Estimación de modelos de volatilidad estocástica asimétrica. Aplicación en series de rendimientos de índices bursátiles.

Transcripción

1 Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles. Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles. García Ceneno, Mª del Carmen* Mínguez Salido, Calvo Marín, Meri Emilia** *Deparameno de Méodos Cuaniaivos para la economía. Universidad CEU San Pablo (Madrid). **Deparameno de Economía financiera y conabilidad I Universidad Compluense de Madrid. RESUMEN Una de las principales caracerísicas o hechos esilizados observados en las series financieras en general y en las series de rendimienos de índices bursáiles en paricular es el comporamieno asimérico de la volailidad ane shocks posiivos o negaivos en los mercados. Para esimar si exise o no ese comporamieno asimérico de la volailidad en las series de rendimienos de los índices bursáiles Ibex35 y Nasdaq100 hemos uilizado dos ipos de modelos diferenes que son: el modelo de heerocedasicidad condicional asimérico, modelo AGARCH y el modelo de volailidad esocásica asimérico, modelo A-ARSV. El objeivo perseguido con ese rabajo es deerminar si ambos ipos de modelos capan la dinámica de la volailidad y cuál lo hace de forma más adecuada. Palabras claves: Heerocedasicidad condicional; Modelos AGARCH; Volailidad esocásica; Modelos A-ARSV. Clasificación JEL (Journal Economic Lieraure): C, C51 Área emáica: Aspecos cuaniaivos del fenómeno económico. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional 1

2 Auores 1. INTRODUCCIÓN En los mercados financieros en las úlimas décadas, a parir del descubrimieno de Engle (198) de los modelos de heerocedasicidad condicional auorregresiva, modelos ARCH, o de su generalización realizada por Bollerslev (1986), modelos GARCH, así como de los modelos de volailidad esocásica de Taylor (1994), modelos SV, se ha producido un crecimieno imporane en la uilización de dichos modelos para recoger las principales caracerísicas de las series emporales financieras de ala frecuencia. En ese rabajo vamos a uilizar las series de los rendimienos financieros de los índices Ibex35 y Nasdaq100 para esudiar los principales hechos esilizados de ese ipo de series. Una de las principales caracerísicas de las series de rendimienos es la respuesa asimérica de la volailidad ane shocks posiivos o negaivos de la misma cuanía. Para capar ésa y el reso de las caracerísicas, así como, para esimar la dinámica de la volailidad vamos a uilizar dos ipos de modelos: el modelo de heerocedasicidad condicional asimérico, modelo AGARCH y el modelo de volailidad esocásica auorregresivo asimérico, modelo A-ARSV. Ambos ipos de modelos ienen en común que raan de modelizar la dinámica de la volailidad, sin embargo exisen dos diferencias imporanes enre ellos: por un lado, se diferencian en la forma de modelizar la volailidad ya que los modelos AGARCH esablecen que la varianza condicional depende de su propio pasado y del cuadrado de los errores comeidos en el pasado, mienras que en los modelos A-ARSV, la volailidad es una variable laene con función de verosimiliud desconocida. Por oro lado, se diferencian en el hecho de que la esimación del primer modelo es más sencilla ya que exise sofware economérico especifico para su esimación, mienras que en los modelos A-ARSV no exise un sofware implemenado y por lo ano procederemos a su programación en BUGS para poderlos esimar. El objeivo que preendemos con ese rabajo es comprobar cual de los dos ipos de modelos capa de forma más adecuada la dinámica de la volailidad, para ello en el epígrafe se analizan los daos de series de rendimienos del Ibex35 y el Nasdaq100 y se describen las principales caracerísicas de esas series de rendimienos bursáiles. Poseriormene en el epígrafe 3 se explican los dos ipos de modelos esimados para explicar el comporamieno de los rendimienos. A coninuación, en el epígrafe 4 se analizan los resulados y en el epígrafe 5 se obienen las principales conclusiones. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional

3 Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles.. ANÁLISIS DE LOS DATOS Las series emporales que hemos uilizado en ese rabajo son los rendimienos diarios de dos índices bursáiles: el Ibex35 y el Nasdaq100. Para obener los rendimienos financieros, (Y ), hemos calculado la primera diferencia regular en érminos porcenuales del logarimo del precio diario de cierre en los días en los que exise mercado del índice correspondiene, (P ). Ese cálculo se ha realizado de la forma siguiene: Y =100 x (log P - log P -1 ). El periodo muesral uilizado para el Ibex35 ha sido desde el cinco de enero de 1987 hasa el diecinueve de julio de 006 y para el Nasdaq100 desde el uno de enero de 1987 hasa el diecinueve de julio de 006, es decir, un oal de 5097 y 5099 daos obenidos de la base de daos Daasrem para cada uno de los índices bursáiles respecivamene. Para proceder a la descripción de las principales caracerísicas observadas en esos índices vamos a represenar gráficamene la evolución de los rendimienos, de su cuadrado así como la variación de la varianza muesral en el periodo observado para cada uno de los índices: Rendimienos IBEX35 (Y) Rendimienos al cuadrado IBEX Variación de la varianza Gráfico 1. IBEX35: Evolución de los rendimienos, de su cuadrado y de la varianza muesral 0 Rendimienos NASDAQ Rendimienos al cuadrado NASDAQ100 Variación de la varianza muesral Gráfico. NASDAQ100: Evolución de los rendimienos, de su cuadrado y de la varianza muesral. En los gráficos aneriores podemos observar algunas de las caracerísicas comunes de las series financieras, ya que para ambos índices las series de rendimienos en el periodo muesral analizado oscilan en orno a un nivel medio consane que es igual a cero. Además, ambién podemos observar en el gráfico de los rendimienos que las dispersiones respeco de la media no se manienen consanes exisiendo periodos de XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional 3

4 Auores mayor volailidad alernándose con oros en los que la volailidad es menor. Ese hecho ambién se aprecia en el gráfico de los rendimienos al cuadrado, aunque en ambos índices no coincidan los periodos de mayor y de menor volailidad (excepo casi al final de la muesra, años 001 y 00, en los si que se aprecia una mayor volailidad en ambos índices). Esas rachas de volailidad implican que exise una varianza condicional que no es consane ya que si la volailidad (medida como desviación ípica condicional) es ala en un periodo iende a serlo ambién en el siguiene periodo y si, por el conrario, es baja ambién iende a serlo en el periodo siguiene. En la lieraura economérica ese hecho se conoce como conglomerados o clusers de volailidad. También podemos observar en el gráfico que represena las varianzas muesrales calculadas para los rendimienos de cada año enre 1987 y 006, que para los rendimienos del Ibex35 ha exisido una mayor varianza al comienzo de la serie y enre los años 1996 y 003 a parir del cual vuelve a disminuir. Los rendimienos del índice Nasdaq100 ienen un comporamieno similar, pero sin embargo sus varianzas muesrales han sido mayores que las del Ibex35 en el periodo muesral analizado. Con el fin de obener oras caracerísicas comunes en las series de rendimienos financieros vamos a represenar por un lado, los gráficos de las funciones de auocorrelación simple esimadas (FAC) de los rendimienos (Y ), de sus cuadrados (Y ) y el hisograma de los rendimienos; y por oro lado, sus principales momenos muesrales. 1 ACF-Y 1.0 ACF-Y^ Y N(s=1.6) Gráfico 3. IBEX35: Función de auocorrelación simple de los rendimienos, de sus cuadrados e hisograma de los rendimienos. ACF-Y 1.0 ACF-Y^ 0.4 Y N(s=1.8) Gráfico 4. NASDAQ100: Función de auocorrelación simple de los rendimienos, de sus cuadrados e hisograma de los rendimienos. 4 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional

5 Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles. Los esadísicos descripivos y las correlaciones muesrales de los rendimienos del índice bursáil Ibex35 y del Nasdaq100y de su cuadrado esán calculados en las ablas siguienes: Desvia Tamaño Coef. de Tes Máximo Mínimo Media ción Curosis muesral asimería Normalidad ípica IBEX ,59-8,87 0,03 1,6-0,8 7, ,5[0] NASDAQ ,0-16,34 0,045 1,8-0,07 9, [0] Tabla 1: Esadísicos descripivos de los rendimienos. Enre corchees: p-value. K= K=3 K=4 K=10 K=0 K=50 K=100 IBEX35 NASDAQ R 0,037 * 0,000-0,00 0,01 0,041 0,0-0,005 0,010 R 0,171 * 0,5 * 0,165 * 0,3 * 0,179 * 0,07 * 0,06 * 0,031 R -0,011-0,037-0,05 0,00 0,007-0,019-0,014-0,006 R 0,40 * 0,61 * 0,31 * 0,164 * 0,00 * 0,147 * 0,151 * 0,084 * Tabla : Auocorrelaciones muesrales de los rendimienos y de los rendimienos al cuadrado. * Significaivo al 5%. Las funciones de auocorrelación simple de los rendimienos represenadas en los gráficos 4 y 5 muesran que no exise esrucura en media, ya que prácicamene odos sus coeficienes esimados son esadísicamene no significaivos (la primera correlación del Ibex35 es significaiva, para recoger esa correlación esimamos un medias móviles de primer orden). Sin embargo, no ocurre lo mismo con las auocorrelaciones muesrales de los rendimienos al cuadrado, ya que debido al agrupamieno de la volailidad, que hemos observado aneriormene, exise una fuere esrucura de dependencia pueso que prácicamene odos los coeficienes esimados son esadísicamene significaivos. Además, esas correlaciones de los cuadrados para ambos índices son posiivas, no muy grandes (en la abla podemos ver que el mayor valor esimado para los rendimienos del Ibex35 es 0,5 y para el Nasdaq100 es 0,61) y decrecen de forma lena hacia cero (la correlación de orden cincuena en el Ibex35 o incluso la de orden 100 en el Nasdaq100 son significaivas). Esa caracerísica se conoce como persisencia de la volailidad. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional 5

