4.- Dualidad. Método Dual del Símplex.

Transcripción

1 Programación Maemáica para Economisas Dualidad. Méodo Dual del Símplex. Como ya vimos en el capíulo primero, dado un problema de programación no lineal, donde su lagrangiana oma la forma: se denomina problema primal a: mienras que, su problema dual sería: Max f ( x) sa. g(x) b x D L(x, λ) = f(x) - λ (g(x) - b), Max Min L( x, λ ) x λ Min Max λ x L( x, λ ) verificándose, bajo condiciones de convexidad, que: Max Min x λ L( x, λ ) = Min Max λ x L( x, λ ) A parir de esas ideas vamos a deerminar el problema dual asociado al programa lineal general: al cual denominaremos primal. Max c x La función Lagrangiana oma en ese caso la forma definida en R n+ x R m+. s.a Ax b (18) L(x, λ) = c x - λ (Ax-b) Dado que en programación lineal se verifican las condiciones de convexidad podemos definir como problema dual del anerior al: Min L( x, λ) = c x λ ( Ax b) L sa. ( ) x x,λ = 0 λ 0

2 Programación Maemáica para Economisas 133 Si calculamos la derivada que aparece en ese problema enemos: L x = c λ A= 0 c = λ A y como L(x, λ) = c x - λ (Ax-b)= (c - λ A)x + λ b, obenemos como función objeivo del problema dual L(x, λ) = λ b, pueso que, el primer sumando que aparecía en la lagrangiana vale cero. De esa forma, el problema dual del (18) es: Min λ b sa. λ A = c λ 0 observándose que, a diferencia de la Programación no Lineal, en los problemas duales de Programación Lineal no aparecen las variables del primal y recíprocamene. En el problema (18) no hemos supueso que esén explíciamene señaladas resricciones de no negaividad para las variables. Para ver cómo afeca ese hecho al problema dual, supongamos un problema primal de la forma: Max ( c c ) sa. A x + A x b A x + A x = b x x1 x donde hemos considerado que exisen algunas resricciones de igualdad. En ese caso la lagrangiana asociada sería: L(x 1, x 2, λ 1, λ 2, λ 3 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 - λ 1 (A 11 x 1 + A 12 x 2 - b 1 ) - λ 2 (A 21 x 1 +A 22 x 2 -b 2 ) - λ 3 (-x 1 ) la cual esará sujea a lo siguiene: L x 1 L x 2 = c λ A λ A + λ = = c λ A λ A = 0 λ , λ 0 1 3

3 Programación Maemáica para Economisas 134 Al igual que anes, si sacamos facor común en la lagrangiana obenemos: L(x 1, x 2, λ 1, λ 2, λ 3 ) = (c 1 - λ 1 A 11 - λ 2 A 21 + λ 3 )x 1 + (c 2 - λ 1 A 12 - λ 2 A 22 )x 2 + +λ 1 b 1 + λ 2 b 2 con lo cual, si observamos las resicciones aneriores, nos queda: endremos: L(x 1, x 2, λ 1, λ 2, λ 3 ) = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 Por ora pare, si combinamos la primera resricción con la úlima, es decir, L x 1 = c λ A λ A + λ = λ 3 0 λ = c + λ A + λ A con lo cual, podemos unir las dos en la siguiene: λ A + λ A c Min Por consiguiene, el problema dual asociado al primal anerior será: sa. λ λ λ b A + λ b λ A c A + λ A = c λ1 0 Asimismo se puede comprobar, fácilmene, que el dual del dual es el primal; eso nos lleva a considerar el proceso de paso al dual como una caja negra con la siguiene función: Maximizar Minimizar Resricciones sí No negaividad Variables = no No negaividad Variables sí Resricciones no =

4 Programación Maemáica para Economisas 135 es decir, a un problema de Programación Lineal de maximización le corresponde un problema dual de minimización; si una resricción del primal es de desigualdad ( ), la variable dual correspondiene "sí" esá resringida a ser no negaiva; si la resricción es de igualdad, la variable dual correspondiene no iene resricciones de no negaividad (si la resricción fuese de la forma, es preciso pasarla a muliplicando la resricción correspondiene por -1, lo cual supondrá un cambio de sensibilidad del recurso); si una variable primal "sí" posee resricción de no negaividad, la resricción correspondiene del dual posee una desigualdad de la forma ; en caso conrario la resricción correspondiene es de igualdad. El proceso puede inverirse, dado que el dual del dual es el primal. Luego en un problema de minimización el paso al dual puede llevarse a cabo enrando por el oro lado de la caja negra. Veamos a coninuación cómo obener una solución ópima del problema dual a parir de los cálculos uilizados, mediane el méodo del símplex, para resolver el problema primal. decir: Parimos del problema primal al y como es uilizado por el méodo del símplex, es Sea x = (x x, N Las resricciones serán: Max c x s.a Ax = b x 0 ) la solución básica con: A = ( N), c = (c c N ) y x N = 0 x Ax = ( N) = x = b x = x Escribamos enonces el problema dual N Min λ b s.a A λ c La función de Lagrange del problema primal es: L(x, λ) = c x - λ (Ax-b) -1 b que en la hipóesis de que dicho problema posee solución, se verificarán las condiciones de Kuhn-Tucker, dos de las cuales son:

5 Programación Maemáica para Economisas 136 L x (x, λ) = c - λ A 0 x L x (x, λ) = 0 x (c - λ A) = 0 Pues bien, esablezcamos en esa úlima la anerior parición: lo cual implica que y al ser x N = 0 resula: [(c c N ) - λ ( N)] (x x ) = 0 (c - λ ) x + (c N - λ N) x N = 0 (c - λ ) x = 0 y si suponemos que la solución es no degenerada: x > 0 resula: de donde c - λ = 0 λ = c -1 y susiuyendo en la primera condición de Kuhn-Tucker: c - c -1 A 0 que es la condición de opimalidad para el méodo del símplex en los problemas de máximo. N CONCLUSIÓN: λ, solución del problema dual puede obenerse como los valores z j correspondienes a la base inicial (en la úlima abla del símplex del problema primal). Veamos un ejemplo de lo expueso hasa ahora. Supongamos que nuesro problema primal es el siguiene: luego, uilizando la caja negra, el dual sería: Max 10x + 20x sa. 2x + 3x 18 2x + x 10 x, x 0

6 Programación Maemáica para Economisas 137 Min λ λ sa. 2λ + 2λ 10 3λ + 2λ 20 λ, λ 0 Si resolvemos el problema primal enemos como úlima abla la siguiene: C P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P /3 1 1/3 0 P /3 0-1/ /3 0-20/3 0 luego, la solución del primal es (0, 6, 0, 4). En cuano a la solución del dual, como ya hemos indicado, se encuenra ambién en esa úlima abla. Serían los z j de los vecores que esaban en la primera abla visos en la úlima. En ese caso, los vecores que formaban la base inicial eran los correspondienes a las variables de holgura, es decir P 3 y P 4. Tenemos que: luego, Por ano, c 3 - z 3 = -20/3 c 4 - z 4 = 0 z 3 = c /3 = /3 = 20/3 z 4 = c = = 0 λ 1 = 20/3 λ 2 = 0 Volviendo al desarrollo eórico, basado en el problema dual, y analizando que oda solución debe ser admisible dual, puede ser conemplado el méodo del símplex en el caso de que no exisa admisibilidad primal, y basándonos en la anerior obener la de ése. Dicho méodo es conocido como el méodo dual del símplex, y es expueso a coninuación, siendo necesario para el problema de pos-opimización que será objeo de esudio más adelane. Méodo Dual del Símplex. Consideremos: Max c x s.a Ax = b x 0

7 Programación Maemáica para Economisas 138 y su dual Min λ b s.a A λ c Veamos, ane odo, que si λ 0 es solución del problema dual, ello lleva consigo que c j - z j 0, j=1,2,...,n y si λ 0 es solución, ha de ser admisible: es decir: o lo que es lo mismo: con lo que: es decir: Descompongamos ahora A y c: c -1 P j c j λ 0 = c -1 A λ 0 c A -1 c c c -1 A c c -1 ( N) (c c N ) c -1 N c N j = m+1,...,n lo que quiere indicar que z j c j para j=m+1,...,n, verificándose la igualdad para los vecores básicos j=1,2,...,m, que es la condición de opimalidad para el primal. Pues bien, supongamos que, mediane el méodo del símplex, hemos llegado a que: c j - z j 0 j=m+1,...,n siendo nulos los resanes y, sin embargo, la solución ópima x' no es admisible por ener, al menos, una componene negaiva. Sea ésa x s (x s < 0). En esas condiciones vamos a demosrar que si λ' es la solución del dual asociada a x', se puede enconrar ora, λ, que mejora la anerior sin modificar, según acabamos de demosrar, el signo de los c j - z j. Sea D s la fila número "s" de -1 y θ un numero posiivo. Si llamamos: vamos a ver que ese valor de λ va a mejorar al anerior λ': λ = λ' + θd s (19) λ b = λ' b + θd s b = λ' b + θx s

8 Programación Maemáica para Economisas 139 y como suponemos que: x s < 0 y θ > 0: λ b < λ' b Luego λ mejora el valor de la función obenido para λ' para odo θ > 0. Veamos en segundo lugar cuáno iene que valer θ para que λ sea admisible, es decir A λ c, sabiendo que A λ' c. Esablezcamos: o lo que es lo mismo: λ P j = λ' P j + θd s P j = λ' P j + θα sj, j=m+1,...,n λ P r = λ' P r + θd s P r = λ' P r r=1,...,s-1,s+1,...,m λ P s = λ' P s + θd s P s =λ' P s + θ λ P j = z = zj'+ θα sj c j + θα sj j j=m+1,...,n λ P r = z r = z r '= c r r=1,...,s-1,s+1,...,m λ P s = z s = z s '+ θ = c s + θ pudiendo ocurrir: a) α sj 0 j {m+1,...,n}. En ese caso, z j z j' c j, y λ es enonces solución admisible pues: z j = λ P j c j (j=1,2,...,n) λ A c y lo es para cualquier valor posiivo de θ. Ello quiere decir que el problema dual iene solución ilimiada y por lo ano el primal no iene solución. b) p {m+1,...,n} / α sp < 0 En ese caso, λ sigue siendo solución del problema del dual si y sólo si: o lo que es equivalene λ P p c p z c p p con lo que: z p ' + θα sp c p

