a = = ω x Si en el punto M, x=r, si comienzan allí a contarse los

Transcripción

1 1.7.MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE La gráfica elongación-iempo de un movimieno vibraorio armónico (M.A.S.) iene la forma de la figura. Luego, la expresión de su velocidad será: a) v = A. ω cosω b) v = A. ω senω c) v = A. ω cosω d) v = A. ω senω e) v = A. ω cosω La gráfica elongación-iempo de un movimieno vibraorio armónico puede expresarse mediane una función que conenga el seno o el coseno. De la gráfica se observa que para =0, x=0, por ano, en ese caso hemos de descarar la función coseno ya que para =0 el coseno es uno. Con el empleo de la función seno, en principio, son posibles dos soluciones: x = A. senω (1) x = A. senω () La represenación (1) no es adecuada pueso que para valores de ω 90, el seno ω oma valores posiivos y no negaivos como indica la gráfica. Si uilizamos la expresión () con un signo negaivo delane, al dar valores a la variable se obiene la gráfica de la cuesión. Para hallar la expresión de la velocidad recordemos que: dx d( A. senω ) v = = = A. ω cosω d d La opción correca es la a * Si un puno maerial sale de M y llega a N según el esquema de la figura en un iempo, recorriendo una semicircunferencia con movimieno uniforme, su proyección sobre un diámero MN describe un M.A.S. (movimieno armónico simple), represenado por una función cosenoidal cuya: a) AMPLITUD ES EL RADIO b) ACELERACIÓN ES 0 c) PERÍODO ES 4 SEGUNDOS d) PULSACIÓN ES π / rads -1 e) FASE INICIAL ES π RADIANES Si referimos el movimieno a un sisema cenrado en la circunferencia, la máxima separación desde la posición de equilibrio endrá una ampliud igual al radio. Al considerar la ecuación del movimieno x = R cos ( ω + ϕ) (I), d x a = = ω x Si en el puno M, x=r, si comienzan allí a conarse los d iempos, ϕ = 0 y a = Rω. El período T, será, pues es el iempo que arda en regresar a la posición π π inicial M, y la pulsación o velocidad angular ω = = rad.s -1.Por odo T ello, serán correcas la a, y la d.

2 1.7.3*. Si un puno maerial P que recorre la circunferencia según el esquema de la figura se encuenra en el insane inicial en O, dirás que su proyección sobre el diámero MN realiza un M.A.S. represenado por una función cosenoidal que iene: a) UNA AMPLITUD IGUAL AL DIÁMETRO b) UN PERÍODO QUE SERÁ EL TIEMPO QUE TARDA P EN VOLVER A PASAR POR EL PUNTO O c) UNA FASE INICIAL ϕ 0 d) UNA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO x = R cos( ω + ϕ 0 ) e) UNA ACELERACIÓN IGUAL A LA CENTRÍPETA MULTIPLICADA POR cos( ω + ϕ 0 ) Según lo dicho en la cuesión anerior, la ampliud será R, y dado que el iempo comienza a conar desde O, el período será el iempo que arda en volver a pasar por O. La fase inicial, o espacio angular recorrido anes de empezar a conar los iempos será ϕ. 0 Al proyecar el radio sobre el diámero MN, x = R. cos β, pero β es complemenario del ( ω + ϕ 0 ), por lo ano, x = R cos( ω + ϕ 0 ) (I), que invalida la propuesa d. La aceleración, es a = Rω. La a normal, v [ Rω cos( ω + ϕ0 )] a N = = = Rω cos ( ω + ϕ0 ), R R que no puede ser igual a la propuesa e. Por lo ano son válidas la c y la b * Dado el esquema de la figura en el cual un puno maerial P recorre la circunferencia con módulo de su velocidad consane, pariendo inicialmene de O, podrás decir que su proyección sobre el diámero MN: a) RECORRE DOS VECES LA DISTANCIA MN CUANDO P DA UNA VUELTA COMPLETA b) TIENE COMO FASE INICIAL EL ÁNGULO ϕ 0 c) DA UNA OSCILACIÓN COMPLETA CUANDO VUELVE A PASAR POR EL MISMO SITIO EN EL MISMO SENTIDO DE SU MOVIMIENTO d) TIENE UNA PULSACIÓN QUE SERÁ IGUAL A π RADIANES DIVIDIDOS POR EL TIEMPO QUE TARDA EN DAR UNA OSCILACIÓN COMPLETA e) TIENE POR ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO x = R sen( ω + ϕ 0 ) Todas las propuesas son válidas, eniendo en cuena lo ciado en las cuesiones aneriores, y las definiciones de oscilación complea, pulsación, período y fase inicial. La propuesa e, se ha demosrado ambién con anerioridad.

