REPRESENTACIÓN DE CURVAS PLANAS DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

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1 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica REPRESENTACIÓN DE CURVAS PLANAS DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Sean x e y dos funciones reales de variable real, de dominios respecivos D x y D y. Consideremos la curva dada en forma paramérica por las ecuaciones: x x() y y() cuya gráfica es el conjuno de punos de la forma (x(),y()) con variando en D D x D y. A se le denomina parámero de dicha curva. Inuiivamene, una curva en el plano puede considerarse como la rayecoria de un móvil reducido a un puno, circulando por una carreera oalmene plana. Si represenara el iempo, enonces (x,y) = (x(),y()) serían las coordenadas caresianas del puno donde se encuenra el móvil en el insane. 1 1 Si la función x x() posee inversa, x (x), enonces es y (y x )(x), es decir, endríamos la curva dada en forma explícia y ya conocemos cómo represenarla. Conviene por ano esudiar la curva por rozos, en cada uno de los inervalos de variación de donde la x pueda ser despejada. DEFINICIONES Punos críicos: Valores del parámero que anulan al menos una de las derivadas x '(), y'(), o bien alguna de ellas no esá definida en. Ramas de la curva: Supongamos que D = [a, b y que 1... k son los punos críicos. Esudiaremos la curva en cada inervalo ( i1, i), ya que si en el inervalo ( i1, i) la función x '() es coninua, enonces, al ser además x '() 0 para odo de ese inervalo, x'() maniene el signo y por ano, x es esricamene monóona en dicho inervalo y admie inversa derivable, así, las ecuaciones paraméricas x x() e y=y() definen la función derivable y 1 (y x )(x) al y como deseábamos. Denoamos esa función por y f ( x), y a su gráfica i la denominaremos rama i-ésima de la curva. i U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 1

2 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica CONDICIONES PREVIAS Además, si x ' y y' son coninuas, el signo de x'() y y'() es consane en el inervalo (, ) i1 i y nos indicará el crecimieno de x e y en función de. Por ora pare, se verifica que se iene que y'() y(x)=, y, si x'() y y'() son derivables de nuevo, x'() x '()y ''() y '()x ''() y(x)= (no hay más que aplicar la regla de la cadena x'() para la derivación de la función compuesa y la regla de derivación de la función inversa). Conociendo de esa forma y (x) e y (x), podemos efecuar el esudio de la curva con los méodos empleados para curvas dadas en forma explícia. Supongamos a parir de aquí que x ' y y' cumplen las condiciones requeridas aneriores. En paricular, si para 0 es x'( 0) 0 y y'( 0) 0, la angene en el puno correspondiene a 0 será verical (pues anulará el denominador de y(x)). Si y'( 0) 0 y x'( 0) 0, la reca angene será horizonal. Observación: Las funciones y fi ( x) e y fj ( x) obenidas al variar en los inervalos ( i1, i) y ( j1, j) respecivamene, pueden ener un dominio común respeco de x, es decir, una vez dibujada la curva complea, puede ocurrir que a un mismo valor de x le correspondan varios valores de y (las diferenes imágenes de x en cada una de las ramas i ). REPRESENTACIÓN DE CADA RAMA i,con (, ) i 1 i Lo haremos siguiendo el siguiene cuadro: dominio de variación de i1 i valores correspondienes de x signo de x' crecimieno de x respeco de valores correspondienes de y signo de y' crecimieno de y respeco de Signo y(x) de Crecimieno de y respeco de x signo de y (x) concavidad, convexidad de y respeco de x U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía

3 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Simerías Esudio de algunos ipos de simería: a) Si b) Si c) Si x( ) x(), enonces la curva es simérica respeco del origen. y( ) y() x( ) x(), enonces la curva es simérica respeco del eje OX. y( ) y() x( ) x(), enonces la curva es simérica respeco del eje OY. y( ) y() x( ) y() d) Si y( ) x() primer cuadrane. Periodicidad, enonces la curva es simérica respeco de la bisecriz del Si x e y son funciones periódicas de períodos p 1 y p respecivamene, la función vecorial F() (x(),y()) es ambién periódica de período p = mínimo común múliplo de p 1 y p, y sólo hará fala hacer variar en un inervalo de ampliud p (es decir, a, a p ). La gráfica será en ese caso cerrada, siempre que x e y sean funciones coninuas. La elección de a dependerá de consideraciones de simería aplicables a la curva. Punos múliples Un puno doble ó puno de cruce es aquel que se obiene para dos valores disinos 1 y del parámero. Se obienen resolviendo el sisema: x( 1) x( ) y( 1) y( ) Es decir, un puno doble perenece a dos ramas disinas de la curva. Análogamene se definiría un puno de muliplicidad n. Asínoas En ese párrafo, o puede ser un número real ó a) Si lim x() a, 0. lim y(), enonces: 0 la reca x = a es asínoa verical. b) Si lim x(), lim y() b, enonces: 0 0 la reca y = b es asínoa horizonal. U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía

