TEMA 02: CINÉMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO.

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1 UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO CURSO DE DINÁMICA Docene: Álvarez Solís María del Carmen. Fecha: 10 Oc TEMA 02: CINÉMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO. La cinemáica de cuerpos rígidos esudia las relaciones exisenes enre el iempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferenes parículas que forman un cuerpo rígido. 1. Movimieno plano de un cuerpo rígido Cuerpo Rígido es un sisema de parículas, que manienen fijas las disancias que los separan, bajo la aplicación de una fuerza o momeno. El movimieno plano de un cuerpo rígido ocurre cuando odas sus parículas se desplazan a lo largo de rayecorias equidisanes de un plano fijo. Exisen res ipos de movimieno plano de un cuerpo rígido. Traslación. Ocurre cuando una línea en el cuerpo permanece paralela a su orienación original durane odo el movimieno. Roación alrededor de un eje fijo. Ocurre cuando se gira alrededor de un eje fijo, odas sus parículas, se mueven a lo largo de rayecorias circulares durane odo el movimieno. Movimieno plano general. Cuando un cuerpo se somee a un movimieno plano general, experimena una combinación de raslación y roación. La raslación se presena en un plano de referencia y la roación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia. 2. Traslación Considere un cuerpo rígido someido a raslación recilínea o a raslación curvilínea en el plano x-y, Posición: r A =r A +r B/A Velocidad: v B =v A Aceleración: a B =a A

2 3. Roación Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier puno P localizado en él se desplaza a lo largo de una rayecoria circular. Para esudiar ese movimieno es necesario analizar primero el movimieno angular del cuerpo alrededor del eje. Como un puno no iene dimensiones, no puede ener movimieno angular. Solamene las líneas o cuerpos experimenan movimieno angular. Posición angular: Posición angular: La posición angular de r esá definida por el ángulo. Desplazamieno angular: El cambio de la posición angular, el cual puede medirse como una diferencial d. 1 rev= 2 rad. = f o Velocidad angular: El cambio con respeco al iempo de la posición angular se conoce como velocidad angular (omega). Como d ocurre durane un insane de iempo d, enonces: Desplazamieno angular Tiempo Velocidad angular rad s rad/s Aceleración angular: La aceleración angular (alfa) mide el cambio con respeco al iempo de la velocidad angular. La magniud de ese vecor es: Velocidad angular Tiempo Aceleración angular rad/s s rad/s 2

3 Desplazamieno lineal: El cambio de la posición lineal, el cual puede medirse como una diferencial ds. Al observar longiud s del arco cuando el cuerpo gira un Angulo es: s r Velocidad lineal: El cambio con respeco al iempo de la posición angular se conoce como velocidad angular (omega). Como d ocurre durane un insane de iempo d, enonces: Desplazamieno lineal Tiempo Velocidad lineal m s m/s Aceleración lineal: La aceleración angular (alfa) mide el cambio con respeco al iempo de la velocidad angular. La magniud de ese vecor es: Relación enre y : Velocidad lineal Tiempo Aceleración angular m/s s m/s 2 Cuando el cuerpo rígido se desplaza a lo largo de una rayecoria circular de radio r con cenro en el puno. Como reemplazando en la ecuación de la velocidad y la aceleración Para relacionar v y a se despeja r: y Enonces la relación diferencial enre la aceleración angular, la velocidad angular y el desplazamieno angular es: d= d

4 Parámeros angulares conra lineales: La aceleración lineal a de la cinemáica es la diferencia de sus velocidades. La aceleración angular es la asa de cambio en el iempo de la velocidad angular. v a f v 0 f 0 Aceleración angular consane: Si la aceleración angular del cuerpo es consane. 4. Movimieno de un puno P. Posición y desplazamieno: La posición de P esá definida por el vecor de posición r, el cual se exiende desde O hasa P. Si el cuerpo gira d enonces P se desplazará: Velocidad. La magniud de la velocidad de P se calcula al dividir ds=r d enre d de modo que. Tano la magniud como la dirección de v ambién pueden enerse en cuena si se uiliza el produco vecorial de y r P V Aceleración. La aceleración de P puede expresarse en función de sus componenes normal y angencial. Como, y, enemos Al igual que la velocidad, la aceleración del puno P puede expresarse en función del produco vecorial (produco cruz). Si consideramos la derivada con respeco al iempo de la ecuación

5 Si se recuerda que y se uiliza la ecuación V ; se obiene: Podemos obener sus dos componenes y Deerminarse con el eorema de Piágoras: 5. Análisis de movimieno relaivo: velocidad El movimieno plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de raslación y roación. Para ver esos movimienos componenes por separado uilizaremos un análisis de movimieno relaivo que implica dos conjunos de ejes de coordenadas. El sisema de coordenadas x, y esá fijo y mide la posición absolua de dos punos A y B en el cuerpo, represenado aquí como una barra, 6. Análisis del movimieno relaivo: aceleración Una ecuación que relacione la aceleración de dos punos en una barra (cuerpo rígido) someida a movimieno plano general puede deerminarse al diferenciar v B = v A + v B/A con respeco al iempo. De aquí resula

6 La ecuación de aceleración relaiva se escribe en la forma 7. Movimieno relaivo mediane ejes rasladanes Considera el movimieno en pares: primero una raslación del puno base seleccionado A, enseguida una roación relaiva del cuerpo alrededor del puno A, el cual se mide con respeco a un eje rasladane. El puno B endrá una velocidad v B/A angene al círculo. También iene dos componenes de aceleración, (a B/A ) y (a B/A )n. Además, es imporane darse cuena que a A y a B endrán componenes angenciales y normales. 8. Movimieno relaivo por medio de ejes roaorios Los problemas que implican elemenos conecados que se deslizan uno con respeco al oro o punos que no esán en el mismo cuerpo pueden analizarse por medio de un análisis de movimieno relaivo con respeco a un marco roaorio. Eso da lugar al érmino 2 x (v B/A ) xyz conocido como aceleración de Coriolis.