Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y ĺıneas de fase. Campos de pendientes

Transcripción

1 Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y ĺıneas de fase Campos de pendienes () solución de = f (, ) pendiene de la reca angene a la gráfica de = () en el puno ( 0, 0 ), es f ( 0, 0 ). Campo de pendienes de la ecuación: Gráfica que se obiene al dibujar en numerosos punos ( i, i ) las pendienes dadas por f ( i, i )..5 =.5.5 (, ) f (, ) (, ) f (, ) (, ) f (, ) (, ) (0, ) (, ) 0 (, 0) (0, 0) 0 (, 0) (, ) (0, ) (, ) 0.5

2 Campos de pendienes generados por ordenador Un ordenador puede producir un campo con muliud de pendienes en un insane: incluyendo algunas curvas: Campo de pendienes de la ecuación = generado por ordenador. Algunas curvas solución de = producidas mediane aproimación numérica por un ordenador. hp://mah.rice.edu/ dfield/dfpp.hml Campos de pendienes de ecuaciones auónomas Ecuación auónoma: () = f () = ( ) Dos soluciones de equilibrio: = 0 y =. > 0 para 0 < < y < 0 si > o < Algunas gráficas de las soluciones de la ecuación = ( ) superpuesas sobre su campo de pendienes. Gráfica de cuaro soluciones de una ecuación auónoma. Cada una de ellas se obiene de ora rasladándola hacia la derecha o hacia la izquierda.

3 Análisis anaĺıico versus cualiaivo = e 0 sen. Soluciones de equilibrio: = nπ, n = 0, ±, ±,... Separando variables e inegrando: d = d, e 0 sen > 0 para odo nπ. Campo de pendienes y gráficas de dos soluciones de la ecuación auónoma = e 0 sen juno a dos soluciones de equilibrio. 5 Diagramas de Fase = = =0 = Línea de fase para la ecuación = ( ) con su campo de pendienes Soluciones de equilibrio de la ecuación = ( ) y algunas soluciones Diagrama o ĺınea de fase para la ecuación auónoma = f (): reca verical donde se dibujan los punos de equilibrio, y demás punos donde se produce un cambio de signo de f (), y el crecimieno o decrecimieno de la solución de la ecuación mediane flechas que apunan hacia arriba o hacia abajo, respecivamene. 6

4 Cómo dibujar diagramas de fase? Dibujamos la ĺınea, verical. Buscamos los punos de equilibrio de la ecuación; es decir, los punos para los que f () = 0;, y los marcamos sobre la reca. Buscamos los inervalos de los valores de para los que f () > 0, y dibujamos flechas que apunen hacia arriba en dichos inervalos. Buscamos los inervalos de los valores de para los que f () < 0, y dibujamos flechas que apunen hacia abajo en dichos inervalos = =π =π/ =0 =0 = = π = π/ = ( )( + ), = sen = cos 7 Cómo usar las ĺıneas de fase para esbozar soluciones? Caso : Condición inicial enre dos punos de equilibrio. Esbozo de la gráfica de la solución de la ecuación dw d = ( w) sen w con la condición inicial w(0) = 0,. Punos de equilibrio: w = y w = kπ para k = ±, ±,.... Como w() = 0 y w() = son soluciones de equlibrio y 0 < 0, <, por el eorema de unicidad, 0 < w() < para odo w > 0 para 0 < w <. La solución es creciene siempre y acoada por w() = 0 y w() =. ĺım w() = 0, ĺım w() =. w= w=0 w Gráfica de la solución del problema de condiciones iniciales dw d = ( w) sen w, ; w(0) = 0,.

5 Cómo usar las ĺıneas de fase para esbozar soluciones? (Con.) Caso : Condición inicial no esá enre dos punos de equilibrio. La ĺınea de fase no es suficiene para saber el comporanieno a largo plazo de las soluciones. La solución del P.C.I. iene una asínoa verical en = = d d = ( + ), (0) = 0 Línea de fase y algunas gráficas solución de la ecuación d d = ( + ) 9 Punos de equilibrio y punos críicos puede cambiar de signo sin ser debido a los punos de equilibrio d d = > 0 para 0 < < y < 0 para > o < 0. = 0: puno de equilibrio. = : no es puno de equilibrio. Un puno críico de = f () es un puno donde f () cambia de signo y no es un puno de equilibrio. = = Línea de fase y algunas gráficas solución de la ecuación d d =.5 0

6 Comporamieno asinóico de las soluciones La solución, (), del P.C.I. es asinóicamene esable si eise = f (), ( 0 ) = 0 () ĺım () y es finio. + La esabilidad es una propiedad deseable para las soluciones de las ecuaciones diferenciales Teorema Si () es la solución del P.C.I. () y ĺım () =, enonces () = + es una solución de equilibrio de la ecuación auónoma = f (). Moivo: Si () es decreciene, o bien decrece indefinidamene o lo hace hasa una solución de equilibrio. si () es creciene, o bien crece indefinidamene o lo hace hasa una solución de equilibrio. Clasificación de los punos de equilibrio Sea un puno de equilibrio de la ecuación auónoma = f (). es esable o un sumidero si ĺım () = para odas las soluciones () de = f () que pasen por algún puno suficienemene + próimo a la reca =. = 0 Línea de fase con un puno de equilibrio que es esable o sumidero, y gráficas de soluciones cerca de un sumidero Los punos de equilibrio que no son esables se llaman inesables. Los hay de dos ipos: Fuenes o Nodos.

7 Clasificación de los punos de equilibrio (Con.) = 0 Línea de fase con un puno de equilibrio que es inesable y fuene, y gráficas de soluciones cerca de una fuene = 0 = 0 Línea de fase con punos de equilibrio que son inesables y nodos, y gráficas de soluciones cerca de nodos.