RELACIONES Y ÁLGEBRA DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS. Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA.

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1 DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS CONOCIMIENTOS Funciones Función cuadráica ÁREA : RELACIONES Y ÁLGEBRA HABILIDADES ESPECÍFICAS. Idenificar siuaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamene en la forma y ax + bc + c.. Represenar abular, algebraica y gráficamene una función cuadráica. Expresiones algebraicas Facorización División de polinomios Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. Racionalización. Ecuaciones Ecuaciones de segundo grado con una incógnia - Raíces - Discriminane Funciones Función cuadráica. Facorizar y simplificar expresiones algebraicas. 4. Expresar x + px + q como (x + h) + k.. Efecuar división de polinomios. 6. Efecuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. 7. Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas. 8. Planear y resolver problemas uilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnia. 9. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnia. 0. Trazar la gráfica de una función cuadráica cuyo crierio es y ax + bx + c.. Analizar la influencia de los parámeros a, b, c en la gráfica de y ax + bx + c, uilizando sofware.. Planear y resolver problemas uilizando ecuaciones de segundo grado con incógnia. 9

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3 Álgebra Así como la ariméica surgió de la necesidad que enían los pueblos primiivos de medir el iempo y de conar sus posesiones, el origen del álgebra es muy poserior pueso que debieron de ranscurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepo absraco de número que es el fundameno del álgebra. El gran desarrollo experimenado por el álgebra se debió sobre odo a los maemáicos árabes y, muy en paricular, a Al Hwarizmi (Siglo IX d.c.), que senó las bases del álgebra al como la conocemos hoy en día. El álgebra es la pare de las maemáicas que ienen por objeo generalizar odas las cuesiones que se pueden proponer sobre las canidades. El concepo algebraico de canidad es mucho más amplio que el ariméico, pueso que mienras en ariméica las canidades se represenan mediane números que expresan valores deerminados, en álgebra las canidades se represenan mediane leras que pueden represenar cualquier valor que se les asigne. Noación algebraica Los símbolos que se emplean en álgebra para represenar canidades pueden ser de dos ipos: números y leras. Donde, los números se emplean para represenar canidades conocidas y perfecamene deerminadas. Las leras se uilizan para represenar odo ipo de canidades ano conocidas como desconocidas. En general, las canidades conocidas se represenan uilizando las primeras leras del alfabeo: a, b, c, d, mienras que las canidades desconocidas se represenan uilizando las úlimas leras del alfabeo: x, y, z Una misma lera puede represenar disinos valores que se diferencian mediane el uso de comillas; por ejemplo a, a, a que se leen a prima, a segunda, a ercera, o ambién por medio de subíndices: a, a, a, que se leen a subuno, a subdos, a subres. Consecuencia de la generalización que implica la represenación de las canidades por medio de leras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la represenación, por medio de leras, de una regla o de un principio general. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación Con las canidades algebraicas se efecúan las mismas operaciones que con las ariméicas, es decir: suma o adición, resa, muliplicación o produco, división, poenciación, radicación y en cursos poseriores la logarimación, ec. 9

4 Signos de operación En la suma se uiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá equis más ye. En la resa se uiliza el signo ( ). Así, por ejemplo x y se leerá equis menos ye. En la muliplicación se uiliza el símbolo muliplicado por (x) ó ( ). Así, por ejemplo x x y x y se leerá equis muliplicado por ye. El signo suele omiirse cuando los facores esán indicados por leras o bien por leras y números. Por ejemplo x x y x z x y z xyz En la división se uiliza el signo dividido enre (:)( ) ó (/). Así, por ejemplo x : y x/y x y y se leerá equis dividido enre ye. En la poenciación se uiliza un superíndice denominado exponene que se siúa arriba y a la derecha de una canidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x 4 x x x x (4 veces) y se leerá equis elevado a la ye. En el caso de que una lera no lleve exponene se sobreeniende que el exponene es uno. En la radicación se uiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la canidad a la que se le exrae la raíz. Así, por x, se leerá raíz cuadrada de equis ; x raíz cúbica de equis y así sucesivamene. Signos de relación Los signos de relación se uilizan para indicar la relación que hay enre dos canidades. El signo se lee igual a. x y se leerá equis igual a ye. El signo se lee diferene de. x y se leerá equis diferene de ye. El signo > se lee mayor que. x > y se leerá equis mayor que ye. El signo < se lee menor que. x < y se leerá equis menor que ye. El signo se lee mayor que o igual. El signo se lee menor que o igual. Signos de agrupación Los signos de agrupación más uilizados son: los parénesis ( ), los corchees [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su inerior debe efecuarse en primer lugar. 94

5 FUNCIONES Anes esudiamos un ipo especial de funciones, las funciones lineales; a parir de ahora, esudiaremos las funciones cuadráicas, las cuales son funciones polinómicas de grado. f(x) ax + bx + c Las ecuaciones de ése ipo de funciones ya las hemos uilizado aneriormene. En esa sección del libro Maemáica Zapandí, además del esudio pormenorizado de esa función, conoceremos algo de la hisoria de la Maemáica en la que se fundamenó su desarrollo. Los maemáicos árabes hicieron imporanes conribuciones a la Maemáica en la época llamada la Edad de Oro del mundo musulmán, enre el año 700 y el 00 d.c. aproximadamene. Lograron preservar el legado maemáico de los griegos, radujeron y divulgaron los conocimienos maemáicos de la India y asimilando ambas corrienes, aporaron mucho al Álgebra y a la Trigonomería. El más recordado de los maemáicos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Asronomía y Maemáicas. En su raado sobre Álgebra, al khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráicas de varios ipos. Tano el planeamieno, como la solución de las ecuaciones era dado con palabras, pues no se uilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día. Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron inroducirse los símbolos que hoy se uilizan en el planeamieno de ecuaciones. Uno de los maemáicos que mayor influencia uvo en ese cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue Francois Vièe (40-60). Con el uso de símbolos para expresar la incógnia y los coeficienes de una ecuación, se impulso enormemene el desarrollo del Álgebra, pues se facilió el esudio de ecuaciones de grado, y 4. Así como el desplazamieno de un ciclisa que viaja a velocidad consane, a ravés del iempo, se puede describir mediane una función lineal, exisen oros fenómenos que se describen maemáicamene a ravés de las funciones cuadráicas. Esas son odas las funciones que ienen la forma siguiene: f(x) ax + bx + c donde a, b y c (llamados érminos) son números reales cualesquiera y a es disino de cero (puede 9