4 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica c) Si lim x(), 0 c 1 ) Si parabólica. c ) Si parabólica. oblicua. y() lim 0 x() lim 0 c 1 ) c ) 0 y() m x() 0 lim y() 0, la curva carece de asínoa y se dice que iene una rama lim (y() mx()), enonces no hay asínoa; iene una rama lim (y() mx()) b, enonces la reca y = mx + b es asínoa 0 Inersección de la curva con las asínoas Los punos de inersección de la curva con una de sus asínoas se obienen resolviendo el sisema formado por la ecuación de la curva y la ecuación de la asínoa. Inersección de la curva con los ejes de coordenadas Esos punos se obienen haciendo x = 0 e y = 0, para calcular los punos de core con el eje de ordenadas y de abscisas respecivamene. AMPLIACIÓN El esudio de una curva dada por sus ecuaciones paraméricas puede hacerse direcamene sin reducirla al caso de una función explícia. Para ello habría que definir la función vecorial de una variable real en la forma: y su derivada n-ésima: F() (x(),y()) n) n) n) F () (x (),y ()) ESTUDIO DE PUNTOS SINGULARES Un puno singular es aquel en el cual F'() 0, es decir: x'()=y'() 0. Cualquier puno singular es pues un puno críico. El recíproco no es ciero. Puede desarrollarse una fórmula de Taylor para ese ipo de funciones (vecoriales de una variable real) análoga al caso de una función real de una variable real, y haciendo razonamienos similares a aquel caso obener la siguiene: U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 4

5 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Clasificación de los punos singulares F''() proporciona la dirección de la reca angene a la curva en los punos correspondienes al valor = 0 al que F'( 0) 0 (0,0) 1) Puno de reroceso de primera especie, cuando F''(), F'''() no son proporcionales.en el puno, el arco araviesa a su angene. F () F () ) Puno de reroceso de segunda especie, cuando F ''(), F '''() son proporcionales, IV pero no lo son F''() y F () En un enorno del puno, la curva se encuenra en el ángulo definido por los dos vecores que forman la base. F 4 ) () F () EJEMPLOS 1) Represenar la curva dada por x x() a( sen ), siendo a > 0. y y() a(1 cos) SOLUCIÓN Primer méodo Dominio de : R. Simerías: x( ) x(), luego la curva es simérica respeco del eje OY. y( ) y() U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 5

6 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Periodicidad: x( ) x() a, luego la y es una función periódica de, de y( ) y() período. Teniendo en cuena los dos párrafos aneriores, basa esudiar la curva para valores de 0,. Asínoas: Evidenemene no posee ninguna. Punos críicos: punos críicos 0, =. x'() a(1cos )=0=0 y'()=a sen =0 =0, = ; luego, en 0, sólo enemos dos Ramas de la curva: Sólo enemos una rama, la correspondiene a ( 0, ). Para = 0, se obiene el puno (0, 0); para =, se obiene el puno (a, a). y'() sen y(x) x'() 1-cos x ''() a sen xi()y''() y'()x''() 1 y(x)= y''()=a cos x'() a(1 cos ) Crecimieno y concavidad de la única rama: Dominio de variación de Valores correspondienes de x Valores correspondienes de y signo de y(x) signo de y (x) 0 0 x a x'() 0 0 y a y'() 0 y( x) > 0 y( x) 0 x crece respeco de y crece respeco de y crece respeco de x curva convexa Con el esudio anerior, podemos hacer un dibujo aproximado de la curva: U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 6

7 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Esa curva se denomina cicloide; represena la rayecoria de un puno de una circunferencia que rodara sin deslizarse sobre una reca. Segundo méodo Dominio de definición: R Campo de variación de x:r de y:-1 cos 1 a y 0 Simería (ver primer méodo) Periodicidad (ver primer méodo). Basa esudiar la curva para 0,. Asínoas: No hay. Esudio de derivadas (esán calculadas arriba): x'() 0=0 Punos de angencia verical: No hay. y'() 0 0, x'() 00 Punos de angencia horizonal: y '()=0 0,. P ( a, a) 1 x'() 0=0 Punos singulares: 0P (0,0) y'() 0 0, x ''(0) 0 x '''() a cos x '''(0) a, y ''(0) a y '''() a sen y '''(0) 0 son dos vecores no proporcionales y por Así, F (0), F (0) (0,a),(a,0) ano, el origen es un puno de reroceso de primera especie. Tangene en el puno de reroceso: Reca que pasa por el puno P ( 00, ) y es paralela al vecor F (P ) (0, a). Se raa por ano del eje OY. Crecimieno y decrecimieno: x '() 0 x es creciene en y '() 0 y es creciene en Cores con los ejes: Con OX: x() 0 cos =1=0 P (0,0) U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 7

