Sistemas de primer orden

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1 Sisemas de primer orden Raúl Rechman Insiuo de Energías Renovables UNAM 9 de ocubre de 8. Modelo de Loka-Volerra El modelo de Loka-Volerra esudia la ineracción enre R presas F depredadores de acuerdo a dr = ar + brf dt () df = cf + drf d () con a >, b <, c <, d >. Podemos pensar que las presas son conejos los depedadores zorros. En ausencia de zorros, la población de conejos crece eponencialmene en ausencia de conejos, la pobalción de zorros decrece eponencialmene. Los encuenros enre zorros conejos son benéficos para los primeros faales para los segundos. En la Fig. (a) mosramos las soluciones del modelo como funciones del iempo en la Fig. algunas soluciones en el espacio fase.. Modelo de Loka-Volerra modificado ( dr dt = ar R ) + brf, a (3) df = cf + drf, d () con a >, b <, c <, d >. Si F =, R saisface la ecuación logísica. En lo que sigue a =., b =., c =. d =.9. En la Fig. mosramos las soluciones como función del iempo en el espacio fase. Las soluciones de equilibrio son las soluciones de R (a R + bf ) =, (5) F (c + dr) =. (6)

2 R 3 F F R Figura : (a) El número de conejos R zorros F como función del iempo con. Soluciones en el espacio fase. Los valores de los parámeros sobn a =., b =., c =. d =.9. Ha cuaro posibles soluciones. Cuando los dos primeros érminos de las epresiones aneriores son cero enemos que R =, F =. (7) Si no ha individuos de las dos especies, eso se maniene en el iempo. Cuando los dos segundos érminos son cero, R = c/d, (8) F = ad c. (9) bd Ese es el puno fijo A que mosramos en la Fig.. Cuando el primer érmino de la primera epresión el segundo de la segunda epresión son cero el resulado es el del primer caso. Finalmene, cuando el segundo érmino de la primera el primero de la segunda epresión son cero R = a, F =. () 3. El oscilador armónico Un oscilador armónico es un cuerpo de masa m pegado a un resore con consane de resiución k como mosramos en la Fig. 3. La ecuación de la masa es la le de Hooke de la Ec. () que esablece que la fuerza sobre el cuerpo de masa m es proporcional al desplazamieno del cuerpo respeco a su posición de equilibrio. Esa Ec. puede ransformarse en un sisema de dos ecuaciones de primer orden para el deplazamieno la canidad de movimieno p = mv con v la velocidad

3 Figura : (a) Conejos R zorros F como función del iempo. La reca horizonal en rojo represena el esado esacionario R =...., la ĺınea horizonal en verde el esado esacionario F = Las dos curvas en rojo represenan la evolución emporal de R para las condiciones iniciales B C (ver ) las curvas en verde los valores correspondienes de F. Algunas soluciones del modelo de Loka-Volerra modificado en el espacio fase. Los punos muesran las soluciones de equilibrio. Figura 3: Masa con un resore que se mueve sobre una mesa horizonal sin fricción. del cuerpo. La solución general de la Ec. () es m d = k d () d d = p m () dp = k d (3) () = A cos ω + Bsinω, p() = maω sin ω + mbω cos ω () con ω = k/m, A B consanes. Con la condición inicial =, ( ) =, p( ) = enemos la solución paricular () = cos ω, p() = m ω sin ω (5) La energía cinéica E c la energía poencial U esán dadas por E c = p m, U = k. (6) 3

4 p Figura : Gráficas e p como funciones del iempo, Ecs. (5) con m =.5, k =, ω = =. Cuando la fuerza no depende epĺıciamene del iempo se define la energía poencial U de manera que du/d = F podemos comprobar que de la epresión para U se obiene la le de Hooke, Ec. (). La energía oal E es la suma de las energías cinéica poencial. De lo anerior E =E c + U (7) = p m + k = k = k. Vemos que E es consane. De lo anerior ( sin ω + cos ω ) (8) E/k + p me =, (9) E/k =, me = mk, () + p mk =. () Las Ecs. (9) (9) represenan una elipse como mosramos en la Fig. 5

