se deducen las ecuaciones que deerminan el comporamieno del fondo del plan a ravés del iempo. La ecuación asociada a la variable de nivel, es decir, el fondo del plan, es: [ ]. 1 1 S S E E =. Por ano, eniendo en cuena las relaciones descrias aneriormene, se iene: [ ]. P g C g P C r = Cuando = 1, en la ecuación anerior obenemos: [ ]. 1 g P C r g P C = Susiuyendo en esa expresión C por su valor, se iene: [ ] [ ]. 1 ; P NC AL z p p r P NC AL z z g = = γ Por ano, resolviendo esa ecuación en diferencias de primer orden y no homogénea, se obiene la rayecoria que deermina la evolución del fondo del plan de pensiones ver Anexo: [ ]. 1 1 p P NC AL z p p C = γ γ

14 rancisco José Peláez ermoso 3. Análisis de la esabilidad del fondo de pensiones Como sea que el objeivo que debe buscar siempre el gesor de un plan de pensiones de esas caracerísicas es aproximar en odo momeno y, en la medida de lo posible, el nivel alcanzado por el fondo del plan con el que debería ener consiuido ése en razón de los compromisos adquiridos con sus parícipes, esudiamos la esabilidad de esa variable con el propósio de conocer si el fondo del plan se ajusa de forma adecuada a la provisión maemáica exisene en cada momeno de su valoración acuarial. En el * equilibrio se verifica que 1 = =. Susiuyendo en la ecuación en diferencias ya esablecida, se obiene γ p = p[ z AL NC P], deerminando a parir de ésa el esado de equilibrio: 1 γ p 0. p = [ z AL NC P] 1 γ p, donde Una vez deerminado el esado de equilibrio, hacemos un análisis de la esabilidad del modelo. Para ello, necesiamos conocer el módulo del auovalor obenido de la ecuación caracerísica, y según ése sea menor o mayor que la unidad, la variable represenaiva del modelo, el fondo de pensiones, se esabilizará o no, es decir, enderá o se alejará del esado de equilibrio cuando. Los valores de z que garanizan que el modelo se esabiliza, es decir, que el fondo del plan de pensiones iende a su esado de equilibrio cuando, son aquellos que hacen que λ < 1. Por ano, ha de verificarse la siguiene desigualdad: p 1 g 1 z >, con p 1 g > 1. p En consecuencia, para los aneriores valores de z se cumple la siguiene relación: 1

15 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. ya que λ = γ p < 1. Ese resulado implica que pariendo de cualquier condición inicial del fondo de pensiones, ése siempre iende a la siuación de equilibrio al cabo de un ciero período de iempo. 3.3 Aplicación prácica En ese aparado realizamos una simulación prácica de la primera versión del modelo 5. Para ello, parimos de los valores de las variables y parámeros suminisrados por una enidad gesora de un hipoéico plan de pensiones de presación definida del sisema de empleo, para cuya disribución de coses y valoración acuarial se uiliza el méodo de coses del Crédio Uniario Tradicional 6. Esos daos son: colecivo de parícipes = perenecen 100 parícipes a cada edad comprendida enre los 5 y 65 años; N = 100 número de parícipes que enran al plan durane cada periodo; AL = ; NC =.000; P = 3.750; g = 0,0; i = 0,05; 0 = 0; D = W = IN = 0 y J =100, donde D, W, IN y J denoan el conjuno de parícipes que fallecen, roan, se invalidan y se jubilan, respecivamene, en el periodo, 1 de valoración. De la simulación del modelo para esos daos, obenemos la abla 1 donde se recogen en las columnas 3, 4, 5 y 6 los valores de equilibrio del fondo del plan según varíe el plazo de amorización de la provisión maemáica no financiada, es decir, según se amorice en 10, 0, 30 o 40 años, respecivamene, para valores de r comprendidos en el inervalo [4,5%, 6%], valores considerados como los más probables en nuesro modelo, variando r de 0.5 en 0.5 punos. La columna muesra la condición que ha de cumplir z para garanizar la esabilidad del modelo para cada valor de r, dado el valor de g. En esa abla podemos observar que el nivel de equilibrio alcanzado por el fondo del plan crece al aumenar el ano de rendimieno anual de las inversiones del plan. 5 Para la simulación de ese modelo se uiliza el programa informáico Powersim Para un análisis deallado de ese méodo acuarial de coses consular Anderson

