3 Movimiento vibratorio armónico

Transcripción

1 3 Movimiento vibratorio armónico Actividades del interior de la unidad. Una partícula que oscila armónicamente inicia su movimiento en un extremo de su trayectoria y tarda 0, s en ir al centro de esta, que se encuentra a 0 cm de distancia. Calcula: a) El período y la frecuencia de las oscilaciones. b) Dónde se encuentra la partícula a los segundos de iniciado el movimiento. a) Una oscilación completa consiste en ir desde un extremo al otro pasando por la posición de equilibrio y volver al de partida. Por tanto, el tiempo empleado en ir desde el extremo a la posición de equilibrio corresponde a un cuarto de período: La frecuencia es la inversa del período: = 0, s 8 T = 0,8 s f = = =,5 Hz T 0,8 s b) A los 0,8 segundos (un período), el cuerpo vuelve a estar en la posición inicial, y a los,6 s (dos períodos), vuelve a ella otra vez; así, 0,4 segundos más tarde, que en total suman segundos, se encuentra en el extremo opuesto al de partida.. Calcula la constante elástica de un muelle, sujeto al techo y de longitud 30 cm, si al colgar de él un cuerpo de 50 g de masa, su nueva longitud es de 37 cm. La deformación que experimenta el muelle es: x 0 = l 0 L 0 = = 7 cm = 0,07 m El cuerpo queda en equilibrio cuando la fuerza elástica contrarresta el peso del cuerpo: m g 0,5 9,8 F e = P 8 k x = m g 8 k = = = N/m x 0,07 3. Si tiramos del cuerpo de la actividad anterior hacia abajo hasta que el muelle mida 40 cm y lo soltamos, calcula las fuerzas que actúan sobre el muelle y comprueba que la resultante es la fuerza elástica si medimos la deformación del muelle desde la posición de equilibrio. Cuando el muelle mide 40 cm, su deformación vale: x4 = l L 0 = 40 cm 30 cm = 0 cm = 0, m Entonces, la fuerza elástica que ejerce el muelle en esa posición vale: El peso del cuerpo vale: F 4 e = k x4 = 0, =, N P = m g = 0,5 9,8 =,47 N Por tanto, la fuerza neta sobre el cuerpo vale: T 4 F 4 e P =,,47 = 0,63 N Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 7

2 Para comprobar que esta fuerza resultante coincide con la fuerza elástica que se obtiene considerando la posición de equilibrio de la actividad anterior, calculamos el valor de la deformación del muelle medida desde dicha posición de equilibrio: x = l l 0 = 40 cm 37 cm = 3 cm = 0,03 m Entonces, la fuerza elástica desde esta nueva posición de equilibrio es: F e = k x = 0,03 = 0,63 N Que coincide con la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. 4. Cuál será la amplitud de las oscilaciones de un péndulo simple de 80 cm de longitud si el máximo ángulo que se separa el hilo de la vertical es 5? Qué fuerzas actúan sobre el cuerpo en esa situación si su masa es de 00 g? En la figura se representa el péndulo simple con las fuerzas que actúan sobre él y las magnitudes que debemos considerar: Si el hilo se separa de la vertical 5º, su amplitud será: x = l sen a = 0,8 sen 5º = 0,8 0,087 = 0,07 m Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la tensión del hilo, T, y el peso del cuerpo, P. El peso vale: P = m g = 0, 9,8 = 0,98 N La tensión es contrarrestada por la componente P y del peso; luego: T = P y = m g cos a = 0, 9,8 cos 5 = 0,976 N La fuerza resultante es la componente en el eje X del peso: P x = m g sen a = 0, 9,8 sen 5 = 0,085 N 5. Si un cuerpo oscila armónicamente realizando 0 oscilaciones cada 5 segundos, calcula la frecuencia, el período y la pulsación de este movimiento. Si realiza 0 oscilaciones cada 5 segundos, la frecuencia es: 0 oscilaciones oscilaciones f = = 4 = 4 Hz 5 segundos segundo El período y la pulsación del movimiento valen: T = = = 0,5 s ; u = π f = π 4 = 8 π = 5,33 rad/s f 4 6. Si en un m.a.s. se duplica la amplitud, indica cómo cambian las magnitudes siguientes: a) La velocidad máxima y la aceleración máxima. b) La frecuencia y el período. a) La velocidad máxima y la aceleración máxima se duplican, ya que ambas magnitudes son directamente proporcionales a la amplitud: v máx = A u ; a máx = A u Cuando la amplitud se duplica, A4 = A, tenemos: v4 máx = A4 u = A u = v máx l α T ; a4 máx = A4 u = A u = a máx b) La frecuencia y, por tanto, el período, no dependen de la amplitud, ya que son magnitudes características del movimiento. Por tanto, permanecen inalteradas. x P x P α P y 7 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

