Tema 3: Juegos secuenciales o dinámicos con información completa

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1 Tema 3: Juegos secuenciales o dinámicos con información complea 1. Inroducción (Pérez e al. (2004), cap. 4) 1.1. Qué es un juego dinámico? Juego con eapas o decisiones sucesivas Tienen información complea (la esrucura o reglas y los pagos son de dominio público) y su información puede ser perfeca e imperfeca Represenación exensiva y represenación esraégica: relación enre ambas represenaciones (oda represenación exensiva iene una única represenación esraégica, pero una esraégica puede ser de dos o más exensivas) Ejemplos Juegos de disuasión a la enrada, con y sin información perfeca El juego del ciempiés Dilema del prisionero repeido dos veces con el juego simple definido por ND D ND 4,4 0,5 D 5,0 1,1

2 Juego con azar pero con información perfeca 2. Perfección de los juegos. Solución por inducción hacia arás. (Pérez e al. (2004), cap. 4) 2.1. Límies del concepo de euilibrio Nash: pérdida información y soluciones no acepables en juegos esraégicos (ver los juegos de disuasión a la enrada de la inroducción) Compeir duro Compeir suave A B Enrar 0,0 5,5 Enrar, A -2,-2 4,9 No enrar 3,7 3,7 Enrar, B 1,4-1,-1 No enrar, A 3,7 3,7 No enrar, B 3,7 3, Perfección de un juego (Selen, 1965) Concepo de subjuego en un juego en forma exensiva: El nodo origen es uniario (puede ser un nodo de azar) Coniene a odos los nodos ue le siguen y sólo a ellos No rompe ningún conjuno de información Ver los subjuegos de los juegos del ciempiés, dilema del prisionero repeido dos veces y juego con azar de la inroducción Definición de Euilibrio de Nash perfeco en subjuegos (ENPS) 2.3. Teorema de exisencia de ENPS en juegos dinámicos finios Demosración y resolución por inducción hacia arás (puede haber ENPS ue no se obengan por ese méodo) En juegos con información complea, perfeca y sin azar En juegos con información complea, perfeca y con azar En juegos con información complea pero imperfeca (papel de las esraegias mixas) Aplicación Al ciempiés, dilema del prisionero repeido dos veces y juego con azar de la inroducción Al ajedrez, exise una esraegia ópima pero se desconoce cuál es y a uién favorece Oligopolio de res jugadores, el primero es el líder y los jugadores 2 y 3 eligen simuláneamene, con: U 1 = (x 2 +x 3 ) 2 /2+x 1 (x 2 +x 3 ); U 2 = (12-x 1 -x 2 - x 3 )x 2 ; U 3 = (12-x 1 -x 2 -x 3 )x 3. [Solución: x 1 =3, x 2 =3, x 3 =3]

3 3. Credibilidad. Soluciones creíbles de Sackelberg al oligopolio (Gardner cap. 6) 3.1. Credibilidad Promesas y amenazas Aplicación al caso del ciempiés Aplicación al juego ue sigue (2 amenaza con guerra si 1 enra, o 2 promee ue nunca hará guerra) 3.2. Duopolio en canidades (Courno-Sackelberg) Resolver para p = = x 1 x 2, con c = 10, para el caso discreo. (Comenar las diferencias enre los dos casos y las esraegias exisenes en cada caso) ,18 15,20 9, ,15 16,16 8, ,9 12,8 0, Probar ue iene venaja el líder frene a la siuación de Courno pura

4 3.3. Duopolio en precios (Berrand-Sackelberg) Sin diferenciación Resolver para = p, con c = 10, compeencia ruinosa Observar ue el primer jugador (el líder) no iene venaja Con diferenciación Resolver para x 1 = 180-1'5p 1 + 0'5p 2 ; x 2 = 180-1'5p 2 + 0'5p 1 ; c = El líder iene venaja 4. Juegos repeidos (Gardner cap. 7, Pérez e al. cap. 7) 4.1. Inroducción Caracerización de un juego repeido, Repeición y cobro agregado al final de los cobros de cada eapa. Repeición finia o infinia Conduca esraégica, promesas y amenazas Ejemplos: dilema del prisionero repeido dos veces y el ciempiés de una eapa repeido, ue se represena a coninuación 4.2. Valor del juego Facor de descueno: δ=β/(1+α). Preferencia por la liuidez de asa α e inceridumbre con probabilidad β sobre el fuuro [δ= β/(1+α)]. Experiencia empírica de su cambio emporal, el iempo lejano influye cada vez menos Valor presene desconado y pago medio. Recordar ue: in i in ai in n1 in i i 0 i i i ; = a a a a n1 i i0 1 a a i0 1 i Ver, por ejemplo, la abla siguiene de valores presenes y medios Facor de descueno Secuencia de pagos Valor presene δ<1 { } =0,1,.,T T δ<1 { } =0,1,.,T, con = * T * * 1 1 T 1 Pago medio T T *