5 E E c p U Figura 5: (a) Represenación gráfica de la Ec. (8). El espacio fase de un oscilador armónico con m =.5, k =. E =,, 3. Las elipses se recorren en el senido de las manecillas del reloj cuando el iempo crece.. El oscilador armónico amoriguado Agregamos a la Ec. () un érmino que amorigua la oscilación de manera que m d d = k b d d () con b > el coeficiene de amoriguamieno o el coeficiene de fricción del cuerpo de masa m con la mesa. Con γ = b/m ω = k/m ẍ + γẋ + ω =. (3) Puede ser que = e β sea una solución de la Ec. anerior. Al susiuir ( β + γβ + ω ) e β =. () De aquí β = γ ± γ ω. (5) Ponemos α = γ ω la condición inicial es = ( ) = v( ) =. Como vemos en la Ec. (5), ha que considerar res casos. γ > ω. La solución general es () =Ae ( γ+α) + Be ( γ α) (6) v() =A( γ + α)e ( γ+α) B(γ + α)e ( γ α). (7) Con la condición inicial mencionada de donde =A + B (8) =( γ + α)a (γ + α)b (9) A = (α + γ), B = (α γ). (3) α α Ese caso se conoce como movimieno sobre amoriguado. 5

6 . γ = ω. En ese caso α = por lo que ha una raíz doble para β. La solución general es () = () + () (3) () =Ae γ (3) () =Be γ. (33) Fala comprobar que son soluciones de la Ec. (). Enonces () =(A + B)e γ (3) v() = ( Aγ + B( γ)) e γ. (35) Con la condición inicial () =, v() =, () = e γ (36) v() = γ e γ. (37) Ese caso se conoce como movimieno críicamene amoriguado. 3. γ < ω. Con λ = ω γ e i =, () = Ae ( γ+iλ) + Be ( γ iλ) (38) = Ae γ (cos λ + i sin λ) + Be γ (cos λ i sin λ) (39) = e γ (A + B) cos λ + ie γ (A B) sin λ. () Nos ineresa la pare real de la solución () = e γ (A cos λ + B sin λ) () = Ce γ cos(λ φ) () donde C se conoce como la ampliud φ como la fase. Podemos ver que eso es correco pues C cos(λ φ) = C[cos λ cos φ + sin λ sin φ] (3) que al comparar con la ecuación anerior nos da A = C cos φ, B = C sin φ. () De aquí C = A + B, φ = cos A A + B. (5) La velocidad es v() = Ce γ [ γ cos(λ φ) λ sin(λ φ)] (6) Una ecuación diferencial oal de segundo orden que saisface el eorema de eisencia unicidad iene dos soluciones independienes. 6

7 De la condición inicial () =, v() = v, ( = C cos φ, φ = an γ ). (7) λ Ese caso se conoce como movimieno amoriguado o sub amoriguado. En la Fig. 6 mosramos v como funciones de conra v en los res casos considerados. 5. El oscilador de Duffing El oscilador de Duffing esá definido por la ecuación ẍ + δẋ + β + α 3 = γ cos ω (8) con α, β, γ δ consanes. Esa ecuación es la segunda le de Newon para una parícula de masa uniaria que se mueve en una dimensión sujea a una fuerza δẋ β α 3 + γ cos ω. El primer érmino represena una fuerza de friccón con coeficiene δ el úlimo una fuerza dependiene del iempo de manera periódica. Con γ = δ =, ẍ = β α 3. (9) En lo que sigue α β. De la Ec. (9) d =v d (5) dv d = β α3. (5) Las soluciones de equilibrio son ( β/α, ), (, ) ( β/α, ). La energía E de la parícula es E = E c + U con E c la energía cinéica U la poencial dadas por E c = v (5) U = β + α. (53) En la Fig. 7 (a) mosramos la gráfica de U. Si E < la parícula oscila alrededor de uno de los dos punos de equilibrio ( β/α, ) o ( β/α, ) si E > oscila alrededor de los dos. El puno de equilibrio (, ) es inesable. Eso se puede ver ambién en la Fig. 7. En el caso general, inroducimos las variables i, i =,, de manera que = ω, = = ẋ de manera que la Ec. (8) se pueda escribir como el sisema de res ecuaciones de primer orden ẋ = ω (5) ẋ = (55) ẋ = δ β α 3 + γ cos (56) 7

