GRÁFICA DE CURVAS EN FORMA PARAMÉTRICA

Transcripción

1 GRÁFICA DE CURVAS EN FORMA PARAMÉTRICA Una curva C se dice definida paraméricamene por medio de un parámero, si las coordenadas afines de sus punos M se expresan en función de ese parámero, cuando varía en un ciero inervalo, el puno M describe dicha curva: x = x(), = () Así, a un valor del parámero le corresponde un único puno M de la curva, pero M puede ser imagen de más de un valor de ; si se verifica eso úlimo diremos que M es un puno múliple de la curva El dominio de definición de la curva queda deerminado por la condición de que las dos funciones x = x() e = () esén definidas sean reales en odos sus punos Cuando exise periodicidad o simerías el dominio puede subdividirse en pares al que conociendo el arco de curva correspondiene a una de ellas se puede obener la oalidad de la curva por medio de raslaciones o simerías 1 Periodicidad Si x e son funciones periódicas de período común T, es decir, si x( + T ) = x(), ( + T ) = (),, se ia el esudio a un inervalo de ampliud T, incluido en el dominio de definición Una vez consruida la curva en ese inervalo, el reso se consrue efecuando sucesivas raslaciones Si los períodos T 1 T de las funciones x e fueran disinos enonces el mínimo común múliplo enre ellos consiue un período común Simerías El eje OX es eje de simería si corresponde oro, al que x() = x( ), () = ( ) El eje OY es eje de simería si corresponde oro, al que x() = x( ), () = ( ) La reca = x es eje de simería si corresponde oro, al que x() = ( ), () = x( ) La reca = x es eje de simería si corresponde oro, al que x() = ( ), () = x( ) El origen de coordenadas es cenro de simería si exise, al que x() = x( ), () = ( ) 3 Esudio en el enorno de un puno Sea C la curva plana definida por: x() = ( x(), () ), [a, b] Si la función vecorial x es derivable de orden n en un enorno de, a parir de la fórmula de Talor se puede esudiar la exisencia de una angene a la curva en el enorno de : con ɛ = Primer caso: x() x( ) = ( ) d x + ( ) d d x d + + ( ) n ( d n x ) n! d n + ɛ, Si la derivada x ( ), la curva admie una angene, que es la reca definida por el puno M el vecor x ( ): El puno M se dice ordinario x x( ) x ( ) = ( ) ( ) Posición de una curva paramérica respeco a la angene: Si la derivada x ( ) no es colineal con x ( ), omamos la referencia afín {M, x ( ), x ( )}, poniendo x() x( ) = ( ) d x + ( ) ( d x ) d d + ɛ, 1

2 3 Esudio en el enorno de un puno si ξ, η son las componenes el vecor x() x( ) en esa referencia se iene la siguiene aproximación ξ, η ( ) En un enorno de, η es posiivo: la curva esá siuada localmene del mismo lado de la angene, en el semiplano al que apuna el vecor x ( ) (Figura 11 (A)) Si x ( ) es colineal con x ( ) si x ( ) es no lineal con x ( ), se iene x() x( ) = ( ) d x + ( ) d d x d + ( ) 3 ( d 3 x ) d 3 + ɛ, x() x( ) = (( ) + c ( ) ) x ( ) + ( ) 3 ( ) x ( ) + ɛ de donde las componenes de x() x( ) respeco a {M, x ( ), x ( )} son ξ = ( ) + c ( ) que en un enorno de, se puede poner: + ( ) 3 ɛ 1, η = ( ) 3 ξ ( ), η ( ) 3 + ( ) 3 ɛ, Esas componenes son del signo de La curva araviesa a la angene en M Se dice enonces que M es un puno de inflexión (Figura 11 (B)) Segundo caso Supongamos ahora que x ( ) = En ese caso x ( ) = ( ) = M se dice un puno singular Si x (p) ( ) es la primera derivada que no se anula en M, la ecuación de la angene en ese puno es x x( ) x (p) ( ) = ( ) (p) ( ) Posición de la curva respeco a la angene: Si x (p) ( ) x (q) ( ) son las primeras derivadas no colineales (q > p), se iene ( ( ) p x() x( ) = p! + c ( ) p+1 (p + 1)! + ) x (p) ( ) + ( ) q ( x (q) ( ) + ɛ) q! Si ξ, η son las componenes de x() x( ) respeco a {M, x (p) ( ), x (q) ( )}, en un enorno de : ξ ( ) p p!, η ( ) q q! La forma de la curva depende de la paridad de p q: Si p es impar q es impar, ξ η cambian de signo Puno de inflexión (Figura 11 (C)) Si p es par q es impar, ξ > η cambia de signo Puno de reroceso de primera especie (Figura 11 (D)) Si p es impar q es par, ξ cambia de signo η > Puno ordinario (Figura 11 (E)) Si p es par q es par, ξ > η > Puno de reroceso de segunda especie (Figura 11 (F)) Ejemplos Para obener los punos singulares de la curva se calculan las primeras derivadas: x = + 1, = +, x = 3, = ; x = 6 4, = ; x = 4 5, = 1 4 Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