3 Un móvil efecúa un movimieno vibraorio armónico (M.A.S.) cuya elongación frene al iempo esá represenada en la gráfica adjuna. La represenación de la aceleración (eje Y) frene al iempo (eje X) será: a) A b) B c) C d) D De la gráfica elongación-iempo se deduce que la ecuación del movimieno es: x = A. senω y de aquí: dx d( A. senω ) v = = = A. ω cosω d d dv d( Aω.cosω ) a = = = A. ω senω d d Al esar relacionada la aceleración con la variable iempo por una función seno, se han de rechazar las opciones a y b. Como la expresión de la aceleración lleva un signo menos delane de la función seno se ha de descarar la opción c, quedando como solución de la prueba la d Un móvil efecúa un movimieno vibraorio armónico, siendo la represenación de la velocidad frene al iempo, la gráfica adjuna. La represenación de la aceleración (eje Y) frene al iempo (eje X) será: a) A b) B c) C d) D e) E De la gráfica velocidad-iempo se deduce que la función que relaciona la velocidad con la variable iempo es una función seno: v = A.ω. senω por ano: dv d( Aω. senω ) a = = = A. ω cosω, por ser una función coseno, d d cuando =0, cos ( ω ) = 1 y a = A. ω. El valor posiivo de a cuando =0 sólo es posible en la opción e.

4 Un móvil efecúa un movimieno vibraorio armónico (M.A.S.), siendo la represenación de la aceleración frene al iempo, la gráfica adjuna. La represenación de la elongación (eje Y) frene al iempo (eje X) será: a) A b) B c) C d) D De la gráfica aceleración-iempo se deduce que la aceleración esá ligada a la variable iempo mediane una función seno; a = A. ω senω Recordemos que a parir de la expresión de la elongación obenemos la de la aceleración derivando dos veces aquella, si además enemos en cuena que la derivada de la función seno es el coseno y la del coseno es menos el seno, resula que la función elongación-iempo es x = A. senω lo cual se dx d( A. senω ) comprueba por la derivación: v = = = A. ω cosω y a = dv d d = ( Aω.cosω ) d d = A. ω senω = ω x d De la expresión anerior se deduce que la aceleración iene un signo negaivo respeco de la elongación, eso quiere decir que cuando x es +, a es -, por ano la opción que cumple ese requisio es la b Un móvil efecúa un movimieno vibraorio armónico (M.A.S.) sobre el eje AB, siendo esos punos sus posiciones exremas. Para la posición M del móvil: a) SU VELOCIDAD ESTÁ SIEMPRE DIRIGIDA HACIA B b) SU VELOCIDAD ES NULA c) SU VELOCIDAD ESTÁ DIRIGIDA HACIA O d) SU VELOCIDAD PUEDE ESTAR DIRIGIDA HACIA B O HACIA O e) SU VELOCIDAD, EN MÓDULO, ES LA MÁXIMA QUE PUEDE TENER EL MÓVIL Hemos de recordar cómo esá dirigida la velocidad en un movimieno vibraorio armónico. Si se cuena el iempo cuando el móvil pasa por la posición O y se dirige a B, en ese ramo la velocidad esá dirigida hacia la derecha de modo que la velocidad es máxima en O y nula en B. Cuando el móvil se desplaza desde B hacia O la velocidad esá dirigida hacia la izquierda y disminuye hasa anularse en A. Finalmene cuando el móvil pasa desde A hasa O la velocidad esá dirigida hacia la derecha. La forma gráfica de expresar odo lo anerior es: enre =0 y =1/4 del período la velocidad disminuye desde O a B (en B se anula). Enre =1/4 y =1/ del período la velocidad aumena desde B a O (en O es máxima). Enre =1/ y =3/4 del período la velocidad disminuye y se hace nula en A. Enre =3/4 del período y = un período la velocidad aumena y se hace máxima en O. Al observar las dos primeras figuras se deduce que el móvil M puede ener la velocidad dirigida hacia O o hacia B, siuación que coincide con la opción d.