8 3 (a) v (c) -.5 v Figura 6: Oscilador armónico amoriguado en los res casos considerados. (a) La posición como función del iempo. La velocidad v como función del iempo. (c) La posición conra la velocidad v. En el caso, m =, k = b =, en el, m =, k = b =.5 en el 3, m =, k = b =.5. 8

9 (a).5.3 U Figura 7: (a) Energı a poencial dada por la Ec. (53) raecorias en el espacio fase para la Ec. (9) con α =, β =. En la Fig. 8 mosramos raecorias en el espacio fase reducido en la Fig. 9 mosramos el mapeo de Poincare. 6. Un oscilador no lineal En esa Sec. presenamos algunos resulados para el oscilador dado por = αn (57) con n = m +, m =,,... α >. El perı odo de oscilacio n T es en general funcio n de la ampliud de oscilacio n. En lo que sigue la condicio n inicial del resore es (() =, v() = ). Enconramos que m T ( ) = T ( = ). (58) Para n = (m = ) el resulado anerior es va lido pues la frecuencia ω esa dada por ω = α/ T = π/ω = πα / por lo que T no depende de. Para valores posiivos de m =,, 3, mosramos los resulados nume ricos en la Fig.. Con n = 3, T para = es la miad de T ( = ), para = 3, T es la ercera pare de T ( = ) para =, T es la cuara pare de T ( = ). Con n = 5, T para = es la cuara pare de T ( = ) para = 3, T es la novena pare de T ( = ). Para =, T es la dieciseisava pare de T ( = ) (que no se muesra en la Fig.). Con n = 7 mosramos que para = el perı odo es la ocava pare de T ( = ). Para oros = 3,, 5 se cumple la Ec. (58) pero no se muesran los resulados en la Fig. para no hacerla incomprensible. 9

10 (c) (d) Figura 8: Espacio fase para (a) δ =.5, ω =, γ =., δ =.3, ω =, γ =.3, (c) δ =.5, ω =, γ =.3 (d) δ =.5, ω =, γ = Un oscilador no lineal en dos dimensiones Proponemos una eensión del oscilador de Duffing, Ec. (8) a dos dimensiones. Para ello proponemos que el érmino cúbico en la fuerza sea de la forma r 3 = r 3ˆr, con ˆr = r/r r = ( + ) /. Enonces De aquí m r = F (r) = αr 3 βr δṙ + γ cos ω. (59) mẍ =[ α( + ) β] δẋ + γ cos ω (6) mÿ =[ α( + ) β] δẏ + γ cos ω. (6)

11 v. v (c) (d) v -. v Figura 9: Mapeo de Poincaré para (a) ω =, ω = π/, (c) ω = π (d) ω = 3π/. Aquí δ =., ω =., γ =.3 α = β =.. Con δ = γ = las soluciones de equilibrio de las Ecs. (6) (6) son =, = (6) =, = ± β/α (63) =, = ± β/α (6) = β/α. (65) La cuara solución de equilibrio es una circunferencia de radio β/α. Las aneriores son punos sobre dicha circunferencia. Las Ecs. (6) (6) con δ = γ = represenan a un sisema conservaivo con una energía poencial U dada por ( + U(, ) = α + ) + β ( + ). (66) En La Fig. mosramos U. La primera solución de equilibrio corresponde al máimo de U, la úlima a los mínimos de U. En la Figs. 3, 5 mosramos como función de para disinas condiciones iniciales.

