Elementos de Cálculo Numérico (Ciencias Biológicas) Trabajo Práctico N 5 Subespacios, Rango de una matriz

Transcripción

1 Elemenos de álculo Numérico Trabajo Prácico N o Elemenos de álculo Numérico (iencias Biológicas) Trabajo Prácico N Subespacios, Rango de una mariz Deerminar cuáles de los siguienes subconjunos son subespacios del espacio vecorial correspondiene: [a] S {( x, x ) R : x x } R, x ) R : x x, x ) R : x <, x, x) R : x + x, x x S ( x R S ( x R [d] { } S ( x R, x, x ) R : x x [e] { } [f] S ( x R S {( x, x, x, x, x ) R : x x x x Sea { } + x + x, x x S ( x, x ) R : x x a R, a R [a] Dibujar S [b] Probar que S es un subespacio de R a + x R x, n Sea R S v R : A v es un subespacio de R n (el conjuno de soluciones de un sisema de ecuaciones lineal homogéneo) A Probar que { } Dibujar los siguienes subconjunos de R y analizar si son subespacios o no: [a] { λ (,) : λ R} [b] { λ (,) + (,) : λ R} [c] { λ (, ) + (,) : λ R} [d] { λ (,) + µ (,) : λ, µ R} [e] { λ (,) + µ (,) : λ, µ R} λ (,) + µ (,) : λ, µ R ; λ + µ [f] { } Sea V un espacio vecorial real, y sean v, v v V, [a] Probar que S { k v : k R} [b] Probar que S { k v + k v : k k R} es un subespacio de V, es un subespacio de V [c] Describir geoméricamene S y S 6 Sean v (,) y w (, ) [a] Es el vecor u (, ) combinación lineal de v y w? [b] Es el vecor u (,) combinación lineal de v y w?

2 Elemenos de álculo Numérico Trabajo Prácico N o 7 Analizar si v S o no en cada uno de los siguienes casos: [a] S (,, ), v, 6, 9 ) ( [b] S,,),(,, ), v (,, ) ( [c] S (,,,),(,,, ), v (,,6, ) 8 [a] Hallar dos subespacios disinos de [b] Hallar un subespacio de vecor (,, ) R que conengan al vecor,, ) R que conenga al vecor,, ) ( ( y no conenga al 9 Hallar un sisema de generadores para cada subespacio de los ejercicios aneriores n Analizar si los siguienes conjunos de vecores generan R o no: [a] n, {(,),(, ) } [b] n, {(, ),(,) } [c] n, {(,),(, ),(,) } [d] n, {(,, ),(,,),(,,) } [e] n, {(,, ),(,,),(,,) } [f] n, {(,, ),(,,),(,,),(,,) } [g] 8 (,,,,,,, ),(,,,, 7,8,,),(,,,7,,8,, ) n, { } Analizar la dependencia o independencia lineal de los siguienes conjunos de vecores: [a] {(,,),(,,),(,,6) } R (,,,,) R (,,, ),(,,, ),(,,,),(,,,) R [d] ada uno de los conjunos del ejercicio [e] { v }, con v V (un espacio vecorial real) [f] { v,v }, con v, v V (un espacio vecorial real) [g] { v, v, v,, vn,} V (un espacio vecorial real) Hallar (si es posible) res vecores de R linealmene dependienes de manera al que dos cualesquiera de ellos sean linealmene independienes Deerminar odos los k R para los cuales los siguienes conjunos de vecores resulan linealmene independienes: [a] {(,, k),(,,),(,,) } R (,,),( k +, k, k + 6),( k, k +,) R ( k, k,,),(, k,,),(,,, k ),(,,, k ) R

3 Elemenos de álculo Numérico Trabajo Prácico N o Analizar si los siguienes conjunos de vecores son o no base del espacio vecorial correspondiene En el caso que no sean base, analizar la posibilidad de exraer una base o bien de exender a una base [a] {(,,),(,,) } R (,,),(,,),(,,) R (,,),(,,),(,,) R [d] { } (,,),(,,),(,,),(,,) R [e] ada uno de los conjunos de los ejercicios y Hallar bases y deerminar la dimensión de cada uno de los subespacios de los ejercicios aneriores 6 Sea S (,, k),(,,),(,,) R Esudiar la dimensión del subespacio S en función de k 7 Sean en R los siguienes subespacios: {( x, x, x, x ) : x + x + x, x x ( x, x, x, x ) : x, x x, x x + x S y { } T [a] Hallar bases de S y de T [b] Hallar una base del subespacio S T [c] Hallar una base del subespacio generado por S T [d] Qué relación exise enre las dimensiones de S, de T, de subespacio generado por S T? [e] Mismas pregunas ([a] a [d]) para los subespacios de R : S x, x, x ) : x + x x y T (,,),(,,) [f] { } ( Mismas pregunas ([a] a [d]) para los subespacios de R : S (,,),(,,) y T,, ),(,, ) [g] Mismas pregunas ([a] a [d]) para los subespacios de S (,,, );(,,,);(,,, );(,,,) y T (,,,);(,,,);(,,,);(,,, ) ( R : S T y del 8 Sean en R los siguienes subespacios: (,,,),(,,, λ) T x, x, x, x ) : x x x, x + x x S y {( } λ R para los cuales S T { } [a] Hallar odos los [b] Para cada valor λ hallado en [a], enconrar una base de 9 Sean en R los siguienes subespacios: ( x, x, x, x ) : x + x + x, x x T {( x, x, x, x ) : x + x + x S T { } S y [a] Hallar odos los a, b R para los cuales (, a,, b) S T [b] Exhibir dos bases disinas de S T [c] Es posible dar un conjuno de res vecores linealmene independienes en el subespacio S T?

