APROXIMACIÓN A LA EXTENSIÓN MULTIDIMENSIONAL DE LA METODOLOGÍA TIR

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1 APROXIMACIÓN A LA EXTENSIÓN MULTIDIMENSIONAL DE LA METODOLOGÍA TIR Federico Palacios González - fpalacio@ugr.es Eduardo Pérez Rodríguez - eperezr@ugr.es José Mª Herrerías Velasco - jmherrer@lainmail.com Universidad de Granada Reservados odos los derechos. Ese documeno ha sido exraído del CD Rom Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo, 22 y 23 de Junio de ISBN:

2 APROXIMACIÓN A LA EXTENSIÓN MULTIDIMENSIONAL DE LA METODOLOGÍA TIR Palacios González, F.; Pérez Rodríguez, E.; Herrerías Velasco, J. M. fpalacio@ugr.es eperezr@ugr.es jmherrer@lainmail.com Deparameno de Economía Aplicada - Universidad de Granada Código UNESCO: Palabras clave: Análisis de inversiones, VAN, TIR, ETTI. Area emáica: G2 Resumen Habiualmene, la meodología TIR planea la exisencia de una asa de descueno única en la fórmula del VAN, para odos los flujos de cada periodo. Mediane dicha meodología se obiene un puno fronera que separa dos segmenos de una línea reca. Cuando alguno de los flujos sea negaivo la solución TIR puede no ser única, causando los consecuenes problemas de inerpreación. En ese rabajo, bajo el supueso de que las renabilidades exigidas a los flujos de caja en cada periodo no ienen por qué ser igual, y admiiendo la exisencia de algún flujo negaivo, y que el porcenaje de reinversión de los flujos posiivos no iene por qué coincidir con los coses de financiación de los negaivos, se propone una meodología mulidimensional, donde el concepo TIR definido sobre un valor punual único se reinerprea sobre una conjuno fronera que es una superficie separadora, en dos regiones, de aquellos punos que suponen cambios en el signo del VAN. Ese planeamieno ambién proporciona una sólida base eórica desde la que conemplar la inceridumbre en los diversos ipos de descueno aplicables, y en los flujos de caja. 1.- INTRODUCCIÓN.- De enre los crierios de valoración y selección de inversiones es indudable la supremacía del crierio del valor acualizado neo, pero a pesar de ello es muy frecuene el uso del crierio de la Tasa Inerna de Renabilidad, por creerlo equivalene a aquel y creerlo doado de un más alo conenido inuiivo. Son muy frecuenes los proyecos de inversión cuyo VAN es una función decreciene del ipo de descueno, enonces la TIR, que se define como el ipo de descueno para el que se anula el VAN, marca la fronera a parir de la cual el proyeco deja de ser renable, es decir si el cose de oporunidad del capial a inverir en el proyeco, eniendo

3 en cuena su riesgo, supera al TIR enonces el Van es negaivo y el proyeco no es ineresane. En Cambio si el cose de oporunidad no supera al TIR, el VAN será posiivo y el proyeco puede ser ineresane. Un análisis mas deenido del crierio TIR refleja serias deficiencias del mismo, que han llevado a Brealey y Myers (1995) a afirmar que El TIR es una cifra derivada sin ninguna inerpreación económica simple y que el problema radica en que es un numero sin demasiada uilidad. Enre esos defecos Brealey, Myers y Marcus (1999) reflejan cuaro de enre los que ciamos dos: 1) el TIR iene problemas de exisencia y unicidad, es decir hay proyecos de inversión para los que es imposible calcular el TIR, y hay oros proyecos que ienen más de un TIR. Cuál es la regla de acuación en esos casos?, y 2) el crierio del TIR ignora la esrucura emporal de los ipos de inerés; si el cose de oporunidad es disino según el vencimieno con cual de ellos comparamos el TIR para dedicir si el proyeco es ineresane o no?. Ane esa siuación, en ese rabajo se planea la filosofía que condujo al TIR pero en un marco mulidimensional que conempla la esrucura emporal de los ipos de inerés y se llega a una solución eórica saisfacoria del defeco reseñado en el puno 2). Ese planeamieno ambién proporciona una sólida base eórica desde la que conemplar la inceridumbre en los diversos ipos de descueno aplicables, y en los flujos de caja. 2. EL VAN COMO UNA FUNCIÓN MULTIVARIANTE DE LAS TASAS DE DESCUENTO. Se supone que cada flujo de caja posiivo puede ener una asa de descueno diferene como consecuencia de una esrucura de renabilidades exigidas, derivada de la esrucura emporal de inerés exisene en el mercado en el momeno de analizar la inversión. También se admie la posibilidad de observar flujos negaivos que deberán financiarse con unas asas de inerés propias. Bajo esos supuesos y suponiendo, por el momeno, los flujos de caja conocidos y fijos, el VAN es una función mulivariane VAN, = A + (1) ( r r,..., r ) 1 2 n n = 1 + ( 1 r )

