Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Matlab: Sistemas de ecuaciones diferenciales

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1 Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Malab: Sisemas de ecuaciones diferenciales de abril de 9. Un circuio elécrico RLC esá modelado por la ecuación (oscilador armónico) L d () d + R d() d + () C = E(), () donde R es la resisencia, L es la inducancia de la bobina, C la capacidad del condensador que almacena una carga () y E() una fuene de ensión que produce una inensidad (). a) Probar que la ecuación anerior se puede escribir como { () = (), () = F () b() a (), () donde a y b son consanes. b) Supongamos que la resisencia y la ensión son nulas E() = R = (oscilador armónico no amoriguado). Hallar la solución general y el periodo de las soluciones. Para a =,, dibujar las rayecorias y la órbias correspondienes a las condiciones iniciales (() =, () = ) y (() =, () = ). Cómo varían la ampliud y la frecuencia de las soluciones? ué ipo de configuración presena la solución de equilibrio? c) Supongamos que la la ensión es nula E() = (oscilador armónico amoriguado). Hallar la solución general cuando b > a (oscilador sobreamoriguado), b = a (oscilador críicamene amoriguado) y b < a (oscilador subamoriguado). ué ocurre en ese úlimo caso cuando R? Para a = y b =, a = b =, a = y b = dibujar las rayecorias y la órbias correspondienes a las condiciones iniciales (() =, () = ) y (() =, () = ). ué ipo de configuración presena la solución de equilibrio en cada uno de los casos? d) En el caso b = < a = (oscilador subamoriguado) inegrar numéricamene el sisema, usando los comandos de Malab, en el inervalo [, 6π ] para (() =, () = ). En qué valores la carga () alcanza los valores máximos? e) Supongamos que F () = F cos(ω) (oscilaciones forzadas) y b < a. Hallar la solución general. Para a =, b =, F = y ω = dibujar las rayecorias y las órbias correspondienes a las condiciones iniciales (() =, () = ) y (() =, () = ). Dibujar algunas soluciones, comprobando el crecimieno de la ampliud de las oscilaciones, para valores de b y ω próximos a los valores de resonancia. Si F () = e b cos(ω), se produce resonancia?

2 . La ecuación de Duffing mẍ + cẋ + kx + lx =, es un modelo de un sisema masa-resore no lineal y no forzado. a) Exise algún valor de los parámeros para los que el sisema anerior es un sisema hamiloniano? En caso afirmaivo enconrar la función hamiloniana H(x, y). b) Consideremos el caso en el que k = 6, y l =. Calcular los punos de equilibrio y clasificarlos. Usando el ordenador obener el plano de fases correspondienes a diversas soluciones con diferenes consanes de amoriguación, c = (caso no amoriguado) y c =. (caso amoriguado). Para dichas órbias dibuja los diagramas frene a x, así como frene a y. ué diferencias observas enre el caso no amoriguado y el caso amoriguado? c) Hacer lo mismo para el caso en el que k = 6, y l =. Exisen órbias heeroclinas conecando dos equilibrios? Dibujar las variedades esables e inesables de los equilibrios ipo silla. Dibujar las curvas de nivel H(x, y) = y H(x, y) = 6. d) Considerar por úlimo el caso en el que k =, y l =. Enconrar y clasificar odos los punos de equilibrio para cada uno de los casos c =, y c =. En qué caso exisen órbias homoclinas?. La ecuación del péndulo simple, someido a la fuerza de la gravedad y despreciando la masa de la varilla frene a la masa oal del mismo, viene dada por mlẍ = clẋ mgsen(x), donde m > represena la masa, l > la longiud del péndulo, g > la aceleración de la gravedad y c el coeficiene de rozamieno. a) Probar, mediane un cambio de variable adecuado, que la ecuación anerior se puede escribir como { ẋ = y, ẏ = µy sen(x). b) Suponiendo que µ =, es decir prescindimos de los efecos provocados por el rozamieno (caso no disipaivo), hallar los punos de equilibrio y la ecuación de las órbias en el plano de fases. Dibujar las órbias en el recángulo [ π, π]x[, ] uilizando las curvas de nivel de la función energía con valores enre y. Analizar los disinos ipos de movimieno. En el caso de soluciones periódicas, dependen su ampliud y periodo de las condiciones iniciales? A que iende el periodo de la solución con condiciones iniciales (x, ) cuando hacemos ender x π? c) Suponiendo que µ = >, es decir consideramos los efecos provocados por el rozamieno (caso disipaivo) represena varias soluciones en el plano de fases, analizando la configuración de los disinos ipos de equilibrios presenes. negra numéricamene la solución de la ecuación con condicion inicial (x(), y()) = (, ) y represena en una gráfica la perdida de energía con el iempo. ue ocurre cuando aumena el coeficiene de rozamieno (omar µ = )?