6 Auores Además de las caracerísicas aneriores, los esadísicos descripivos de la abla 1 y el hisograma de los rendimienos, gráficos 3 y 4, nos que muesran la serie de rendimienos no sigue una disribución Normal, ya que por un lado son lepocúricas, pueso que el coeficiene de curosis es mayor que el de una disribución Normal y por oro lado, ampoco son siméricas, ya que el coeficiene de asimería calculado para ambas series es negaivo. Por esas razones el es de normalidad rechaza la hipóesis nula de normalidad de los rendimienos. 3. MODELIZACIÓN DE LA VOLATILIDAD Una de las principales caracerísicas de las series de rendimienos financieros es la respuesa asimérica de la volailidad ane shocks posiivos o negaivos del mercado de igual cuanía. Para recoger ese hecho juno con los descrios en el epígrafe anerior vamos a uilizar dos ipos de modelos diferenes: el modelo de heerocedasicidad condicional asimérica AGARCH y el modelo de volailidad esocásica asimérica A- ARSV Modelo de heerocedasicidad condicional asimérica AGARCH El modelo AGARCH propueso por Engle (1990) para capar la respuesa asimérica de la volailidad ane shocks de diferene signo, es decir, si exise asimería la volailidad de un periodo es mayor cuando los rendimienos previos han sido negaivos que cuando esos han sido posiivos. Ese hecho se conoce en la lieraura economérica como efeco apalancamieno (leverage effec). De acuerdo con las funciones de auocorrelación represenadas en los gráficos 3 y 4 para los rendimienos al cuadrado de los índices Ibex35 y Nasdaq100, el modelo que vamos a proponer después de haber corregido la auocorrelación de primer orden en el Ibex35 es un AGARCH(1,1), el cual esá definido por las ecuaciones siguienes: Ecuación de la media: Y = µ + σ ε ε ~ i.i.d (0,1) Ecuación de la varianza: σ = α 0 + α (ε 1 1 δ) + α σ 1 Donde, Y represena los rendimienos del índices bursáiles correspondienes; µ, es la consane (rendimieno consane); σ es la varianza condicional heerocedásica que depende de forma lineal de una consane (α 0 ), del cuadrado de las desviaciones de las innovaciones respeco del coeficiene de asimería (δ) y de su propio pasado, que 6 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional

7 Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles. serían los valores de la varianza condicional en el úlimo periodo; ε es la perurbación aleaoria de la ecuación de la media, la cual suponemos que es independiene y esá idénicamene disribuida con media cero y varianza uniaria. Para que la varianza condicional sea siempre posiiva es necesario que los parámeros cumplan las siguienes condiciones: α 0 >0, α 1 0, δ 0, β 1 0 y para garanizar que el proceso sea esacionario se iene que cumplir que α 1 +β 1 <1. El procedimieno de esimación uilizado para ese modelo será máxima verosimiliud. 3.. Modelo de volailidad esocásica asimérico A-ARSV Los modelos de volailidad esocásica surgieron como una alernaiva a los modelos de heerocedasicidad condicional para modelizar la volailidad. En ese ipo de modelos la volailidad esocásica se modeliza como un componene no observado que sigue un proceso esocásico. La forma más uilizada para definir ese proceso es un auorregresivo de primer orden. Para recoger el efeco apalancamieno de la volailidad Harvey y Shephard (1996) propusieron el modelo de volailidad esocásica asimérico auorregresivo de primer orden A-ARSV(1). Ese modelo esá definido por las siguienes ecuaciones: Ecuación de la media: Y = σ* exp(0.5h )ε Ecuación de la varianza: h = φh -1 + σ η η. φ <1 Donde Y represena el rendimieno del índice bursáil; σ * es un facor de escala; h es el logarimo de la volailidad; φ es el parámero que mide la relación que exise enre la volailidad en un periodo y la volailidad en el periodo anerior; ε, y η son respecivamene las perurbaciones aleaorias de la ecuación de la media y del logarimo de la volailidad, las cuales supondremos que siguen la disribución normal bivariane ε siguiene: η ~ i.i.d., 0 δσ η δσ σ η η Donde el parámero δ indica la correlación enre las perurbaciones de la ecuación de la log-volailidad y la ecuación de la media, y por lo ano, la relación enre la variable Y y las variaciones de la volailidad un periodo por delane σ +1. De ese modo si δ<0 enonces valores de ε<0 en el periodo enderán a inducir valores posiivos en η en el periodo +1 lo que implicaría una mayor volailidad. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional 7

