Matemáticas II TEMA 10 La integral indefinida

Transcripción

1 nálisis. Inegral Indefinida Maemáicas II TEM 0 La inegral indefinida. oncepo de inegral indefinida La derivada de una función permie conocer la asa de variación (el cambio insanáneo) de un deerminado fenómeno a parir de su función. on la inegración, el proceso es inverso: se raa de conocer la función inicial a parir de su derivada: pariendo del esudio de la variación de un fenómeno, llegar a conocer la función que lo eplica... Primiiva de una función Si se conoce una función F (), es fácil hallar su derivada F () Se aplican las fórmulas. El proceso inverso, enconrar F () a parir de F (), se llama inegración. F () (derivación) F ( ) f ( ) (inegración) F () la función F() se le llama primiiva o aniderivada de la función f (). Para ver que la primiiva de una función es correca basa con derivar, pues: F () es una primiiva de f () F ( ) f ( ) a) Si F( ), su derivada es F ( ) ; enonces: una primiiva de f ( ) será F( ). Observación: Ora primiiva de f ( ) es, por ejemplo, F ( ), pues derivando: F ( ) f( ). Todas la funciones de la forma F( ) c, donde c es un número, son primiivas de f ( ) b) Si F ( ) ln( ), su derivada es F ( ) ; en consecuencia, una primiiva de f ( ) será F ( ) ln( ). Todas las funciones de la forma F( ) ln( ) c son primiivas de f ( ). c) Para hallar una primiiva de la raíz ; eso es, que si f( ) 7 será y f( ) 7 y F 7 y ( ) 7. hay que saber la fórmula de la derivada de 7. En consecuencia, una primiiva de Observación: lo largo de ese ema se esudiarán los méodos básicos de inegración, pero si no se conocen con solura (y de memoria) las fórmulas de derivación el rabajo resulará inúil. José María Marínez Mediano

2 nálisis. Inegral Indefinida.. Inegral indefinida Dada una función f (), si F () es una de sus primiivas, la inegral indefinida de f () es la función F( ) c, donde c es un número que se llama consane de inegración. Se escribe así: f ( ) d F( ) c, (d indica la variable de inegración; de derivación) En consecuencia, la derivada y la inegral son operaciones inversas; de manera análoga a como lo son la raíz cuadrada y el cuadrado o la eponencial y el logarimo. Eso es, al aplicar sucesivamene la inegral y la derivada a una función se obiene la misma función: d f ( ) d d f ( ) y f ( ) d f ( ) d d En la segunda igualdad debería sumarse una consane. No lo hago para que quede más clara la idea fundamenal. a) ( ) d c b) d ln( ) c c) d c d c, pues d d d d. Puede comprobarse que c. Puede comprobarse que ln( ) c.. Propiedades de la inegral indefinida ) La inegral de un número por una función es igual al número por la inegral de la función: kf ( ) d k f ( ) d Eso significa que los números que muliplican a una función pueden enrar y salir del f ( ) inegrando, según convenga. sí, por ejemplo: f ( ) d kf ( ) d k d. k k Esa propiedad facilia el cálculo de inegrales mediane el sencillo procedimieno de ajusar consanes. a) Para hallar 8 d puede verse el ejemplo c) anerior y escribir: 8 d d d c c (puede susiuirse c por c). b) Obsérvese con un caso paricular lo que se ha dicho más arriba sobre que la inegral y la derivada son operaciones inversas: Primero se deriva, después se inegra: d d d d c d (Se escribe la consane c). José María Marínez Mediano

3 nálisis. Inegral Indefinida d d c No hay c. d d d ) La inegral de una suma de funciones es igual a la suma de las inegrales de cada una de esas funciones: Primero se inegra, después se deriva: ( f ( ) )) d f ( ) d ) d Las propiedades ) y ) indican que la inegral se compora como un operador lineal. a) Número por función: d d c c (da igual poner c que c ). OJO: Esa propiedad sólo se refiere a facores numéricos. sí: b) Para hallar d se escribe: d d d c c ( ) d ( ) d (se deja la misma c). c) Suma de funciones: d d d c c c (las consanes c y c no son necesarias; basa con poner una sola c). d) Sabiendo que cos d sin c y que ed e c (recuerda las derivadas de l a función seno y de la eponencial), se obienen: kcos d ksin c cosd sin c cos sin cos d c sin k k d c pe d pe c ed e c e e d ; ed d e c cos e d cosd e dsin e c Las propiedades aneriores se uilizan según convenga, de denro a fuera o de fuera a denro. sí, por ejemplo: 8 d d d ln( ) c ln( ) c Siempre se buscará un inegrando del que se sepa hallar la primiiva. Igualmene: 8 d 8 d 8 d d d c José María Marínez Mediano