3 . El sisema de ecuaciones diferenciales: { ẋ = µx y x, ẏ = x, es denominado sisema de Van der Pol, el cual surge en el esudio de circuios con semiconducores no lineales, donde x represena la inensidad e y la carga. a) Variando el parámero µ, en el inervalo (, ), encuenra y clasifica los disinos ipos de punos de equilibrio que exisen. b) Para qué valor del parámero µ se produce una bifurcación de Hopf? Para µ =, averiguar la esabilidad y el periodo de las órbias periódicas exisenes. Dibuja la rayecoria y la órbia correspondiene a la condición inicial x() =, y() =,. Obener ambién el diagrama de ambas componenes x, y frene al iempo. ué ocurre con esa curva solución cuando?. Consideremos el sisema de ecuaciones diferenciales: donde A es un parámero con A [..]. { ẋ = x y + (x y ) + xy, ẏ = x y (x y ) + Axy, a) Describir las bifurcaciones que se presenan cuando variamos A. Esudiar en cada caso los equilibrios y órbias periódicas presenes, así como su esabilidad y dibujar el plano de fases. b) Cómo desaparece, al aumenar el valor del parámero A, el ciclo límie exisene para A=? Enre qué valores de los parámeros (con error menor que una décima) ocurre una bifurcación homoclina? 6. Consideremos el sisema de Lorenz: ẋ = σ(y x), ẏ = ρx y xz, ż = βz + xy, donde σ, ρ y β son consanes reales posiivas. a) Calcular los equilibrios del sisema y hallar la esabilidad del origen. ue bifurcación experimena el origen al pasar por el valor ρ =? b) Siendo σ =, β = 8 y ρ = 8 obener, en el inervalo [, ], las soluciones correspondienes a las condiciones iniciales en = dadas por (,, ) y (.,, ). Para observar la dependencia sensible de las soluciones del sisema con respeco a las condiciones iniciales, represenar frene a x, y ó z para ambas soluciones. c) nvesigar el comporamieno del sisema dado con los valores de σ y β del aparado anerior, y ρ =.8, ρ =, ρ =.

4 Soluciones SOLUCÓN PROBLEMA R E() L C Figura : Esquema de un circuio elécrico RLC En la figura vemos una represenación esándar de un circuio RLC, modelado por la ecuación diferencial de segundo orden con coeficienes consanes (). Esamos ineresados en conocer la carga () y la inensidad () en cualquier insane. La ecuación diferencial () modela ambién las oscilaciones horizonales del sisema mecánico compueso por un objeo de masa m, conecado a una pared mediane un resore o muelle (de consane k > que mide la rigidez del muelle), que se mueve sobre una superficie que opone una resisencia (de consane c > dependiendo del medio o mecanismo de amoriguación) al desplazamieno x(), debida al rozamieno. En ese caso la ecuación, para hallar la posición del objeo x() y su velocidad ẋ(), sería donde E() es una fuerza exerna que se aplica al objeo. a) Dividiendo la ecuación () por L se llega a mẍ() + cẋ() + kx() = E(), () () + b() + a () = F (), () donde b = R L, a = (LC) / > y F () = E(). nroduciendo la variable (), dado que L () = (), se obiene el sisema de ecuaciones diferenciales de primer orden () del aparado { () = (), () = F () b() a (). Teniendo en cuena la relación exisene enre los coeficienes de las ecuaciones () y (), los valores de las consanes en el sisema mecánico son b = c k m, a = E() > y F () = m m.

