EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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- Dolores Barbero Correa
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1 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS EJEROS UNDDES : MTRES Y DETERMNNTES (-M--) Sean las marices D a) ( punos) Resuelva la ecuación maricial D ( D) b) ( puno) Si las marices D son las marices de adacencia de dos grafos, de vérices a, b, c,,, respecivamene, haa la represenación gráfica de dichos grafos (-M--) 6 a) ( punos) Dada la mariz 7, calcule ( ) a b) ( punos) Dadas las marices,, D, deermine a b b de manera que D O, siendo O la mariz nula (-M--) a) ( punos) De una mariz cuadrada,, de orden se conocen los siguienes elemenos a a, a a, a a Deermine los demás elemenos de la mariz sabiendo que debe cumplirse la ecuación, ( ) donde ( ) b) (puno) alcule D, siendo D (-M;Jun--) Sean las marices,, a) ( puno) alcule b) ( punos) Resuelva la ecuación maricial (-M;Sep--) Sean las marices a) ( punos) Efecúe, si es posible, los siguienes producos: ; ; b) ( punos) Resuelva la siguiene ecuación maricial 6 (-M6--) a) ( punos) Dadas las marices M N, razone cuáles de las siguienes operaciones ienen senido efecúe las que puedan realizarse: M N, M N, M N b) ( puno) Un indusrial cafeero produce dos ipos de café, naural descafeinado, en res modalidades cada uno,, Se han anoado en la mariz P los pesos, Deparameno de Maemáicas Profesor: Ramón Lorene Navarro loque : Álgebra Unidades : Marices Deerminanes
2 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS en kg, del café que el indusrial produce de cada una de las modalidades de cada ipo, en la mariz Q los precios a los que vende el kg de cada produco final: P : naural naural 7 Q : descafein 6 descafein 9 6 Efecúe el produco P Q eplique el significado económico de cada uno de los elemenos de la diagonal principal de la mariz resulane 7 (-M--) a) ( puno) Sean, marices con, filas respecivamene Sabiendo que el produco de marices es posible que el resulado es una mariz con columnas, halle las dimensiones de dichas marices b) ( punos) Halle la mariz que verifica ( ), siendo a b 8 (-M--) Sean las marices, a) ( puno) Halle los valores de a b para que se verifique b) (7 punos) Eise algún valor de b para el que el produco sea igual a la mariz nula? c) (7 punos) Para a b, halle la mariz que verifica la igualdad O (O represena la mariz nula) 9 (-M;Sep--) Sean las marices: c d 6 P, Q R a 8 b a) ( puno) alcule, si es posible, P Q Q P, razonando la respuesa b) ( punos) uáno deben valer las consanes a, b, c d para que P Q R? (-M;Jun--) Sean las marices a) ( puno) alcule b) ( punos) Resuelva la ecuación maricial (9-M;Sep --) Sean las marices, a) ( puno) alcule b) ( punos) Resuelva la ecuación maricial (9-M;Jun--) Sea la igualdad, donde, son marices cuadradas de la misma dimensión a) ( puno) Despeje la mariz en la igualdad anerior, sabiendo que iene inversa b) ( punos) Obenga la mariz en la igualdad anerior, siendo Deparameno de Maemáicas Profesor: Ramón Lorene Navarro loque : Álgebra Unidades : Marices Deerminanes
3 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS Deparameno de Maemáicas loque : Álgebra Profesor: Ramón Lorene Navarro Unidades : Marices Deerminanes (9-M--) b) ( puno) Dada la mariz, calcule la mariz M (9-M6--) ( punos) Sean las marices:, 6 Deermine en la ecuación maricial (8-M--) a) ( puno) Dada la mariz, a a calcule el valor de a para que sea la mariz nula b) ( punos) Dada la mariz, M calcule la mariz ( ) M M 6 (8-M;Sep--) a) ( punos) Planee resuelva el sisema de ecuaciones dado por: b) ( punos) alcule la mariz inversa de 7 (8-M;Jun--) Sean las marices 6 b a a) ( punos) alcule los valores de a b para que b) ( punos) Para a, b resuelva la ecuación maricial 8 (8-M--) a) ( puno) Dadas las marices ( ) F, calcule los producos F F b) ( punos) Dadas las marices,, calcule la mariz que verifique la ecuación 9 (8-M--) a) ( punos) Halle la mariz que verifica la ecuación ( ) b) ( puno) Deermine los valores de e que cumplen la igualdad