6 ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadráica cada uno de sus érminos iene un nombre. Así: ax es el érmino cuadráico bx es el érmino lineal c es el érmino independiene También se da el caso que se le llame rinomio cuadráico. Si hay un ema que podemos llamar "muy imporane" en la Maemáica, es el ema de las funciones cuadráicas. Tal como lo vimos en el ema funciones y en función lineal en el libro de Maemáica Ujarrás, si no se dice lo conrario, suponemos, o convenimos, que esamos rabajando con odos los números reales. Por ejemplo Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a ravés de una función cuadráica, es el siguiene: Se lanza una peloa, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la alura alcanzada por la peloa en cada segundo conando a parir del momeno en que fue lanzada. La función que permie obener la alura de la peloa en cada segundo, es una función cuadráica que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamieno, de acuerdo a cieras leyes de la Física. Si se obiene, en un caso específico, la función f(x) x + 8x. f(0) (0) + 8(0) Para saber cuál es la alura (en meros, por ejemplo, en ese caso) de la peloa en el insane en que ha ranscurrido segundo, se hace x y se calcula f() () + 8() Y cuando han ranscurrido segundos: f() () + 8() También, podemos calcular cuando x, x 4 de igual manera. Es así como se puede consruir la siguiene abla de valores. x f(x) iempo alura De la anerior abla de valores, se pueden inferir varias cosas acerca del fenómeno en cuesión: enre ellas: ) La peloa vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada. ) La alura máxima la alcanza al haber ranscurrido segundos a parir de su lanzamieno. Enonces, en el insane inicial (0 segundos ranscurridos) la peloa esá en el suelo, es decir, iene alura igual a cero: 96 ) La velocidad de la peloa va disminuyendo desde que es lanzada hasa que llega a 8 meros de alura (a los segundos de su lanzamieno).

7 Esa abla de valores nos permie consruir la siguiene gráfica así: DATOS ACTUAL FUTURO N o de aparamenos alquilados Precio por aparameno (mensual) x x Beneficio oal 6 8 x x ( ) Con las funciones cuadráicas podemos planear y resolver problemas de ese ipo. Observe Enre los segundos y, la peloa comienza a descender y recorre exacamene meros. f() f() 8 6 meros Enre los segundo y 4 se vuelve a recorrer la disancia que recorrió en el primer segundo: Oros ejemplos f() f(4) meros. El propieario de un edificio iene alquilado aparamenos del mismo al valor en dólares de 66 al mes cada uno. Por cada 7 dólares que aumene el alquiler de cada piso pierde un inquilino y por lo ano queda el correspondiene aparameno sin alquiler. Cuál será el alquiler, que más beneficio le dé al propieario? Cuál es la canidad máxima que puede recibir el propieario? En la columna daos enemos los íulos (N o de aparamenos alquilados), Precio por aparameno (mensual) y beneficio oal. En la columna acual, se iene que el número de aparamenos alquilados son a razón de 66 dólares y producen un beneficio mensual oal de muliplicado por 66, o sea, 8 dólares. En la columna fuuro se iene la expresión x, por qué eso así, porque si se aumena 7 7 dólares, se iene que menos x enre 7 es menos 7 enre 7, que es lo mismo que, menos que es igual a. Pierde un inquilino, y le queda un aparameno sin alquiler. La expresión 66 + x nos indica que los aparamenos a ese momeno ienen un precio de 66 más el incremeno de 7 ó 4 o más. Y que el beneficio oal del propieario se calcula resolviendo x 7 ( 66 + x).. La correspondencia mediane la cual a cada círculo de radio r, con r R + se le hace corresponder su área A, es una función cuadráica, pues la imagen de cada elemeno r R + viene dada por A(r) πr. 97

8 . Un agriculor iene poses para consruir 000 meros de una cerca y un erreno muy grande. El área de la cerca con forma de recángulo con dimensiones x meros y 00 x meros puede describirse con una función. El caso en cuesión refiere al uso de las funciones cuadráicas f(x) ax + bx + c para indicar que a cada recángulo con medidas x, 00 x se le hace corresponder su área y, donde y x(00 x) x + 00x (m : meros cuadrados). 4. En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obenido daos sobre la relación que hay enre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado. Ellos desean consruir un modelo maemáico que se ajuse a los daos que han obenido x y Como los punos de la gráfica ienen una disposición parabólica, se raza la parábola que mejor se ajuse a la serie de punos. La curva cora al eje x en x 0 y x 0, de modo que esos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x) 0. Además el vérice (00,00) Por lo ano, la función que se ajusa a los daos obenidos es: f(x) x + 40x 00 Muchas son las siuaciones que se pueden presenar y resolver con las ecuaciones que represenan las funciones cuadráicas. La ecuación correspondiene a esa función es: y ax + bx + c (a 0), con a, b, c R Son ejemplos de funciones cuadráicas: y x x donde a, b, c y x + donde a, b 0, c y x + x donde a, b, c y 8 x x + donde a 8, b, c y x donde a, b 0, c 0 El dominio de oda función cuadráica es el conjuno R Represenación gráfica de una función cuadráica Cuando represenamos en una gráfica "odos" los punos (x, f(x)) de una función cuadráica, se obiene una curva llamada parábola. Es decir, una 98

9 RELACIONES Y ÁLGEBRA parábola es la represenación gráfica de una función cuadráica. Por ejemplo. Esa disina orienación esá definida por el valor (el signo) que enga el érmino cuadráico (ax): Si a > 0 (posiivo) la parábola es cóncava o con punas hacia arriba, como en La figura deerminada por un puene es una parábola o bien, es la figura deerminada mediane una función cuadráica m 7m m m -9 Dicha parábola endrá algunas caracerísicas o elemenos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Si a < 0 (negaivo) la parábola es convexa o con punas hacia abajo, como en Esas caracerísicas o elemenos son: Orienación o concavidad (ramas o brazos) Punos de core con el eje de abscisas (raíces) Puno de core con el eje de ordenadas Eje de simería Vérice Orienación o concavidad Una primera caracerísica es la orienación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orienan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orienan hacia abajo Además, cuano mayor sea (a) más cerrada es la parábola. 99

10 Punos de core en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X) Ora caracerísica o elemeno fundamenal para graficar una función cuadráica la dá el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadráica calculamos, f (x) 0. Eso significa que las raíces (soluciones) de una función cuadráica son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x ales que y 0; que es lo mismo que f(x) 0. Enonces hacemos, ax² + bx + c 0 Las raíces o soluciones de la ecuación cuadráica nos indican los punos de inersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Puno de core en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el puno de core en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Eje de simería o simería Eje de simería Ramas de la parábola Vérice Ora caracerísica o elemeno de la parábola es su eje de simería. El eje de simería de una parábola es una reca verical que divide siméricamene a la curva; es decir, inuiivamene la separa en dos pares congruenes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la miad de la parábola. Vérice Como podemos ver en el gráfico anerior, el vérice de la parábola es el puno de core (o puno de inersección) del eje de simería con la parábola. Para una función cuadráica y ax + bx + c, la coordenada x del vérice es siempre b a. Como el eje de simería siempre pasa por el vérice, significa que el eje de simería es una línea verical x b. Cambiando los valores de a y b en la gráfica a siguiene se puede ver dónde esán el vérice y la línea de simería. Las gráficas de las funciones cuadráicas Como recordaremos cuando se esudio en el libro de Maemáica Ujarrás para obener la gráfica de la función y x +, por ejemplo, se procede a abular, es decir, se dan valores a la variable independiene x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiene y, como se ilusra a coninuación. Función: y x + x y PUNTOS A(,) y () + + B(,) y () C(,) y () D(4, ) y (4) E(, y ()