5 b) Si suponemos que las oscilaciones son libres y no amoriguadas, es decir en el circuio la ensión y la resisencia son nulas (en el sisema mecánico no se aplica fuerza exerna sobre el objeo de masa m y no hay amoriguamieno), es F () = y b =. En ese caso el sisema de ecuaciones diferenciales lineal y homogéneo () es auónomo, y iene un único puno de equilibrio ((), ()) = (, ). Al resolver la ecuación caracerísica λ + a = de la ecuación (), obenemos los auovalores (λ = ±ai) y a parir de ellos la solución general de la misma () = c cos + c sen. Noemos que al ser los auovalores imaginarios puros el equilibrio ((), ()) = (, ) es un cenro. Las soluciones obenidas son periódicas, de periodo T = π a y frecuencia f = a. Se deduce por ano que el periodo y la π frecuencia de las soluciones dependen de a, es decir de las caracerísicas físicas del sisema, pero no de las condiciones iniciales. Noemos que esas soluciones se pueden escribir en la forma () = Acos(a + α) donde c = A cosα, c = A senα, y la ampliud de las soluciones viene dada por A = (c + c ). En consecuencia la ampliud de las soluciones sólo depende de las condiciones iniciales, es decir de los valores de la carga y la inensidad iniciales ((), ()) (posición y velocidad iniciales en el sisema mecánico). Teniendo en cuena que () = () = ac sen + ac cos, las rayecorias del sisema () vienen dadas, en función de las condiciones iniciales ((), ()), por las ecuaciones { () = ()cos + () a sen, () = ()cos a()sen. () Eliminando la variable del sisema anerior obendremos las ecuaciones de las órbias del sisema (). Para ello expresamos la inensidad () en la forma () = () = aasen(a + α), de donde se deduce que () a = Asen(a + α). Por ano obenemos como ecuación de las órbias ( ) () () + = A () a A + () (aa) =. Se raa por ano de elipses con cenro en (, ) y de semiejes A (ampliud de la oscilación para ()) y aa (ampliud de la oscilación para ()). Eso confirma la configuración de ipo cenro enorno al puno de equilibrio ((), ()) = (, ). Finalmene vamos a dibujar para a =,, mediane el programa pplane, las rayecorias y las órbias correspondienes a las condiciones iniciales (() =, () = ) y (() =, () = ). Noemos que de acuerdo a nuesro calculos aneriores en ambos casos se obienen como rayecorias las ecuaciones de una hélice circular (ver figuras a y a). Cuando a = las dos órbias coinciden y se raa de la circunferencia de cenro (, ) y radio (ver figura b), mienras que en el caso a = se obiene dos elipses diferenes, si bien en la figura b hemos represenado sólo una de ellas. También podemos ver en la figura la evolución en el iempo, [, π], de la carga () y la inesidad () correspondiene a las condiciones iniciales (() =, () = ) en ambos casos (a =, ). Esas represenaciones gráficas nos confirma lo deducido en los cálculos eóricos, en relación al período y la ampliud de las soluciones.

6 = = b a a = b = = = b a. a = b = Figura : Para a =, b = y las condiciones iniciales ((), ()) = (, ): Trayecoria. Órbia. = = b a a = b = = = b a a = b = Figura : Para a =, b = y las condiciones iniciales ((), ()) = (, ): Trayecoria. Órbia. = = b a a = b = = = b a a = b =.. and. 6 8 and Figura : Para las condiciones iniciales ((), ()) = (, ), onda emporal frene a (color azul) e (color rojo): Cuando a =, b =. Cuando a =, b =. 6