4 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS Deparameno de Maemáicas loque : Álgebra Profesor: Ramón Lorene Navarro Unidades : Marices Deerminanes (8-M6--) Sean las marices siguienes:, a) ( puno) alcule ( ) ( ) b) ( punos) Deermine la mariz, cuadrada de orden, en la ecuación maricial ( ) (7-M--) Sean las marices, a) ( puno) Encuenre el valor o valores de de forma que b) ( puno) gualmene para que c) ( puno) Deermine para que (7-M;Jun--) Sean las marices, e z Y a) ( puno) Deermine la mariz inversa de b) ( punos) Halle los valores de z,, para los que se cumple Y (7-M;Sep--a) ( punos) Halle la mariz que verifica: 8 9 (7-M--a) ( puno) Sea la mariz b alcule el valor de b para que (7-M--b) ( punos) Dadas las marices, resuelva la ecuación maricial, donde es una mariz cuadrada de orden 6 (7-M6--) Sean las marices, a) ( punos) alcule b) ( punos) Halle la mariz que verifica ( ) 7 (6-M--) Sean las marices, a) ( punos) alcule ( ) b) ( punos) Deermine la mariz para que 8 (6-M;Jun--) Sean las marices a) ( puno) Encuenre el valor o valores de de forma que b) ( puno) gualmene para que c) ( puno) Deermine para que
5 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS Deparameno de Maemáicas loque : Álgebra Profesor: Ramón Lorene Navarro Unidades : Marices Deerminanes 9 (6-M--a) ( punos) Sean las marices, alcule ( ) (6-M--) ( punos) Sean las marices: ; ; ; D ; E alcule los valores de los números reales z,,, para que se verifique la siguiene igualdad enre marices: D z E (6-M6--a) ( punos) Sean las marices ( ) Eplique qué dimensión debe ener la mariz para que enga senido la ecuación maricial ( ) Resuelva dicha ecuación (-M;Jun--) Sean las marices a) ( puno) alcule la mariz b) ( punos) Halle la mariz que verifique (-M6--) Sean las marices a) ( puno) alcule, si eise, la mariz inversa de b) ( punos) Si, calcule e (-M--) Sean las marices, a) ( puno) alcule ( ), siendo la mariz idenidad de orden b) ( puno) Obenga la mariz calcule, si es posible, c) ( puno) alcule la mariz que verifica (-M;Sep--) ( punos) De una mariz se sabe que su segunda fila es ( ) su segunda columna es Halle los resanes elemenos de sabiendo que 6 (-M--b) ( puno) Dada la mariz, halle
6 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS 7 (-M;Jun--) Sean las marices,, a) ( punos) alcule la mariz P que verifica P b) ( punos) Deermine la dimensión de la mariz M para que pueda efecuarse el produco M c) ( punos) Deermine la dimensión de la mariz N para que N sea una mariz cuadrada 8 (-M--b) ( punos) Sean las marices alcule ( ), donde es la mariz unidad de orden 9 (-M;Jun--) Sean las marices M N a) (7 punos) alcule la mariz M M M b) ( punos) alcule la mariz M resuelva la ecuación N M M, donde es una mariz (-M;Sep--) Sea la mariz a) ( punos) Halle los valores de para los que se verifica b) ( punos) Para, halle ompruebe el resulado calculando (-M--b) ( punos) Resuelva la ecuación Deparameno de Maemáicas Profesor: Ramón Lorene Navarro 6 m (-M--) Sea la mariz m m a) ( puno) alcule los valores de m para que dicha mariz enga inversa b) ( punos) Haciendo m, resuelva la ecuación maricial, donde es la mariz unidad de orden es una mariz cuadrada de orden (-M6--b) ( punos) Deermine la mariz, de orden, que verifica la igualdad: 7 (-M--) ( punos) Sean las marices,, alcule,, z, sabiendo que D z D z z (-M6;Sep--) Sea la mariz m 6 m a) ( puno) alcule los valores de m para que dicha mariz enga inversa b) ( punos) Haciendo m, resuelva la ecuación maricial ( ) loque : Álgebra Unidades : Marices Deerminanes
7 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS Ejemplo Sean los grafos siguienes: LGUNOS EJEMPLOS DE EJEROS DE MTRES OMO EPRESONES DE TLS Y GRFOS: a) Escriba la mariz de adacencia asociada a los grafos de la figura anerior b) Si las marices D unen los nodos numerados con las eiqueas,,, represene los grafos asociados a dichas marices de adacencia D c) Realice la siguiene operación maricial: D D Ejemplo En un insiuo ha alumnos de res pueblos,, La disancia enre es 6 km, la de a es 7 km, la de a es km la de a es 8 km Una empresa de ranspore escolar hace dos ruas: la rua pare de recorre sucesivamene, e ; la rua pare de recorre sucesivamene, e Deermine la mariz M,, que epresa los kilómeros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada rua El número de alumnos que siguen cada rua de cada pueblo es: Pueblo : alumnos la