ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO SOLUCIONES ESPACIO EUCLÍDEO. los escalares 1, 2, 0 respectivamente. Solución x

Transcripción

1 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Enunciado Se considera el espacio vecorial SOLUCIONES ESPACIO EUCLÍDEO referido a la base B e, e, e coordenadas en la base dual B* f, f, f. Hallar las de la forma lineal que hace corresponder a los vecores de, v (,,), v(,,), v(,,) los escalares,, respecivamene. x Sea f ( x) a a a x Las coordenadas de f en la base dual B* serán x f ( e ) a, f ( e ) a, f ( e ) a. Por ano f ( v ) f e e f ( e ) f ( e ) a a f ( v ) f e e e f ( e ) f ( e ) f ( e ) a a a f ( v ) f e e f ( e ) f ( e ) a a Resolviendo el sisema resula: a, a, a Por ano Enunciado x f ( x) x x x x x f f f f f Demosrar que la condición necesaria suficiene para que una forma bilineal sea alernada es que sea anisimérica. Demosración a) Si f es alernada se deduce que es anisimérica f ( x, x ) f ( x, x) f ( x, ) f (, x) f (, ) Al ser f alernada f ( x, x) ; f (, ). Por ano f ( x, ) f (, x) f ( x, ) f (, x) Luego resula anisimérica. b) Si f es anisimérica se deduce que es alernada f ( x, ) f (, x). Haciendo x resula f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x). Luego es alernada. Enunciado Sea E un espacio vecorial sobre referido a la base B e, e. Comprobar que exise una forma bilineal alernada D que se denomina función deerminane. Sea D : E E una forma bilineal alernada. x, : x x e x e, e e D( x, ) D( x e x e, e e ) x D( e, e ) x D( e, e ) x D( e, e ) x D( e, e) Por ser forma bilineal alernada:

2 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Alernada: D( e, e ) D( e, e ), Anisimerica: Si D( e, e ), D( e, e ) x D( x, ) x x D x, x x x Enunciado 4 En el espacio vecorial B e, e, e se consideran las referido a la base formas lineales: g x, x, x x x x g x, x, x x x x, x, x g x, x, x x x. Demosrar que son linealmene independienes. Hallar la base B de respeco a la cual B* g, g, g es su base dual. g, g, g Luego son linealmene independienes. R P R B ' u u u si i j También se puede hacer usando la dela de Kronecker: gi( uj) i, j si i j x g( u) x x x x x x x g( u) x x x x u x x x x x g( u) x x Y así sucesivamene. Enunciado 5 Se consideran bases de, B a, a, a, B b, b, b de modo que a b b a b b a b b Se considera la forma bilineal f :

3 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Cua mariz asociada a la base B es A Hallar la mariz asociada a la base B a a b a b b a b b b a a a P a b b a a b b b b A' P A P 4 Enunciado 6 Dadas las formas bilineales siguienes sobre. Hallar los valores del parámero para los que las formas cuadráicas asociadas sean definidas posiivas. f ( x, ) 5x x x x x x x x x.. f ( x, ) x x x x x x 5. La mariz de la forma bilineal será A Se verifica que 5 5 M 5 5, M, M Por ano si es definida posiiva la forma cuadráica asociada.. La mariz de la forma bilineal será A Se verifica que M, M, M 4

4 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Si M. Luego NUNCA puede ser definida posiiva la forma cuadráica asociada. Enunciado 7 Se considera la forma bilineal f :, x ( x, x, x ), (,, ) f ( x, ) x x x x x x x ; B e, e, e. Expresión maricial de f.. Rango núcleo de la forma bilineal. x ' x x x. En se considera el cambio de base: ' x x siendo (x,,z ) z ' x x las coordenadas de un vecor en una ciera base B de. Hallar la expresión maricial de la forma bilineal f en la base B.. f ( x, ) x x x. rg( A). Por ano es una forma bilineal degenerada. El núcleo: B ker x' x. x ' x P P x' x A' P A P ' f ( x, ) x ' x ' x ' 6 9 ' 8 7 ' Enunciado 8 Sea S el espacio vecorial real de las marices siméricas de orden referido a la base B,,. Sea una forma bilineal simérica cua expresión maricial en la base B es f ( M, N) x x x M, N S. Rango de f base del núcleo. 4