11 Una vez que los valores se han abulado, se procede a represenarlos gráficamene C La gráfica de una función de primer grado se llama ambién función lineal porque su gráfica es siempre una línea reca. Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y mx + b, donde m y b pueden ener valores posiivos o negaivos. Respeco de la función cuadráica o de segundo grado, ésa se caraceriza por ener el érmino x con exponene ; ejemplos de esa función son: y x + ; y x + ; y 4x ; y (x ), ecéera. A B D E 6 7 lineales. Se dan valores a la variable independiene x y, resolviendo las operaciones indicadas, se van obeniendo los valores de la variable dependiene y. Por ejemplo. Represene gráficamene la función cuadráica dada por y x 6x + 9 Solución: º Consruimos una abla semejane a esa: x y PUNTOS y ax + bx + c º La compleamos. Con los números x que son cualquier valor real y los números y que son números que se obienen al susiuir el valor de x en la ecuación de la función cuadráica y ax + bx + c. Con esos valores se forman los punos que corresponden a los pares ordenados (x, y) formados por los valores de x y sus correspondienes de y. Así. x y PUNTOS y x 6x + 9 Represenación abular y gráficamene de una función cuadráica PRIMER CASO: Para obener la gráfica de la función cuadráica y ax + bx + c, se procede primero a abular, es decir, se consruye una abla semejane a la ya uilizada para consruir gráficas de funciones 4 A(,4) y () 6() B(,) y () 6() C(,0) y () 6() D(4,) y (4) 6(4) E(,4) y () 6()

12 º Una vez abulados los valores, ésos se represenan gráficamene de la siguiene manera: La uilidad de las funciones lineales y cuadráicas encuenra un campo féril. En la ciencia y la écnica, jusificando con ello, la dimensión que la herramiena maemáica ha alcanzado en esas áreas. SEGUNDO CASO: Represenación gráfica Podemos consruir una parábola a parir de esos punos:. Vérice x v b a D b y v f a v b a, f b a Por ese puno pasa el eje de simería de la parábola. La ecuación del eje de simería es: x v b a B C 4 A E 6 7. Punos de core con el eje OX. En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que endremos: ax² + bx +c 0 Aquí hacemos uso de la ecuación: x b ± donde enemos que: b 4ac a Resolviendo la ecuación podemos obener: Dos punos de core: (x, 0) y (x, 0) si b² 4ac > 0 Un puno de core: (x, 0) si b² 4ac 0 Ningún puno de core si b² 4ac < 0. Puno de core con el eje OY. En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que endremos: f(0) a 0² + b 0 + c c Por ejemplo: (0,c) Represenar la función f(x) x² 4x +. Vérice x V b a 4 ( ) ( ) 4 Para hallar el valor de y v susiuimos x v y v ² 4() + El vérice es V(, -). Punos de core en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X), eje OX. Para hallar los punos del eje de las X, hacemos uso de la expresión: x b ± b 4ac a 0

13 Como x² 4x + 0, aquí enemos que a, b 4 y c Y como b 4ac > 0, iene dos punos de core en el eje de las abscisas, pueso que b 4ac 4. x 4 ± x x Los punos de core con el eje de las abscisas son (, 0), (, 0).. Puno de core con el eje OY Recuerde La gráfica de una función cuadráica es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser razada dibujando soluciones de la ecuación, enconrando el vérice y usando el eje de simería para graficar punos seleccionados, o enconrando las raíces y el vérice. La forma esándar de una ecuación cuadráica es y ax + bx + c. Esa forma nos permie enconrar fácilmene el vérice de la parábola y el eje de simería usando la fórmula para la coordenada x del vérice, x b. a Ese puno se halla susiuyendo en la ecuación de la función cuadráica y x² 4x +. y x² 4x + (0) 4(0) El puno de core con el eje de las ordenadas es (0, ) Gráfica: 6 4 TRABAJO INDIVIDUAL A. Selección ) A un carón recángular cuyos lados miden 4 cm y cm se le ha recorado en cada esquina un cuadrado de lado x. De las siguienes expresiones algebraicas, cuál permie calcular el área y del carón sin las esquinas? x A) y ( x)(4 x) B) y ( + x)(4 + x) - C) y 4x 8x 0 D) y 4x 8x + 0 0

14 ) Se desea consruir una caja de meal, a parir de una lámina cuadrada de m de lado. Para ello se recoran cuaro cuadrados de lado x, uno de cada esquina. De las siguienes expresiones. Cuál permie calcular el área y a parir del valor x? A) y 4x 8x 4 Cuál de las opciones corresponde a la gráfica asociada a la relación enre la alura que alcanza el balón y el iempo? A) Alura 0 B) y 4x 8x + 4x C) y 4x 8x + 4 D) y 4x + 8x + 4 ) El ancho de un recángulo es siee unidades menor que el largo y el área es igual a 88 m, cuál es la ecuación que represena correcamene esa siuación? B) Alura 0 0 Tiempo 0 A) x(x 7) 88 B) x 7 + x 88-0 Tiempo C) x + 7x D) x 7x C) Alura 0 4) La abla muesra la alura que va alcanzando un balón de fúbol después de ser despejado. Tiempo (en segundos Alura alcanzada por el balón (en meros) 0 0 D) - Alura 0 0 Tiempo Tiempo 04

15 B. Resuelva cada uno de los problemas siguienes en forma ordenada. ) Se iene un cuadrado que iene por lado x cm, cuál es la expresión algebraica que permie deerminar el área (A)? c) Qué expresión algebraica permie obener el oal de saludos (y), si uno de los equipos iene x canidad de inegranes y oro iene un jugador menos? Medida de un lado del cuadrado Área del cuadrado Respuesa: cm 4 cm cm 9 cm cm cm x cm? Respuesa: 4) Se iene un recángulo que iene un perímero de 0 m, el cual iene un lado de longiud x meros. Escriban una expresión algebraica que represene la variación del área (y) en función de x. Respuesa: ) Si al cuadrado anerior, se le aumenan cm en una de las dimensiones y cm en la ora dimensión, cuál es la expresión algebraica que deermina el área (A) del recángulo que se ha formado? Respuesa: ) El parque de mi barrio esá ubicado en un erreno cuadrado. Una pare cuadrada del erreno de 0 m por lado se ocupa como esacionamieno y el reso es la zona verde con un área de m. 0 ) En la escuela se organizó un orneo de Voleibol. Anes de iniciar un parido enre dos equipos de 0 inegranes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a odos los elemenos del equipo conrario. 0 x a) Cuános saludos se realizan en oal? Respuesa: b) Si uno de los equipos iene nueve inegranes, cuános saludos se realizaran en oal? Respuesa: Cuál es la función cuadráica en función de x que nos permie idenificar a la siuación anerior? Respuesa: x 0