12 (a) (c) 6 8 (d) Figura : La posición como función del iempo para un oscilador que saisface la Ec. (57) con α =. En (a) n = 3, =,, 3,. En n = 5, =,, 3. En (c) n = 7, =,. En (d) n = 9, =,. 8. Geomería de sisemas Los sisemas de ecuaciones diferenciales de primer orden como los que hemos viso son de la forma d =f(, ), d (67) d =g(, ). d (68) Sean Y = (, ) F (Y ) = (f(, ), g(, )) que a veces son vecores renglón a veces vecores columna. Las Ecs. (67) se pueden escribir como dy d = F (Y ). (69) A cada puno Y se le asocia un vecor angene F (Y ). Ese es el campo de vecores. Para el oscilador armónico con m = k = dy d = F () = (, ). (7)

13 .5 n = n = 3 n = 5 n = 7 n = 9 e+ e- e- P SD e e- e (c) e ω.6.5. ω n Figura : (a) La posición como función del iempo con = para n =, 3, 5, 7, 9. Especro de poencia de mosrando la frecuencia fundamenal de oscilación para los mismos valores de n. (c) La frecuencia fundamenal ω como función de n. Mosramos el campo de vecores en la Fig. 6 (a). Aquí la información es demasiada, los vecores se sobreponen unos con oros. Para aliviar eso, usamos el campo de direcciones como mosramos en la Fig. 6 donde cada vecor que se muesra es uniario. En esa Fig. ha menos información, pero se ve mejor. Presenamos varios ejemplos sencillos. dy d = (, ), dy d = (, ), dy d = (, ). (7) Los campos de direcciones se muesran en las Figs. 7, 8 9. La idea es como anes, los vecores del campo de direcciones son angenes a las raecorias. Así, podemos ver como son las soluciones del campo de direcciones como mosramos en la Fig. 3

14 U - - Figura : La energía poencial U dada por la Ec. (66) como función de, con α = β =. El círculo represena los punos que saisfacen la Ec. (65). 9. Dos especies en compeencia Dos especies X Y con poblaciones compien consigo mismas con la opuesa por recursos de manera que d ( d = ) (7) d ( d =3 ). (73) 3 Para enconrar los punos de equilibrio ( ) 3 ( 3 = (7) ) =. (75) ( ) = (76) (3 ) =. (77) Como anes ha cuaro soluciones q son (, ), (, 3), (, ) (, ). En la Fig. mosramos el campo de direcciones, los punos de equilibrio algunas soluciones. El puno de equilibrio (, ) es inesable, así como el (, ). Los punos (, ) (, 3) son ambos esables. Apare de los punos de equilibrio inesables el espacio accesible (el primer cuadrane de un espacio de dos dimensiones) se puede dividir en dos regiones. Una coniene a los punos que omados como condición inicial van al puno de equilibrio (, ) la ora con los punos que van a dar a (, 3).

15 (c) (d) Figura 3: (a) ((), ()) = (.,.), (ẋ(), ẏ()) = (.,.). ((), ()) = (.,.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.). (c) ((), ()) = (.,.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.). (d) ((), ()) = (., 3.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.). En odos los casos α = β =.. El modelo de Lorenz El modelo de Lorenz esá definido por el sisema de ecuaciones d =σ( ) d (78) d = z + r d (79) dz = bz. d (8) con σ, r b consanes. Las soluciones de equilibrio son los res punos (,, ) (± b(r ), ± b(r ), r ). En las Figs. (a), (c) mosramos, z como funciones del iempo respecivamene. Parece que oman los mismos valores por ello en la Fig. (d) mosramos la como función del iempo. Es aparene que oscilan en fase, los máimos mínimos de ambas variables coinciden. En la Fig. 3 mosramos 5

16 (c) (d) Figura : (a) ((), ()) = (.,.), (ẋ(), ẏ()) = (.,.). ((), ()) = (.,.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.). (c) ((), ()) = (.,.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.). (d) ((), ()) = (., 3.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.). En odos los casos α = β =. una solución en el espacio fase. En la Fig. mosramos la separación enre raecorias incialmene cercanas.. El oscilador de van der Pol El oscilador de vander Pol es un oscilador no conservaivo con una fricción no lineal. Describe el comporamieno de un bulbo elecrónico. Fue discuido por primera vez por van der Pol en 96. La ecuación del oscilador es d d + µ( ) d A sin ω =. (8) d 6