5 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO -. Hallar el subespacio conjugado de la mariz. Clasificar la forma cuadráica asociada por el crierio de Slveser.. Dado que F F F rg( A). Por ano es degenerada. En cuano al núcleo: B Ese vecor corresponde a la mariz. Subespacio conjugado: 5 5 Por ejemplo la mariz es conjugada de Clasificar la forma cuadráica mediane el crierio de Slveser: M, M, M. Semidefinida posiiva. Enunciado 9 4 En con el produco escalar habiual, obener un vecor uniario que sea orogonal a los vecores u,,,, v,,,, w,,,. x z x z z x z x a a a a v ; v 9a a a 6a 7a z a a 4a 4a v uniario

6 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Enunciado En 4 con el produco escalar habiual, obener el subespacio orogonal de V cuas ecuaciones implícias son: x z, x z Los coeficienes de las ecuaciones implícias del subespacio son las coordenadas de un vecor, respecivamene orogonal. v ; v Por ano un vecor orogonal al subespacio debe ser una combinación lineal de ambos. Dichos vecores engendran un subespacio que se denomina suplemenario orogonal: V L,,,, (,,,) Cua dimensión es 4 dim( V ) dim( V ) dim( ) dim( V ) 4 4 V x,, z, : x,, z,,, Enunciado En referido a la base canónica B i, j B' u i j ; u i j. se da ora base. Obener la mariz de cambio de base.. Obener la mariz de Gram respeco a la base B '.. Se dan los vecores: v i j w u u. Obener las coordenadas de los vecores v w en la base B en la base B '. v w en la base B en la base B '. 4. Obener el produco escalar 5. Hallar, en la base B, la proección orogonal de v sobre w 6. Obener la disancia enre ambos vecores en la base B.. u u i j P P Mariz de cambio de base uu. u u G 5 uu 5 Mariz de Gram. v i j v u u P Aniguas Nuevas Nuevas Aniguas w u u w j 4. En la base B: v w P En la base B : v w 5 El Produco Escalar es invariane. 6

7 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - 5. v w z u u u u z P.O. Or. Se halla el orogonal de w a b a b a b z 5 w u u u u u u P.O. u u 4u u ; Or. u u Para hallar el valor de se puede muliplica la ecuación escalarmene por w w z P.O. w 4u u ; Or. v w u u La proección orogonal es un invariane. 6. La disancia enre dos vecores es: d( v, w) v w v wv w v w v w En la base canónica: La disancia es un invariane. d( v, w) v w i j v w ( ) Enunciado Se considera el espacio vecorial de los polinomios de grado menor o igual a el produco escalar p( x) p( x) p( x) p( x) dx B, x.. Mariz de Gram del produco escalar referida a la base. Ángulo que forman los polinomios: p(x) +6x p( x) 4 6x.. Proección orogonal de 6 x sobre 4-6x. 4. Hallar la disancia de p( x) a p( x ). Mariz de Gram: formada por los producos escalares de los vecores de la base: g p( x) p( x) dx x x g p( x) q( x) xdx G x g q( x) p( x) x xdx 7

8 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO -. Ángulo de polinomios p( x) p( x) cos p ( x) p ( x) / 4 p( x) p( x) 6 / / 6 Tambien: p ( x) p ( x) dx 6x 4 6x dx / p( x) p( x) p( x) ; p( x) p( x) 6 8 / / 6 / 4 p( x) p( x) p( x) ; p( x) p( x) / / 6. Proección orogonal Se halla el polinomio orogonal de (4 6 x) / 4 a b a b a / / 6 4 ( 6 x) (4 6 x) bx 6 b 6 b 9 P.O. (4 6 x) x ; Or. 9x También se puede hacer ( 6 x) (4 6 x) p( x) ( 6 x) a(4 6 x) p( x) Se muliplica escalarmene por (4 6 x) 4 ; P.O. (4 6 x) x ; Or. 9x 4. Disancia de polinomios d p ( x), p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) (4 6 x) ( 6 x) x / p( x) p( x) p( x) p( x) 8 d 8 7 / / Enunciado En el espacio geomérico ordinario los ejes son uniarios siendo e orogonal a e e ésos forman enre si un ángulo de º.. Hallar la ecuación de la reca que pasa por el puno P (,,) es orogonal al plano x. Se obiene en primer lugar la mariz de Gram: 8