16 6) La alura que alcanza una peloa arrojada hacia arriba en función del iempo se represena mediane la gráfica siguiene: 4 a) Cuál es la variable independiene y cuál es la variable dependiene? Respuesa: b) Cuál es la alura máxima y en qué iempo ocurre? Respuesa: Alura (m) 0 4 T (s) c) En qué inervalo de iempo la función crece y en cuál decrece? Respuesa: C. De acuerdo a la siguiene información indique la función cuadráica que resuelve cada uno de los problemas siguienes: ) Cuál es el área de un recángulo cuya base mide x + y su alura x -? Respuesa: ) Cuál es el área de un riángulo cuya base mide x + y su alura x +? Respuesa: 06

17 FACTORIZACIÓN Si dos expresiones algebraicas (monomios, binomios,, polinomios) se muliplican obenemos como produco ora expresión algebraica (monomios, binomios,, polinomios). A parir de ese momeno, esudiaremos varios procedimienos que nos permiirán deerminar los facores de una expresión algebraica dada, cuando exisan. Pero anes, recordemos algunos concepos imporanes: Si dos expresiones algebraicas A y B se muliplican y su produco es C, cada una de las expresiones A y B se dice que es un facor o divisor de C. Ejemplos:. Pueso que (x + ) x +, diremos que y x + son facores o divisores de x +.. Del mismo modo (x + 4)(x + ) x + 7x +. Luego (x + 4), (x + ) son facores o divisores de x + 7x +. A menudo, resula conveniene deerminar los facores de una expresión algebraica dada. La operación que consise en hallar esos facores se denomina facorización o descomposición en facores de la expresión. Seguidamene esudiaremos algunos procedimienos para facorizar deerminadas expresiones algebraicas. A. Facorización por facor común. Facor común monomio Por ejemplo, si queremos descomponer en facores o sea facorizar la expresión ma + mb, lo podemos realizar aplicando la propiedad disribuiva de la muliplicación con respeco de la suma, de la manera siguiene: ma + mb m ( a + b ) En ese caso se dice que hemos exraído el facor común m en la expresión ma + mb, ya que dicho facor aparece en cada uno de los érminos de la expresión dada. En general enemos que: Si en una expresión algebraica dada exise un facor que sea común a odos sus érminos, ésa se puede descomponer en el produco de dicho facor común por el polinomio que resula al dividir cada uno de los érminos de la expresión dada por ese facor común. Ejemplos de ese ipo de facorización. a) Facorizar 4 + 8a 4 ( + a) Solución: Se puede observar que 4 y 8a conienen como facor común al 4. El oro facor esará formado por el cociene de (4 + 8a) 4 + a, ya que 4 4 ; y 8a 4 a. Luego, endremos que 4 + 8a 4( + a) b) Facorizar 6a b 9ab + ab ab (a b + ) Solución: En ese caso enemos que exise un facor numérico y un facor lieral. 07

18 Como facor numérico enemos al número, pueso que ese es divisor de 6, 9 y a la vez. Además, como facor lieral enemos a las leras a y b con el exponene, enonces el facor común es ab. Luego el rinomio se puede expresar 6a b 9ab + ab ab( a b +), pueso que (6a b) (ab) a ( 9ab ) (ab) b (ab) (ab) c) Facorizar 0b b + b Solución: Se puede observar que el facor lieral es el facor b. Para enconrar el facor común numérico, omamos los coeficienes 0, y y los simplificamos hasa saber cuál es el máximo común divisor enre ellos. Así procedemos: 0 Luego, dividimos el polinomio enre el facor común que enemos: 0b b b b b Por lo ano, 0b b + b b (b + + b ) d) Facorizar 9 xy 0 x y Solución: b (b + b +) Los facores lierales corresponden a los facores x e y comunes del polinomio. Para enconrar el facor numérico de los coeficienes 9 y 0 ; obenemos primero el facor común de los numeradores así: 0 6 Segundo obenemos el facor común de los denominadores así: 9 7 Junando ambos facores, formamos una nueva fracción que va a ser el facor común, la misma iene como numerador el facor común de los numeradores y como denominador el facor común de los denominadores, enonces enemos que 9 xy 0 x y xy y 6 7 x Observe: el facor que posee parénesis en el resulado de dividir cada uno de los érminos del polinomio original enre xy. b b b e) Facorizar x y + x y + xy Solución: El facor común es x e y 08

19 x y xy xy; x y xy x y; xy xy Por lo ano: x y + x y + xy xy(xy + x y + ) ACTIVIDAD Facorice los siguienes polinomios uilizando el méodo del facor común.. 0a + 0b a b 8a 7 b + 0a b. 9a x 8ax. hk + hk + h. x + x x 4 4. m + mn mn 4 + m 4. ab a b + ab. a b + a b. 4a + 0a 0a 6. c 4 + 7b c 4b 7. xy 8y x + 6xy 6. ab + 0 a b 7 b4 7. x y + 0xy + 0x 8. x y + y xy 4 4y 8. b c c + 4bc 9. mn 4 + 0m n 6m n 0. a 4 b + a b 4 + a + a b. y + 0y 0y y xy 9 xy 0 9 x y a b 0 a b a 0 x4 y + x y + 0x y 09

20 . Facor común polinomio Cuando facorizamos por el méodo del Facor Común en algunos casos el facor común será un polinomio. Para esas siuaciones se procederá de la siguiene manera: a) Facorizar 4(x + y) 7(x + y) Solución: Observando la expresión nos damos cuena que los dos érminos de la misma ienen de facor común el binomio (x + y); así enonces podemos realizar lo siguiene: (x + y) 4 (x + y) 4 (x + y) 7 (x + y) 7 y endremos enonces que 4(x + y) 7(x + y) (4 7)(x + y) (x + y) b) Facorizar x(a ) (a ) El facor común es (a ) Así enonces dividimos los érminos enre ese facor común y obendremos x(a ) (a ) (a ) x; (a ) Enonces endremos como resulado final: x(a ) (a ) (a )(x ) c) Descomponer: a(m + ) + m + Solución: a (m + ) + m + a(m + ) + (m + ) a(m + ) + (m + ) El facor común es (m + ); por eso si: a(m + ) (m + ) a y (m + ) (m + ) enemos como resulado que a(m + ) + m + (m + )(a + ) d) Facorizar x( + b) b Solución: Vamos a acomodar esa expresión realizando los pasos siguienes: x( + b) b x( + b) ( + b) x( + b) ( + b) Luego, enemos que el facor común es ( + b) y que x( + b) b ( + b)(x ) Recuerde que: a b (a + b) a + b (a b) en ambos casos esas expresiones son produco del uso de la ley disribuiva de la muliplicación con respeco de la suma. e) Facorizar (x )(y + ) + (y + ) Solución: El facor común es (y + ). Si dividimos cada érmino por ese enemos que: (x )(y + ) (y + ) x (y + ) (y + ) Esa expresión aunque en apariencia diferene a las demás se puede escribir así: 0 Luego (x )(y + ) + (y + ) (y + )(x + ) (y + )(x )

