DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL. 1. Hallar el punto del intervalo [0,2] en el que la función =

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1 DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL. Hallar el puno del inervalo [,] en el que la función F () d alcanza su valor mínimo. El mínimo de una función se alcanza en los punos donde su primera derivada es nula y su segunda derivada es mayor que cero. Para calcular la derivada de la función F() se iene en cuena el eorema fundamenal del calculo inegral. Sí F el la primiiva de f, enonces la derivada de F es f. F () ( ) ( ) igualando a cero la derivada es obienen los posibles eremos relaivos : para comprobar si es un mínimo, se susiuye en la segunda derivada ( ) ( ) F () : F () > ( ) ( ) ( ) en, F() alcanza un mínimo relaivo.. Sea F() e d. Hallar el valor de F'(). Aplicando el eorema fundamenal de cálculo inegral, se obiene F (), y con esa epresión se pariculariza para. F () e e e 3. Sea F () ( ) ( ) ( ) ( ) F () e d. Hallar los posibles punos eremos de dicha función. La condición necesaria y suficiene para una función alcance un eremo relaivo en un puno, es que en ese puno la primera derivada sea cero y la segunda derivada sea disina de cero, con el siguiene crierio. f ( o ) < MÁXIMO f ( o ) : f ( o ) > MÍNIMO Para calcular F () se iene en cuena el eorema fundamenal del cálculo inegral. F ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) igualando a cero la derivada se localizan los posibles eremos relaivos. ( ) : ± para comprobar si son eremos relaivos se susiuyen en la segunda derivada. F ( ) ( ) F ( ) F : F ( ) ( ) ( ) F () En ±, la función presena mínimos relaivos, en máimo relaivo. > < >

2 3. Sea. F () e d. Calcular F'(). Teniendo en cuena el eorema fundamenal del cálculo inegral 3 3 F () e e 3 e sen ( ) ( ) ( ). Sea F () arcsen d. Calcular F'(). Aplicando el eorema fundamenal del cálculo inegral F () arcsen sen sen arcsen cos eniendo en cuena que 6. Sea la función F() e d o ( ) ( ) ( ) arcsen ( sen ) a) Calcular F (), esudiar el crecimieno de F() y hallar los máimos y mínimos. Aplicando el eorema fundamenal del cálculo inegral se obiene la epresión de F (). ( ) F () e ( ) e ( ) e El esudio de la monoonía de la función se asocia al esudio del signo de su derivada con el Sí F () <, F() es decreciene siguiene crierio: Sí F () >, F() es creciene Para esudiar el signo de la derivada, se debe ener en cuena que la función eponencial siempre es mayor que cero, por lo que el signo solo depende de la pare polinómica. Sí < < F ( ) < F() es decreciene Signo ( F ()) Signo( ) : Sí > > F ( ) > F() es creciene b) Calcular F () y esudiar la concavidad y conveidad de F(). Esbozar la gráfica con los daos obenidos. 3 F () e : F () e e ( ) e ( ) Para esudiar el signo de F () se resuelve la ecuación ± : sobre una reca real se colocan esos valores y se esudia el signo de la segunda derivada en los res inervalos que se generan F () e ( ) Sí, : F : Sí, : F Sí, : F ( ) ( ) ( ) < > < 6 F() es concava F() es convea F() es concava

3 ( ) log 7. Calcular el siguiene límie: noa: el símbolo log represena al logarimo neperiano. log llamando ( ) log( ) ( ) d log( ) d d F d y aplicando el eorema de L hopial log ( ) d F( ) F ( ) a a f ()d? L H Para calcular F () se recurre al eorema fundamenal del cálculo inegral que dice que si F es la primiiva de f, enonces, la derivada de F es igual a f Sí f F F' f ( ) log( ) d F ( ) log( ) () log( ) ( ) log( ) F susiuyendo en el límie ( ) log( ) log( ) log( ) F aplicando de nuevo el eorema de L hopial log( ) L H. Calcular los punos donde se anula la derivada de la función f () ( ) ( ) ( ) e ² 9. Sea f una función real de la variable real, coninua y posiiva, al que f () d e arcg d ( ) a Deerminar el valor de la consane a y hallar f () aplicando el Teorema Fundamenal del Cálculo. Derivando los dos miembros respeco de d d f () d ( e arcg( ) a) d d y eniendo en cuena el eorema fundamenal del cálculo inegral para resolver el primer miembro, se obiene la epresión de f () d d f () d d d f () ( ) f () ( ) f () : f () e ( e arcg( ) ) e Para calcular la consane a, se iene en cuena el valor de la primiiva F( ) e arcg( ) siendo a el valor que oma la primiiva para el límie inferior(), cambiado de signo a (e arcg ). Se consideran las funciones F() e d, g()

4 Calcular las derivadas de las funciones compuesas ( F o g ) ( ) y ( g o F ) ( ).. Sea f ( ) una función coninua y derivable en oda la reca real, al que f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ). a) Calcular g ( ), siendo g () f ( ) f d Para calcular g (), previamene hay que calcular g (). Llamando F () a la función f ( )d, la función g queda de la forma: g () f ( F() ) función compuesa que para derivar hay que uilizar la regla de la cadena paricularizando para ( F() ) F () g () f ( F( ) ) F ( ) g () f -- epresión de la que se calcula cada érmino por separado F f ( )d () eniendo en cuena la ª propiedades de la regla de Barrow. ( F( ) ) f ( ) f -- según los daos del enunciado Para calcular F (), es necesario calcular previamene F (), que eniendo en cuena el eorema fundamenal del cálculo inegral ( Sí F es la primiiva de f F f ) se epresa de la siguiene forma F() f ( )d F () f ( ) () f ( ) () f ( ) f ( ) f ( ) paricularizando para F () f ( ) f () -3- susiuyendo y 3 en uno, se obiene el valor de g () ( F( ) ) F ( ) g () f g() b) Calcular f () f f ( )d g() g() f () f () f () f () f () aplicando el eorema de L Hopial g() g () g () f () f () f ()

5 arcsen. Calcular F'() y simplificar el resulado, siendo F() sen e d, < < 3. Hallar la raíz de la ecuación F'() que perenece al inervalo [, ], siendo. Calcular F (), siendo F () F () ( ) g d d ( )