rua 9 alumnos la rua Pueblo : alumnos la rua 8 alumnos la rua Pueblo : alumnos la rua 9 alumnos la rua Deermine la mariz N,, que indique los alumnos que siguen cada rua de cada pueblo Si la empresa cobra cénimos por Km a cada persona, deermine la mariz P M N, e inerpree cada uno de sus elemenos Rua Rua lumnos Rua M N lumnos Rua lumnos Ejemplo En una empresa de fabricación de móviles ha caegorías de empleados:, se fabrican dos ipos de móviles: M P Diariamene cada empleado de la caegoría fabrica móviles del ipo M del ipo P, mienras que cada uno de la caegoría fabrica móviles del ipo M del ipo P, cada uno de la caegoría fabrica 6 móviles del ipo M móviles del Deparameno de Maemáicas Profesor: Ramón Lorene Navarro 7 loque : Álgebra Unidades : Marices Deerminanes
8 ES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS ipo P Para fabricar cada móvil del ipo M se necesian dos chips coneiones para fabricar cada móvil del ipo P chips 6 coneiones a) Escriba una mariz,, que describa el número de móviles de cada ipo ora mariz Y, de orden, que eprese el número de chips coneiones de cada ipo de móvil b) Realice el produco de marices Y e indique qué epresa dicho produco Ejemplo Un proveedor que suminisra maeria prima a fábricas, F, G H, ranspora una pare de sus envíos a cada fábrica por carreera la ora pare por ren, según se indica en la mariz T, cuos elemenos son las oneladas de maeria prima que recibe cada fábrica por cada vía de ranspore F G H carreera T ren Los precios del ranspore de cada onelada de maeria prima son euros por carreera 8 euros por ren, como indica la mariz ( 8) Eplique qué operación debe efecuarse con esas marices para deerminar una nueva mariz cuos elemenos sean los coses de llevar ese maerial a la fábrica Ejemplo Una persona iene que comprar kg de manzanas, kg de ciruelas kg de pláanos ora necesia kg de manzanas, de ciruelas de pláanos En la fruería, los precios de las manzanas son 8 euros/kg, los de las ciruelas los de los pláanos 9 en la fruería son 7, 7 respecivamene Se escriben las marices 8 7 M N 9 7 a) Deermine M N e indique qué represena cada uno de los elemenos de la mariz produco b) En qué fruería le conviene a cada persona hacer la compra? Ejemplo 6 Un fabricane de producos láceos, que vende ipos de producos, leche, queso naa, a dos supermercados, S H, ha anoado en la mariz los pesos en kg de cada produco que vende a cada supermercado, en la mariz, las ganancias que obiene en cada supermercado por cada kg de esos producos leche queso naa leche queso naa S S Mariz Mariz 6 H 6 H Efecúe el produco eplique el significado económico de cada uno de los elemenos de la diagonal principal de la mariz resulane Deparameno de Maemáicas Profesor: Ramón Lorene Navarro 8 loque : Álgebra Unidades : Marices Deerminanes
EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES
IES Padre Poveda (Guadi) Maemáicas plicadas a las SS II EJERIIOS UNIDDES : MTRIES Y DETERMINNTES (6-M--) a) ( punos) Si es una mariz de dimensión m n, indique la dimensión de una I mariz si se verifica
= ( 1) i (3i j) a = ( 1) (3.2 4) = Por tanto, A= x y y+ z x+ z 1 x = = Resolución 3.- OPERACIONES CON MATRICES.
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Solución 3.- OPERACIONES CON MATRICES y 1 1 0
.- CONCEPTO DE MATRIZ 3 7 Escriba la mariz 2 x 3 en la que a ij = 5i 4j Solución : 6 2 2 2 Calcule, si es posible, los valores de a y b para que sean iguales las marices 3a b 9 b a 7 2b a 7 A= B= a+ b
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD MATRICES.
8 EJERIIOS DE SELETIVIDD MTRIES a) Dada la ariz calcule el valor de a para que sea la ariz nula b) Dada la ariz calcule la ariz b) alcule la ariz inversa de Sean las arices 6 a) alcule los valores de a
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Conocido el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz Adjunta para poder calcular la inversa:
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es una matriz de 3 filas y 2 columnas, donde por ejemplo el elemento es 4.
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y C= a 0 1
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XA + A B = A, siendo 0 0 1
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