4 nálisis. Inegral Indefinida.. Relación de inegrales inmediaas Las inegrales de las funciones usuales, que conviene saber de memoria, son las siguienes. (Para agilizar la escriura, y por fala de espacio, cuando en la función compuesa se escribe f debería escribirse f ( ); por lo mismo, en odos los casos se omie la consane de inegración, c). TL DE INTEGRLES INMEDITS Función simple Función compuesa Ejemplos kd k d ; ( ) d n n n n f d, n f f d, n n d ; d n f 0 d d f d f d d ln f d ln f d ln( ) f f a f a a d a f d ln a d ; d ln a ln ln f f e d e e f d e e d e ; e ( ) de cos d sin f cos fd sin f cos( ) d sin ( ) sin d cos f sin fd cos f sin d cos f d an d an f an cos cos f cos d ( an ) d an ( an ) an f fd f f d arcsin d arcsin f f f d arccos d arccos f f an () dan() / d arcsin (ln ) (ln ) e d arccose f d arcan d arcan f f e arcan ( ) d ( ) a) ( ) d c b) e d e c ( ) c) ( ) d c d) d ln( ) c e) sin cos d sin c Observa: f f d f, con f sin José María Marínez Mediano

5 nálisis. Inegral Indefinida. Técnicas y méodos de inegración uando el cálculo de una inegral no sea inmediao, cuando el inegrando no coincida con alguna de las fórmulas aneriores, se recurrirá a algún méodo de inegración. Esos méodos son procedimienos que permien escribir el inegrando inicial en oro equivalene cuya inegral sea más sencilla de calcular... Descomposición elemenal onsise en ransformar el inegrando mediane operaciones algebraicas básicas, como: muliplicar o dividir por una consane apropiada; sumar o resar un número u ora epresión; efecuar las operaciones indicadas (Para que esas operaciones engan senido hay que ener presenes las fórmulas de las inegrales inmediaas; y, obviamene, las propiedades de la inegral). a) d Se descompone en suma de inegrales. d d d d b) d c Se hace el cuadrado de la epresión. d 9d d d 9d 9 c c) d Se hace la división del inegrando. d d d d d ln c d) d Se ajusan las consanes buscando la inegral del logarimo: d. d d c ln( ) e) d Se observa que puede ener que ver con un arcoangene y un logarimo, pues: d d d d d d arcan ln( ) c Para aplicar ese méodo es necesario conocer muy bien las fórmulas de inegrales inmediaas. (demás hay que ener suere y paciencia, pues no siempre que se hace una ransformación da el resulado apeecible. on frecuencia hay que volver a inenarlo o recurrir a oro méodo). También es imprescindible operar con solura, como se pone de manifieso en los res ejemplos siguienes. José María Marínez Mediano

6 nálisis. Inegral Indefinida a) Para hallar sin d hay que conocer algunas equivalencias rigonoméricas. Hay que saber que: sin sin sin sin ; sin cos. (Nauralmene ambién se puede emplear la noación sin sin sin sin cos Por ano: ). sin d sin sin d sin cos d sin d ( sin )cos d cos cos c (En la ª inegral se aplica la fórmula n n f f f d c.) n f b) Para calcular d es imprescindible saber que d arcan f. f El elemeno fundamenal es que aparece el érmino, que no es descomponible en facores, y que obviamene se parece mucho a. El objeivo es ransformar la epresión f ( ) en ora igual a ella, de la forma. f ( ) El proceso puede ser el siguiene: / / /. Se ha conseguido el propósio, siendo f( ). Por ano: / d d arcan c c) Para calcular d f ( ) debe saberse que d arcsin f ( ) c. 9 ( ) ( f( )) El elemeno fundamenal es que aparece la raíz cuadrada y el érmino ( ) ; de donde puede suponerse que f ( ) esá relacionada con el érmino. coninuación hay que saber ransformar la epresión buscando que aparezca ( f ( )) en el inerior de la raíz y f () en el numerador. El proceso puede ser el siguiene: d d d d 9 ( ) ( ) 9 9 arcsin c ompruébese, derivando, que el resulado es correco. José María Marínez Mediano