5 Un móvil efecúa un movimieno vibraorio armónico simple (M.A.S.) sobre la línea AB. En los cinco dibujos se represena el vecor velocidad del móvil en disinas posiciones. Sólo hay un dibujo correco. Señálalo: b) B c) C d) D e) E Al observar los dibujos de la prueba se deduce que A y B represenan los exremos de la oscilación. Recordemos que en un movimieno vibraorio armónico la velocidad en los exremos es nula y iene un valor máximo en el puno cenral de la oscilación, eso es, en el puno O. Por consiguiene la respuesa correca es la opción c Un móvil efecúa un movimieno vibraorio armónico (M.A.S.) sobre el eje X. Cuando =0 el móvil iene una elongación cero y cuando =T/4 la elongación del móvil es -A (siendo A la ampliud). Luego, la ecuación que describe ese movimieno es: a) 3π x = Acos ω + b) x = Acos ( ω +π ) c) x = Acos( ω ) d) π x = Acos ω + La ecuación que describa el movimieno de la parícula iene que dar como solución para =0, x=0 y para =T/4 (un cuaro de período), x=-a. Una forma de resolver la prueba es ensayar cada una de las opciones. Opción a: 3π x = Acos ω + para =0, 3π x = Acos = 0 para =T/4, T 3π πt 3π x = Acos ω. + = Acos + = Acos( π ) = + A 4 4T Opción b: x = Acos ( ω +π ) ; para =0, x = Acos ( + π ) = A Opción c: x = Acos( ω ) ; para =0, x = Acos ( 0) = + A. Opción d: π π x = Acos ω + ; para =0, x = Acos + = 0 ωt π πt π x = Acos + = Acos + = Acos π 4 4T La opción d es la correca. para =T/4, ( ) = A

6 En un movimieno vibraorio armónico la represenación de la aceleración del móvil (eje Y) frene a la elongación (eje X) es: a) A b) B c) C d) D En el movimieno armónico simple, la aceleración esá relacionada con la elongación por la expresión a = ω x La ecuación anerior nos dice que al represenar a frene a x obenemos una línea reca que pasa por el origen. Son, por ano, desechables las opciones a, d, y e. Para decidir enre b y c fijémonos que la pendiene de la reca es ω eso es, negaiva. Por consiguiene la opción correca es la c * Si un puno maerial describe un M.A.S. recorriendo un diámero, en las posiciones en que inviere el senido de su movimieno, dirás que: a) SU VELOCIDAD ES 0 b) SU ACELERACIÓN ES 0 c) SU VELOCIDAD ES MÁXIMA d) SU ACELERACIÓN CAMBIA DE SENTIDO e) SU ACELERACIÓN ES MÁXIMA Las posiciones en la que inviere el senido de su movimieno son los punos M, y N de la figura. Esos punos corresponden a máximas separaciones de la posición cenral. Si la ecuación es la dada en 1.7..(I), con una fase inicial de π / radianes, al empezar a conar los iempos en M, en dicho puno x = R, la velocidad será 0, la aceleración a = Rω, aunque siempre iene el senido conrario al de su movimieno. Si la proyección se aleja del puno de equilibrio, esará dirigida hacia el cenro. Sólo será máximo su valor absoluo. Por odo ello son correcas sólo las propuesas a y e * Si e dicen que un puno maerial se mueve describiendo una rayecoria circular de forma que el módulo de su velocidad se conserva consane, asegurarás que su proyección sobre un diámero cualquiera de dicha circunferencia realizará un movimieno: a) UNIFORME b) UNIFORMEMENTE ACELERADO c) CON ACELERACIÓN QUE DEPENDE DE LA DISTANCIA AL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA d) CON ACELERACIÓN CUYO SENTIDO VECTORIAL ES CONTRARIO AL DE SU VELOCIDAD SALVO EN SUS EXTREMOS e) ARMÓNICO SIMPLE Por odo lo dicho aneriormene, serán válidas las propuesas c, d y e.

