PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO Profesor Rafael de Arce

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1 Economería I. DADE Noas de Clase PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO Profesor Rafael de Arce INTRODUCCIÓN Una vez lograda una expresión maricial para la esimación de los parámeros del modelo, es perinene comprobar las propiedades esadísicas de los mismos. En ese senido, los parámeros MCO y Máximo-verosímiles se calcularán así 1 : [ X ' X X ' Y 1 β donde se ha uilizado la expresión del modelo en forma maricial: Y X β + U nx1 nxk kx1 nx1 Se demuesra, a coninuación, que esos esimadores son esimadores lineales, insesgados, ópimos y consisenes (ELIO +Consisenes). Es decir, cumplen las mejores condiciones que esadísicamene se puede pedir a un valor esimado. En primer lugar, conar con un esimador insesgado nos asegura que el valor esperado de nuesro cálculo coincide con el valor real del parámero. Ése requisio es fundamenal a la hora de realizar una esimación, siendo la condición sinequanon para seguir realizando algunas comprobaciones esadísicas. De hecho, la segunda demosración que se realiza en ese documeno sirve para comprobar que los parámeros esimados ambién serán ópimos; es decir, serán los que cuenen con la varianza más pequeña de enre odos los insesgados 3. En ercer lugar, se demosrará que los MCO ambién son consisenes. Eso quiere decir que nuesra forma de calcular los parámeros para la esimación daría el resulado exaco de cálculo de los parámeros reales si en vez de uilizar una muesra usáramos el oal de los daos, sin error alguno. Dicho de oro modo, cuando conamos con el oal del universo para realizar la esimación la varianza de los parámeros calculados es nula, ya que coinciden exacamene con los reales. Previamene a realizar esas res demosraciones, se hará una derivación maemáica de la fórmula de cálculo original de los MCO para comprobar que, dicho cálculo, produce unos esimadores que son combinación lineal de las perurbaciones aleaorias. Esa comprobación endrá imporanes consecuencias para poder deerminar a poseriori el inervalo de confianza de los parámeros. Bajo el supueso habiual de normalidad de las 1 La expresión de cálculo es la misma para ambos cuando la función de densidad de las perurbaciones aleaorias se disribuye como una normal. BLUE en inglés y, a veces, MELI en algunas raducciones. 3 Quizá se puedan enconrar formas de esimar los parámeros con un menor inervalo de variación, pero si esos no son insesgados conculcan lo que hemos llamado condición sinequanon para un valor esimado. Podemos ser muy precisos en una esimación, pero si su valor medio o esperanza no coincide con el valor real, la uilidad de la esimación quedará en enredicho.

2 Economería I. DADE Noas de Clase perurbaciones aleaorias, demosrar que los parámeros son una combinación lineal de ésas lleva inmediaamene a conocer en qué forma se disribuyen nuesros coeficienes esimados. Sabiendo cuál es su función de densidad, podremos calcular con facilidad en qué rango o inervalo se mueven ésos e, incluso, podremos diseñar algunos conrases esadísicos para averiguar el grado de significaividad de esos (en qué medida podemos decir que los parámeros son disinos de cero o, dicho de ora forma, en qué grado las variables a las que muliplican dichos parámeros son relevanes para la explicación de la variable endógena del modelo). LINEALIDAD Para comprobar que los parámeros esimados son una combinación lineal de las perurbaciones aleaorias del modelo, basa con susiuir Y en la expresión de cálculo de los mismos por su expresión complea (enre llaves en la expresión de más abajo): β [ X ' X X ' Y { Y Xβ + u } [ X ' X X ' Xβ + [ X ' X X ' u β + [ X ' X β + WU X ' u Los esimadores MCO son una combinación lineal de las perurbaciones aleaorias. Como ya se ha indicado aneriormene, esa comprobación será de especial rascendencia para acomeer la fase de validación del modelo ya que una función lineal de una variable aleaoria que se disribuye como una normal ambién se disribuye como una normal. A parir de esa deducción, podremos deerminar los inervalos de confianza en los que se moverán nuesras esimaciones y podremos realizar hipóesis sobre el valor real de los parámeros a conrasar esadísicamene. INSESGADEZ En ese momeno iene inerés demosrar que el valor esperado del parámero esimado con MCO coincide con el valor real del parámero. Para la demosración, pariremos del resulado obenido en el aparado anerior, cuando escribimos los parámeros como una combinación lineal de las perurbaciones aleaorias: ) β β + ÓPTIMO (EFICIENCIA) β β + [ X ' X X ' U [ X ' X X ' U ) β + [ X ' X X ' U ) { U ) 0} ) β β El valor esperado del esimador coincide con el real. El objeo de esa demosración es comprobar que los parámeros esimados mediane MCO son los que ienen la varianza más pequeña de enre odos los alernaivos posibles de la familia de los insesgados.