3 4 Punos múliples 3 puno ordinario puno de inflexión impar par impar puno de inflexión puno de reroceso de 1ª especie par puno ordinario puno de reroceso de ª especie Figura 11: Posición de una curva paramérica respeco a su angene Se iene que x (1) = (1) =, por ano, el puno M (3, 3) de parámero = 1 es un puno singular Como además x (1) = 6, (1) = 6; x (1) = 4, (1) = 1, la angene iene la dirección el vecor x (1) = (6, 6) M es un puno de reroceso de primera especie (p =, par q = 3, impar) Considérese la curva x() = ( (3 )( 1), ) x () = ( , 1 ), x (1) = (, ), con lo que el puno M (, 1) es singular x () = ( , / 3 ) x (1) = (, ) x () = (4 48, 6/ 4 ), x (1) = ( 6, 6) x (iv) () = ( 48, 4/ 5 ), x (iv) (1) = ( 48, 4) Con lo que x (1) x (1) son colineales, x (1) x (iv) (1) no Se raa de un puno de reroceso de segunda especie (p =, q = 4) la angene en él ienen la dirección del vecor x (1) = (, ) 4 Punos múliples Sea x() = ( x(), () ), [a, b], la represenación paramérica de una curva plana Cuando a dos valores disinos 1 del parámero corresponde el mismo puno, es decir, cuando se verifica, x( 1 ) = x( ), resula un puno doble por esar conenido en dos ramas disinas de la curva Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

4 4 Punos múliples 4 En general, en esos punos las dos ramas endrán angenes disinas; la posición de cada rama respeco a su angene de deermina como en el párrafo 3 Si exisen valores del parámero, 1,, 3, odos disinos ales que x( 1 ) = x( ) = x( 3 ) =, se iene un puno múliple Ejemplos Punos dobles de la curva de ecuaciones: Para 1, se debe verificar: x = 5 4 1, = = 5 4 1, Quiando denominadores sacando facor común se obiene: llamando 1 + = s 1 = p simplificando, resula: Cuas soluciones son: 5( 1) 8 1 ( 1 ) ( 1 ) =, = ( 1) + 4( 3 3 1) 14 1 ( 1 ) 7( 1) =, 5s 8p =, 4s + 8sp 7s + 18p = s =, p = 1, + 1 =, 1 = = 1 Luego x(1) = (1, 3) es un puno de reroceso de primera especie, pues x (1) = (, ), x (1) = (/3, 1/3) x (1) = ( 16/3, 4/3) Luego ( 3 4, 55 ) es un puno doble 16 Punos dobles de la curva: s = 1 4, p = 3 3, =, 1, = 1 ± 7 8 x = 1, = = 1, = 1; 1 1 = 1, 1 1 = 1 ; 1 ( 1 ) ( 1 + )( 1 ) =, 1 ( 1 ) + ( 1 ) =, dividiendo por 1 llamando a 1 + = s, 1 = p resula: p s =, p + 1 =, s = 1, p = 1, + 1 =, = 1 ± 5 Susiuendo en las ecuaciones de la curva, resula el puno doble ( 1, 1) x ( ) = ( 588, 3, 68), x ( 1 5 ) = (85, 1, 58) Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