4 que define una hipersuperficie inmersa en un espacio n+1-dimensional. Esudiaremos el comporamieno analíico de esa hipersuperficie y especialmene lo que aañe a su inersección con el hiperplano de ecuación VAN=0. Se esudiarán las condiciones bajo las cuales la inersección es no vacía, se inerprearán las dos regiones en las que dicha inersección separa a la hipersuperficie, y los casos en los que no exise inersección. Proposición 1. Sean N = { 1,2,...,n}, N = { N / 0} y N = { N / < 0} +. Se verifica enonces que la condición necesaria y suficiene para que la hipersuperficie definida mediane (1) enga inersección no vacia con el hiperplano de ecuación VAN = 0 es que N+ > A (2) En efeco. La expresión (1) puede descomponerse rivialmene de la siguiene forma Por ora pare VAN 1 n = A + + (3) ( r, r 2,..., r ) N se verifica Lím r + ( 1+ r ) Lím r 0 1+ d dr N + + ( r ) ( 1+ r ) N ( 1 r ) = 0 = = + ( 1+ r ) ( 1+ r ) 1 La expresión (6) muesra claramene que la función ( 1+ r ) es posiiva y esricamene decreciene en r, N + salvo para el caso rivial en el que (4) (5) (6) (7) = 0 en el que es consanemene nula. Por el conrario, la función (7) es negaiva y esricamene creciene r, N. Como consecuencia el valor máximo de (7) es para el primer caso y 0 para el segundo. Conrariamene el valor mínimo de (7) es 0 para el primer caso y para el segundo. Eso nos permie afirmar que

5 Mín r1,., rn Máx r1,., rn ( r ) A + < 0 VAN r,... 1 VAN r n = N (,... 1 rn ) = A + N + Además, el VAN es una función coninua, compuesa por una suma de funciones (definidas en (7)), cada una de ellas con una sola variable independiene r y esricamene crecienes o esricamene decrecienes. Como consecuencia, la hipersuperficie que define corará al hiperplano VAN = 0 si y solo si su valor máximo (9) es un valor posiivo; lo cual sucede si y solo si se verifica (2). (8) (9) Corolario 1.1 Si se verifica que N + A + 0 (10) enonces el VAN siempre es negaivo y no exise ningún juego de renabilidades exigidas que sean posiivas y hagan la inversión renable. Resulado rivial pueso que se esá afirmando que los flujos posiivos, sin desconar no superan la inversión inicial. Corolario 1.2 Análogamene sucede si esá hablando de una inversión sin flujos de caja posiivos. N + = Φ.Resulado ambién rivial pueso que se Proposición 2. Sea De forma análoga, puede definirse r N ( r,..., r ), r N = 0. (11) 1 n rn + y N r, verificándose además que( r, r ) es un N + N elemeno como el definido en (11) pero someido a una ordenación de sus componenes de forma que los elemenos iniciales son las renabilidades exigidas para los periodos con flujos posiivos y los úlimos, los ipos de financiación para aquellos flujos que son negaivos. Consideremos una inversión que verifica (2) y sean Γ = {( N, r )/ (, ) = 0} + N VAN r N r + N ' ' ' ' {( r r )/ r = r c ; r = r + c /( r r ) Γ} r (12) B (13) = 1 N, + N N + N + N, + N N N N + N