7 nálisis. Inegral Indefinida 7.. Inegración de fracciones racionales: descomposición en fracciones simples P( ) Las fracciones racionales son de la forma, donde P ( ) y Q ( ) son polinomios. Q( ) Si el denominador es de grado menor o igual que el numerador, la epresión anerior puede P( ) R( ) escribirse así: ( ), donde () y R() son, respecivamene, el cociene y el Q( ) Q( ) reso de la división. (omo debe saberse, el grado de R() es menor que el de Q()) P( ) R( ) on eso: d ( ) d d. Q( ) Q( ) La inegral que puede presenar dificulades es la úlima. quí se resolverá en dos supuesos fáciles, cuando Q ( ) sea un polinomio de grado o : m m n () d () d a b a b c La inegral () es inmediaa (se resuelve por descomposición simple), pues: m m a f ( ) m d d d ln f ( ) ln( a b) c a b a a b f ( ) a a) d d c 7 ln(7 ) b) Para hallar d hay que dividir anes (el méodo de Ruffini es adecuado). Se obiene: De donde d d d d Por ano: d ln( ) c Para resolver la inegral () hay que deerminar las raíces de a b c 0, y pueden darse res casos, que dependen de que esas raíces sean: dos simples, una doble o complejas: aso. Si hay dos raíces reales simples:, a b c a. m n La descomposición que se hace es:. a b c a( ) ( ) m n on eso, d d d ln c a b c a ( ) ( ) a ln Los valores de y, que son números, se deerminan por el llamado méodo de idenificación de coeficienes. Se ve con un ejemplo. José María Marínez Mediano

8 nálisis. Inegral Indefinida 8 Para hallar la inegral d se procede así: Se hallan las raíces de 0. Son y. Por ano, la descomposición en fracciones simples será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) El méodo de idenificación de coeficienes consise en igualar los coeficienes de los érminos del mismo grado de ambos miembros de la igualdad. Eso es: ( ) ( ) 0 0 on eso: d d / / d ln( ) ln( ) c Observación: Una alernaiva para calcular y consise en dar valores a e igualar los resulados de los dos miembros de la igualdad inicial: ( ) ( ) si : / si : / se le pueden dar dos valores cualesquiera, pero los más cómodos son los de las ráices.. m n Se hace la descomposición:. a b c a( ) ( ) m n on eso, d d d a b c a( ) ( ) a ln aso. Si hay una sola raíz real doble, a b c a d La ecuación 0 iene una sola raíz doble,, doble. Por ano: ( ) ( ) ( ) ( ) Se idenifican coeficienes: Luego, d d d ln( ) c ( ) (álculo de y dando valores a : si ; si 0 + ) / / c José María Marínez Mediano

9 nálisis. Inegral Indefinida 9 aso. El denominador no iene raíces reales a b c es irreducible. m n k(a b) Se hace la descomposición:, a b c a b c ( p q) donde a b c ( p q). En odos los casos y o k, p y q, son números reales. Observación: Esa descomposición se hace buscando que la inegral resule la suma de un logarimo y de un arcoangene. Por eso, en la primera fracción se busca el numerador a b, que es la derivada de a b c ; y en la segunda el denominador se escribe en la forma ( p q). m n k( a b) on eso, d d d a b c a b c ( p q) kln a bc arcan pq c p a) d La ecuación 0 no iene raíces reales. Por ano, se hace la descomposición: el numerador, ; y que el denominador, ( ). Para obener esa descomposición se escribe k, siendo el érmino la derivada del denominador; después se calculan las consanes mediane la idenificación de los coeficienes de ambos miembros. Paso a paso, sería como sigue: k ) Se escribe la derivada del denominador: ) De k k k k k /;. ) Por ano, En definiiva: d d d ( ) ln( ) arcan( ) c 8 8 b) d d d d ln(9 ) arcan() c José María Marínez Mediano

10 nálisis. Inegral Indefinida 0 José María Marínez Mediano.. mpliación: Q() es un polinomio de ercer grado La descomposición de la fracción racional ) ( ) ( Q P en suma de fracciones simples puede hacerse para cualquier grado del denominador Q(), aunque su aplicación resula más engorrosa. quí se aplicará para polinomios de grado, que supondremos descompuesos en facores como sigue: aso. El denominador iene res raíces reales simples: ) ( Q. La descomposición que se hace es: r n m, con,, R. d omo se hace la descomposición: omo los numeradores de la primera y úlima fracción deben ser iguales, se deduce que Idenificando coeficienes se obiene el sisema: 0 ; 7/, / Por ano, d c d ln ln 7 ln / 7 / aso. El denominador iene raíces reales repeidas. Eso es: ) ( Q. La descomposición que se hace es: r n m, con,, R. d omo se hace la descomposición: Igualando los numeradores primero y úlimo,, se iene: ; 7,.