7 * Si esudias con deenimieno el movimieno armónico simple podrás asegurar que: a) LA ELONGACIÓN ES LA SEPARACIÓN INSTAN- TÁNEA A SU POSICIÓN DE ORIGEN O DE EQUILI- BRIO b) LA AMPLITUD ES LA SEPARACIÓN MÁXIMA DE SU POSICIÓN A LA DE ORIGEN O DE EQUILIBRIO c) LA FRECUENCIA DE DICHO MOVIMIENTO ES EL NÚMERO DE VECES POR SEGUNDO QUE RECORRE EL DIÁMETRO d) EL PERÍODO ES EL TIEMPO QUE TARDA EN RECO- RRER UN DIÁMETRO Las propuesas que se hacen corresponden a definiciones de magniudes en el M.A.S., sin embargo son erróneas las c y d, dado que no hacen referencia a la oscilación complea que corresponde a diámeros. Son correcas las a,b Si un puno maerial que sale de P según el esquema de la figura recorre la circunferencia de radio R con velocidad angular consane, y arda un iempo en llegar a P', su proyección sobre el diámero MN, endrá por ecuación de movimieno: a) x = R sen( ω + ϕ 0 ) b) x = R cos( ω + ϕ0 ) c) x = R cos( ω + ϕ 0 ) d) x = R sen( ω ) e) x = R sen( ω + ϕ 0 ) Según lo que se ha viso, la única solución correca será la a Un movimieno vibraorio armónico esá represenado por la ecuación x = A sen(π /T), luego su velocidad vendrá expresada por: a) π π v = Acos b) v = TAcos T T c) π v = Acos d) π π v = Acos T T T π e) v = Acos T Basa recordar la relación enre velocidad y elongación; π d Asen dx T v π π = = = A. cos d d T T la respuesa correca es la d

8 La velocidad con que se desplaza la proyección de un puno maerial que recorre la circunferencia con velocidad angular consane depende únicamene: a) DEL RADIO b) DEL ÁNGULO RECORRIDO Y DE LA AMPLITUD c) DEL TIEMPO, VELOCIDAD ANGULAR O PULSACIÓN Y DEL RADIO d) DE LA ELONGACIÓN, DEL RADIO Y DE LA VELOCIDAD ANGULAR e) DE LA ELONGACIÓN Y DE LA VELOCIDAD LINEAL Si parimos de la función x = R sen( ω + ϕ 0 ) (I), al derivarla, nos daría, v = R ω cos( ω + ϕ 0 ) (II). Si en (I), despejamos la función sinusoidal, elevándola al cuadrado y hacemos lo mismo en (II): x v sen ( ω + ϕ0 ) = y cos ( ω + ϕ ) 0 =, dado que su suma es R ( ωr) 1: x v x 1 = + y despejando v, v = ω R 1 (III), que corrobora la R ( ωr) R propuesa d. Las demás soluciones no conemplan la posibilidad de un ángulo de fase inicial, y en el caso específico e, no consideran la dependencia del radio * El conocimieno de lo que es un M.A.S e permiirá asegurar que: a) LA ELONGACIÓN DE DICHO MOVIMIENTO VENDRÁ DADA POR UNA ECUACIÓN EN FUNCIÓN DEL COSENO O DEL SENO DEL ÁNGULO RECORRIDO SEGÚN EL PUNTO DE ORIGEN DEL MOVIMIENTO O DEL DIÁMETRO O EJE QUE SE TOME COMO REFE- RENCIA b) SU AMPLITUD SERÁ EL RADIO O EL DIÁMETRO SEGÚN EL PUNTO DE REFERENCIA DE SALIDA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME DEL QUE EL M.A.S RESULTA PROYECCIÓN c) LA AMPLITUD SI LA PROYECCIÓN PARTE DEL CENTRO NUNCA SUPERARÁ EL RADIO d) LOS ÁNGULOS RECORRIDOS SIEMPRE SE MEDIRÁN EN RADIANES e) SU FRECUENCIA ES EL NÚMERO DE VECES QUE LA PROYECCIÓN RECORRE EL DIÁMETRO EN UN SE- GÚNDO En función de las definiciones y fórmulas aplicadas, se podrá asegurar que son correcas las propuesas a, c, y d