16 rancisco José Peláez ermoso r Condición de esabilidad a *; z10 = 0.10 *; z0= 0.05 *; z30= *; z40= 0.05 z > 0, , ,9 < 0 < 0 z > 0, , 30.41,1 < 0 z > 0, , ,6 < 0 z > 0, , ,6 < 0 z > 0, , ,1 < 0 z > 0, , ,5 z > 0, , ,9 Tabla 1 : Para esos valores de r no se cumple la condición de esabilidad. a p 1 g 1 : El modelo se esabiliza si z >, con p 1 g > 1. p En el gráfico 1, represenamos la rayecoria que describe el comporamieno del fondo de pensiones para el caso que más se aproxima al fondo ideal o provisión maemáica del plan, AL, que es aquél en el que r = 5,75% y z = 0, TIME 1 AL Gráfico 1: r = 5,75%; z = 0,10; g = 0,0. 4. VERSIÓN DEL MODELO En esa segunda versión del modelo se iene en cuena que, en cada período en el que se realiza la valoración del plan, pueden generarse desviaciones enre la experiencia real y las hipóesis de parida esablecidas, lo que puede dar lugar a unos resulados económicos posiivos ganancias o negaivos pérdidas. Esas desviaciones originan un incremeno o disminución de la provisión maemáica no consiuida del plan, hecho que deberá ser enido en cuena en odo momeno por el gesor financiero del mismo. En ese caso, el diagrama de flujos represenado en la figura 3 recoge la evolución del fondo de pensiones eniendo en cuena las desviaciones económicas anes reseñadas. 14

17 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. Para garanizar la esabilidad de ese modelo y, por ano, de su variable más relevane, el fondo de pensiones, los parámeros del mismo han de verificar las condiciones: 0 < g, r, i, z < 1; p = 1 r y u = 1 i. Asimismo, la conribución anual al fondo del plan de pensiones viene definida, en ese caso, por la expresión: C = z UAL NC = z [ AL 1 NC u C 1 u Ga] NC. R i Ga r E1 g S1 AL z NC C E S P _1 fre C_1 frs fre1 frs1 igura 3: Diagrama de flujos. En ese diagrama de flujos,, represena el fondo del plan,, y es la variable nivel del modelo; el cose normal, la provisión maemáica, la presación, la ganancia acuarial, el ano anual de amorización, el ano anual de rendimieno real de las inversiones y el gaso anual de gesión son consanes por hipóesis y se represenan, respecivamene, como NC, AL, P, Ga, z, r y g; la conribución, C, se represena como C, y es una variable auxiliar; fre1, fre, frs1, frs son los flujos de enrada y salida de los niveles de reraso; NR1 y NR, los niveles de reraso que es necesario considerar ficiciamene en el modelo para poder deerminar adecuadamene la evolución de las variables reardadas, el fondo, 1, y la conribución, C 1; E1, E, S1, S son los flujos de enrada y de salida definidos como: E1 = R = r E = C = z UAL [ C P g ] NC = z [ AL 1 NC u C 1 u Ga] S1 = g ; S = P NR1 = 1; NR = C 1 fre1 = ; fre = C ; frs1 = NR1 ; frs = NR. NC 15

18 rancisco José Peláez ermoso 4.1 Evolución del fondo del plan de pensiones Al igual que en la versión 1 del modelo, a parir del diagrama de flujos anerior se deerminan las ecuaciones que rigen el comporamieno del fondo del plan a lo largo del iempo: Susiuyendo en ese sisema las aneriores expresiones, obenemos las ecuaciones asociadas a ese diagrama de flujos: Si omamos = 1 y susiuimos C por su valor, obenemos el siguiene sisema de ecuaciones: Resolviendo ese sisema por el méodo de las diferencias sucesivas, llegamos a la siguiene ecuación en diferencias para el fondo del plan de pensiones: Una vez deerminada la solución paricular, la solución de esa ecuación, es decir, la rayecoria que recoge la evolución del fondo del plan, es la siguiene ver Anexo: 16