11 nálisis. Inegral Indefinida Por ano, d 7 d ln ln c aso. El denominador iene raíces reales y complejas. Eso es: Q( ) a b c, con el segundo facor irreducible. La descomposición que se hace es: m n r, con,, R. a b c a b La inegral de la segunda fracción se hace como se indicó aneriormene (ambién caso )) d 0 omo 0 0 no iene raíces reales se hace la descomposición: on eso, 0 0. Idenificando coeficienes: ;,. 0 Por ano, d d ln d La úlima inegral es como la del aso del aparado anerior, pues eniendo en cuena que 0 9 ( ), puede escribirse: ( ) ( ) ( ) De donde ( ) d d d ln 0 arcan ( ) La segunda inegral se ransforma como sigue: 9 ( ) d d d d 9 9 En consecuencia, la inegral inicial d ln ln 0 arcan c 0 José María Marínez Mediano

12 nálisis. Inegral Indefinida. Méodo de inegración por pares Ese méodo suele ser apropiado cuando en el inegrando figuran funciones rigonoméricas, eponenciales y logarímicas muliplicadas enre ellas o por epresiones polinómicas. El méodo consise en descomponer el inegrando en dos pares: una de ellas se llama u; la ora, que se designa por dv, suele ser el mayor rozo (la mayor pare) del inegrando que pueda inegrarse fácilmene. Una vez inegrada dv surgirá ora inegral que deberá ser más sencilla que la inicial. El esquema es el siguiene: udv uv vdu Esá fórmula se obiene a parir de la propiedad de la diferencial del produco de dos funciones, u f () y v ). sí: df ( ) ) df ( ) ) f ( ) d ) f ( ) ) d f ( ) g ( ) d (Recuérdese que df ( ) f ( ) d ). Despejando: f ( ) g ( ) d df ( ) ) f ( ) ) d. Inegrando miembro a miembro se obiene la fórmula de inegración por pares: f ( ) ) f ( ) g ( ) d d f ( ) ) d f ( ) g ( ) d f ( ) ) f ( ) ) d. O de manera esquemáica: du v du v u dv vdu udv udv du v vdu ) udv uv vdu Observación: Para la elección de las pares u y dv no hay un crierio concreo; pero, como se ha indicado más arriba, puede ser recomendable omar dv como la pare más grande del inegrando que se pueda inegral de forma inmediaa. El reso del inegrando será u. d pueden omarse las siguienes pares: () u y dv sin d du d; v sin dcos a) Para inegral sin () u sin y dv d du cos d ; v d () u sin y d dv du sin cos d ; v d Si se hace (): sin dcos cos dcos sin c Si se hace (): sin d sin cos d (La segunda inegral es más complicada que la primera. Por ano, esa parición no es acerada). sin d sin sin cos d (También la segunda inegral es Si se hace (): más complicada que la inicial. Tampoco es acerada esa parición). José María Marínez Mediano

13 nálisis. Inegral Indefinida Oros ejemplos: a) e d. Tomando: u du d; e d dv v e Se iene: e d e e d e e c b) ln d Haciendo: u ln y dv d du d; v d Por ano: ln d ln d ln c 9 c) Para calcular e cos d hay que reierar el méodo. Observa: Haciendo u e y cos d dv du e d ; v sin d Luego: e cos d e sin e sin d. La segunda inegral, e sin d, ambién debe hacerse por el méodo de pares. e Tomando: u y sin d dv du e d ; v cos Por ano, e cos d e sin e sin d esen e( cos ) e( cos ) d cos d e sin e cos e cos d (rasponiendo la inegral) cos d e sin e cos Despejando se iene: cos d e c (sin cos ) d) Para hallar ln( ) d hay que aplicar el méodo de pares y el de descomposición en fracciones. Primero pares. Se hace: u ln( ) du d ; d dv v Luego, ln( ) d ln( ) d (descomponiendo en fracciones) ln( ) d ln( ) ln( ) c José María Marínez Mediano