9 Programación Maemáica para Economisas 140 luego eligiendo: resularía que: cp z θ α sp p ' por ser α sp < 0 θ = min c z p p' ck zk' = α sp < 0 α α sp λ P k = z' k + c z k k' α sk = c α sk sk k λ P s = z s ' + θ = c s + θ c s es decir, cambiando el elemeno s de la base por el k obenemos una solución admisible para el dual, λ, que mejora la anerior solución λ'. Ese desarrollo nos da pie al siguiene algorimo.- Paso 1: Si odos los c j - z j son no posiivos o cero con x 0, enonces x es solución ópima del primal. Si odos los c j - z j son no posiivos o cero y algún x s componene de x, se pasa a 2. Paso 2: Si x iene más de una componene negaiva elegir: en cuyo caso P s sale de la base. s = min {x / x p p < 0, p {m+1,...,n}} x < 0, donde, x s es una Nos fijamos a coninuación en los α sp (p=m+1,...,n); si odos son posiivos o nulos el problema primal carece de solución. Si alguno o algunos son negaivos elegimos: en cuyo caso P k enra en la base. c z c z k k p = min α α sp < 0 α sk Paso 3: Susiuir en la base P s por P k, calcular los nuevos valores de la abla del símplex e ir al paso 1. Veamos un ejemplo de la uilización de ese méodo. Supongamos que debemos solucionar el siguiene problema: sp p

10 Programación Maemáica para Economisas 141 Max 2x x sa. 3x + x 3 4x + 3x 6 x x + 2x 2, x Dicho problema puede ser resuelo mediane el méodo de la M-grande. asa con inroducir una variable de holgura y una arificial en cada una de las res resricciones correspondienes, pero con ello el problema pasa a ener muchas variables y además necesiaremos varias ablas para que las variables arificiales salgan de la base. Un méodo alernaivo para solucionar ese problema es el méodo dual del símplex. Para uilizarlo cambiamos de signo a las resricciones de mayor o igual: Max 2x x 0 sa. 3x x 3 4x 3x 6 x 2x 2 x, x 0 y les sumamos las variables de holgura correspondienes: Max 2x1 x2 + 0x3 + 0x4 + 0x 5 sa. 3x x + x = 3 3 4x 3x + x = 6 4 x 2x + x = 2 5 x, x, x, x, x La primera abla de ese problema sería: C P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P P P Vemos cómo esamos en condición de opimalidad porque odos los c j - z j no básicos son negaivos, pero, por ora pare, la columna de P 0 presena componenes negaivas, cosa que no podemos acepar. Esos son los dos requisios que necesiamos para que se pueda aplicar el méodo dual del símplex. Si alguno de los dos falla no puede ser aplicado ese méodo.

11 Programación Maemáica para Economisas 142 Una vez comprobado que se puede uilizar ese procedimieno, elegimos el vecor que va a salir de la base, sería aquel al que corresponde el: x s = min {x p / x p < 0} = min {-3, -6, -2} = -6 Sale P 4. Una vez elegido el vecor que sale se observa su fila y se eligen los valores negaivos, en ese caso enemos α 41 = -4, α 42 = -3, luego enra el vecor al que le corresponde el: min c z p p 2 1 = min α sp < α = 0 4, Enra P 2. La siguiene abla recoge ese cambio: sp C P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P / /3 0 P 2-4/ /3 0 P / / / /3 0 En esa abla sigue exisiendo un elemeno negaivo en el vecor P 0, luego, debemos aplicar de nuevo el crierio de salida y enrada del méodo dual. En esa ocasión sólo puede salir de la base P 3, ya que es el único que presena una componene negaiva en la columna de P 0. Miramos su fila y vemos los negaivos. En ese caso exisen dos negaivos: α 31 = -5/3 α 34 = -1/3, luego, debemos buscar el: cp zp 2/ 3 1/ 3 min = min, α sp< α = 2/ 5 Enra P / 3 1/ 3 La abla correspondiene será: sp C P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 1-2 3/ /5 1/5 0 P 2-1 6/ /5-3/5 0 P / /5-1/5 0

12 Programación Maemáica para Economisas 143 en la que se puede obsevar que ya odas las componenes del vecor P 0 son posiivas y los c j - z j son odos negaivos o cero, luego sería la abla final, la cual, nos indica que la solución correspondiene es: (3/5, 6/5, 0, 0, 1).