SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

Transcripción

1 SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. El objeivo de esas noas complemenarias al ema de solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias es dar una inroducción simple al ema, basada en principios de cálculo. Anes de enrar al ema en érminos más generales, ese enfoque permie esablecer los méodos más simples del ipo de un paso o de paso simple. Poseriormene la desarrollar los méodos Runge-Kua, será indispensable oro enfoque del ema, basado en la serie de Taylor. El objeivo en ese ema es resolver la ecuación diferencial ordinaria de primer orden dy f ( y, ) d = () Sujea a la condición inicial y(0) = Y0. El problema de condiciones de fronera no será raado en ese curso de inroducción al ema, dado que su carácer es más complejo, pero de cualquier manera los concepos aprendidos en ese curso de inroducción serán la base de esudios más avanzados donde se cubren dichos emas. Por oro lado es imporane recalcar que aunque el planeamieno se refiere a ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, se puede resolver cualquier ecuación de diferencial ordinaria de más alo orden conviriéndola en un conjuno de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en número igual al orden de la ecuación diferencial ordinaria original. Regresando al planeamieno de la solución numérica de la ecuación diferencial ordinaria (EDO), es imporane comenar que dicha solución, obviamene, consisirá de una colección de punos, que represenarán aproximaciones de la solución real o verdadera, la cual no conocemos por supueso. Eso significa que lo que obendremos es una represenación finia y aproximada de la curva solución verdadera y(). El puno de inicio será por supueso la condición inicial y(0) = Y 0. Tomemos la ecuación () y empecemos por escribirla de la forma dy = f ( y, ) d Si inegramos esa úlima ecuación enre los valores de y +, pariendo de que esamos en el paso + del proceso recursivo, y por ano conocemos el valor de y( )

2 que denoaremos por simplicidad como y, enonces obenemos el valor de denoaremos como Lo cual resula y +, como se muesra coninuación. ( + ) y y De donde obenemos finalmene (, ) + dy = f y d +, y y = + f y d +, y = y + + f y d (2) y( + ) Esa úlima ecuación es la base para obener los méodos de paso simple que obendremos. Su obención depende de la solución numérica, por supueso, de la inegral del lado derecho de (2). que f(y,) = + Inegral de la función f(y,) en inervalo = Podemos aproximar dicha inegral a ravés de la aproximación lineal de la curva f(y,), para lo cual exisen res opciones.

3 . Aproximación por reca consane e igual a la ordenada en el puno, es decir f ( y, ) = f, por lo que la inegral + f ( y, ) d, que represena como sabemos el área bajo la curva f(y,), comprendida enre las recas y +, se aproxima por el área del recángulo de área igual a f Lo anerior se muesra en la figura siguiene. + f(y,) + Aproximación numérica de la inegral. Méodo de Euler explício Si definimos la diferencia ( ) + como h, que es el paso de inegración, enonces obenemos la ecuación recursiva del méodo presene como y y h = + + f (3) La ecuación anerior es la fórmula recursiva del méodo denominado de Euler hacia adelane o Euler explício.

4 2. Aproximación por reca consane e igual a la ordenada en le puno +, es decir, f ( y, ) = f, por lo que la inegral f ( y, ) d, que represena como sabemos el área bajo la curva f(y,), comprendida enre las recas y +, se aproxima por el área del recángulo de área igual a f + +. Eso se muesra en la figura a coninuación. f(y,) + Aproximación numérica de la inegral. Méodo de Euler implício. Por lo que susiuyendo en la ecuación (2) obenemos la fórmula recursiva y = y + h f (4) + + La fórmula anerior se conoce como la fórmula recursiva del méodo de Euler hacia arás o Euler implício.

5 El nombre de los dos úlimos méodos hace evidene que las ecuaciones recursivas que los definen, son del ipo explícias, en el primer caso, e implícias en el segundo. Lo anerior indica que en el primero y + esá en función de y y, mienras que en el segundo esá en función de + y y +. Si la función del inegrando es lineal, la ecuación recursiva del Euler implício se puede escribir de forma explícia y por ano el méodo será de paso simple, de lo conrario habría que desarrollar oro procedimieno del ipo denominado predicor-correcor. 3. El ercer caso corresponde a la aproximación numérica de la inegral, por medio de la regla rapecial, es decir, aproximando la curva f(y,) por una reca que une los punos correspondienes a las coordenadas (, f ) y ( +, f +), como se muesra en la figura siguiene. f(y,) + Aproximación numérica de la inegral. Méodo de la regla rapecial. y El área que represena la aproximación numérica en ese caso será igual a ( + ) ( f+ + f ) 2