14 nálisis. Inegral Indefinida. Inegración por cambio de variable onsise en hacer un cambio de variable ( g ( ) o h( ), según convenga) de manera que la inegral inicial resule más fácil de calcular. El proceso es el siguiene. Si se desea hallar la inegral f ( d ), si se hace g () d g ( ) d. on eso, puede escribirse: f ( d ) f ( g ( )) g ( d ) Una vez resuela la inegral en la variable hay que deshacer el cambio inicial, pues la solución debe darse en función de. a) Para calcular ( ) d puede hacerse el cambio: ( ) ; d d d d on eso, susiuyendo, d d d c c Observación: En ese caso no es imprescindible cambiar de variable, pues ajusando n n f consane y aplicando la fórmula f f d, se iene: n d d c c b) Para calcular e d, si se hace: u du d d du u u u Susiuyendo los cambios se iene: e d e du e du e c e c c) La inegral d, hecha aneriormene mediane ajuse de consanes, se puede resolver haciendo el cambio: d d d d Luego, d d d ln c ln c u d) Para hallar d puede hacerse: Luego, u u d u u udu u u du ; d udu u u c Deshaciendo el cambio, u u, se endrá d ( ) ( ) c José María Marínez Mediano

15 nálisis. Inegral Indefinida.. ambios de variable para inegrales rigonoméricas Los cambios más frecuenes son: ) Si el inegrando es una función f () impar en cos, se hace el cambio sen. (Una función es impar en cos cuando al cambiar cos por cos la epresión cambia de signo. Por ejemplo, f ( ) cos.) sí se obienen las siguienes equivalencias: sin sin cos sin ; an an cos d cos d d d cos d cos cos d d ( ) d ( ) sin sin sin d c c ) Si el inegrando es una función f () impar en sen, se hace el cambio cos. (Una función es impar en sen cuando al cambiar sen por sen la epresión cambia de signo. Por ejemplo, f ( ) sin.) sí se obiene las siguienes equivalencias: cos sin cos ; sin d d d d sin an an cos sin cos d sin cos sin d d ( ) d ( ) d c cos cos c ) Si el inegrando no cambia al susiuir sin por sin y cos por cos, se hace el cambio an. sí se obiene las siguienes equivalencias: an an cos cos d d d d sin an sin an cos sin cos ( an ) José María Marínez Mediano

16 nálisis. Inegral Indefinida d an d Para inegrar an d, haciendo an se iene: d Esa segunda inegral se hace por descomposición, pues dividiendo: on eso, d d ln( ) c Deshaciendo el cambio inicial, se iene: an an an d ln an c ln cos c ) En odos los casos puede hacerse el cambio an /. sí se obiene las siguienes equivalencias: an an d d d d sin( / ) De an sin an cos ; cos( / ) an cos. cos ( / ) Luego, sin sin cos an cos sin an( /) sin omo an an ; cos cos an ( /) an Para inegrar sin d, haciendo an se iene: sin d d d c d c sin an.. Oros cambios y ransformaciones Las écnicas de inegración son numerosísimas; si el lecor esá ineresado puede buscar en cualquier libro de grado superior: los clásicos álculus. quí, a modo de apune, se hacen dos ejemplos más para mosrar la gran diversidad de rucos de inegración. cos a) Para inegrar sin d puede recurrirse a la equivalencia sin, obeniéndose: cos sin d cos cos d d d d José María Marínez Mediano

17 nálisis. Inegral Indefinida 7 sin c sin cos c (La úlima epresión se obiene escribiendo sin sin cos ). Observación: Las ransformaciones de las epresiones rigonoméricas, mediane oras equivalenes, es un recurso que debe enerse en cuena. b) Para inegrar d puede hacerse el cambio cos cos d sin d ; cos sin Por ano: d sin d sin d sin d sin cos c, obeniéndose: (por el ejemplo a) arccos c Téngase en cuena que cos arccos. Por úlimo conviene observar que los méodos de inegración no son rígidos, pues puede llegarse al mismo resulado por disinos procedimienos. sí, algunas veces se uilizan cambios de variable que resulan innecesarios; y viceversa, oras veces, un cambio de variable facilia mucho la inegración. Véanse un par de ejemplos. a) La inegrar sin d puede resolverse ambién por el méodo de pares. sin d sin sin d y se oma: Si se escribe u sin y sin d dv du cos d ; v cos Luego: sin d sin cos cos cos d sin cos cos d sin d sin cos sin sin cos sin d d d La úlima inegral es la misma que la inicial; si se raslada de miembro se obiene: sin d sin cos dsin cos c sin cos sin d sin cos c c e b) La inegral d puede hacerse: e Mediane el cambio e ed d. e Por ano: d d ln c ln e c e Direcamene, si se observa que el numerador es la derivada del denominador y, por ano, la inegral es un logarimo. José María Marínez Mediano