19 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. z u p AL = C1 λ1 C λ 1 [ z u p p] [1 g p u z] NC P z p Ga. z u p g 4. Análisis de la esabilidad del fondo de pensiones Al igual que en el modelo anerior, esudiamos la esabilidad de esa variable para comprobar si el fondo del plan se ajusa de forma adecuada a la provisión maemáica exisene en cada momeno de su valoración acuarial. En ese caso, en el equilibrio, se verifica el siguiene sisema de ecuaciones: 1 = = NR1 1 = NR1 = NR1 NR 1 = NR = NR. Susiuyendo esas expresiones en el sisema de ecuaciones en diferencias descrio inicialmene, obenemos el esado de equilibrio para el fondo de pensiones: z u p AL = 1 [ z u p p] NC P z [1 g p u z] z u p g p Ga, con 1[ 1 g p u z] z u p g 0. Una vez deerminado el esado de equilibrio para el fondo del plan, pasamos a analizar la esabilidad de ese modelo. Para ello, necesiamos conocer los módulos de los auovalores asociados a la ecuación caracerísica del modelo, λ 1 y λ. Considerando el caso en el que el discriminane de ambos es posiivo, podemos asegurar que esos dos valores son reales y disinos. Dependiendo de los valores que omen los parámeros, el sisema será esable o inesable. El caso que ineresa analizar es aquél en el que el fondo del plan iende a su esado de equilibrio. Para ello es necesario que λ 1 < 1 y λ < 1. En ese caso, el produco u z parámeros que el gesor conrola ha de verificar: 1 1 g p 1 1 g p < u z < 1 p g 1 p g g y p g 1., con 1 p > 1 17

20 rancisco José Peláez ermoso Esos valores de u z son los que garanizan que el modelo se esabiliza, es decir, que el fondo del plan de pensiones iende a su esado de equilibrio cuando, pueso que λ < 1 1 y λ < 1: Ese resulado implica que, pariendo de cualquier condición inicial, el fondo de pensiones siempre alcanza un nivel deerminado que, además, será esable en el iempo. 4.3 Aplicación prácica En la simulación prácica de la versión de ese modelo 7, parimos de los mismos valores de las variables y parámeros uilizados para la simulación de la versión 1 del modelo, que suponemos suminisrados por la enidad gesora de ese hipoéico plan de pensiones de caracerísicas similares al anerior: colecivo de parícipes = perenecen 100 parícipes a cada edad comprendida enre los 5 y 65 años; N = 100 número de parícipes que enran al plan durane cada periodo; AL = ; NC =.000; P = 3.750; g = 0,0; 0 = NR10 = NR0 = 0; i = 0,05; G = al considerar que D = W = IN = 0 y J =100, donde D, W, IN y J denoan el conjuno de parícipes que fallecen, abandonan, se invalidan y se jubilan, respecivamene, en el periodo, 1 de valoración. Como resulado de la simulación de la versión de ese modelo para esos daos, obenemos la abla donde las columnas 3, 4, 5 y 6 recogen los valores de equilibrio del fondo del plan según varíe el plazo de amorización de la provisión maemáica no financiada, es decir, según se amorice en 10, 0, 30 o 40 años, respecivamene, e igual que en la versión anerior, para valores de r que se encuenran en el inervalo [4,5%, 6%], variando r, ambién en ese caso, de 0.5 en 0.5 punos. La condición que ha de verificar z para que el modelo sea esable, dados los valores de i y de g, viene recogida en la columna de la abla, para cada valor de r. En esa abla se observa que 7 Para la simulación de la versión de ese modelo, uilizamos el mismo programa informáico que el descrio para la versión 1. 18