9 Si comparas el M.A.S que realiza un cuerpo suspendido de un resore con un hipoéico movimieno circular uniforme que en el mismo iempo podría realizar un puno P del mismo al como se muesra en el esquema, e darás cuena de que: a) CUANDO RECORRE UNA SEMICIRCUNFERENCIA LA VELOCIDAD DEL M.A.S CAMBIA DE SENTIDO b) LA FUERZA QUE EJERCE EL RESORTE TIENE EL MISMO SENTIDO QUE EL DESPLAZAMIENTO c) LA FASE INICIAL DEL MOVIMIENTO ES π / RADIA- NES d) EL DESPLAZAMIENTO Y LA VELOCIDAD ESTÁN DESFASADOS 90 e) LA AMPLITUD DEL MOVIMIENTO ES EL DIÁMETRO Si se pare del puno O como de equilibrio, se esira el resore y se dispone en un sisema de ejes, en el puno P, y=-r. Para describir esa siuación necesiaremos una ecuación horaria: π y = R cos + π (I). T Y así para =0, y = R cos ( + π ) = R De esa forma al recorrer una semicircunferencia, =T/, y π d R cos + π dy como T π π v = = = R. sen + π (II), d d T T al susiuir en (II), para =0, v=0 y para =T/, v=0, por lo ano no cambia de senido v, lo que invalida la solución a, al igual, por lo mencionado aneriormene que la c y la e. Sin embargo, al depender el desplazamieno y la velocidad de funciones rigonoméricas complemenarias, ambas magniudes esarán desfasadas 90. Confirmando la propuesa d. Así mismo en el puno P, y en la siuación de equilibrio, la fuerza que ejerce el resore, igual y conraria a la de deformación del mismo, iene senido conrario al desplazamieno que se efecuó sobre él para sacarlo de dicha siuación, invalidando la propuesa b * Los gráficos dados en los cuales se esudia la variación de una magniud z con el iempo, en un M.A.S que corresponde a la proyección de un puno que saliendo de la posición indicada recorre la circunferencia con un M.C.U. De ellos dirás que z corresponderá a: a) ELONGACIÓN EN 1 b) ACELERACIÓN EN 3 c) VELOCIDAD EN d) VELOCIDAD ANGULAR EN 4 Si el puno inicia su movimieno a parir de M, la función represenaiva de su movimieno, dado que x=r, para =0, será x = R cosω (I), ( ω ) v = R ω sen (II), y a = ω x (III). Por lo ano, en la 1, z corresponde a una elongación. En, z será v, en 3, z será a, y en 4, z represenará la velocidad angular que se maniene consane, siendo correcas las cuaro propuesas.

10 Si esiras un muelle que maniene un carrio sobre una mesa sin rozamieno y llegado a una deerminada posición, lo suelas al como muesra el esquema de la figura, el vecor velocidad con que se mueve dicho cuerpo variará con la posición x y con el iempo. De odos los gráficos dados, el que mejor represena dicha variación será el: a) a b) b c) c d) d e) NINGUNO DE LOS DADOS Si el iempo lo comenzaras a conar desde que suelas al objeo, que para =0,x=A, la ecuación de su movimieno podrá ser = π x Asen + π (I), y T por lo ano: π π d A sen + dx T π π π v = = = A. cos + (II). d d T T Las diferenes posiciones indicadas corresponden a inervalos de iempo =0, T/4, T/, 3T/4 y T, que susiuidos en la ecuación (II),nos da valores de v, respecivos de 0, A π -0, A π que corresponden a la propuesa T T a Dada la ecuación del movimieno que realiza una masa colgada de un resore previo impulso inicial, y en el SI: π x = cos ω + la gráfica que mejor corresponde a la descripción de dicho movimieno es de las dadas es la: a) a b) b c) c d) d e) NINGUNA DE LAS DADAS Basaría con comprobar los valores que oma x, en la ecuación dada, que π π oma la forma de x = cos + para =0, T/4, T/ y 3T/4. Así T vemos que en esos casos y sucesivamene x=0, -, 0 y, siendo la gráfica a, la que así lo represena.