5 5 Ramas infinias Asínoas curvas asinóicas 5 5 Ramas infinias Asínoas curvas asinóicas Una curva definida por x() = ( x(), () ) posee una rama infinia si la disancia x() cuando (finio o infinio) Casos que se pueden presenar: Asínoas curvas asinóicas x() = x, () = ± asínoa verical: x = x x() = ±, () = asínoa horizonal: = x() = () = () x() ± Rama parabólica en la dirección del eje OY Rama parabólica en la dirección del eje OX a finio a (() ax()) b finio No exise Si x() = x si () = ±, enonces x = x es asínoa verical de la curva Si x() = ± si () =, enonces = es asínoa horizonal de la curva ± = ax + b Dirección asinóica sin asínoa Rama parabólica en la dirección a Si x() = ± si () = ±, se esudia el límie de ()/x() para saber si la curva admie una dirección asinóica Si ()/x() iende a + o, la curva iene una rama parabólica en la dirección de OY Si ()/x(), la curva iene una rama parabólica en la dirección de OX Si ()/x() iene un límie finio no nulo a, se halla el límie de () ax(), si es finio e igual a b, enonces la reca = ax + b es asínoa de la curva Desarrollando () ax() b en un enorno de, se puede deerminar la posición de la curva respeco de la asínoa Si el límie () ax() no exise, la curva posee una dirección asinóica sin asínoa Si el límie () ax() es infinio, la curva admie una rama parabólica en la dirección a Para deerminar una parábola asinóica, podemos proceder de forma análoga al primero de los ejemplos siguienes: Ejemplos Parábola asinóica a la curva Se eina primeramene el sumando de poencia, Se eina a coninuación el sumando de poencia 1, x = = , = + 1 = 1 + x = x = + 5 La expresión x ( + ) iende a cero cuando iene a cero, se iene una parábola asinóica de ecuación x = + Asínoas de la curva (Figura 1 (C)): Es claro que x e ienden a infinio cuando 1 x = 1 1, = Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

6 5 Ramas infinias Asínoas curvas asinóicas 6 Ahora bien, 1 x = 1 ( + 1) =, luego exise una dirección asinóica paralela a la reca = x, 1 ( x) = 1 ( ) = ( + 1) = 1 1 Por lo ano la curva iene como asínoa la reca = x + Además, cuando iende a más infinio (o a menos infinio), x iende a cero e iende a más infinio (o a menos infinio); enonces la curva iene como asínoa verical la reca x = Ramas infinias de la curva (Figura 1 (B)): Si 1, enonces x e, x = 1, = 1 1 x = + 1 = ; x = = 1 luego = x 1/ es la asínoa su posición respeco a la curva se deermina esudiando el signo de (x 1/) = (1 )/((1 + )): Si 1 +, x +, +, (x 1 ) Si 1, x,, (x 1 ) + Figura 1: Ramas infinias Si 1, enonces x e = 1/ es una asínoa horizonal Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