8 Auores El procedimieno de esimación del modelo A-ARSV(1) desarrollado por Harvey y Shepard fue pseudo máxima verosimiliud. A ravés de ese procedimieno suponen que el parámero δ indica cual es la dependencia ineremporal a ravés de la correlación que exise enre ε y η +1, es decir, E(ε η +1 ) = δ. El procedimieno de esimación que nosoros vamos a realizar en ese rabajo se basa en el uso de méodos bayesianos mediane la uilización de simulaciones de Mone Carlo. Ese procedimieno de esimación ha sido implemenado en BUGS (inferencia Bayesiana uilizando el muesreo de Gibbs) por Yu (00, 005). 4. RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN Los resulados de la esimación del modelo AGARCH(1,1) para los rendimienos del Ibex35 y del Nasdaq100 han sido los siguienes: IBEX35 NASDAQ100 µ (Esadísico ) 0,0465 (0,013) 0,0493 (0,017) δ (Esadísico ) -0,3935 (0,171) -0,4548 (0,139) α 0 (Esadísico ) 0,0171 (0,006) 0,014 (0,009) α 1 (Esadísico ) 0,079 (0,01) 0,077 (0,017) β 1 (Esadísico ) 0,9017 (0,015) 0,9171 (0,019) Log-Likelihood AIC Normaliy es Pormaneau(71) -7673,9 3,0131 0,7 [0,000]** 11,95 [0,358] -9178,78 3, ,64 [0,000]** 78,886 [0,43] α 1 + β 1 0, ,989 Tabla 3, Resulados de la esimación de un AGARCH(1,1) para los rendimienos bursáiles Los resulados de la esimación del modelo AGARCH(1,1) para los rendimienos de los dos índices bursáiles muesran que odos los parámeros son significaivos al 5%, lo que implica que exise un nivel medio consane de los rendimienos y que la varianza condicional se ve influenciada no sólo por su propio pasado sino ambién por las innovaciones en el periodo anerior. En ese caso, para ambos rendimienos bursáiles se puede apreciar que es mucho mayor la influencia del pasado de la volailidad que el pasado de las innovaciones. 8 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional

9 Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles. El coeficiene de asimería esimado es negaivo y significaivo lo que implica la exisencia de un comporamieno asimérico de la varianza condicional, y por lo ano, cuando las innovaciones del periodo anerior son negaivas enonces el efeco que se produce en la volailidad será mayor que cuando se producen innovaciones posiivas de igual cuanía en el periodo anerior. En nuesro caso es mayor la asimería de los rendimienos del índice Nasdaq100 que la de los rendimienos del Ibex35. Además, la persisencia de la volailidad (medida por α 1 +β 1 ) es muy ala, ya que, la suma de los valores esimados para α 1 y β 1 es aproximadamene 0,98 para ambos índices. Ese valor esá muy próximo a uno debido a que exise agrupamieno de la volailidad, como hemos viso al comienzo del rabajo al describir las caracerísicas de las series de rendimienos. El es de normalidad nos confirma que los residuos no siguen una disribución normal, ya que se rechaza la hipóesis nula de normalidad. Eso es debido a la exisencia no sólo de asimería sino ambién a la lepocurosis. Por oro lado, el esadísico Pormaneau nos indica que enre los residuos no exise auocorrelación en los disinos periodos de iempo. Los resulados de la esimación de las volailidades del modelo A-ARSV(1) para los rendimienos de los índices bursáiles Ibex35 y Nasdaq100 se muesran a coninuación en los gráficos 5 y 6 y los resulados de la esimación de los parámeros de ese modelo para las dos series de rendimienos analizadas en la abla 4, Volailidad esimada Rendimienos NASDAQ Perido Grafico 5. NASDAQ100. Rendimienos y volailidad esimada en el periodo muesral Volailidad esimada Rendimienos IBEX Perido Gráfico 6. IBEX35: Rendimienos y volailidad esimada en el periodo muesral XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional 9