4 Elemenos de álculo Numérico Trabajo Prácico N o Para cada una de las marices 6 ( ) ; ; 8 7 ; 8 ; ; 6 ; : [a] alcular la dimensión y una base del espacio fila [b] alcular la dimensión y una base del espacio columna [c] alcular el rango [d] alcular la dimensión y una base del núcleo [e] Mismos cálculos ([a] a [d]) para las respecivas marices ranspuesas 6 x Sean A, B R, A y B [a] Hallar bases y dimensión de N (A) y N (B) [b] Hallar una base y la dimensión de N( A) N( B) [c] Hallar una base de N( A) N( A A) Sea A R [a] Si m n y rg ( A) 6 ; calcular dim ( N( [b] Si m 7, n 8 y rg ( A) ; calcular dim ( N( [c] Si m, n y dim ( N( ; calcular rg (A) [d] Si m, n y dim ( E ( A )) ; calcular dim ( N( [e] Si m, n y dim( E ( ; calcular dim ( N( [f] Si m, n y dim ( E ( + dim( E ( A )) 6 ; calcular dim ( N( 6 9 x Sea A R, A 6 8 [a] Hallar una base y la dimensión de E (A) [b] alcular dim ( N(, dim ( N( A )), dim( E F (, rg (A) y rg ( A ) ; x Sea A R, A Hallar a y b ales que el N (A) coincida con las ax + y + bz soluciones del sisema ax y + bz

5 Elemenos de álculo Numérico Trabajo Prácico N o Sea x A R al que ( N( x mariz ampliada [ ] dim y sea x b R uál debe ser el rango de la A, b R para que el sisema A x b enga solución? x 6 Sea A R al que rg ( A) [a] Tiene el sisema A x, solución no nula? [b] alcular la dimensión del espacio de soluciones del sisema A x x 7 Sea A R, A b [a] Hallar odos los b R para los cuales rg ( A) [b] Para cada b hallado en [a], analizar si v (,,) E ( A) [c] Para cada b hallado en [a], hallar una base de N ( A ) 8 Para cada uno de los siguienes subespacios S, hallar n, m N y que S N(A) [a] S (, ) [b] S (,,),(,, ) [c] S (,,),(,,),(,, ) [d] S (,,, ),(,,,),(,,,),(,,, ) A R ales 9 Sean en R los siguienes subespacios: S {( x, x, x, x ) : x + x + x y T {( x, x, x, x ) : x x [a] Hallar la dimensión y una base de S T [b] Exhibir res vecores disinos de R que no sean combinación lineal de los elemenos de la base de S T dada en [a] [c] Dar n, m y dos marices disinas A, B R ales que A v B v para odo v S T x x x Sean A R, B R y R Si A y se verifica que ( A B) ( A B) I : 8 6 [a] Hallar el rg( A B A) y la dim( N( A B [b] Hallar una base del N( A B A)

6 Elemenos de álculo Numérico Trabajo Prácico N o Dados los subespacios de R : S x, x, x ) : x x + x, x + x x y { } ( T (,, );(,,);(,, 6) [a] Probar que T S [b] alcular las dimensiones de S y de T [c] Es T S? Jusifique su respuesa Dados los subespacios de R : S x R x x + x x + x + ( α + ) x + x y Sea { : } { x R x + ( α 7) x x + x x + ( α ) x + (α + 7) x + T x [a] alcular la dimensión de S T en función del parámero α [b] Para cada α al que dim ( S T ), hallar una base de S T : [c] Para cada α al que ( S T ) x A R, dim, hallar una base de S T ( k + ) ( k + ) A ( k 7) ( k 6) ( k ) (k + 7) ( k 9) [a] Hallar odos los k R para los cuales ( N( dim( E F ( A )) dim [b] Para cada k hallado en a), calcular una base del N (A) y una base del N ( A ) 6 Sean S y T subespacios de R ales que dim ( S) y dim ( T) [a] Puede ser que T S? [b] Puede ser dim S T 7? [c] Puede ser dim ( S T )? [d] Puede ser S T { }? [e] Si dim ( S T), qué puede decir de S y T? [f] Si dim S T, qué puede decir de S y T? [g] Si S T, calcule dim S T y dim( S T ) x x Sean P R y Q R ales que rg ( P) + dim( N( Q)) 6 y dim ( E F ( P )) x Sea W R [a] alcular dim ( N( P)), rg (P), dim ( N( Q)) y rg (Q) [b] Hallar la dim( E ( Q P )) 99 [c] Hallar la dim( N( W P ) ) 6