3 7. Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple de amplitud 8 cm y frecuencia 0 Hz. Considerando nula la fase inicial, escribe las ecuaciones de la elongación, de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo. De acuerdo con el enunciado: A = 0,08 m ; j 0 = 0 ; u = π f = π 0 = 40 π rad/s Sustituyendo estos valores en la ecuación general del movimiento ondulatorio, x = A sen (u t + j 0 ), tenemos que la ecuación de la elongación es: x = 0,08 sen (40 π t) m La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo: Por tanto, la ecuación de la velocidad es: dx d v = = [0,08 sen (40 π t)] v = 0,08 40 π cos (40 π t) = 0,05 cos (40 π t) m/s La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo: dv d a = = [0,05 cos (40 π t)] Entonces, la ecuación de la aceleración es: a = 0,05 40 π sen (40 π t) = 63 sen (40 π t) m/s 8. La ecuación de un m.a.s. es x = 0, sen (0,4 π t), en el S.I. Calcula: a) La amplitud y el período del movimiento. b) La velocidad y la aceleración en función del tiempo. c) Dibuja las gráficas x-t, v-t y a-t de este movimiento. a) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del m.a.s., x = A sen (u t + j 0 ), tenemos: A = 0, m ; u = π f = 0,4 π 8 f = 0, Hz ; T = = = 5 s f 0, Por tanto, la amplitud vale 0 cm, y el período, 5 segundos. b) La velocidad es la derivada de la elongación, x, respecto al tiempo: dx d v = = [0, sen (0,4 π t)] v = 0, 0,4 π cos (0,4 π t) = 0,6 cos (0,4 π t) m/s Y la aceleración, la derivada de la velocidad respecto al tiempo: dv d a = = [0,6 cos (0,4 π t)] a = 0,6 0,4 π sen (0,4 π t) = 0,58 sen (0,4 π t) m/s c) Las gráficas x-t, v-t y a-t de este movimiento son: x (m) v (m/s) a (m/s ) + 0, 0, + 0,6 + 0, t (s) 5 0 t (s) 5 0t (s) 0,6 0,58 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 73