3 Economería I. DADE Noas de Clase Para demosrar que el esimador MCO es el esimador ópimo se seguirán cuaro pasos 4 : 1) Se deermina el valor de las varianzas de los esimadores MCO. ) Se propone un esimador alernaivo al MCO cualquiera y se comprueba cuál es la condición necesaria y suficiene para que dicho esimador sea insesgado. 3) Se deerminan las varianzas de esos esimadores alernaivos 4) Se comparan las varianzas de ése con las de los esimadores MCO. 1) Mariz de varianzas-covarianzas de los esimadores Pariendo de la expresión hallada al demosrar la linealidad y sabido que ese esimador es insesgado: β β + X ' X X ' U Y ) β [ β Podemos calcular la mariz de varianzas-covarianzas de los parámeros MCO del siguiene modo: COV E [ VAR( ) β ( β ))( β β ))' β E[ ( β + [ X ' X X ' U β )( β + [ X ' X X ' U β )' [([ X ' X X ' U )([ X ' X X ' U )' E[ X ' X X ' UU ' X [ X ' X { UU ') σ I } σ [ X ' X X ' X [ X ' X σ [ X ' X n COV VAR( ) β σ [ 1 X ' X Poseriormene, comprobaremos las varianzas de los parámeros así esimadas (los elemenos de la diagonal principal de la expresión anerior) son las más pequeñas o no de enre odos los esimadores insesgados posibles. ) Esimador alernaivo insesgado Sumando una mariz P no nula a la expresión del esimador MCO se obiene la expresión general de un esimador cualquiera alernaivo, del que habrá que comprobar qué condiciones ha de cumplir para ser insesgado. En primer lugar, escribimos la expresión de un parámero alernaivo simplemene adicionando a la fórmula de los MCO una mariz P disina de cero. Poseriormene, escribimos ese parámero alernaivo susiuyendo Y por su valor: β [ X ' X X ' + P Y { Y Xβ + U } [ X ' X X ' Xβ + [ X ' X X ' U + PXβ + β + [ X ' X X ' U + PXβ + PU [ PU [ 4 Esa demosración ambién se podría realizar comprobando que la varianza del esimador MCO es la coa de Cramer Râo.

4 Economería I. DADE Noas de Clase Una vez conamos con la expresión de un esimador cualquiera alernaivo, hay que comprobar cuáles son las condiciones que ese debe cumplir para ser insesgado. β ) E[ β + [ X ' X X ' U + PXβ + PU [ X ' X X ' U ) + PXβ + P U ) [ β + PXβ [ β + condición insesgadez β β + PX 0 [ X ' X X ' U + PU En la expresión anerior, efecivamene es necesario verificar la siguiene condición para que no haya sesgo: PX β 0. En esa expresión, los parámeros no pueden conener ningún cero, ya que se supone que la especificación del modelo es correca (no sobra ninguna variable explicaiva). Por ello, la expresión anerior de la insesgadez de los parámeros alernaivos queda reducida a que: PX 0. 3) Mariz de varianzas-covarianzas del esimador alernaivo A coninuación, se calcula la expresión de la mariz de varianzas-covarianzas de esos esimadores que, para ser insesgados, nos permien suprimir de los cálculos cualquier produco en el que inervenga PX 0 (o su ranspuesa). var( β ) E [( β + [ X ' X X ' U + PU β ))( β + [ X ' X X ' U + PU β ))' { β ) 0} E[ ([ X ' X X ' U + PU )([ X ' X X ' U + PU )' E[ X ' X X ' UU ' X [ X ' X + [ X ' X X ' UU ' P' + PUU ' X [ X ' X + PUU ' P' { UU ') σ I } σ ([ X ' X X ' X [ X ' X + [ X ' X X ' P' + PX [ X ' X + PP n { PX 0} σ ([ X ' X var( β ) σ ( 4) Comparación de varianzas + PP') [ X ' X + PP' ) Finalmene, hay que comprobar que efecivamene las varianzas de los esimadores MCO siempre son inferiores a las varianzas de cualquier oro esimador insesgado: var( β ) σ ( [ X ' X + PP') > σ ([ X ' X var( β ) Esa condición se verifica siempre, ya que PP es una mariz por su ranspuesa, luego en su diagonal siempre hay números posiivos y es precisamene la diagonal principal donde en la mariz de varianzas-covarianzas esán las varianzas. ')

5 Economería I. DADE Noas de Clase CONSISTENCIA Por úlimo, se demosrará que los parámeros MCO son consisenes; es decir, que ampliando la muesra al oal de la población, el valor esimado coincide con el real o, dicho de ora forma, que cuando conamos con odos los daos, no con una muesra, el cálculo de MCO da como resulado los parámeros reales, un cálculo exaco, luego con varianza igual a cero. p lim ( ) β β p lim(var( )) β 0 Para demosrar esa siuación, emplearemos la segunda expresión (la de la probabilidad asinóica de la varianza de los esimadores). Susiuyendo esa fórmula por su expresión de cálculo (a la que hemos llegado cuando realizámos la demosración de la eficiencia u opimalidad de los parámeros) enemos: p lim(var( )) β σ σ X ' X n n [ X ' X 0 Lo anedicho, podría inerprearse como que, a medida que vamos aumenando el número de daos en nuesra esimación ( n iende a infinio), el valor del produco sería cada vez más pequeño; es decir, se iría aproximando a cero. En el límie, sería nulo siempre que el segundo valor del produco (la mariz inversa) fuera calculable. COROLARIO En definiiva, después de haber observado que los esimadores MCO cumplen con las cuaro propiedades propuesas (linealidad, insesgadez, opimalidad y consisencia); además de saber que conamos con las esimaciones paraméricas con mayores garanías esadísicas, ambién podemos saber que los coeficienes del modelo se disribuyen como una Normal, con media el verdadero valor del parámero (son insesgados) y varianza COV VAR( ) β σ [ X ' X 1. Es decir: β N( β; σ [ X ' X ) 1 En cualquier caso, esa expresión no será de uilidad para deerminar los inervalos de confianza de los parámeros (para conocer enre qué bandas se moverán los verdaderos valores de los parámeros) salvo que obengamos un méodo para esimar la varianza de las perurbaciones aleaorias que inerviene en esa fórmula σ.