= A, entonces A = 0. Y si A es una matriz. y comprobar el resultado. ,, ;,, es el mismo que el generado

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1 EJERCICIOS. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES. 1. Calcular el siguiene deerminane de orden n: 1 n n n n n n n n n n n n n. Demosrar que si A es una mariz al que n n, se verifica lo anerior? A = A, enonces A. Y si A es una mariz. Sea A una mariz 5 5 al que 1 1 A =, calcular: ( ) 1 5 A ; A ; A ; A A ; A A ; A 4. Enconrar a y b para que los vecores u ( 1,, a,1 ), u ( a,1,, ), u ( 0,1, b,0) = = = sean linealmene 1 dependienes y deerminar una relación de dependencia. 5. Calcular el rango de la mariz 1 1 A = según los valores de los parámeros a y b. a 0 b 6. Resolver la ecuación x x x x x y comprobar el resulado. a b c 7. Sabiendo que A = = ; calcular el valor de ( ) 1 A, AA, A y a 1 b 0 a + c Hállese la dimensión y una base del subespacio vecorial de R generado por los vecores u 1 = ( 1,0,0, 1), u = (,1,1,0 ), u = ( 1,1,1,1 ), u 4 = ( 1,,, 4) y u 5 = ( 0,1,, ) { } 9. Demosrar que el subespacio generado por u = ( 1 1) v = ( 1 ) por x = ( 11,, 0) ; w = (, 8, 5) { },, ;,, es el mismo que el generado jlma.es Deerminanes. Maemáicas II. Pag. 1

2 10. Comprobar que las siguienes marices ienen el mismo deerminane: 1+ a a a a 1 1 A =, B = b b b b 1 1 λ 11. Se consideran las marices A = y B λ = 0 a) Enconrar los valores de λ para los que A B es inverible. b) Deerminar los valores de λ para los que exise ( B A) 1. c) Calcular ( B A) 1 para λ =. 1. En el espacio vecorial P de los polinomios de grado menor o igual que, se considera el siguiene subconjuno: A = { p( x) P / p( 1) = p( ) }. A es subespacio vecorial de P? En caso afirmaivo deerminar su dimensión Si el rango de la mariz A = 1 k 9 es, deerminar una combinación lineal nula de los vecores fila F1, F y F así como una combinación lineal nula de los vecores columna C, C, C y C. 1 4 { } 14. Probar si el sisema de vecores S = a1 = ( 111) a = ( 1 01) a = ( 1) afirmaivo calcular las coordenadas de u = ( 1,, ) en esa base.,, ;,, ;,, es base de R y en caso 15. Resolver la ecuación: x a a 0 x 0 b 0 x 0 0 c Calcular el rango de la mariz A según los valores del parámero λ : A = λ λ jlma.es Deerminanes. Maemáicas II. Pag.

3 17. Sin desarrollar, probar que 1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b 18. Sin desarrollar, probar que = Resolver la ecuación: 1 x x x x + 1 x + x x x + x + 1 x λ Enconrar los valores de λ para los que la mariz A = 0 λ 1 λ 0 calcular la inversa de A y comprobar el resulado. es inverible. Para λ=, 1. Uilizando las propiedades de los deerminanes, calcular el valor de x x + 1 x + x x + x + 4. x x + 5 x + 6. Dados los vecores e = ( a 1+ a a) e = ( a 1 a) y e = ( 1 a 1),,,,,,,, se pide:, son linealmene 1 a) deerminar los valores de a, para los que los vecores e1 e y e dependienes. b) esudiar si el vecor u = ( 0) a =. Jusificar la respuesa.,, depende linealmene de los vecores e, e y e para el caso 1. Considérese el subespacio vecorial u = ( 1, 4,5), ( 4, 5,1) y = ( 1, 11,16) perenece a H. u 1 =,1,1, H R generado por los vecores ( ) u =. Averiguar si alguno de los vecores (,0,4) x =, 4. Demosrar, uilizando las propiedades de los deerminanes, que a a + b a + c ( a b)( a c)( b c ) b + a b b + c = c + a c + b c jlma.es Deerminanes. Maemáicas II. Pag.

4 5. Resolver el siguiene deerminane a x x b x a b x x b a x b x x a 6. Calcular el valor del deerminane 1 a 1 a a a a a a 1 a a a a a a 1 a a a a a a 1 a 7. Probar, aplicando las propiedades de los deerminanes, la siguiene igualdad: a b c a a b b a c b c c c b a ( a b c) = x 8. Calcular para qué valor, o valores, de x admie inversa la siguiene mariz A = x hallar A 1 para x =. y 9. Sea A una mariz 4 4 al que A =, calcula, jusificando la respuesa: 1 ( ) ( ) A ; A ; A ; A A ; A A ; A ; A 0. Demosrar que si A es una mariz al que n n, se verifica lo anerior? A = A, enonces A. Y si A es una mariz 1. Resolver la siguiene ecuación: 5 x x x 5 x x 5 x x x 5 jlma.es Deerminanes. Maemáicas II. Pag. 4

5 . Calcular el rango de la mariz A, según los diferenes valores del parámero R, siendo: 0 A = Indicar para qué valores de R no exise la mariz inversa de A y en caso de ser posible calcular para = 1. A 1. Si A es cualquier mariz con n filas y n columnas al que calcular el valor de de ( A I ) + en función de m. A = A I y se sabe que de ( A) = m, 4. Esudiar el rango de la mariz A según los valores de los parámeros a y b. a b 1 A = 1 ab 1 1 b a x Resolver la ecuación: 0 = 4 x x x 1 6. Resolver la ecuación: x x Sea la mariz A x y x y 0 =, dedúzcase cuándo A no iene inversa. 0 0 x y y 0 0 x 8. Resolver la ecuación: x x 5 x x + jlma.es Deerminanes. Maemáicas II. Pag. 5

6 Calcular el rango de la mariz A según los valores del parámero λ : A = λ λ 40. Probar, aplicando las propiedades de los deerminanes, la siguiene igualdad: a + b b + c c + a p + q q + r r + p x + y y + z z + x = a b c p q r x y z 41. Sea el siguiene deerminane: D = Figurará el produco a11a aa54a 45 en el desarrollo del deerminane D?. Con qué signo? - Igual para el produco a11a a4a4a 55 - Escribir dos producos que en el desarrollo del deerminane D aparezcan con signo posiivo y oros dos con signo negaivo. jlma.es Deerminanes. Maemáicas II. Pag. 6