4 9. Un cuerpo que realiza un m.a.s. tarda s en hacer 0 oscilaciones completas. Si en el instante inicial se encuentra en reposo en el punto x = + 0, m, calcula la ecuación de su movimiento. Cuál será su velocidad máxima? Si el cuerpo emplea segundos en hacer 0 oscilaciones, realizará 5 oscilaciones cada segundo; es decir, su frecuencia es f = 5 Hz. Entonces, su frecuencia angular es: u = π f = π 5 = 0 π rad/s Como en el instante inicial la velocidad es nula, v 0 = 0, el cuerpo debe estar en uno de los extremos del movimiento, y como la elongación es positiva, esta coincide con la amplitud: A = 0, m. La ecuación del movimiento es del tipo x = A cos (u t): x = 0, cos (0 π t) La ecuación de su velocidad es: dx v = = 0, 0 π sen (0 π t) = π sen (0 π t) dt Por tanto, la velocidad máxima, que se dará cuando sen (0 π t) =, es: v máx = π = 6,8 m/s También podíamos resolver el problema utilizando la ecuación general en función del seno: x = A sen (u t + j 0 ). La velocidad sería, entonces: v = A u cos (u t + j 0 ). Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, para t = 0, x 0 = 0, m y v 0 = 0, resulta: x 0 = 0, = 0, sen j 0 π 8 j v 0 = 0 = 0, 0 π cos j 0 = rad 0 Las ecuaciones del movimiento y de la velocidad en función del seno son: π π Y la velocidad máxima es igual a la obtenida por el procedimiento anterior: x = 0, sen ( 0 π t + ) m ; v = π cos ( 0 π t + ) m/s v máx = π = 6,8 m/s 0. La frecuencia de un m.a.s. es de 0,5 Hz. Si en el instante inicial se encuentra en la posición de equilibrio y su velocidad es v 0 = + cm/s, calcula la amplitud de las oscilaciones y determina la ecuación de su movimiento. Si la frecuencia temporal es 0,5 Hz, la pulsación o frecuencia angular es: u = π f = π 0,5 = π rad/s Las ecuaciones generales de la elongación, x, y de la velocidad, v, son: x = A sen (u t + j 0 ) ; v = A u cos (u t + j 0 ) Sustituyendo las condiciones iniciales, x 0 = x(0) = 0 y v 0 = v(0) = 0, m/s, resulta: x 0 = 0 = A sen j 0 8 sen j 0 = 0 8 j 0 = 0 + n π rad v 0 = 0, = A u cos j 0 La solución válida para j 0 debe ser, por tanto, j 0 = 0, pues cos 0 = y se cumple que la velocidad inicial es positiva. El valor de la amplitud, A, es: 0, 0, = A π cos 0 8 A = = 0,07 m π La ecuación del movimiento, en unidades del S.I., es: x = 0,07 sen (π t) 74 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

5 . Determina la ecuación del m.a.s. de un cuerpo que tarda s en efectuar media oscilación, sabiendo que sus condiciones iniciales son x 0 = 0, m y v 0 = 0,54 m/s. Si el cuerpo tarda s en realizar media oscilación, en una oscilación completa tardará s; por tanto, su período es s, y su frecuencia vale 0,5 Hz. Además: u = π f = π 0,5 = π rad/s Sustituyendo las condiciones iniciales, x 0 = x (0) = 0, m y v 0 = v (0) = 0,54 m/s, en las ecuaciones generales de la elongación y de la velocidad, tenemos: x = A sen (u t + j 0 ) 8 x 0 = 0, = A sen j 0 [] v = A u cos (u t + j 0 ) 8 v 0 = 0,54 = A π cos j 0 8 A cos j 0 = 0,7 [] Dividiendo miembro a miembro la ecuación [] entre la [], tenemos: A sen j 0 0, 0, π = 8 tg j 0 = 8 j 0 = 30 = rad A cos j 0 0,7 0,7 6 Sustituyendo en la ecuación [], se obtiene el valor de la amplitud: 0, 0, 0, A = = = = 0, m sen j 0 sen π 0,5 sen sen 6 Finalmente, la ecuación del movimiento resulta: x = 0, sen ( ) π t + π 6. Calcula la longitud de un péndulo simple para que su frecuencia sea el doble que la de un cuerpo de masa 0,5 kg unido a un muelle de constante recuperadora k = 0 N/m. Dato: g = 9,8 m/s. La relación entre la longitud de un péndulo y su frecuencia es: u péndulo = 8 f péndulo = g g l π l En el caso del muelle, la frecuencia está relacionada con su constante recuperadora y con la masa unida a él: u muelle = 8 f muelle = k k m π m Si la frecuencia del péndulo debe ser el doble de la del muelle, se obtiene: f péndulo = f muelle 8 = 8 = g k g π l π m l k m De donde, despejando, obtenemos la longitud del péndulo: g l k g m 9,8 0,5 = 4 8 l = = = 0,06 m m 4 k 4 0 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 75