7 6 Cuadro de variaciones 7 Dada la curva (Figura 1 (A)): veamos sus asínoas x = + 1, = 1, x =, = ; =, asínoa horizonal x = 1 1, = ; 1 x = 1, asínoa verical x =, 1 = ; 1 a = 1 x = 1 1 ( 1) = 1, ( ) b = ax = 1 1 ( 1) = 3 4, = 1 x + 3, asínoa oblicua 4 Para la curva (Figura 1 (D)): se iene que para, x e, pero el no exise Por lo ano, no iene dirección asinóica x =, = sen, x = sen, Puede ocurrir que una rama infinia admia dirección asinóica sin ener asínoa Sea la curva (Figura 1 (E)): si, enonces x e pero el x =, = + sen, x = + sen = 1, ( x) = (sen + ) no exise Por lo ano, admie dirección asinóica pero no iene asínoa 6 Cuadro de variaciones Se consrue un cuadro de variaciones en donde figuran los signos de x (), (), las variaciones de x(), (), así como los valores de x e en los que anulan x (), (), límies o valores en los exremos de los inervalos que consiuen el campo de variación de, ec Se ienen así los parámeros de los punos singulares (aquellos en que x () = () = ), de los punos de angene paralela a los ejes (a OY, si x () = e (), a OX, si () = x () ) En ocasiones, conviene anoar en el cuadro las variaciones de µ() = x (), que es el coeficiene angular de la angene El crecimieno decrecimieno de la curva se observará ambién en el cuadro de variaciones, pues al conocer las variaciones de x () e (), se iene la variación de d dx = () x () = µ Ejemplo Dada una curva en coordenadas paraméricas veremos su periodicidad, simerías, consruiremos el cuadro de variaciones Sea la curva llamada nefroide (Figura 13) x = 3 cos cos 3, = 3 sen sen 3 = 4 sen 3 T = π es el período Es simérica respeco al eje OY : x() = x(π ), () = (π ); simérica respeco al eje OX: x() = x( ), () = ( ) Luego el esudio lo podemos iar al inervalo [, π/] Para expresar en facores las derivadas, podemos usar Mahemaica: Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

8 7 Diagrama caresiano 8 Figura 13: Nefroide In[1]:= f[_]:={3cos[]-cos[3],3sin[]-sin[3]} In[]:= Facor[f [],Trig->True] Ou[]:= {6 (Cos[] - Sin[]) Sin[] (Cos[] + Sin[]), 1 Cos[] Sin[]^} x = 3 sen + 3 sen 3 = 6 sen cos, = 3 cos 3 cos 3 = 1 sen cos ; Tenemos el siguiene cuadro de variaciones: = ag x π 4 π x + 6 x /x 7 Diagrama caresiano A veces es conveniene represenar por separado la curva x = x(), respeco a un sisema de coordenadas x, ; la curva = (), respeco a un sisema de coordenadas, Dibujadas esas curvas se ve como varían x e cuando oma odos los valores posibles Ejemplo: Para represenar la curva de ecuaciones paraméricas: x = 1 + 1, = + 1, obenemos previamene las represenaciones de la hipérbola x = x() = 1/( + 1) en el plano Ox de la parábola = () = + 1 en el plano O, (Figura 14), observando como varían x e en función de, para audar a deducir la represenación pedida Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3

9 8 Curvas racionales 9 - < < -1 8 < < < < Figura 14: Diagrama caresiano 1 + x Curvas racionales Una curva es racional si las coordenadas de cualquiera de sus punos se expresan mediane polinomios o cociene de polinomios en el parámero x = P 1() Q 1 (), = P () Q (), P i, Q i polinomios, i = 1, La einación de enre esas dos ecuaciones da como resulane un polinomio en x 1, x, es decir, la curva es algebraica El recíproco no es ciero en general (ver curvas unicursales, pág 18) La represenación de una curva racional es propia si a cada puno de la curva corresponde un sólo valor del parámero, excepo para un número finio de punos singulares Veamos un méodo para invesigar si una represenación de una curva racional es propia o no Se invesiga si es posible obener odo puno para dos valores disinos de del parámero: P 1 () P () = P 1( ) P ( ), P () P () = P ( ) P ( ), Curvas en forma paramérica Angel Monesdeoca La Laguna, 3