11 1.7.3.* Dada la ecuación de un M.A.S, en el SI, π x = 0, cos π + podrás decir que: 4 a) LA AMPLITUD DE DICHO MOVIMIENTO ES 0, b) EL PERÍODO SERA DE 0,5 SEGUNDOS c) EL ÁNGULO DE FASE ES DE 45 d) LA ELONGACIÓN SERA 0, UN CUARTO DE SEGUNDO DESPUÉS DE COMENZAR EL MOVIMIENTO e) SU VELOCIDAD MÁXIMA VALDRÍA 5 π m/s Comparando dicha ecuación con la correspondiene π y = Acos + ϕ (I), T π π A=0,, π = y T=s y el ángulo de fase será ϕ = = 45 T 4 rad y para π π que y=0, π + = o sea 1 = s 4 4 π Derivando la ecuación dada, v = 0,π sen π + que será máxima si 4 π 3π π 1 π + = y valdrá v = 0,π = ms Por lo ano, sólo serán correcas las propuesas a,c,d y e * Si e dicen que un puno maerial de kg realiza un M.A.S de 0,1m de ampliud y que en un puno cuya elongación es de 0,05m su velocidad es de 4,35cm/s, podrás asegurar que: 1 a) LA FRECUENCIA ES DE Hz 4π b) SU PULSACIÓN ES DE 0,5 rad/s c) SU ECUACIÓN HORARIA ES x = 0,1cos 4π d) SU VELOCIDAD MÁXIMA ES DE 0,1 m/s e) SU MÁXIMA ACELERACIÓN ES DE 0,05 m/s Para =0, la posición vendría dada por la función coseno y un ángulo de fase 0. Así, para la represenar dicho movimieno, π x = Acos T siendo A=0,1m. Dada la ecuación x v = ω A 1, susiuyendo A 0,05 0,0435 = 0,1ω 1 = 0, 087ω, de lo que π 1 ω = = 0,5 rads que 0,1 T confirma la solución b, así como la a, ya que 0,5 = πν ; 1 ν = Hz 4π Por lo ano, la ecuación horaria será: x = 0,1cos que invalida la 0,1 propuesa c. Derivándola, v = sen y v.máxima =0,05m/s, descarando la d. 0,1 Como a=dv/d, a = sen que será máxima para sen = 1 4 a=0,05 m/s, confirmando la propuesa e.

12 Si en el esquema de la figura, aplicando la fuerza F desplazas el carrio unido al resore de la posición 1 a la, y luego lo suelas sobre la mesa sin rozamieno, dirás que: a) EL BLOQUE DESCRIBIRÁ UN MOVIMIENTO PERIÓ- DICO b) LA AMPLITUD DE DICHO MOVIMIENTO ES A c) TENDRÁ EL MÍNIMO DE VELOCIDAD EN LA POSI- CIÓN d) AL PASAR POR 1, TENDRÁ SU MÁXIMO DE VELOCI- DAD e) PARARÁ AL VOLVER A PASAR POR 1 Las soluciones de esa cuesión esán aclaradas en el En y al volver a dicha posición v=0, siendo máxima en 1, cuando va de a 1, y cuando vuelve de 1 a. Las propuesas correcas será la a, b y d * Si el bloque de la figura que esá sobre una mesa sin rozamieno, unido a un resore se lleva de la posición a la 3 y se suela, realiza un movimieno armónico simple, cuyas caracerísicas vienen dadas por los gráficos A, B y C de la figura. De ellos podrás decir que: a) EL A REPRESENTA LA VARIACIÓN DE SU VELOCI- DAD CON EL TIEMPO b) EL B REPRESENTA LA VARIACIÓN DE SU POSICIÓN CON EL TIEMPO c) EL C REPRESENTA LA VARIACIÓN DE SU ACELERA- CIÓN CON EL TIEMPO d) EL B CORRESPONDE A LA VARIACIÓN DE SU VELOCIDAD CON EL TIEMPO e) EL A CORRESPONDE A LA VARIACIÓN DE SU POSICIÓN CON EL TIEMPO Las soluciones a esa cuesión corresponden a un razonamieno igual al desarrollado en la Basa con represenar la ecuación del movimieno, deerminando después la de la velocidad y aceleración, para los diferenes valores de. Así A será x/,b v/ y C, a/, siendo correcas la c,d y e.