6 3. Calcula el período de las oscilaciones que realiza un cuerpo de 0,5 kg colgado de un resorte cuya constante elástica vale k = 50 N/m, al desplazarlo de la posición de equilibrio. Cuál será la velocidad máxima del cuerpo si la amplitud de las oscilaciones es de 0 cm? De la relación entre la constante elástica del muelle y la masa del cuerpo obtenemos la frecuencia angular del movimiento de la masa unida al muelle: k = m u 8 u = = = 00 = 0 rad/s k 50 m 0,5 Y el período es, por tanto: π π π u = 8 T = = = 0,68 s T u 0 La velocidad máxima, si la amplitud de las oscilaciones es de 0 cm, es: v máx = A u 8 v máx = 0, 0 = m/s 4. Qué masa hemos de suspender de un muelle de constante elástica k = 43 N/m para que el sistema oscile con una frecuencia de 3 Hz? Y para que sea de 6 Hz? La pulsación del movimiento, cuando el sistema oscila con una frecuencia de 3 Hz, es: u = π f = π 3 = 6 π = 8,85 rad/s De la relación entre la masa y la constante recuperadora del muelle obtenemos el valor de la masa que hemos de colgar: k 43 k = m u 8 m = = = 0,4 kg 8,85 Para que la frecuencia se duplique, f 4 = 6 Hz, la masa, que es inversamente proporcional al cuadrado de la frecuencia, debe reducirse a la cuarta parte: m4 = 0, kg. Podemos obtener este resultado si procedemos como en el caso anterior: u4 = π f 4 = π 6 = π = 37,7 rad/s k 43 k = m4 u4 8 m4 = = = 0, kg u4 37,7 5. Calcula la constante elástica de un muelle para que un bloque de,5 kg unido a él realice 5 oscilaciones en s. Cuál será la fuerza máxima sobre el bloque cuando la amplitud de las oscilaciones sea de 8 cm? La frecuencia del movimiento oscilatorio del bloque unido al muelle es: 5 oscilaciones oscilaciones f = =,5 =,5 Hz segundos segundo Por tanto, la frecuencia angular es: u = π f = π,5 = 5 π = 5,7 rad/s Entonces, la constante elástica del muelle es: k = m u =,5 5,7 = 369,7 N/m La fuerza que actúa sobre el cuerpo es F = k x, y es máxima cuando x = A. Para A = 8 cm, el valor de la fuerza máxima resulta: u F máx = k A = 369,7 0,08 = 9,58 N 76 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

7 6. Calcula la longitud de un péndulo simple que tarda 3 segundos en efectuar una oscilación en un lugar donde la aceleración de la gravedad vale g = 9,8 m/s. Cuál será el período si reducimos su longitud a la mitad? Teniendo en cuenta que la relación entre la longitud y el período de un péndulo es: T = π l g Al despejar la longitud y sustituir los datos de que disponemos, se obtiene: g T 9,8 3 l = = =,4 m 4 π 4 π Si reducimos la longitud a la mitad, el período disminuye en un factor: l 4 T T 4 = π = π = π = l/ l g g g Por tanto, el nuevo período será: T 3 T 4 = = =, s Podemos comprobar este resultado si sustituimos el valor de la longitud en la expresión del período: l,4 m l 4 l4 = = =, m 8 T 4 = π = π =, s, g 9,8 7. Un cuerpo de kg de masa realiza un m.a.s. según la ecuación: x = 0,4 sen (π t) en unidades del S.I. Calcula: a) La amplitud y el período. b) La energía mecánica. c) Las energías cinética y potencial para t = 0 s, t = 0,5 s, t = s, t =,5 s y t = s. a) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento, x = A sen (u t), tenemos que: A = 0,4 m ; u = π rad/s El período lo obtenemos a partir de la frecuencia angular: π u = = π 8 T = s T b) La energía mecánica del cuerpo es: = k A = m u A = π 0,4 =,58 J c) Como la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, tenemos que: dx d v = = [0,4 sen (π t)] = 0,4 π cos (π t) Teniendo en cuenta que k = m u = π, calculamos los valores de la elongación y de la velocidad para cada instante y, con las siguientes expresiones, los valores de las energías potencial y cinética del cuerpo en cada caso: = k x = π x = π x ; E c = m v = v = v Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 77