21 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. el nivel de equilibrio alcanzado por el fondo del plan crece según se incremena el ano de rendimieno anual de sus inversiones, eniendo en cuena siempre los valores del parámero z para los cuales el fondo iene un comporamieno esable. r Condición de esabilidad a *; z10= 0,10 *;z0= 0,05 *; z30=0,033 *; z40= 0,05 0,048< z <1, , ,6 < 0 < 0 0,0476< z <1, , ,0 < 0 < 0 0,0705< z <1, , ,5 < 0 0,0933< z <1, , ,0 < 0 0,03161< z <1, , ,9 < 0 0,03390< z <1, , ,5 0,03618< z <1, , , Tabla : Para esos valores de r no se cumple la condición de esabilidad. a 1 1 g p 1 1 g p : El modelo se esabiliza si < u z <, con 1 g p > 1 y p g 1. 1 p g 1 p g A coninuación recogemos en el gráfico el caso en el que la rayecoria del fondo del plan de pensiones más se aproxima a la provisión maemáica, AL, es decir, cuando se considera r = 0,055 y z = 0, TIME 1 AL Gráfico : r = 0,055; i = 0,05; z = 0,10; g = 0,0 5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD En general, cuando se realiza el análisis de sensibilidad de un modelo, lo que se preende es comprobar cómo se modifican los valores de las variables más represenaivas del mismo ane pequeñas variaciones de los parámeros o de sus condiciones iniciales. Para poder llevar a cabo ese esudio, es preciso conocer ano los parámeros como las condiciones iniciales de los niveles, así como planear las 19

22 rancisco José Peláez ermoso ecuaciones que deerminan la evolución del modelo. Cuando ane ese hecho, los valores de los niveles varían susancialmene, la validez del modelo queda condicionada a su esimación ópima. Para deerminar la sensibilidad de un modelo se pueden emplear dos procedimienos, Aracil 1986 y Aracil y Gordillo 1997: El primero y más empleado por orreser y sus colaboradores, conocido como méodo de las pasadas sucesivas, consise en realizar variaciones en cada uno de los parámeros respeco de los cuales deseamos calcular la sensibilidad. Para cada parámero, se realizarán sucesivas simulaciones del modelo uilizando en cada una de ellas los diferenes valores que oma dicho parámero. Observando el comporamieno del modelo en los disinos casos, se pueden exraer conclusiones sobre si ése es sensible o no a la variación experimenada por el parámero. El segundo méodo para analizar la sensibilidad de un modelo, que recibe el nombre de méodo analíico, consise en obener las rayecorias emporales de los cambios producidos en los niveles, aribuibles a variaciones en los parámeros o en las condiciones iniciales. Para ello, se deerminan los denominados coeficienes de sensibilidad, que represenan la variación de la rayecoria de un deerminado nivel en el insane, por efeco de la variación de un ciero parámero o condición inicial. En nuesro modelo, represenamos esos coeficienes por medio de la expresión r σ r = r, con S = { i, z, r} S, S el vecor de parámeros del modelo. Sin embargo, ese conjuno de valores no proporciona una información suficienemene complea al no resular comparables. Ése es el moivo de que se inroduzcan expresiones de esos coeficienes que se puedan comparar enre sí. Esas nuevas expresiones, conocidas como coeficienes de sensibilidad relaivos, se definen como σ r, S / = r r, lo S / S que implica que ane pequeñas variaciones porcenuales de los parámeros, obenemos direcamene la variación porcenual del nivel,. Empleando la expresión de los coeficienes de sensibilidad aneriormene definidos, esos nuevos coeficienes se pueden reescribir como:. 130