13 Si el cuerpo A oscila con un M.A.S, sin rozamieno con el suelo, una vez que se desplaza hacia la derecha una disancia x, al como se observa en la figura, la variación de su velocidad con su posición x sobre el suelo vendrá dada por la gráfica: a) a b) b c) c d) d e) NINGUNA DE LAS DADAS Empleando la ecuación (III), aplicada a ese caso x x v v = ω A 1,que al eliminar la raíz, nos da 1 = +,que A A ( ωa) corresponde a la ecuación de una elipse, que no viene dada en ninguna de las cuaro gráficas, por lo que la solución correca sería la e * Un resore de 8cm se alarga hasa 1 cm cuando se le cuelga una masa de 00g. Si después ejerces un ligero irón hacia abajo sobre dicha masa, hasa que el resore alcance una longiud de 14 cm, y la suelas, dirás que: a) LA MASA EFECTÚA UN M.U.A b) LA MASA EFECTÚA UN MOVIMIENTO PERIÓDICO c) LA MASA EFECTÚA UN M.A.S DE AMPLITUD cm d) EL TIEMPO QUE TARDA EN SUBIR Y VOLVER A BAJAR ES DE CASI 0,4s. Si la posición de equilibrio se produce con una longiud del resore de 1cm y lo esiras anes de solarlo hasa 14cm lo separas de dicha posición cm que corresponderá a la ampliud de su movimieno armónico simple, que confirma la propuesa c. La consane elásica del resore, dada por la ley de Hooke, k=f/x, siendo x el aumeno de longiud que experimena por acción del campo graviaorio sobre la masa de 00g valdrá: k = 0,.10/(0,1-0,08)=50N/m. Si igualas la aceleración producida por la fuerza que ejerce el resore= -kx/m, con la del M.A.S, a = ω x y dado que ω = π, despejando T m 0, T = π Susiuyendo los valores, daría: T = π = 0, 4s que k 50 hace válida la propuesa d.

14 1.7.9.* Si un cuerpo de 1 kg que oscila de un muelle de forma que su movimieno sea regisrado por un punero pegado a él, en una cina de papel que se mueve horizonalmene con una velocidad de 0,1m/s al como indica la figura, dirás que: a) LA FRECUENCIA DE SU OSCILACIÓN ES DE 0, vuelas/s b) LA LONGITUD DE ONDA REGISTRADA ES DE 0,75m c) LA AMPLITUD MÁXIMA DEL MOVIMIENTO ES DE 0,1m d) LA ECUACIÓN DEL M.A.S DESARROLLADA ES x = 0,1 sen0,4π Como se aprecia en el dibujo, el exremo del punero describe dos ondas, con longiud de 1m, lo que implica que una onda iene por longiud 50cm. Como la velocidad =0,1m/s =longiud de onda por la frecuencia de oscilación, ésa valdrá: 0,1/0,5=0, vuelas/s, y por lo ano la pulsación 1 ω = 0,π.0, = 0,4π rad. s. Según se puede observar en el dibujo, la máxima separación de la posición de equilibrio es 0,/=0,1m, y de esa forma la ecuación del M.A.S. será x = 0,1 sen0,4π Por odo ello, sólo serán correcas las propuesas a, c y d Cuando se combinan movimienos armónicos simples hay que ener muy en cuena la diferencia de fase enre ellos, ampliudes y frecuencias, y en el caso de que las dos primeras magniudes sean iguales, como en el caso de y 1 =3 sen e y =3 sen, la función y, que asocia a las dos iene una: a) AMPLITUD QUE DEPENDE DEL TIEMPO b) AMPLITUD CONSTANTE IGUAL A 6 c) ELONGACIÓN MÁXIMA PARA =0 d) FRECUENCIA IGUAL A 3π e) AMPLITUD IGUAL A 3 Empleando el principio de superposición de forma que y=y 1 +y =3(sen+sen). Si recordamos que: sen(a)+sen(b)=sen[(a+b)/]cos[(a-b)/] aplicándolo a ese caso, y=6cos(/)sen(3/), de lo que: A=6cos(/) (I) e y=asen3/(ii), que comparada con la ecuación de un M.A.S. 3 3π = ; 4π T = por lo que T 3 la frecuencia, su inversa, ν 3 4π 4 = Hz. La ampliud máxima, según (I), para =0, A=6, pero para =0, la función se anula (y=0), lo cual invalida la propuesa c. De esa forma sólo es correca la propuesa a.