10 Auores Índice σ * φ σ η ρ Ibex35 1,075 (0,105) 0,986 (0,00) 0,394 (0,1) -0,040 (0,014) Nasdaq100 1,619 (0,131) 0,994 (0,001) 0,136 (0,030) -0,319 (0,03) Tabla 4, Parámeros esimados para un A-ARSV(1) Si nos fijamos en los resulados obenidos en la abla 4 podemos observar que odos los parámeros esimados para el A-ARSV(1) son esadísicamene significaivos para los rendimienos del Ibex35 y del Nasdaq100. Eso implica que el facor de escala (σ * ) es posiivo y mayor para el índice Nasdaq100, por lo ano, exise un nivel alo de volailidad (hecho que es basane lógico ya que, al describir las principales caracerísicas de esas series de rendimienos habíamos observado que las varianzas muesrales obenidas en el periodo esudiado eran mayores para ese índice). Por oro lado, el coeficiene que mide la variación de la volailidad (σ η) es mayor en el Ibex35 que en el Nasdaq100, lo que implicaría que cuano mayor sea esa variabilidad menos predecible será el proceso de volailidad. La persisencia de la volailidad, medida por el parámero esimado φ, es ala en los rendimienos de los dos índices (ano para el Ibex35 como para el Nasdaq100 la persisencia esimada con el AGARCH(1,1) es menor que la esimada con el A- ARSV(1)) y próxima a uno lo cual es coherene con las correlaciones muesrales significaivas de los cuadrados de los rendimienos obenidas en los gráficos 3 y 4. El coeficiene que mide la asimería es negaivo para ambos rendimienos lo que indica que la volailidad será mayor cuando se produzca un shock negaivo en el periodo anerior que cuando se produzca uno posiivo. Además ese coeficiene esimado es mayor para el Nasdaq100 que para el Ibex35 (al igual que ocurría con las esimaciones realizadas a ravés de un AGARCH(1,1)). Además las esimaciones de la volailidad obenidas en los gráficos 5 y 6 muesran que, en el periodo muesral esudiado, ha ido cambiando a lo largo del iempo siendo mayor cuando hay más rendimienos negaivos que posiivos o cuando se han producido grandes dispersiones respeco de la media. 10 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional

11 Esimación de modelos de volailidad esocásica asimérica. Aplicación en series de rendimienos de índices bursáiles. 5. CONCLUSIONES La persisencia esimada de la volailidad es ala ano en el modelo AGARCH(1, 1) como en el modelo A-ARSV(1) pero sin embargo en ninguno de los dos casos llega a uno por lo ano ambos ipos de modelos generan procesos que son esacionarios. Tano el modelo de heerocedasicidad condicional AGARCH(1,1) como el modelo A- ARSV(1) son capaces de deecar la respuesa asimérica de la volailidad en los índices Ibex35 y Nasdaq100. Esa respuesa asimérica se mide en los dos ipos de modelos por un parámero esimado de asimería que es negaivo, indicando en ambos que la respuesa asimérica de la volailidad es diferene dependiendo del signo de los shocks. El modelo A-ARSV(1), al simular conjunamene la ecuación de la media y de la varianza permie un mejor ajuse de la volailidad en las series de rendimienos analizadas que los modelos AGARCH. 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOLLERSLEV, T. (1986). Generalize auoregressive condiional heeroscedasiciy, Journal of Economeric, 31, ENGLE, R. F. (198). Auoregressive condiional heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion. Economerica, 50, pp, ENGLE, R. F. (1990). Sock volailiy and he crash of 87, Discussion, Review of Financial Sudies 3, pp, HARVEY, A. C. y N. G. SHEPHARD (1996). Esimaion of an asymmeric sochasic volailiy model for asse reurns, Journal of Business an Economic Saisics, 14, TAYLOR, S. (1994). Modelling sochasic volailiy: a review and comparaive sudy, Mahemaical Finance, 4, YU, J. (00). MCMC Mehods for simaing Sochasic Volailiy Models wih Leverage Effecs: Commens on Jacquier, Polson and Rossi (00), Manuscrio, Universiy of Auckland. YU, J. (005). On leverage in a Sochasic Volailiy Model, Journal of Economerics, 17, XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuenro Inernacional 11