17 6.5.5 ˆ ŷ (c) Figura 5: Los parámeros son ((), ()) = (., 3.), (ẋ(), ẏ()) = (.5,.), α =, β =, γ =.3, δ =.5 ω =.. Con µ = A = la ecuación represena un resore que obedece la le de Hooke. Con A = podemos escribir d = d (8) d d = + µ( ). (83) La solución de equilbrio es (, ). En la Fig. 5 (a) mosramos a como funciones del iempo en la Fig. 5 dos raecorias en el espacio fase. Sin imporar la condición inicial (sin conar a (, )) el sisema ermina en un ciclo que se conoce como un ciclo ĺımie. En el caso general, A, procedemos como en el caso del oscilador de Duffing definimos = ω, = = ẋ. Enonces ẋ = ω (8) ẋ = (85) ẋ = µ( ) + A sin (86) Mosramos un resulado, que es caóico, en la Fig. 6. 7

18 Figura 6: (a) El campo de vecores del oscilador armónico dy /d = (, ). El campo de direcciones del oscilador armónico dy /d = (, ) Figura 7: El campo de direcciones de dy /d = (, ).. El efeco P δ La ecuación del modelo es con α < β >. El sisema de dos ecuaciones es ẍ + β + α 3 + δẋ = (87) ẋ =v (88) v = β α 3 δv. (89) Los punos de equilibrio son ( β/α, ), (, ) ( β/α, ). Mosramos el espacio fase en la Fig. 7. 8

19 Figura 8: El campo de direcciones de dy /d = (, ) Figura 9: El campo de direcciones de dy /d = (, ). 3. Ejercicios Ejercicio Sol. Los punos de equilibrio son la solución de dz = cos ω d (9) dω d = z + ω (9) cos ω =, ω = z. (9) De aquí, los punos de equilibrio son (π/+kπ, π/+kπ), k =...,,,,.... Es claro que los punos de equilibrio esán sobre una reca con pendiene. Mosramos el campo de direcciones en la Fig. 8 (a) algunas soluciones en el espacio fase en la Fig. 8. Los dos punos de equilibrio son inesables. 9

20 Figura : El campo de vecores del oscilador armónico dy /d = (, ) la solucón + = Figura : El campo de direcciones, los punos fijos algunas raecorias en el espacio fase de las Ecs. (7) (73). Ejercicio Conviere d d + d d = (93) en un sisema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Encuenra los punos de equilibrio, el campo de direcciones algunas soluciones ineresanes. Sol. con = d/d obenemos d = d (9) d d = (95)

21 (c) z Figura : (a),, (c), z como funciones del iempo respecivamene con σ = 6, b = 8 r = 8/3. Las ĺıneas en rojo en (a), (c) indican las soluciones de equilibrio. (d) como función del iempo. La inegración numérica es con el méodo de Runge-Kua de cuaro orden con h =.. Los punos de equilibrio son las soluciones de = (96) (3 ) =. (97) De aquí (, ), ( 3, ) ( 3, ) son los res punos de equilibrio. Mosramos el campo de direcciones en la Fig. 9 (a) algunas soluciones en la Fig. 9.

22 z Figura 3: Una raecoria en el espacio fase,, z con σ = 6, b = 8 r = 8/3. Mosramos ambién las soluciones de equilibrio. La inegración numérica es con el méodo de Runge-Kua de cuaro orden con h =. durane un iempo = 3. Ejercicio 3 Para el sisema d = d (98) d d = 3 (99) encuenra las soluciones de equilibrio, algunas soluciones en el espacio fase mosrando que ha soluciones cerradas abieras. Sol. 3 Las soluciones de equilibrio son (, ) (/3, ). Las soluciones pariculares se pueden enconrar con el méodo de Runge-Kua como mosramos en la Fig. 3 Ejercicio Lab.. p. Blanchard, Devane, Hall. Sol. Escribimos ẍ =.3 (( ) + a ) + () 3/ (( + ) + a ) 3/ ẋ =v () v =.3 (( ) + a ) +. 3/ (( + ) + a 3/ ) ()