23 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. Uilizando la segunda versión de nuesro modelo, en las columnas, 3 y 4 de la abla 3 se observan los valores que, durane los 10 primeros años, oman los coeficienes de sensibilidad calculados para el fondo del plan respeco de los parámeros i, z y r, respecivamene, eniendo en cuena la ley de recurrencia que relaciona esos coeficienes para disinos momenos de iempo. 1 σ i, 1 σ z, 1 σ, 1 σ i, 1 σ z, 1 σ, ,0.488,6.44,.396,9.35,5.308,9.66,.4,.183,1.14, , , , , , , , , , ,9 r 1.071,9 1.99,4.770, 3.594, , , , , ,3 8.0,3 Tabla 3 0,0970 0, ,0334 0,057 0,005 0, , ,0151 0, ,00988,563 1,715 0, ,6577 0,566 0, , ,3541 0,8746 0,5696 r 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 0,0513 A parir de esos valores, en las columnas 5, 6 y 7 obenemos los coeficienes de sensibilidad relaivos respeco de los mismos parámeros. Represenando gráficamene la rayecoria seguida en el iempo por esos úlimos coeficienes de sensibilidad, observamos en el gráfico 3 que el fondo del plan es mucho más sensible a las variaciones del parámero z que a las de i o r, que prácicamene no afecan al modelo. 3,5 1,5 1 0, TIME Sensibilidad del ano de inerés écnico anual, i Sensibilidad del ano de amorización anual de la provisión maemáica no consiuida, z Sensibilidad del ano de rendimieno anual de las inversiones, r Gráfico 3 131

24 rancisco José Peláez ermoso Eso implica la relevancia que iene la fijación del período de amorización de la provisión maemáica no consiuida del plan en la consecución de un nivel de recursos adecuado para el fondo de pensiones. 6. CONCLUSIONES De los resulados obenidos de la realización de ese rabajo, reseñamos las siguienes consideraciones: Al uilizar la meodología seguida por la Dinámica de Sisemas para describir las dos versiones del modelo que en ese rabajo analizamos, se obienen cieras condiciones para los parámeros según las cuales el fondo del plan alcanza siempre su esado de equilibrio, lo que implica, en ambos casos, la esabilidad a lo largo del iempo del modelo represenaivo del plan de pensiones esudiado. De la simulación prácica del modelo, se deduce que cuando se manienen consanes deerminados valores de las variables y de los parámeros del modelo, y considerando un inervalo de valores posibles para el parámero r, se obienen los valores de z que proporcionan las condiciones de esabilidad para el sisema, para los cuales se alcanza el esado de equilibrio del fondo de pensiones. Esos esados de equilibrio oman disinos valores, más o menos próximos al valor de la provisión maemáica del plan, AL, siendo, por ano, los que más se aproximan a ésa los que garanizan en mayor medida la viabilidad y la solvencia financiera del plan en el iempo. A ravés del análisis de la sensibilidad de la variable más represenaiva del modelo, el fondo de pensiones, hemos calculado los coeficienes de sensibilidad asociados a esa variable. A ese respeco, de los resulados obenidos de la misma, observamos que cuando se modifican los valores de los parámeros i, z y r del modelo, se comprueba que el fondo del plan es más sensible a las variaciones del parámero z que a las de los parámeros r o i. Se comprueba igualmene que el coeficiene de sensibilidad relaivo respeco de r es consane en odo momeno, lo que implica que ambién lo será la variación que va a experimenar el fondo de pensiones a lo largo del iempo ane pequeñas modificaciones de ese parámero. 13

25 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. ANEXO Una vez obenida, para la versión 1 del modelo, la ecuación correspondiene al fondo de pensiones al final del período genérico de valoración del plan, 1, se esablece la ecuación caracerísica asociada y se deermina su solución de la siguiene forma: Solución de la ecuación homogénea: La ecuación caracerísica asociada es: λ γ p = 0, de donde λ = γ p. Por ano la solución de la misma viene dada por la expresión: H = C 1 γ p. Solución paricular: Al ser consane la pare no homogénea de la ecuación, ensayamos ambién con una función consane. Suponiendo que 1 γ p 0 P = K. Por ano, como la solución paricular iene que verificar la ecuación en diferencias de primer orden y sabiendo que P 1 = K, susiuyendo en la ecuación en diferencias inicial, se iene: [ z AL NC P] K γ p K = p. De esa ecuación obenemos la solución paricular: p K = [ z AL NC P] 1 γ p. Por ano, la solución que buscamos es la suma de ambas: p = C γ p 1 [ z AL NC P]. 1 γ p Para la versión del modelo represenaivo del plan de pensiones procedemos del mismo modo que para la versión 1: 133