21 ACTIVIDAD A. Facorice las siguienes expresiones.. a(x + ) + 8(x + ) 9. x + a( x). (n + ) + p(n + ) 0. x + b(x + ). a(x ) (x ). x(m + 7) m 7 4. x(m n) + (m n). (b + c) b c. 4(x + ) + n(x + ). y(x + ) x 6. x( + y) + + y 7. m( x) + x 8. 4x(m ) + m 4. b + x( + b). x + m(x + ) B. Facorice: f) + 7x + a( 7x) a) m(a 9) + (a 9) g) x 8 + x(x 8) b) x (x ) y(x ) h) (a + b + ) a b c) a(n + ) + n + i) (x 6)(n + ) (n + ) d) x(a + ) a j) (x +)(x ) + y(x ) e) x 7y(x + ) k) (a + )(a + ) 4(a + )

22 B. Facorización de una diferencia de dos cuadrados Una expresión algebraica cuyos érminos sean dos cuadrados, uno de ellos con signo negaivo, puede relacionarse inmediaamene con el produco noable correspondiene a la diferencia de dos cuadrados. En efeco, esa expresión se puede descomponer fácilmene en facores buscando la raíz cuadrada de cada érmino y formando una nueva expresión que conenga la suma por la diferencia de ales raíces. a b ( a + b)( a b) Idenificación de la diferencia de dos cuadrados Para que una expresión sea la diferencia de dos cuadrados, se deben cumplir dos condiciones.. Debe haber dos érminos, ambos cuadrados para exraer la raíz cuadrada exaca.. Debe haber un signo menos enre los dos érminos. Analicemos los siguienes casos: EJEMPLO Es 4x + 6 una diferencia de dos cuadrados? 4x x Lo escribimos en forma de diferencia. 6 ( 4) y 4x (x) Los érminos son cuadrados. 6 4 y 4x x Poseen raíz cuadrada exaca. Ya que hay un signo menos enre 6 y 4x, enemos una diferencia de dos cuadrados. Recuerde: La diferencia de dos cuadrados se descompone en el produco de la suma por la diferencia de las bases de esos cuadrados, eso es, de las raíces cuadradas de esos. En símbolos: a b (a + b)(a b) EJEMPLO Es 6a 49 la diferencia de dos cuadrados? El primer érmino del binomio es un cuadrado 6a (4a) enonces 6a (4a) 4a El segundo érmino del binomio es un cuadrado 49 (7) enonces 49 (7) 7 Exise un signo menos enre ellos. Enonces enemos una diferencia de dos cuadrados. Ejemplos A. Descomponer en facores a) x Solución: Cómo x es una diferencia de cuadrados al que x x;. Enonces la descomposición o facorización es (x + )(x ) Por ano x (x + )(x )

23 b) 4 0,49a Solución: Como 4 0,49a es una diferencia de cuadrados y como a 4 a 4 a además 0,49a (0,7a) 0,7a se iene que 4 0,49a + 0,7a 0,7a Imporane n a m m a m n n a Ejemplo : x 6 x 6 x B. Facorizar. 9a 4 Solución: Tenemos que 9a 4 es una diferencia de cuadrados y además 9a 4 (a ) a Muliplicamos la suma de las raíces por la diferencia enre la raíz del minuendo y la del susraendo (a + )(a ). Por ano 9a 4 (a + )(a ). a 8 + Como a 8 + a 8, el binomio es una diferencia de cuadrados y además a 8 a 8 a 4 Muliplicamos la suma de las raíces cuadradas por la diferencia enre la raíz del minuendo y la del susraendo ( + a 4 )( a 4 ) Pero observe, el segundo érmino de esa facorización ( a 4 ) sigue siendo una diferencia de cuadrados perfecos, por lo que es necesario facorizado de nuevo: a 4 4 a a. a 4 9 Solución: Como a 4 9 es una diferencia de cuadrados y Así enemos que ( + a )( a ) a 4 Ora vez enemos que el facor ( a ) ambién sigue siendo una diferencia de cuadrados, el cual se descompone como ( + a)( a); por ano: a 8 + a 8 ( + a 4 )( + a )( + a)( a)

24 4. (a + ) 9 Solución: (a + ) 9 ((a + ) + )((a + ) ) (a + + )(a + ) (a + 8)(a + ) ACTIVIDAD A. Facorice las siguienes expresiones uilizando el méodo de la diferencia de cuadrados.. n. 00 y 8. x. 4m. a y 4. b 4. 4x x m n b a a 7. (7x + ) 8 8. (a + 4) (a + ) a a (a + 6) (4a ) 0. (+ 6c) ( c) 4

25 B. Facorice. a) 6 9y b) 6a 9 Si muliplicamos a y b y duplicamos el resulado, obenemos el ercer érmino, ab, o su opueso, ab. c) x 4 d) m 49 e) 64y 4 8 f) 6 + a g) a 8 00 h) 0a 0 7 i) x 4 j) 4x 4 64 k) 6 y 4 l) x 4 80 Trinomio cuadrado perfeco Cuando esudiamos los producos noables se observó que el cuadrado de un binomio es un rinomio, ales rinomios se llaman rinomios cuadrados perfecos. Por ejemplo: ( x + ) x + 0x + ( x ) x 0x + Los rinomios x + 0x + y x 0x + son rinomios cuadrados, porque son cuadrados de un binomio. Los siguienes punos ayudan a idenificar un rinomio cuadrado como a + ab + b ó a ab + b. Dos de sus érminos son cuadrados perfecos, a y b. No debe de haber signo menos en a o en b. EJEMPLO Es x + 8x + 6 un rinomio cuadrado? Observe que ese rinomio coniene dos érminos cuadrados perfecos (x y 6), cuyas raíces cuadradas son x y 4 respecivamene. El doble produco de esas raíces es x 4 8x que coincide con el érmino resane del rinomio. Como dicho érmino iene signo posiivo, enonces el rinomio se descompone en el cuadrado de una suma. Luego, resula: x + 8x + 6 (x + 4) Por consiguiene, x + 8x + 6 es el cuadrado del binomio (x + 4). EJEMPLO Es x + 6x + un rinomio cuadrado? La respuesa es no porque sólo hay un érmino al cuadrado. Cuál es? EJEMPLO Es 6a 6a + 49 un rinomio cuadrado? Sí. Dos de sus érminos son cuadrados perfecos. 6a (4a) 49 (7)

26 No hay signo menos anes de 6a ni de 49 e) (y + ) + (y + ) + Si muliplicamos "4a y 7" y duplicamos el resulado, obenemos el ercer érmino, 4a 7 6a Por consiguiene, 6a 6a + 49 es (4a 7b) (y + ) (y + ) El signo del érmino medio es posiivo. Luego (y + ) + (y + ) + (y + + ) (y + 4) f) (y ) (y ) + C. Facorización de rinomios cuadrados Para facorizar rinomios cuadrados podemos uilizar las relaciones siguienes. a + ab + b (a + b) a ab + b (a b) (y ) (y ) El signo del érmino medio es negaivo. Luego (y ) (y ) + (y ) (y ) ACTIVIDAD 4 EJEMPLOS a) x + 6x + 9 x + x + ( x + ) x x El signo del érmino medio es posiivo b) 9a 6a + (a) a + (a ) a a El signo del érmino medio es negaivo. c) 6x + 64x 4 8x + (8x ) 8x 8x El signo del érmino medio es negaivo. luego 6x + 64x 4 ( 8x ) d) 7 + 7n + 48n (9 + 4n + 6n ) ( + 4n) A. Cuáles de los siguienes son rinomios cuadrados perfecos? a) x + 8x + 6 b) x 0x + c) x x + 4 d) 4x + 0x + e) 9x 4x + 6 f) 6x + 40x + B. Facorice compleamene cada rinomio. a) x + 6x + 64 b) x + 4x + 49 c) x x + d) 4y + 4y e) x 4x + f) x 8x + 8x g) 0x + 00x + h) y 4 +0y + i) 9x 0 + x + 4 j) a + a 6 k) 49(x + ) 4(x + ) + 9 l) (x + 7) 4x 4 m) (a + 4) 6a n) 4 4( x) + ( x) 6