6 ' ' ' ' {( r r )/ r = r + c ; r = r c /( r r ) Γ} B (14) = 2 N, + N N + N + N, + N N N N + N donde las componenes de( c ) son no negaivas y al menos una de ellas es esricamene N c posiiva. Se verifica enonces que VAN VAN + N ( r, r ) > N N 0 ( rn, rn ) B + 1 ( rn, rn ) 0 ( rn, rn ) B2 + (15) < (16) + + La demosración resula evidene si se ienen en cuena que (7) es esricamene decreciene o esricamene creciene según el signo del correspondiene flujo de caja y se uiliza la expresión del VAN proporcionada en (3) Nóese, que en el análisis clásico del TIR el problema es raado en dos dimensiones, en el seno de una curva sobre el plano real, donde la fronera de separación enre los valores posiivos y negaivos del VAN es un puno que radicionalmene es conocido como TIR. Ese valor se inerprea como el máximo de las renabilidades exigidas que se pueden imponer a una inversión viable. Esa meodología es válida cuando dicha función es esricamene decreciene y por ano solo cambia de signo en una ocasión. Por ejemplo, cuando solo hay flujos posiivos. Si el problema exige un raamieno en n+1 dimensiones (superior a 2), la fronera de separación deja de ser un puno y pasa a ser el conjuno Γ que represena una hipersuperficie de dimensión n-1 que separa la hipersuperficie del VAN (de dimensión n) en las dos zonas posiiva y negaiva. Un puno cualquiera deγ represena un juego de máximos de renabilidades exigidas (para los flujos posiivos) y de mínimos de ipos de financiación (para los flujos negaivos) que pueden imponerse maneniendo viable la inversión. Un problema con dos periodos en el que un flujo es posiivo y oro negaivo, necesia un raamieno ridimensional. En ese caso, el VAN es una superficie separada en dos regiones por una curva que hace de fronera. El número de punos separadores que corresponderían al concepo TIR es infinio. Sin embargo cualquier puno en la fronera admie una inerpreación generalizada de TIR es el máximo de las renabilidades exigidas y el mínimo de los ipos de financiación que puede imponerse a una inversión viable, pero con la liberad adicional que implica aumenar la dimensión del espacio: A cada máximo de las renabilidades exigidas admisibles, que se quiera fijar le corresponde un mínimo de las financiaciones admisibles, de forma que el par obenido corresponda a un puno en la fronera. Un desplazamieno sobre dicha fronera

7 represena pasar de un par a oro con inerpreaciones análogas, que son exensiones del TIR. Como puede observarse, lo imporane no es la unicidad sino, de qué lado de la fronera esá la siuación del mercado financiero y mis exigencias de renabilidad en los disinos periodos de la inversión, aendiendo a oras oporunidades del mercado, (debidas a la esrucura emporal de ipos de inerés u oras alernaivas de inversión). En Dominguez, Durban y Marín (1980) puede enconrarse una argumenación ineresane al respeco. Obsérvese que la solución analíica allí proporcionada básicamene es la ecuación de la curva froneraγ, bajo un planeamieno ridimensional. 3.- EJEMPLO GRÁFICO Consideremos una inversión con un desembolso inicial de 50 u.m. y periodos en los que el primer flujo de caja vale 85 u.m. y el segundo -35 u.m.. En ese caso le función VAN define una superficie inmersa en el espacio ridimensional de ecuación VAN ( r, r ) = (17) ( 1+ r ) ( 1+ r ) 2 1 El gráfico 1 muesra una imagen de al superficie. Como puede observarse, la zona azul corresponde a valores del VAN negaivos, y la roja corresponde a valores posiivos. La línea de VAN cero es la fronera enre ambas. Si proyecamos esa superficie sobre el plano r 1 r 2, y represenamos su curva de nivel cero, se obiene el gráfico 2. En dicho gráfico, la zona roja se corresponde con el conjuno B1 definido en (13). La zona de color azul es el conjuno B2 definido en (14) yγ, definido en (12), es la ciada curva de nivel que hace de fronera enre ambos. El eje de abcisas es r 1 y el de ordenadas es r 2. Si la renabilidad exigida para el periodo 1 y el ipo de inerés previsible para la financiación del segundo flujo negaivo definen un puno en la zona azul del gráfico 2 la inversión no será viable. El concepo TIR queda ahora subsiuido por el de fronera Γ 2