23 6 5 d Figura : (a) La coordenada como función del iempo de dos soluciones a una disancia inicial d = e 7. La disancia d enre las dos soluciones como función del iempo con σ = 6, r = 8 r = 8/3. (a) Figura 5: Oscilador de van der Pol dado por las Ecs. (8) (83). (a) Las variables como funciones del iempo dos raecorias con disinas condiciones iniciales en el espacio fase. En ese caso µ =. h =.. La energía poencial U es U() =.5 +. ( ( ) + a ) 5/ +. ( ( + ) + a ) 5/. (3) Dado F = du/d con F la fuerza sobre la parícula F esá dada por el érmino del lado derecho de la Ec. () podemos comprobar que la epresión para U es correca. En la Fig, 3 (a) podemos ver U como función de para varios valores de a. Para valores peque nos de a, U iene dos pozos si la energía no es demasiado grande, la raecoria en el espacio fase se maniene en el pozo en el cual haa empezado. Para energías maores, la órbia pasa alrededor de ambos pozos como mosramos en la Fig. 3. El valor de a en el cual los dos pozos se unen se puede enconrar numéricamene. Ejercicio 5 Lab... p. 5 Blanchard, Devane, Hall. Considera los sisemas de ecuaciones dados por 3

24 Figura 6: Oscilador de van der Pol dado por las Ecs. (8) (83) con µ = 8.53, A =. ω = pi/5. (a) La variable como función del iempo Traecoria en el espacio fase, Figura 7: Traecorias en el espacio fase del sisema dado por las Ecs. (88) (89). d A. d = 5 + B. d d = 6 d d = + 3 = 5 d d encuenra las soluciones de equilibrio, algunas soluciones en el espacio fase. Sol. 5 Las soluciones de equilibrio de A. son (, ) (/3, 5/). Las soluciones de equilibrio de B son (, ), (, 5/), (6, ) (/3, 7/6). En la Fig. 3 mosramos algunas soluciones los campos de pendienes. Ejercicio 6 Lab... p. 5 Blanchard, Devane, Hall. Considera los sisemas de ecuaciones dados por

25 (a) ω ω z - z Figura 8: (a) Campo de direcciones del sisema dado por las Ecs. (9) (9). Algunas soluciones en el espacio fase del mismo sisema. (a) Figura 9: (a) Campo de direcciones del sisema dado por las Ecs. (9) (95). Algunas soluciones en el espacio fase del mismo sisema. d A. d = 3 + B. d d = 5 3 d d = = d d encuenra las soluciones de equilibrio, algunas soluciones en el espacio fase. Sol. 6 Las soluciones de equilibrio de A son (, ) (5/3, 3/). Las soluciones de equilibrio de B son (, ), (, 8/3), (5, ) (3/, 7/6). Las soluciones en el espacio fase el campo de pendienes esán en la Fig. 33 (A) (B) respecivamene. Ejercicio 7 Lab...3 p. 5 Blanchard, Devane, Hall. Considera los sisemas de ecuaciones dados por 5

26 - - Figura 3: Traecorias en el espacio fase del sisema de ecuaciones dado por las Ecs. (98) (99). d A. d = + 3 B. d d = 5 d d = 3 + = 7 3 d d encuenra las soluciones de equilibrio, algunas soluciones en el espacio fase. Sol. 7 El sisema A es cooperaivo pues la especie en ausencia de la desaperece en el iempo lo mismo ocurre con la especie en ausencia de la. Las soluciones de equilibrio son (, ) (3/, /3). El sisema B es compeiivo, la especie en ausencia de la crece de acuerdo a la ecuación logísica la presencia de la especie disminue la población de la especie. Lo mismo ocurre con la especie en ausencia de la. Las soluciones de equilibrio son (, ), (, 7/3), (5/, ) (3/, 3/5). Las soluciones en el espacio fase el campo de pendienes esán en la Fig. 3 (A) (B) respecivamene. Ejercicio 8 Lab... p. 5 Blanchard, Devane, Hall. Considera los sisemas de ecuaciones dados por d A. d = B. d d = 9 d d = 3 + = d d encuenra las soluciones de equilibrio, algunas soluciones en el espacio fase. Sol. 8 Las solución de equilibrio de A es (, ) (3/, 5/3). Las soluciones de equilibrio de B son (, ), (, 8/3), (9/, ) (5/, 9/). En la Fig. 35 mosramos algunas soluciones en el espacio fase el campo de pendienes. 6