8 Los resultados se resumen en la siguiente tabla: t (s) j sen j cos j x (m) v (m/s) (J) E c (J) E (J) ,4 π 0 (0,4 π),58 0,5 π/ 0 0,4 0 π (0,4) 0,58 π 0 0 0,4 π 0 ( 0,4 π),58,5 3 π/s 0 0,4 0 π ( 0,4) 0,58 π 0 0 0,4 π 0 (0,4 π),58 Puedes comprobar que, en cualquier instante, la suma de ambas energías es la energía mecánica del cuerpo. Podíamos haber utilizado esta condición para calcular la energía cinética como la diferencia entre la energía total, E, y la energía potencial,, sin necesidad de calcular la expresión de la velocidad: E c = E = k A k x 8. Un bloque de 400 g, unido a un muelle de constante elástica k = 80 N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm. Calcula, cuando el bloque está a cm de uno de los extremos: a) La fuerza sobre el bloque. b) La energía cinética y la velocidad del bloque. a) Si el bloque está a cm de uno de los extremos y su amplitud vale 5 cm, entonces su elongación en ese instante es de 3 cm, es decir, x = ±3 cm, pues puede estar tanto a la derecha como a la izquierda de la posición de equilibrio. La fuerza sobre el bloque vale: F = k x = 80 (±0,03) = ±,4 N Esta fuerza será positiva, dirigida hacia la derecha, si el cuerpo se encuentra a la izquierda de la posición de equilibrio, y será negativa cuando el cuerpo esté a la derecha del origen, pero el valor de la fuerza o módulo será el mismo en ambos casos. b) Calculamos previamente la energía mecánica y la energía potencial del cuerpo en esa posición: = k A = 80 0,05 = 0, J = k x = 80 0,03 = 0,036 J Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial, deducimos el valor de la primera: = E c + 8 E c = = 0, 0,036 = 0,064 J Si la masa del cuerpo es de 0,4 kg, entonces, despejando en la expresión de la energía cinética, su velocidad resulta: E E c = m v 8 v = c 0,064 = = ±0,57 m/s m 0,4 En el resultado obtenido, el signo hace referencia a los dos posibles sentidos del movimiento. 78 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

9 9. Un cuerpo de 0,5 kg efectúa un movimiento armónico simple con una amplitud de cm y un período de 0, s. Calcula: a) La energía potencial máxima del cuerpo. b) Su velocidad máxima. c) La fuerza sobre el cuerpo cuando su velocidad es máxima. La energía mecánica de un oscilador armónico puede obtenerse a partir de la expresión: = k A donde la constante k la calculamos como: m 4 π k = m u = m 4 π f = 0,5 4 π 8 k = = 493,5 N/m T 0, Por tanto, la energía mecánica del cuerpo es: = k A = 493,5 0, = 3,55 J a) La energía potencial es máxima cuando la energía cinética es nula, y como la energía mecánica en cualquier instante es la suma de las energías cinética y potencial, = E c +, entonces la energía potencial máxima coincide con la energía total: = + E c 8. máx = = 3,55 J b) Por la misma razón, la energía cinética máxima coincide con la energía mecánica, y corresponde a la situación en que el cuerpo tiene su velocidad máxima: E c. máx = m v = E = 3,55 J 8 v E = c. máx 3,55 = = 3,77 m/s máx m máx m 0,5 c) Si la velocidad es máxima, su energía cinética es máxima; entonces, su energía potencial es nula y, por tanto, la elongación es nula y el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio. La fuerza resultante sobre el cuerpo en ese punto es nula. 0. La ecuación del m.a.s. realizado por un cuerpo de 00 g es: x = 0, cos (0 t) en unidades del S.I. Calcula: a) La energía mecánica del cuerpo. b) Las energías cinética y potencial en el instante inicial. c) Las energías cinética y potencial para x = 0 m, x = 0, m y x = 0, m. a) La comparación de la ecuación del movimiento con la ecuación general en función del coseno, x = A cos (u t), nos permite asegurar que la amplitud y la pulsación son: A = 0, m ; u =0 rad/s Y como la masa del cuerpo es de 0, kg, la constante recuperadora para este oscilador armónico es: k = m u = 0, 0 = 0 N/m Por tanto, la energía mecánica del cuerpo es: = k A = 0 0, = 0,4 J Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 79