8 Gráfico 1: Superficie del VAN Gráfico 2: Proyección del VAN sobre el plano r 1 r

9 4.- INTRODUCCIÓN DE LA ALEATORIEDAD En los epígrafes aneriores, se ha definido una formulación maemáica para el análisis de inversiones que permie considerar la esrucura de ipos de inerés vigene en el momeno de analizar el proyeco, y que iene la capacidad de considerar los coses financieros que son consecuencia de los flujos negaivos de algún periodo. Sin embargo, el razonamieno siempre se ha realizado bajo condiciones de ceridumbre. Veamos la uilidad que podria darse a semejane formulación si paulainamene vamos ransformando en variables aleaorias los elemenos que inervienen en el VAN y pasamos a rabajar en un ambiene de riesgo. Simplemene como esraegia de aproximación, supóngase que rn es una variable aleaoria con función de disribución conocida F ( r N ). Dados unos flujos de caja podemos planear el problema de viabilidad de una inversión, en érminos de riesgo. La inversión es viable si la probabilidad o riesgo de pérdidas es asumible. Esa probabilidad se calcularía de la siguiene forma P VAN < 0 = ( ) df rn (18) N B2 Si ahora consideramos que los flujos de caja ambién son una variable mulivariane con función de disribución F ( N ), enonces la probabilidad de VAN negaivo o "riesgo en pérdidas" se calcularía de la siguiene forma ( < ) = P VAN < 0 df( ) = df( r ) df( ) P VAN 0 N N N (19) n N R Es difícil que en problemas de análisis de inversiones, exisa información previa suficiene como para poder esimar las dos funciones de disribución mencionadas en (18) y (19). En esos casos, como ya se ha viso en múliples rabajos aneriores (véase Herrerías y Calvee (1987), Herrerías y Pérez (1991) y Herrerías (1998)), pueden uilizarse las esimaciones periciales clásicas para cada uno de los elemenos ciados con objeo de ajusar unas disribuciones subjeivas de los flujos de caja y asas de descueno. Salvado ese primer obsáculo (y sin perjuicio de poseriores mejoras en la meodología para deerminar las dos funciones de disribución), una forma muy sencilla de resolver aproximadamene (19) es uilizando el méodo de Simulación por Monecarlo. El méodo iene una puesa en prácica muy simple: R n B2

10 a.- Se genera una muesra aleaoria de vecores elevado. N y r N de amaño suficienemene b.- Se calcula el VAN para cada elemeno muesral. c.- Se calcula la proporción pˆ de elemenos muesrales que verifican VAN < 0. Esa proporción muesral es la aproximación deseada para (19). d.- El radio del inervalo de confianza para proporciones da una coa del error de esimación: siendo z 0 el cuanil (19). P pˆ p < z pq ˆ ˆ 0 = 1 α (20) n 1 α 2 de la disribución N(0, 1) y p el resulado de la inegral e.- El amaño muesral necesario para que la esimación enga una precisión deerminada se obiene de (20) y mediane un muesreo en dos eapas. Una primera que se hace para conseguir una esimación previa ˆp 0 que se usa para calcular el amaño de muesra final y la esimación definiiva pˆ. La expresión de dicho amaño muesral para una coa de error e es n 2 z0 = pˆ 0qˆ (21) 0 e 4.1 EJEMPLO. Supóngase, que la información proporcionada por un expero, ha conducido a las siguienes disribuciones de probabilidad para los flujos de caja y las asas de descueno en una inversión con dos periodos ( 0;100; 3,5; 2,5) Bea( 0; 2; 4) 1 Bea 2 10; r ( 3; 2,5; 3,5 ) r ( 01, ; 3; 3) 1 Bea 0; 1 Bea 0;

11 Generada una muesra de amaño 1000 la proporción muesral de resulados con VAN negaivo es p ˆ = 0, 137 la coa de error de esimación, para α = 0, 05 y calculada según (20), es 0,0209. Puede por ano afirmarse que el riesgo en pérdidas esá comprenido enre 0,1161 y 0,1579 con un 95% de confianza. 5.- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. Brealey, R.A. y Myers, S.C (1995).- Fundamenos de Financiación Empresarial.- (4ª edición).- Ed. McGraw-Hill Brealey, R.A. ; Myers, S.C y Marcus, A.J. (1999).- Principios de Dirección Financiera.- Ed. McGraw-Hill Dominguez Machuca, J.A.; Durbán Oliva, S. Y Marín Armario, E (1980).- El subsisema de inversión y financiación de la empresa. Problemas y fundamenos eóricos.- Ed. Pirámide.- Madrid Herrerias Pleguezuelo, R. Y Calvee Fernandez, H (1987).- Una ley de probabilidad para el esudio de los flujos de caja de una inversión.- Libro homenaje al Prof Arnaiz Vellando, INE. Madrid, pp Herrerias Pleguezuelo, R y Pérez Rodríguez, E. (1991).- Esimación de una disribución bea como modelo para su uilización en el méodo PERT.- Acas de la V Reunión Asepel-España, pp , Las Palmas de Gran Canaria. Herrerias Pleguezuelo, R (1998).- Revisión de los modelos probabilísicos usados en el PERT.- Acas de la I Reunión Cienífica de Programación, Selección y Conrol de Proyecos, pp Almería