26 rancisco José Peláez ermoso Solución de la ecuación homogénea: La ecuación caracerísica asociada a la ecuación en diferencias de segundo orden inicial, represenaiva del fondo del plan, es: λ [ 1 g p u z] λ z u p g = 0, de donde se obiene: En ese rabajo realizamos únicamene el análisis del caso en el que Por ano, la solución es: H = C 1 λ C 1 λ. Solución paricular: Suponiendo que la suma de los coeficienes asociados a las variables de la ecuación en diferencias es disina de cero y consane la pare no homogénea de la ecuación, probamos asimismo con una consane, P = K, siendo P 1 = K y P = K. Por ano, como la solución paricular iene que verificar la ecuación en diferencias de segundo orden inicial, susiuyendo las aneriores expresiones en ésa, obenemos: z u p AL K = 1 [ z u p p] [1 g p u z] NC P z p Ga. z u p g En consecuencia, la solución es la suma de ambas, es decir: z u p AL = C1 λ1 C λ 1 [ z u p p] [1 g p u z] NC P z p Ga. z u p g 134

27 Análisis de la Esabilidad y Solvencia del ondo de un Plan de Pensiones de P.D. BIBLIOGRAÍA ANDERSON, A.W. 199: Pension Mahemaics for Acuaries. Acex Publicaions. Winsed. ARACIL SANTONJA, J. 1981: Srucural sabiliy of low order sysem dynamics acuarial. In. J. Sysems Sci., V-1, 4, pp ARACIL SANTONJA, J. 1986: Inroducción a la Dinámica de Sisemas. Alianza.Ediorial. Madrid. ARACIL SANTONJA, J. TORO, M. 1993: Méodos Cualiaivos en Dinámica de sisemas. Universidad de Sevilla. Sevilla. ARACIL SANTONJA, J. GORDILLO,. 1997: Dinámica de sisemas. Alianza Ediorial. Madrid. BETZUEN ZALBIDEGOITIA, A. - BLANCO IBARRA,. 1989: Planes y ondos de Pensiones: su Cálculo y Valoración. Ediciones Deuso. Bilbao. BOURLER, J.. DUPRÉ, D 00: Gesion inancière de onds de Reraie. Ediorial Económica. París. BOWERS, N.L. e al. 1997: Acuarial Mahemaics. Ediado por The Sociey Acuaries, Iasca. Millicen M. Trelsar. Illinois. DAVIDSEN, I.P. 1993: Powersim. The complee Sofware Tool for Dynamic Simulaion. Modell Daa. Noruega. DURESNE, d. 1989: Sabiliy of pension sysems when raes of reurn are random. Insurance: Mahemaics and Economics, 8, pp ERNÁNDEZ CORDÓN, J.A. 1996: Demografía, acividad y dependencia en España. Serie Economía Pública. undación BBV. Madrid. ORRESTER, J.W. 1961: Indusrial Dynamics, M.I.T. Press, Cambrigde. ORRESTER, J.W. 1971: World Dynamics. Wrigh-Allen Press. Cambrigde. GERRARD, R. - HABERMAN, S. 1994: Sabiliy of pension sysems when gains/losses are amorized and raes of reurn are auorregresive. Deparmen of Acuarial Science & Saisics Ciy Universiy. HABERMAN, S. SUNG, J.H. 1994: Dynamics approaches o pension funding. Insurance: Mahemaics and Economics, 15, pp JIMENO, J.. LICANDRO, O. 1999: El equilibrio financiero del sisema español de pensiones. Invesigaciones económicas, V-3, 1, pp

28 rancisco José Peláez ermoso McGILL, D.M. 1984: undamenals of Privae Pensions. Universidad de Pensilvania. Richard D. Irwin. Illinois. MUNNELL, H.A. 1987: Aspecos Económicos de los Planes Privados de Pensiones. Miniserio de Trabajo y de la Seguridad Social. Madrid. VILLALÓN, J.Gª. 1997: Operaciones de Seguros Clásicas y Modernas. Ediciones Pirámide. Madrid. ZIMBIDIS, A. - HABERMAN, S. 1993: Delay, feedback and variabiliy of pension conribuions and fund levels. Insurance: Mahemaics and Economics, 13, pp