27 U -3 v Figura 3: (a) La energía poencial U como función de para disinos valores de a. Empezando desde abajo, a =.5, a =.7, a =. a =.. Traecorias en el espacio fase del sisema de ecuaciones dado por las Ecs. () () con a =.5. Las soluciones de equilibrio son ( , ), (, ) ( , ). Ejercicio 9 Lab..3 p. 7 Blanchard, Devane, Hall. Sol. 9 Ejercicio Lab.. p. 9 Blanchard, Devane, Hall. Sisema masa-resore-liga. con m d d + bd d + k + k h() = m () { h() = (5) <. Sol.. Con b =, k = la Ec. () es un modelo de un cuerpo de masa m colgado de un resore. La solución de equilibrio es (m/k, ). La frecuencia angular ω es ω = k /m como ωt = π con T el período, T = π m/k. En la Fig. 36 mosramos las soluciones de la Ec. () en ese caso para res valores de k.. Con b >, k = la Ec. () es un modelo de un cuerpo de masa m colgado de un resore amoriguado. En la Fig. 38 mosramos casos de movimimieno sub amoriguado sobre amoriguado. En la Sec. mosramos que el paso de uno a oro se da en el movimieno críicamene amoriguado cuando ( ) / b c k m =. m 7

28 A B Figura 3: Algunas soluciones en el espacio fase los correspondienes campos de pendienes del Ej. 5 A B. (A) (B) Figura 33: Ej. 6 A B. 8

29 A B Figura 3: Algunas soluciones en el espacio fase loss correspondienes campos de pendienes del Ej. 7 A B. A B Figura 35: Algunas soluciones en el espacio fase loss correspondienes campos de pendienes del Ej. 8 A B. 9

30 v Figura 36: (a) La ampliud de oscilación como función del iempo. Las ĺıneas horizonales represenan las soluciones de equilibrio. Traecorias en el espacio fase. En ambos casos para la curva en rojo, k =., para la verde, k =.5 para la roja k = 3.. Adema s m =, b =, k =, () =. v() =.. De aquí b c = (km) /. donde b c es el valor críico de b. Eso ambién se muesra en la Fig Con b = k depende de como mosramos en la Fig.??. La oscilación se amorigua linealmene hasa alcanzar la solucion de equilibrio. De la Ec. (), dicha solución puede omar uno de los valores = m k + k, = m k pues la miad del iempo la liga no acúa. Enconramos que un valor adecuado es = m (6) k + k / que de alguna manera oma en cuena lo anerior. Ese es el valor que mosramos en la ĺınea horizonal en la Fig.??. No enemos un argumeno para enconrar la pendiene de las recas envolvenes que ambién mosramos en la Fig.?? (a). 3

31 v (c) Figura 37: (a) La ampliud de oscilación como función del iempo. Las ĺınea horizonal represena la solución de equilibrio. Traecorias en el espacio fase. En ambos casos k =.5 m =.. Para la curva en rojo, b =. para la verde, b =.. (c) Con k =.5 mosramos como función de para b = 6. en rojo, para b c = (k/m) / = en verde para b = 7. en azul. En odos los casos m =, k =, () =. v() =.. 3

32 Figura 38: (a) La ampliud de oscilación como función del iempo con m =, b =, k =.5 k =.. Las ĺınea horizonal represena la solución de equilibrio = /.55. Las envolvenes son = m+ = m + con m =.7. Aquí k =.,.,.3,.. Para valores grandes de k la oscilación dura menos iempo. Se muesran las soluciones de equilibrio. 3