5 δ=1 { } =0,1,.,T T 1 T 1 T δ=0 { } =0,1,.,T δ<1 { } =0,1,., δ<1 { } =0,1,.,, con = * δ=1 { } =0,1,., 1 1 * * T * 1 1 lim T T +1 δ=0 { } =0,1,., 1 1 T 4.3. Vecores de pagos facibles de un juego. Obenerlos para ND D Cine Fubol Dilema del prisionero: ND 4,4 0,5 Baalla de los sexos: Cine 1,2 0,0 D 5,0 1,1 Fubol 0,0 2,1 5. ENPS en los juegos repeidos (Gardner cap. 7, Pérez e al. cap. 7) 5.1. En los juegos repeidos ambién deberemos buscar la credibilidad y perfección del juego, por ello nos pregunamos las siguienes cuesiones En cada una de las eapas de un ENPS, siempre se juega un euilibrio Nash? [Resp.: No] Depende la respuesa anerior de la longiud T del juego (finia o infinia) o de la asa de descueno? [Resp.: Ambos facores son imporanes] Hay ENPS ue permian jugar las esraegias Pareo-ópimas aunue no sean euilibrios de Nash? [Resp.: Hay juegos en ue si es posible] 5.2. Juegos repeidos en un número finio de eapas Condición necesaria y suficiene de ENSP cuando el juego iene un único EN o varios con pagos iguales [cualesuiera ue sean el periodo T finio y la asa de descueno δ]. Ejemplo: dilema del prisionero repeido Condición necesaria y condición suficiene para ue un euilibrio sea ENSP cuando el juego iene varios EN no euivalenes. Dependencia periodo T y la asa de descueno δ. Aplicarlo a la baalla de los sexos repeida y al juego siguiene

6 I D A 4,4 1,1 B 3,2 1, Exisencia de ENPS, en juegos con varios EN no euivalenes, ue no son sucesión de EN pero ue acaban con un EN. Aplicarlo en el ejemplo anerior I D A 4,4 1,1 B 3,2 1,2 Tabla final I D A 5,6 2,3 B 7,6 2, Juegos repeidos en un número infinio de eapas Caracerización de un juego repeido indefinidamene. Las amenazas como fundameno de la cooperación enre los jugadores Esudio del dilema del prisionero repeido indefinidamene ND D Dilema del prisionero: ND 4,4 0,5 D 5,0 1, El perfil no cooperaivo (D,D) siempre es ENPS El perfil cooperaivo (ND,ND) repeido indefinidamene no es EN, y por ano ampoco es ENPS, cualuiera ue sea la asa δ Ojo por ojo: Ambos acúan igual, primero ND y si el oro cambia, se hace lo ue ha hecho el oro en la jugada anerior. Ese perfil no es EN si δ <1/4, pero si lo es EN si δ 1/4. No obsane, ni en ese caso es ENPS porue perdonar es posiivo

7 El perfil del Disparador: Ambos acúan igual, ND en la primera eapa y cambiar a D permanenemene si el oro hace D una vez, es EN y ENPS si δ 1/ Folk heorems Teorema de Friedman ( 1971) Aplicarlo al dilema del prisionero Aplicación a un modelo de Courno repeido infiniamene. Hacerlo con p= x 1 x 2, y c = Ejercicios propuesos 6.1. Resolución por inducción hacia arás Resuelva el Juego del recluamieno cuyo gráfico puede verse debajo.la prima de alisamieno es b = $300 y el cose del servicio es c = $400. Cómo cambia esa solución si b = $500?, Qué amenazas y promesas son posibles? Inerpree su respuesa en érminos de un ejércio de volunarios Resolver el juego Fuga y evasión ue muesra la figura. El jugador 1, el fugiivo, a cada de escaparse de prisión y puede ir hacia arriba o hacia abajo. El jugador 2, el carcelero, ambién puede ir hacia arriba o hacia abajo, pero no sabe hacia dónde ha ido el fugiivo. Si el carcelero va en el mismo senido ue el fugiivo, lo arapará, con lo ue gana. Si el carcelero va en senido conrario al fugiivo, ése se escapa y gana La empresa Duflo desea diversificar sus acividades en el mercado de maerial de la consrucción. Tradicionalmene rabaja el plásico y desea enrar en el mercado de planchas onduladas. En ese mercado hay una empresa dominane ue fabrica planchas onduladas de fibrocemeno. El éxio de la operación de enrar depende de las reservas financieras de la empresa esablecida. El juego en forma exensiva es:

8 donde la empresa esablecida es 2 y la enrane 1. Resolver el problema en dos casos: la probabilidad de reservas alas es del 80% y la probabilidad es del 20% Resolver el siguiene juego y comenar brevemene el resulado Resolver el juego Desrucción muuamene asegurada (DMA) dado por el gráfico siguiene donde DT represena la desrucción oal de la ierra 6.2. Ejemplos de duopolios En la compeencia a la Courno-Sackelberg cada empresa se enfrena a la demanda de mercado p = Cada empresa iene un cose uniario de $30 por cada unidad ue envía al mercado. Demuesre ue la empresa 1 iene la venaja del ue decide primero, puesa en evidencia por sus ganancias.