10 b) La elongación del cuerpo en el instante inicial coincide con la amplitud: x(0) = 0, cos (0 0) = 0, m El cuerpo se encuentra, por tanto, en el extremo derecho de su trayectoria y su velocidad es nula. Por tanto, su energía cinética es nula y su energía potencial coincide con la total: E c = 0 ; = = 0,4 J c) Para resolver este apartado, calculamos el valor de la energía potencial del cuerpo para cada una de las posiciones indicadas, y obtenemos la energía cinética como la diferencia entre la energía mecánica y la energía potencial. Los resultados que se obtienen se resumen en la siguiente tabla: x (m) = k x = 0 x (J) = = 0,4 (J) 0 0 0,4 0, 0, 0,3 0, 0,4 0. La energía mecánica de un oscilador armónico es 4 J, y la fuerza máxima, 0 N. Determina la amplitud y el período de las oscilaciones si la masa es de 0,5 kg. La energía mecánica de un oscilador armónico es: E = k A = 4 J 8 k A = 8 [] La fuerza máxima sobre un oscilador armónico actúa cuando el cuerpo se encuentra en uno de los extremos del movimiento oscilatorio, es decir, cuando la elongación coincide con la amplitud del movimiento: F = k A = 0 N [] Dividiendo miembro a miembro las expresiones [] y [], obtenemos la amplitud: k A 8 8 = 8 A = = 0,4 m k A 0 0 Para poder calcular el período, sustituimos en [] para obtener la constante k: k 0,4 = 0 8 k = 50 N/m Si la masa del cuerpo vale 0,5 kg, entonces la pulsación es: 50 k = m u 8 50 = 0,5 u 8 u = = 00 8 u = 0 rad/s 0,5 El período resulta, finalmente: π π π u = 8 T = = = 0,63 s T u 0 80 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

11 Problemas de Selectividad. En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a m del suelo. Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0, Hz. Cuál es la altura, h, de la nave? Propuesto en junio de 007. Para calcular la altura, h, de la nave, en primer lugar calculamos la longitud del cable del que cuelga la lámpara, l, a partir de la siguiente expresión: m h g 9,8 T = = π 8 l = = = 4,8 m l f g 4 π f 4 π 0, Como la amplitud de las oscilaciones es muy pequeña, podemos realizar la siguiente aproximación: a l Por tanto, de acuerdo con la figura de la derecha, la altura de la nave será: h = a + l + 8 h = 4,8 + = 6,8 m m l a h. Una partícula de masa m está animada de un m.a.s. de amplitud A y frecuencia f. Deduce las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula en función del tiempo, y de su energía mecánica. Propuesto en junio de 007. La ecuación de la posición que corresponde a una partícula animada de un movimiento armónico simple es: Y la de la velocidad: x = A sen (u t + j 0 ) = A sen ( π f t + j 0 ) [] dx d v = = [A sen ( π f t + j 0 )] = π A f cos ( π f t + j 0 ) [] La expresión general que permite calcular la energía potencial de una partícula cuando está separada una distancia x de su posición de equilibrio es: = k x 8 = m u x = m 4 π f x Al sustituir la expresión [] en la anterior, resulta: = m 4 π f A sen ( π f t + j 0 ) En cuanto a la energía cinética, teniendo en cuenta la expresión [], resulta: E c = m v 8 E c = m 4 π A f cos ( π f t + j 0 ) La expresión de la energía mecánica se puede obtener sumando las obtenidas para las energías potencial y cinética: E = + E c Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 8