15 * Si dos movimienos armónicos simples esán desfasados enre si 90, pero ienen igual frecuencia, su combinación produce una serie de figuras muy ineresanes denominadas de Lissajous, maemáico francés que las invesigó en Así, si se raa de obener el movimieno resulane de π x = 3 sen e y = 3sen +, podrías decir que: a) EL VECTOR DE POSICIÓN RESULTANTE SERÍA r r r = 3 sen i + 3cos j b) LA AMPLITUD RESULTANTE SERÍA SIEMPRE 3 c) LA ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA ES UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO 3 d) LA FRECUENCIA DEL MOVIMIENTO SERÍA CONS- TANTE E IGUAL A 1/π Considerando que y, esá desfasada π radianes, respeco a x, su ecuación horaria se puede represenar por la función complemenaria, así y = 3cos. Como ienen la misma ampliud y frecuencia, al hacer un diagrama vecorial circular, corresponden a movimienos armónicos perpendiculares. De esa forma si represenamos conjunamene el movimieno sobre el diámero MM', verical, pueso que nos dan funciones x, e y. Para =0 x=0, y = 3, y por lo ano el vecor de posición referido al sisema de coordenadas r r r XY, será = 3 sen i + 3cos j La ecuación de la rayecoria, se obendría a parir de X=3sen, Y=3cos; cos =Y /9, sen =X /9, por lo ano X +Y =3, que es una circunferencia de radio= La frecuencia se deermina por comparación, así: frecuencia ν = = s π π Dado que la rayecoria es una circunferencia de radio = 3, que corresponde a la ampliud, ésa será consane. Serán correcas las soluciones a, b, c y d * La resulane de los movimienos armónicos dados por π las ecuaciones x = 3 sen e y = 4sen + iene: r r r a) UN VECTOR DE POSICIÓN = 3 sen i + 4 cos j b) UNA ECUACIÓN DE TRAYECTORIA QUE ES UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO IGUAL A 5 c) UNA ECUACIÓN DE TRAYECTORIA QUE ES UNA ELIPSE DE SEMIEJES 3 Y 4 d) UNA AMPLITUD RESULTANTE CONSTANTE IGUAL A 5 e) UN PERÍODO IGUAL A π SEGUNDOS Si consideramos el movimieno como en el caso anerior, r r r = 3 sen i + 4cos j A parir de las ecuaciones paraméricas correspondienes X=3sen, Y=4cos, pueso que el desfase es de 90.Despejando, elevando al cuadrado y sumando esos (X /3 )+ (Y /4 )=1, que es una elipse de semiejes 3,y 4. La ampliud resulane se obiene a ravés del módulo de la suma vecorial de 4i+3j. Así A=5. El período se puede calcular por comparación T = π s.son correcas, por lo ano las propuesas a, c, d y e. 3π = ; T

16 La ecuación de la rayecoria resulane de la combinación de dos movimienos armónicos simples perpendiculares, de igual frecuencia y ampliud, desfasados en 180, sería una: a) CIRCUNFERENCIA DE RADIO IGUAL A LA AMPLITUD b) ELIPSE c) RECTA BISECTRIZ DE LOS EJES XY d) RECTA DE ECUACIÓN y = -x e) RECTA QUE CONTENDRIA A UN DIÁMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO IGUAL A LA AMPLI- TUD Si x = A sen( ) (I) y x = Asen( +π ); por rigonomería, desarrollando sen(a+b), x = A[ sen. 1+ cos. 0] = Asen (II). Si componemos la ecuación de la rayecoria, susiuyendo sen=x/a, en (II), y = -x, lo que demuesra la solución d, que equivale igualmene a la e, como se observa en el dibujo.

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