27 D. Facorización complea combinando el facor común y los producos noables Hagamos oros ejemplos. Si los érminos de la expresión ienen un facor común, primero sacamos el facor común. Luego coninuamos con la facorización. e) 0x + 60x +4 (4x + x + 9) x (x + ) ACTIVIDAD Facorizar. a) 49x 4 9x 6 x 4 (49 9x ) x 4 [ (7) (x) ] x 4 (7 + x)(7 x) A. Descomponga en facores. a) a (a ) 9(a ) Sacamos el facor común x 4. Facoriza la diferencia de cuadrados. b) 4 9 (x + ) x (x+) c) b (b ) (b ) b) 8a 0a 6 a (9 a 4 ) a [() (a ) ] a ( a )( + a ) d) (x + ) 7 e) (y ) 7 Sacamos el facor común a. Facoriza la diferencia de cuadrados. f) (y 7) 0 g) x x + 8 c) 6x () (4x 6 ) ( 4x 6 )( + 4x 6 ) [() (x ) ]( + 4x 6 ) ( x )( + x )( + 4x 6 ) d) x 4x 47 (x 4x + 49) x 7 (x 7) h) 7x + 8x + i) x 6x + x j) (x + ) + x(x + ) k) ( x) (x + ) l) ( x) (x + ) 7

28 B. Deerminar el mayor facor común de cada polinomio. ) a + a ) 9b 8b ) c 6 4) 9d + 7 ) e + 9 6) f 7 7) x x + 8 8) 8n 7n + 9 9) x 4 + 6x 0x 0) 9y 66y 4 + y C. Facorizar ) x + y ) 8x y ) x + 7x 4) x x ) 6x 4x 6) b + b + b 7) a b + ab 8) a c c 9) r s 0rs 0) x 6x D. Facorizar las siguienes expresiones ) y (y ) + (y ) ) a (a 8) + 9 (a 8) ) (4c + ) x (4c + ) 4) (x + ) (x + ) (x + ) ) (x y) + (x + y) (x y) 6) m (m n) (m + n)(m n) 7) ( c) + ( c)y 8) ( y) 8 (y ) 8

29 TRABAJO INDIVIDUAL. Encuenre el facor común, si exise alguno. a) 6a + 0a ; 9a + 7 a + 9a Respuesa: b) 4a 4 a + 6a ; 6a 4 + 4a 48a a Respuesa: c) b 6 480b 4 ; 44b 8 + 7b Respuesa: d) 7x 8x + 9x ; 8x 4 6x + 4 Respuesa:. Halle el facor común en las siguienes expresiones. a) 4a 4 b 6a b 4 b) 0x y 4xy + 8x y c) 8a b + 4a 4 b 6a b d) a x a x + 7a x 4 9a x e) a b 0a b 4a 4 b + 8a b 4 f) 6xy + 6x y. Halle el facor común y exprese como producos las expresiones siguienes: a) ab + ac b) b b c) m n d) c + 8 e) xy 0x f) y + y 9

30 g) 8m mn h) 9a x 8ax i) x + x + x j) 4a 8a + k) a + 4ab 6ac l) 6m n m n + m m) 9a 6a x + a x n) 6a b 9ab + b 4. Facorice las siguienes expresiones: a) 4a + 4b b) x xy c) b c + bc d) 6x 4xy e) b y b y f) 4x + 8x 6x 4. Descomponga en facores. a) 4(a + ) x (a + ) d) (p 6) + (p 6) b) m(b ) + (b ) e) (a 0) + x(a 0) (a 0) c) (a ) (a ) q f) 7c (b + ) + (b + ) 0

31 TRABAJO INDIVIDUAL. Cuáles de los siguienes son rinomios cuadrados perfecos? a) x 4x + 49 f) x + x + 4 b) x 6x + 64 g) 8x + 40x + c) x + 6x 64 h) 9x + 8x + 9 d) x 4x 49 i) 6m 4m + 6 e) x 6x + 9 j) 6 6y + 49y. Transforme en producos los rinomios siguienes: a) x + x + b) n n + c) a + 8a + 6 d) y y + 6 e) m + 4m + 49 f) b b g) 8 + 8p + p h) b 0b + i) a 4 + 8a + 6 j),6y + 0,64y. Facorice. Recuerde que primero hay que buscar un facor común. a) x 4x + e) 0x + 00x + b) x 40x + 00 f) x + 6x + 7 c) x 8x + 8x g) y 4 + 0y + d) x + 4x + 44x h) a 4a 4 + a 7 4. Deermine si cada expresión es una diferencia de dos cuadrados. a) x 4 e) x b) x 6 f) x 0

32 c) x + 6 g) + 6x d) x + 4 h) + 6x. Facorice los siguienes polinomios. a) 4x x 8x e) x 9 6x 6 + 7x b) 4x + 60x + 0x f) x x c) 4x 9 g) 8x 4 84x + 8x d) 6x 6 96x h) 8x 7 + 8x + 9x 4 6. Facorice. a) 4x e) 64y 4 8 b) 9a 6 f) 6x 49x c) 00x g) 8y 6 y d) 6x 6 h) 8x 98y 7. Facorice. Observe los ejemplos e y f de la página 6. a) ( y ) + ( y ) + b) 4( x + ) + 0( x + ) + c) ( h + 7 ) 0 (h + 7) + d) ( b + 4 ) ( b + 4 ) + e) 49( a + ) 4( a + ) + 9