9 Comprobar ue la empresa 1 esá mejor ue en el euilibrio de Courno. [Resp.: x 1 =30, x 2 =15, B 1 =450, B 1 =225;en C-C: x 1 =20, x 2 =20, B 1 =400] En un mercado ue se rige por compeencia al esilo Courno-Sackelberg y ue iene como curva de demanda p = 130 -, y cose uniario c = 10, el jugador 2 ofrece producir 25 si el 1 produce 35. Explicar la posible fundamenación de la ofera-promesa y decir si es creíble la promesa. [Resp.: x 1 =60, x 2 =30, B 1 =1800, B 1 =900;en la promesa: B 1 =2100, B 2 =1500] En la compeencia a la Berrand-Sackelberg de dos empresas sus demandas de de mercado esán dadas por: x 1 = 90 -(3/2)p 1 +(1/2)p 2 y x 2 = 90 -(3/2)p 2 +(1/2)p 1 respecivamene. Cada empresa iene un cose uniario consane de 10 por cada unidad.. La empresa 1 decide en primer lugar. Hallar el euilibrio de Berrand-Sackelberg. Comparar con el euilibrio de Berrand y comenar los resulados. [Resp.: p 1 =1460/34=42,94, p 2 =42,65, B 1 =1545, B 1 =1550; en B-B: p 1 = p 2 =42, B 1 =B 2 =1536] Sea una economía con dos empresas ue compien en canidades. La función de demanda es p = x 1 - x 2, los coses uniarios de ambas empresas son consanes y de valor c 1 y c 2 respecivamene Hallar en función de c 1 y c 2 la solución de euilibrio Courno-Sackelberg (canidades y precio) Hallar en función de c 1 y c 2 la solución de euilibrio de Courno (canidades y precio) Si enemos ue c 1 = 20 y c 2 = 60, obener las producciones y precio de euilibrio de ambos casos. Son acepables los resulados? Asumiendo ue la empresa 1 es líder por ener coses uniarios menores y la 2 seguidor, ué euilibrio se producirá enre las dos empresas si los coses son c 1 = 20 y c 2 = 60? Sobre juegos repeidos Sea un duopolio de Courno definido por las siguienes especificaciones: p = 90 - x 1 - x 2, y cose uniario consane = 30, Demosrar ue si se juega dos veces, iene un único ENSP Cambia el resulado si se juega 3 o 4 veces en lugar de dos? Qué debería hacer una empresa si se juega indefinidamene y la ora empresa siempre maniene las condiciones del euilibrio de Courno? Qué esraegia compeiiva permie obener (y reparirse) a los dos empresas el beneficio de la siuación monopolisa? [Resp.: lanzar x 1 = x 2 = 15 con la amenaza de cambiar permanenemene a x i =20 si el oro no cumple] En el juego Oporunidades de mercado descrio por A B A 3,3 1,4 B 4,1 0, Si se juega dos veces y el facor de descueno es δ =1, enconrar dos ENSP ue engan pagos medios de (2 5,2 5). Hay algún oro ENPS? Hay más de uno? [Resp.: recordar el EN con esraegias mixas con cobros de (2,2)] Cómo afecaría a los ENPS un facor de descueno δ<1? Es un EN del juego si cada jugador sigue la esraegia {A,A,N 3 }, siendo N 3 el euilibrio mixo del juego? Si el juego base es el mismo del problema anerior y se juega cuaro veces, siendo N 1 =(A,B) y N 2 =(B,A).

10 Son los {N i1, N i2, N i3, N i4 } ENPS, con i1, i2, i3 e i4 = 1 ó 2? [Resp.: Si] Es {(A,A), (A,A), N 1, N 1 } un EN si ambos jugadores amenazan con jugar al euilibrio de esraegias puras ue menos inerese al ue no respee los (A,A) a parir del no cumplimieno? [Resp.: No] Son {(A,A), (A,A), N 1, N 2 } y {(A,A), (A,A), N 2, N 1 } ENSP si δ=1 y ambos jugadores amenazan con jugar al euilibrio de esraegias puras ue menos inerese al ue no respee los (A,A) a parir del no cumplimieno? [Resp.: Si] Cambia el resulado anerior si es δ<1?, depende del jugador? [Resp.: Depende de δ y depende del jugador] Obener para ué valores de δ exise una esraegia ENPS ue asegure un pago medio de (3,3) en el juego repeido indefinidamene. [Resp.: δ>1/3] En el juego de la baalla de los sexos, obener el ENPS ue permie obener un pago medio a cada jugador de 1 5. [Recordar ue pagos medios de (1'5,1'5) pueden obenerse con una loería al 50% de cada uno de los EN simples ]