PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO 2011 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Transcripción

1 IES CSTELR BDJOZ PRUEB DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE BLERES JUNIO (GENERL) (RESUELTOS por nonio Menguiano) MTEMÁTICS II Tiempo máimo: horas y minuos Conese de manera clara y razonada una de las dos opciones propuesas Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (maemáico y no maemáico) empleado por el alumno Se valorarán negaivamene los errores de cálculo OPCIÓN º) a ) Comprobar que si es una mariz cuadrada al que I siendo I la mariz idenidad enonces es inversible Cuál es la epresión de -? b ) Uilizar el aparado a ) para calcular la inversa de la mariz a ) ( I ) I I ;; I ;; I ;; Teniendo en cuena que por definición de inversa de una mariz se cumple que: I de la úlima epresión se deduce que I que eise para cualquier mariz de coeficienes reales Noa: Falsa sería la demosración siguiene: I ;; I Muliplicando por la izquierda por - : ( I ) ;; I I ;; I I unque se llega a una solución idénica se supone de anemano la eisencia de la mariz inversa b ) En primer lugar hay que comprobar que I : Menguiano

2 I En efeco I por lo cual será I : I

3 º) Dados el puno ( ) y el plano π y z deerminar las coordenadas del puno simérico de con respeco al plano π Calcular la disancia de al plano π ( ) Un vecor normal de π es ( ) n Q r ( y z) π La reca r es la que pasa por el puno P y es perpendicular al plano por lo ano su vecor direcor es el vecor normal del plano π; su epresión por unas ecuaciones paraméricas es la siguiene: r y z El puno Q inersección del plano π con la reca r iene que saisfacer las ecuaciones de ambos por lo ano: π y z r y z ( ) ( ) ;; ;; ( ) ;; Q Para que sea el puno simérico de con respeco a π iene que cumplirse que: ( ) ( ) ( y ) ( ) ;; Q Q' Q ' Q ;; z z z ( ) ( y z ) y y ' ( ) La disancia del puno P ( y z ) al plano genérico π By Cz D vie- ne dada por la fórmula: d( P ) By Cz D π B C plicando la formula al plano π y z y al puno (- - -) : d ( ' π ) unid d ( ' π )

4 º) Considera la función real definida en oda la reca real por f ( ) a ) Calcular f ' y f '' dando los resulados compleamene simplificados b ) Deerminar los máimos y mínimos de la función f() a ) f ' ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' f '' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) f '' b ) Una función iene un eremo relaivo para los valores de que anulan la primera derivada f ' ( ) ( ) ( ) ;; ;; ;; ;; ;; ;; ± ± ;; Para diferenciar enre máimos y mínimos se recurre a la segunda derivada; si el valor es posiivo para los valores que anulan la primera derivada se raa de un mínimo relaivo y si es negaivo se raa de un máimo ( ) f '' > Mínimo relaivo para ( )

5 : relaivo Mínimo f Teniendo en cuena que f() es una función par por ser f f es simérica con respeco al eje de ordenadas ± 7 ' ' f < 7 7 ± para Máimos ± ± ± f : C y B relaivos Máimos

6 º) Dada la función f a ) Calcular F() al que f F ' para cualquier valor de b ) Calcular la inegral d I a ) d d F d d d d f F C F C C C b ) I d I

7 OPCIÓN B º) a ) Sin desarrollar el deerminane comprobar que b ) Deerminar el rango del siguiene conjuno de vecores: { } w v u a ) Se van a uilizar las siguienes propiedades: - Si un deerminane iene dos filas iguales o proporcionales su valor es cero - Si odos los elemenos de una fila o columna se descomponen en dos o más sumandos enonces el deerminane es igual a la suma de los deerminanes que ienen en esa fila o columna el primero y segundo sumandos respecivamene y en las demás los mismos elemenos que el deerminane inicial - Si los elemenos de una línea (fila o columna) se muliplican o dividen por un número el valor del deerminane queda muliplicado o dividido por dicho número b ) El rango del conjuno de vecores dado es igual que el rango de la mariz que deerminan: { } Rango w v u Rango El rango de la mariz anerior es por dimensión < y por ser

8 Vamos a ver si iene rango para lo cual es necesario que odos los deerminanes de orden que pueden formarse sean disinos de cero { C C C } { C C C } { C C C } Rango Rango { u ( ) v ( ) w ( ) } Ora forma diferene de calcular el rango de los vecores es deerminando si son o no linealmene independienes Es evidene que los vecores u y v son linealmene independienes por lo cual el rango del conjuno es mayor e igual que { } Si los vecores u ( ) v ( ) w ( ) son linealmene dependienes iene que cumplirse que u α v β w siendo α β R α β α β α β α β ( ) α ( ) β ( ) 7β ;; β ;; α β α u v w { } Los vecores u ( ) v ( ) w ( ) son linealmene dependienes y su rango es como esperábamos 7

9 º) Deerminar la ecuación del plano π que pasa por los punos ( ) y B( ) y cora al eje OZ en el puno C( c) con c > al que el área del riángulo BC vale unidades cuadradas v C Los punos ( ) B( ) y C( c) deerminan los vecores que son los siguienes: u B y ( ) ( ) ( ) u B B ( c) ( ) ( c) v C C Sabiendo que el área del riángulo es la miad del módulo del produco vecorial de los dos vecores que lo deerminan: i j k S u v ci k cj ci cj k c ;; ( c) c ;; c c c ;; c ;; c ;; c c ± ± Como iene que ser c > la solución es c ;; Son vecores direcores del plano π pedido u ( ) y v ( ) Considerando por ejemplo el puno ( ) la ecuación general de π es la siguiene: π y z ( ; u v ) ;; ( ) z y ;; ( ) z y ;; y z π y z

10 º) Considere la ecuación siendo una consane mayor que Usando los eoremas de Bolzano y Rolle probar que la ecuación admie una única solución no negaiva y más pequeña que Se considera la función f Por raarse de una función polinómica es coninua y derivable en odo su dominio que es R por lo cual lo será en cualquier inervalo real que se considere El eorema de Bolzano dice que si una función f es coninua en un inervalo cerrado [a b] y en los eremos de ése oma valores de disino signo enonces eise al c a b al que f ( c) menos un valor Teniendo en cuena que f ( ) < y f > por ser > según el Teorema de Bolzano en el inervalo ( ) la función f() iene al menos una raíz α eniendo que ser < α < valor no negaivo y menor que y al que f(α) Vamos a demosrar ahora que la raíz es única Supongamos que eise ora "d" al que < α < d < plicamos Rolle en (α d) Como f() es una función coninua en el inervalo [α d] y derivable en (αd) y se cumple que f(α) f(d) eise al menos un puno c de (αd) que esá incluido en () al que f'(c) ± ± ± f ' ;; < ;; > Tomando las soluciones de f '() e igualándolas a cero (pueso que iene que eisir un número c de (αd) que esá incluido en () al que f'(c) ) enemos : y es decir ± elevando al cuadrado ambos miembros enemos de donde es decir enemos que lo cual es absurdo Ese absurdo viene de suponer que hay ora solución en el inervalo ()

11 º) Sea I d: a ) Epresar I aplicando el cambio de variable b ) Calcula el valor de I a ) I d d d I d d b ) I d d d d I [ ] I ( ) I I (*) u u I d I du d du u u Susiuyendo el valor de I en la epresión (*): [ Lu] L L I I ( L ) L