33 Facorización de un rinomio que no es un cuadrado perfeco Si enemos un rinomio en el cual no pueden hallarse dos érminos que correspondan, cada uno, a un cuadrado perfeco y un ercer érmino que corresponda al doble produco de las bases de los cuadrados perfecos, enonces el rinomio no será cuadrado perfeco y los méodos que se usan para facorizarlo son diferenes. Para verificar si es facorizable un rinomio ax + bx + c, que no es cuadrado perfeco se obiene lo que se ha dado por llamar el discriminane. Se llama discriminane del rinomio de segundo grado ax + bx + c, al número que resula de calcular (b 4ac) el cual se le simboliza con b 4ac, donde las leras a, b y c represenan números reales fijos y la cuara lera del alfabeo griego. Ejemplos. Calculemos el discriminane de los rinomios de segundo grado. Veamos. A. Para x + 7x +, se iene que a, b 7, c. Recuerde x x Enonces b 4ac (7) 4()() B. En el caso x x 0 si a, b y c 0, enemos que b 4ac ( ) 4()( 0) C. Para x + 8x + 9, enemos que a, b 8 y c 9, luego el discriminane b 4ac (8) 4 ()(9) Como podemos observar los rinomios que no son cuadrados perfecos poseen un discriminane que puede ser negaivo, igual a cero o bien mayor que cero. En consecuencia se iene que:. Si el rinomio ax + bx + c es al que su discriminane es un número real menor que cero (negaivo), se dice que en ese caso que el rinomio no es facorizable en R, es decir, es irreducible en R.. Los rinomios que no son cuadrados perfecos, y su discriminane es mayor que cero o igual a cero, como por ejemplo: 4x + x + 9 enemos que b 4ac () 4(4)(9) La facorización se realiza variando los procedimienos aneriores. A coninuación esudiaremos el caso de rinomios que no son cuadrados perfecos pero que son rinomios de segundo grado con una sola variable y de la forma ax + bx + c. Facorización por inspección Caso Esudiaremos ahora, el caso en el que el rinomio ax + bx + c que no es un cuadrado perfeco, iene discriminane posiivo (mayor que cero) que

34 se puede descomponer en la forma (x + p)(x + q) en donde las leras p y q represenan reales fijos y además el coeficiene a, que muliplica a la variable cuando esá elevado al cuadrado, es igual a. Como recordarán para muliplicar (x + ) por (x + 7) se resuelve de la manera siguiene: x + x + 7 x + x x + p x + q x + px 7x + qx + pq x + 0x + x + (p + q) x + pq Esa manera de muliplicar nos proporciona una forma general para facorizar siuaciones semejanes. Nóese que los facores de x + 0x + son (x + ) y (x + 7) y los de x + (p + q) y (x + q). En general, un rinomio de la forma ax + bx + c se puede descomponer en facores, el primer érmino de cada facor es x, y los segundos érminos p y q son dos números cuya suma es b y cuyo produco es c. Es decir; Su suma es igual a b; p + q b A coninuación buscamos dos números cuyo produco es y cuya suma es 7. Produco, 6,, 4 Suma 8 Los números que necesiamos son y 4. Por ano x + 7x + (x + )(x + 4). Facorizar x 8x + En ese caso enemos que a y además posee un discriminane 6. Verifíquelo! Sabemos que el rinomio se puede descomponer en la forma (x + )(x + ) Ahora buscaremos dos números cuyo produco es y cuya suma es 8. Como el coeficiene del érmino medio es negaivo, necesiamos dos números negaivos cuyo produco sea y cuya suma sea 8. Produco, 7 Suma Su produco es igual a c; p q c, 6 8 A. Veamos el ejemplo cuando el érmino consane es posiivo.. Facorizar x + 7x + En ese rinomio a y el discriminane, ambién como b 7 y c, el rinomio se puede expresar como x + 7x + (x + p)(x + q) Para facorizar x + 7x + como podemos apreciar el primer érmino de cada facor es x. (x + )(x + ), 4 7 Los números que necesiamos son y 6. Por ano x 8x + (x )(x 6). Facorizar a + 7ab + 0b Ya sea a es el produco de a y a, b es el produco de b y b, buscamos dos binomios de la forma. (a + b)(a + b) 4

35 Buscamos dos números cuya suma es 7 y cuyo produco es 0. Produco 0, 0, Suma 7 Produco 6, 6, 6,, Suma Los números que necesiamos son y. a + 7ab + 0b (a + b)(a + b) Los números que necesiamos son y. Luego a + ab 6b (a b)(a + b) B. Veamos ejemplos cuando el érmino consane es negaivo. Algunas veces el érmino consane de un rinomio es negaivo. En ese caso, el érmino medio puede ser posiivo o negaivo.. Facorizar x 8x 0. Enconrar dos números cuya suma sea 8 y cuyo produco sea 0. Produco 0, 0, 0, 0, 0 4, 4, Suma Los números que necesiamos son y 0. Por ano x 8x 0 (x + )(x 0) También podemos considerar en ese caso siuaciones como la siguiene:. Facorizar a + ab 6b. Buscamos dos binomios de la forma (a b)(a b). Es decir, debemos enconrar dos números cuya suma sea y cuyo produco sea 6. ACTIVIDAD 6 A. Obener el discriminane de cada uno de los siguienes rinomios.. x + x x 7x +. x + 6x + 7. x 8x 9. x + 0x x + 9x x 6x 6 9. x. x + x 6 0. x + x 48 B. Facorizar.. x + 7x + 8. m + 8mm + n. x + x a + ab + 6b. x 8x + 0. p + 6pq + 8q 4. x 7x +. a + ab 4b. x + 4x. x xy 0y 6. x x 00. 4x + 40x x x y xy + x

36 Caso Supongamos que el coeficiene principal a de un rinomio no es. Consideremos la siguiene muliplicación. (x + )(x + 4) 6x + 8x x + x + 0 Para facorizar los rinomios ax + bx + c como el hallado aneriormene buscamos los binomios ( x + )( x + ) donde los producos de los números que van en los espacios son como sigue.. Los números de primer espacio de cada binomio dan el produco a.. Los números del úlimo espacio de cada binomio dan el produco c.. Los producos exerior e inerior dan la suma b. Ejemplos. Facorizar x + x + Primero buscamos un facor común a odos los érminos. No hay ninguno. Ahora buscamos dos números cuyo produco sea., ó, Ahora buscamos números cuyo produco sea., ó, Ya que el úlimo érmino del rinomio es posiivo, los signos de los segundos érminos deben ser iguales. Aquí enemos algunas posibles facorizaciones.. Facorizar x + x Primeros érminos: Enconrar dos números cuyo produco sea. Úlimos érminos: Enconrar dos números cuyo produco sea (x + )(x 4) (x )(x + 6) (x )(x + ) (x )(x + 4) (x + )(x 6) (x )(x + ) El produco exerior más el produco inerior debe ser igual a x. x + x (x )(x + 4). Facorizar 8m + 8m 6 8m + 8m 6 (4m + 4m ) Primeros érminos: Enconrar dos números cuyo produco sea 4. Úlimos érminos: Enconrar dos números cuyo produco sea. (4m + )(m ) (4m )(m + ) (m + )(m ) (4m )(m + ) (4m + )(m ) (m )(m + ) El produco exerior más el produco inerior debe ser igual a 4m. 8m + 8m 6 (4m + 4m ) (m + )(m ) Facorizaciones posibles Facorizaciones posibles (x + )(x + ) ó (x + )(x + ) (x )(x ) ó (x )(x ) Cuando muliplicamos, el primero érmino será x y el úlimo será en cada caso. Solo la primera muliplicación da el érmino de x. x + x + (x + )(x + ) 6 Facorizar ACTIVIDAD 7 a) 6x + 7x + b) 8x + 0x c) 6x 4x 7 d) x x + 6 e) 8x f) 9a a 6