8 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Con OY: y() 0 =sen =0 P (0,0) 0, Tabla: 0 x 0 + a y x 0 crece a y 0 crece a Gráfica (ver primer méodo) ) Represenar la curva dada por x x() y y() 1 1 SOLUCIÓN Primer méodo Dominio de : R 11,. En ese conjuno, no sólo esán definidas x() y y(), sino que son derivables y con derivadas coninuas hasa el orden que se precise. x( ) y() Simerías:, luego la curva es simérica respeco del eje OX ; basa y( ) y() esudiarla enonces para valores de 0. Periodicidad: La curva no es evidenemene periódica. Asínoas: Por ser Además, lim x() 1 y lim x(), 1 lim y(),la reca x=1 es asínoa verical. lim y(), 1 siendo (1) lim (y() x()) lim lim, enonces: 1 ( 1)( 1) la reca y = x + 1/ es asínoa oblicua. y() lim lim 1 y 1 1 x() U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 8

9 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Comporamieno de la curva frene a las asínoas: a) x = 1 x 1, x > 1 y + b) y = x +1/ x 1, > 1 y y y curva asin oa y y c a x 1, < 1 y - 1 ( 1) ( ) y y in 1 1 ( 1) ( ) 1 y y 0 curva as oa c a 0 Core de la curva con las asínoas: a) x = 1, , absurdo. 1 1 b) y = x +1/, El único resulado válido es P1 (, ). 6 Punos dobles: Debemos resolver el sisema x( 1) x( ) ; en ese caso paricular, y( 1) y( ) , sisema que no acepa soluciones en el dominio de, salvo 1 = Por ano, la curva carece de punos dobles. U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 9

10 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Punos críicos: x'() =0=0 ( 1) ; luego, para 0.enemos dos ( ) y '()= =0 =0, = ( 1) punos críicos 0, = que anulan alguna de las derivadas, y = 1 para el que no exise ninguna de ambas derivadas. Ramas de la curva: Hay res ramas, correspondienes a los inervalos ( 01, ),( 1, ) y (, ). Para = 0, se obiene el puno (0, 0); para =, se obiene el puno P (, ). Para 1, se iene que lim x(), lim y(), lim x() lim y(). 1 y'() 1 x'() y(x) ( ) 1 1 x ''() ( 1) x'()y''() y'()x''() ( 1) y(x)= y''()= ( ) x'() 4 ( 1) ( 1) 1 y Crecimieno y concavidad de cada una de las res ramas: Dominio de variación de Valores correspondienes de x Valores correspondienes de y signo de x x'() 0 x decrece respeco de x x'() 0 x decrece respeco de x 1 x'() 0 x decrece respeco de 0 y y'() 0 y decrece respeco de y y y'() 0 decrece respeco de y y y'() 0 crece respeco de y( x) > 0 y crece respeco de x y( x) > 0 y crece respeco de x y( x) < 0 y decrece respeco de x y(x) signo de y (x) y( x) 0 curva convexa y( x) 0 curva cóncava y( x) 0 curva cóncava U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 10

11 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Gráfica: Segundo méodo: Dominio, periodicidad, simerías y asínoas: Ver primer méodo. Recordamos que basaba considerar valores 0. Esudio de derivadas (esán calculadas más arriba): Punos de angencia verical: Punos de angencia horizonal: x '() 0 =0 y'() 0 No hay. y'() 0 x'() 00 0 x'() 0 y '()=0 Para =, se obiene el puno P,, como ya vimos. Punos singulares: x'() 0=0 0 (0,0) y'() 0 0, 4( 1) x '''() x '''(0) 0 4 x ''(0) - ( 1), 4 y''(0) 0 6( 6 1) y '''() y '''(0) 6 4 ( 1) U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 11

12 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica Así, F (0), F (0) (,0), (0,6) ano, el origen es un puno de reroceso de primera especie. son dos vecores no proporcionales y por Tangene en el puno de reroceso: Reca que pasa por ( 00, ) y es paralela al vecor F (0) (,0). Se raa por ano del eje OX. Crecimieno y decrecimieno: Luego y es creciene en para. x '() 0 x es decreciene en y'() 0 Cores con los ejes: Con OX: x() 0 =0 (0,0) Con OY: y() 0 =0 (0,0) Tabla: x y x 0 y 0 1 Gráfica: Para dibujar la curva recordemos la simería respeco del eje OX. (Ver primer méodo) U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 1

13 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 1 EJERCICIOS PROPUESTOS SOLUCIONES 1) ) Represenar las curvas dadas por las ecuaciones: 1) x a y a 1 1 ( Folium de Descares) ) x y 1 1 ( )( ) ) x e e y e e 4) x y cos g

14 Represenación de curvas planas dadas en forma paramérica ) 4) BIBLIOGRAFÍA Jordi Puig. Análisis Maemáico I. Toray-Masson. Problemas de Maemáicas para COU y primer nivel universiario. Alhambra. A. Doneddu. Curso de Maemáicas. Análisis y Geomería Diferencial. Aguilar. N. Piskunov. Cálculo diferencial e inegral Tomo I. Mir. U. D. de Maemáicas. ETSI en Topografía, Geodesia y Carografía 14