6 O bien h ( f + f ) 2 + De donde susiuimos en la ecuación (2) para obener así el ercer méodo de donde resula la fórmula recursiva del méodo rapecial h y+ = y + ( f+ + f ) 2 (5). Al igual que en el caso anerior, ese méodo produce una fórmula recursiva implícia, por lo que es un méodo implício, en general. Sin embargo en ambos casos, si la función f(y,) es lineal, se podrán hacer las facorizaciones apropiadas para escribir la fórmula en forma explícia. Lo anerior no se podría efecuar en le caso de que la función mencionada fuera no lineal, en cuyo caso habría que diseñar un méodo ieraivo para resolver el problema concreo por esos méodos implícios. ESTBILIDAD DE LA SOLUCION NUMERICA. Definiciones. La esabilidad es una de las propiedades más críicas de los méodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. En esa sección aprovechamos la inroducción al ema, a ravés del desarrollo de las fórmulas recursivas presenadas, con el fin de discuir ese complejo ema, de manera inroducoria. El ema es complejo y exise lieraura que lo raa de manera exclusiva. Es posible que la solución numérica d una ecuación diferencial crezca sin límie, aún cuando la solución exaca (solución analíica, no conocida por lo general) permanezca acoada. Por supueso ambién exisirán casos en los que la solución exaca crezca indefinidamene. En nuesro caso, nos limiaremos a la discusión de esabilidad de ecuaciones diferenciales para las cuales la solución exaca esá acoada. Comenzamos considerando la ecuación diferencial ordinaria () y un méodo numérico. En el análisis de esabilidad buscamos las condiciones y parámeros del méodo numérico para los cuales la solución numérica permanece acoada. El parámero más imporane es el paso de inegración h.

7 Tenemos res clases de méodos numéricos: Esquema numérico esable: Su solución numérica esá acoad, es decir, no crece sin conrol con cualquier selección de los parámeros, principalmene del paso de inegración h. Su robusez puede ener alo coso compuacional. Esquema numérico inesable: Su solución numérica crece sin límie, sin imporar el valor seleccionado de los parámeros. Esos esque mas carecen de uilidad, aún cuando fueran precisos. Esquema condicionalmene esable: La solución permanece acoada solamene con cieros valores de parámeros. Esabilidad de los méodos. La esabilidad de los méodos se esudia por medio d una ecuación diferencial especial, denominada problema modelo: Cuya solución exaca es Euler explício: ( 0) y = λ y (6) y = y e λ, donde λ puede ser real ó complejo. La fórmula de ese méodo, y y h f ( y ), + = +, nos conduce a ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) x = x + h x = x + h x2 = x+ h x = x + h = x0 + h i i i x = x + h( λx ) = x ( + λh) = x ( + λh) n n n n 0 2 n

8 A medida que crece n a, un resulado finio para una ecuación diferencial esable R e λ 0 requiere ( { } ) + λh (7). La desigualdad anerior es la condición de esabilidad para el méodo de Euler implício. λ puede ser compleja, aunque h sea real. Por lo que definimos Susiuimos en (7) para obener hλ = q = u+ jv (8). O bien + u+ jv u + v (9). El lugar geomérico de la expresión anerior es un círculo con cenro en (-,0) y radio uniario, el cual pasa por el origen. La región asociada con la (8) incluye el inerior de dicho círculo. λ h I - λ h R Diagrama de esabilidad para el méodo Euler explício Lo anerior implica que si suponemos R e{ λ} 0 al que el produco q = λh represena un puno denro círculo. (solución esable), el valor de h debe ser

9 Un ejemplo ilusraivo de anerior lo ilusra la solución numérica de la sencilla ecuación diferencial y + 0.5y = 0 y 0 = 0 20 Usamos dos valores del paso de inegración. El primero h = y el segundo h = 4.2. De la ecuación (7) vemos que la desigualdad se cumple en le primer caso, es decir, para h =, mienras que para el segundo, h = 4.2, dicha desigualdad no se cumple. La gráfica siguiene muesra los razos correspondienes a la solución, en razo coninuo, el primer caso, h =en razo con.- (esable), y el segundo caso (inesable, oscilaorio y creciene) en línea puneada Solución Numérica de la EDO por el méodo de Euler explício.

10 Euler implício: La fórmula recursiva del méodo es y = y + h f y +., + + Aplicamos esa fórmula recursiva a la ecuación (6) para obener De donde obenemos ( λ ) y = y + h y y 0 y0 y0 = = λh q Si procedemos con el méodo en forma recursiva, en el paso n-ésimo endremos y n = q n y 0 (0) La condición asociada con un méodo esable requiere que a medida que n, Por lo que endremos q 2 2 u + v (). La igualdad de la ecuación anerior represena un círculo con cenro en (,0) que pasa por el origen. La desigualdad de () se saisface fuera del círculo.

11 I m { λ h } (,0) R e { λ h } Diagrama de esabilidad para el méodo Euler implício. Lo anerior implica que el méodo es esable para odo valor de λ en el semiplano izquierdo. Si λ esá en el semiplano derecho, el méodo muesra inesabilidad solamene en el caso de que λ esé denro del círculo. Si λ se encuenra fuera del círculo uniario mencionado, la fórmula provee una secuencia convergene, aunque la respuesa real crece sin límie. Méodo Trapecial: La fórmula recursiva para ese méodo es: h y+ = y + ( f+ + f ). 2 Aplicada a la ecuación modelo (6) obenemos para el primer valor del proceso recursivo Por lo que 2h y = y + y + y y λh + y 2 = λh 2 0

12 Para el paso n-ésimo obendremos y n 2 + q = 2 q n y 0 El requisio de esabilidad de ese méodo para cuando n es 2 + q 2 q Lo cual conduce a la desiguladad siguiene 2 + u+ 2 + u jv jv. Simplificando lo anerior obenemos finalmene 4u 0 Lo anerior implica una región de esabilidad consisene en el semiplano izquierdo, cuya fronera es el eje imaginario. La fórmula será esable para cualquier valor de λ con R e λ. { } 0 El resulado de lo anerior implica que se obendrán respuesas esables para funciones inesables. Lo anerior no implica un resulado correco, solamene que cualquier error en el cálculo no crecerá en los pasos subsecuenes.