37 g) x + 4x 6 h) 4a + a 6 i) 6m + mn 9n j) 0 + 6x x k) x + x l) 0b b 0 De esa forma, sumando y resando a la expresión original, se iene 4x 0x + 9 4x 0x (4x 0x + ) + (9 ) (4x 0x + ) + ( 6) Facorización por el méodo de complear cuadrados Caso Ese méodo se uiliza en el caso de que el rinomio no es un cuadrado perfeco. Ejemplos A. Consideremos el caso de 4x 0x + 9. Aquí enemos que (4x ) es un cuadrado perfeco cuya base es x, ya que (x) 4x y por ora pare, ( 0x) es un érmino que corresponde a un produco en el cual (x) es un facor, ya que 0x (x)( 0) Por lo ano se conservan invarianes los érminos (4x ) y ( 0x) y debemos sumar y resar un érmino que sea un cuadrado perfeco y que unido a (4x ) y a ( 0x) consiuyan un rinomio cuadrado perfeco. Para obener ese érmino, se divide el sumando ( 0x), por el doble de la base del cuadrado perfeco que se ha manenido invariane: 0x (x) y el resulado de esa división elevado al cuadrado es el érmino buscado, eso es, ( ) Sumamos y resamos para no alerar. Conmuamos al 9 con el. Segundo produco noable a ab + b (a b) Facorizando el primer sumando (primer parénesis) como un rinomio cuadrado perfeco se iene 4x 0x + 9 (x ) + ( 6) (x ) (6) (x ) (4) Como podemos observar, la úlima expresión del miembro de la derecha corresponde a una diferencia de cuadrados que, como hemos viso, se puede facorizar como la suma por la diferencia de las bases, las cuales en ese caso son (x ) y 4, por lo ano, 4x 0x + 9 (x ) (4) (x + 4)(x 4) (x )(x 9) Por lo ano la facorización complea de 4x 0x + 9 (x )(x 9) B. Facorizar 9a + a Se maniene invariane el cuadrado perfeco (9a ) y el érmino (a). 7

38 Para calcular el érmino que se debe sumar y resar se iene a (a) Luego, como () 4, el érmino a sumar y resar es 4, 9a + a 9a + a C. Facorizar x x + 4 (9a + a + 4) + ( 4) (9a + a + 4) + ( 9) (9a + a + 4) (9) (a + ) () (a + + )(a + ) (a + )(a ) Ese no es un rinomio cuadrado perfeco, pues el érmino cenral debe ser (x)() 4x. Observe que los érminos exremos si son cuadrados perfecos, x (x) y 4 (). Siguiendo el mismo procedimieno anerior, enemos que x (x) Como, el érmino a sumar y resar 4 es 4 x x + 4 x x x x x x 9 4 x + x x x 8 (x )(x 4) Por ano x x + 4 (x )(x 4) 8 A. Complear los cuadrados y dar el equivalene cuadrado de un binomio. a) x + 4x + 49 (x + 7) b) x 0x + c) x + x + d) y + 4 y + e) x + 6x + f) x 4 8x + g) x 0x + h) x x + B. Facorizar uilizando el méodo de complear cuadrados. a) x x 6 b) y 8y + c) x + x 4 d) c + c 4 e) x x 8 f) a + a + g) b 7b + 0 h) a 6 a + 6 ACTIVIDAD 8

39 CASO Cuando no es posible facorizar el rinomio cuadrado perfeco se complea con la única finalidad de poder facorizar al rinomio resulane. Recordemos que al elevar un binomio al cuadrado se produce un rinomio cuadrado perfeco. (a + b) a + ab + b ó (a b) a ab + b Por lo que, al facorizar un rinomio cuadrado perfeco, obenemos un binomio al cuadrado: a + ab + b (a + b) ó a ab + b (a b) Lo que haremos a coninuación será agregar el érmino independiene represenado por b para que, al esar compleo el rinomio cuadrado perfeco, obengamos una expresión semejane a la siguiene: a + px + q (x + h) + k El coeficiene del érmino lineal (el ) se divide enre dos y ese cociene se eleva al cuadrado. El resulado va a complear el rinomio para que sea un rinomio cuadrado perfeco. Para no modificar la expresión maemáica, se suma y ambién se resa ese número. Para facorizar el rinomio cuadrado perfeco se obiene la raíz del érmino cuadráico y del érmino independiene. Con la lieral x, el número y el signo del érmino lineal del rinomio cuadrado perfeco se forma el binomio al cuadrado, que es la facorización de x + x. 6 6 x + x (x + x + 6) 9 x x 6 6 (x + 6) 9 Para complear el rinomio cuadrado perfeco y así facorizarlos como binomios al cuadrado se realiza el siguiene procedimieno: Ejemplos Expresar de la forma a + px + q (x + h) + k el rinomio siguiene: x + x Recuerde que: El érmino cuadráico es x El érmino lineal es +x El érmino independiene es Expresar de la forma a + px + q (x + h) + k el rinomio siguiene: x 8x + 4 Recuerde que: El érmino cuadráico es x El érmino lineal es 8x El érmino independiene es +4 El coeficiene del érmino lineal (el 8) se divide enre dos y ese cociene se eleva al cuadrado

40 El resulado va a complear el rinomio para que sea un rinomio cuadrado perfeco. Para no modificar la expresión maemáica, se suma y ambién se resa ese número. Para facorizar el rinomio cuadrado perfeco se obiene la raíz del érmino cuadráico y del érmino independiene. Con la lieral x, el número y el signo del érmino lineal del rinomio cuadrado perfeco se forma el binomio al cuadrado, que es la facorización de x 8x + 4. x 8x (x 8x + 6) x x 6 4 (x 4) Para facorizar el rinomio cuadrado perfeco se obiene la raíz del érmino cuadráico y del érmino independiene. Con la lieral x, el número y el signo del érmino lineal del rinomio cuadrado perfeco se forma el binomio al cuadrado, que es la facorización de x + x. 4 x x x Expresar de la forma a + px + q (x + h) + k el rinomio siguiene: x x + 8 Recuerde que: El érmino cuadráico es x El érmino lineal es x Expresar de la forma, a + px + q (x + h) + k el rinomio siguiene: x + x Recuerde que: El érmino cuadráico es x El érmino lineal es + x El érmino independiene es El coeficiene del érmino lineal (el ) se divide enre dos y ese cociene se eleva al cuadrado. El resulado va a complear el rinomio para que sea un rinomio cuadrado perfeco. Para no modificar la expresión maemáica, se suma y ambién se resa ese número. 4 x + x x + x El érmino independiene es 8 El coeficiene del érmino lineal (el ) se divide enre dos y ese cociene se eleva al cuadrado. El resulado va a complear el rinomio para que sea un rinomio cuadrado perfeco. Para no modificar la expresión maemáica, se suma y ambién se resa ese número. Para facorizar el rinomio cuadrado perfeco se obiene la raíz del érmino cuadráico y del érmino independiene. 9 4 x x x x x x 9 4 0