9 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - g e ; g e ; g e ; G g g ; g e e cos x Ecuaciones paraméricas del plano: z Con vecorial asociado: V ; u u El vecor caracerísico del plano (orogonal), es el vecor direcor de la reca. x x z 4 x z / ; v 4 / z z Reca que pasa por P (,,) iene por vecor direcor v : x z 4 Enunciado 4 B u, u, u una base de un espacio vecorial EUCLÍDEO de Sea dimensión. Se sabe que: u u ; u ; uu uu ; uu.. Obener la Mariz de Gram: G B u, u, u. Comprobar que G es definida posiiva. en la base La mariz de Gram esá formada por los producos escalares de los vecores de B u, u, u. g g ; g 4; g g cos(6) ; g la base G 4 Uilizando el crierio de Slveser se observa que odos los menores principales son posiivos: M ; M ; M. 9

10 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Enunciado 5 En un espacio vecorial EUCLÍDEO E de dimensión referido a la base B u, u, u. La mariz de Gram en dicha base es G 5. Hallar el coseno del ángulo que forman los vecores u u. Comprobar que G es definida posiiva.. Obener la mariz P de cambio de base para que G sea diagonal u u El coseno del ángulo de los vecores u u : cos u u 5 5 G 5 Uilizando el crierio de Slveser se observa que odos los menores principales son posiivos: M ; M ; M. Ese ejercicio puede realizarse mediane el méodo de Gauss: x x z 5 x 4x 5 z z z x 4x 5 z z ( x ) z z X ( z) z X Y Z X X x x X Y Z x X Y z Y Z Y Z z z Z z Z Aniguas Mariz de cambio de base Nuevas P A P 5 e e e u u u Base oronormal Base inicial Mariz de cambio de base e u u e u u u e u Son las columnas de la mariz de cambio de base Enunciado 6 En el espacio euclídeo referido a la base canónica oronormal B i, j, k Y Z

11 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Se da el subespacio Obener una base oronormal de V. V x z x z,, / Ecuaciones paraméricas de V : x,, z,,, a) Se podrían elegir vecores orogonales:,,, b) Sean por ejemplo v V, v (,,) wv, w (,,) es orogonal al plano, pues sus coordenadas son los coeficienes del plano. Basa obener un vecor orogonal a los aneriores mediane su produco vecorial. i j k u w v i j k. B' u, v es una base orogonal de V, Al dividir cada vecor por su norma se obiene una base oronormal. v u B'' e, e; e,, ; e,, v u Enunciado 7 En el espacio vecorial R 4 referido a una base oronormal B e, e, e, e Hallar 4 la proección orogonal del vecor z e e e e4 sobre el subespacio S : x x, x x 4 La proección orogonal se obiene fácilmene al descomponer el vecor dado en uno sobre el subespacio oro sobre el orogonal al subespacio. z x ; x S, S x a x a paraméricas de S: BS x b x b 4 x a x x x a S : x x x x4 B S x x4 x b x4 b (,,,) a(,,,) b(,,,) Se muliplica escalarmene por u u a a ; b b Proección orogonal: x (,,,) ; (,,,) P.O. Or.

12 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - Enunciado 9 En el espacio vecorial de las marices se define el produco escalar A B r A B siendo r la raza de la mariz.. Comprobar que la base canónica es oronormal M referido a la base canónica B E, E, E, E, E, E T T E E E E r E E T E E E E r E E son orogonales Así sucesivamene. Dadas las marices A ; B Calcular AB A B A B r Calcular la norma euclídea de la mariz A B 5 8 A A A A A A A r 4 A B B r B B 8 B 8 4. Calcular la disancia enre A B

13 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO - d( A, B) A B C A B C C r C C 5 4 d( A, B) Calcular el coseno que forman A B AB cos ; A B ; A 4 ; B 8 A B cos Enunciado Dado el subespacio S M ( ) de las marices siméricas de orden referido a la base BS E, E, E Se define el produco escalar: A B r A B siendo r la raza de la mariz.. Comprobar que la base no es oronormal E E E E r E E E E E E E r E E. No orogonales E E E E r E E. Orogonales E E E E r E E E E E E E r E E. Orogonales E E E E r E E E. Obener la mariz de Gram G

14 ÁLGEBRA MANUEL HERVÁS CURSO -. Obener direcamene mediane la mariz de Gram el produco escalar: A A Siendo A A marices de M ( ) Direcamene: A A r A A r r Mediane la mariz de Gram. En la base dada las coordenadas son a a b c b c a a b c b c A A 5 4 4