7 c) Si suponemos que las oscilaciones son libres y amoriguadas, es decir en el circuio la ensión es nula, pero no la resisencia (en el sisema mecánico no se aplica fuerza exerna sobre el objeo de masa m, pero si hay una resisencia del medio al movimieno), es F () = y b >. En ese caso el sisema de ecuaciones diferenciales lineal y homogéneo () sigue siendo auónomo, y iene un único puno de equilibrio ((), ()) = (, ). Al resolver la ecuación caracerísica λ + bλ + a = de la ecuación (), obenemos los auovalores (λ = b ± b a ), por lo que se presenan res casos: Caso o b > a (Movimieno sobreamoriguado). En ese caso b a > y como b a < b, los dos auovalores son reales y negaivos. Como consecuencia el equilibrio presena una configuración de ipo nodo asinóicamene esable. A parir de ellos se obiene la solución general de la ecuación (), a saber () = c e ( b+ b a ) + c e ( b b a ). Teniendo en cuena que () = (), las rayecorias del sisema (), para ese caso, vienen dadas por las ecuaciones { () = c e ( b+ b a ) + c e ( b b a ), () = c ( b + b a )e ( b+ b a ) + c ( b b a )e ( b b a ). (6) Es fácil comprobar que esas soluciones no ienen oscilación alguna y cumplen que lím + () = lím + () =, se deduce por ano que cuando parimos de unas condiciones iniciales ((), ()) (, ) la carga y la inensidad (el objeo de masa m y su velocidad) regresan a la posición de equilibrio, de manera asinóica como una función exponencial, debido al fuere amoriguamieno. Finalmene vamos a dibujar para a =, b =, mediane el programa pplane, las rayecorias y las órbias correspondienes a las condiciones iniciales del enunciado. En paricular en la figura a hemos represenado la rayecoria de la solución correspondiene a la condición inicial (() =, () = ), mienras que en la figura b aparecen las órbias de las soluciones correspondienes a las dos condiciones iniciales del enunciado. Por úlimo en la figura 6 hemos represenado la evolución en el iempo, [, ], de la carga () y la inesidad () correspondiene a las condiciones iniciales (() =, () = ) y (() =, () = ). Esas represenaciones gráficas nos confirma lo deducido en los cálculos eóricos. = = b a a = b = = = b a a = b = Figura : Para a =, b = : Trayecoria correspondiene a la condición inicial ((), ()) = (, ). Órbias correspondiene a las condiciones iniciales ((), ()) = (, ) y ((), ()) = (, ). 7

8 = = b a a = b = = = b a a = b =.8.8 and.6... and.6.. Figura 6: Para a =, b =, onda emporal frene a (color azul) e (color rojo) de la solución correspondiene a las condiciones iniciales: ((), ()) = (, ). ((), ()) = (, ). Caso o b = a (Movimieno críicamene amoriguado). En ese caso hay un único auovalor real doble que es negaivo λ = b <. Como consecuencia el equilibrio es un nodo impropio asinóicamene esable. A parir de ellos se obiene la solución general de la ecuación (), a saber () = c e b + c e b. Teniendo en cuena que () = (), las rayecorias del sisema (), para ese caso, vienen dadas por las ecuaciones { () = (c + c )e b, () = [ c b + c ( b)]e b (7). Es fácil comprobar que esas soluciones ampoco ienen oscilación alguna y cumplen que lím + () = lím + () = ; se deduce por ano que las soluciones ienen las caracerísicas descrias en el caso anerior, como podemos observar en la figura 7. Ese caso es una siuación límie enre el movimieno no oscilaorio anerior y el movimieno oscilaorio que veremos en el caso ercero. = = b a.8.6 a = b =.8 = = b a a = b = and Figura 7: Para a =, b = : Órbias correspondiene a las condiciones iniciales ((), ()) = (, ) y ((), ()) = (, ). Onda emporal frene a (color azul) e (color rojo), de la solución correspondiene a las condición inicial ((), ()) = (, ). 8

9 Caso o b < a (Movimieno subamoriguado). En ese caso b a < y los dos auovalores son complejos conjugados con pare real negaiva λ = b ± i a b. Como consecuencia el equilibrio presena una configuración de ipo foco esable. A parir de ellos se obiene la solución general de la ecuación (), a saber () = e b [c cos( a b )+c sen( a b )]. Teniendo en cuena que () = (), obendriamos las ecuaciones de las rayecorias del sisema () para ese caso. Noemos que, de manera análoga a lo realizado en el aparado b) del problema, la solución () podría expresarse como () = Ae b cos( a b + α), (8) donde c = A cosα, c = A senα, y por ano A = (c + c ). En ese caso el movimieno no es periódico, pero si es de carácer oscilaorio. En efeco, la gráfica de la función () cruza la posición de equilibrio () = a inervalos regulares. Además la ampliud de las oscilaciones Ae b decrece exponencialmene con el iempo y como en los casos aneriores odas las soluciones cumplen que lím + () = lím + () =, si bien esa convergencia ahora es más lena y se dice que el movimieno esá subamoriguado. Si consideramos como período T el iempo necesario para que la curva solución complee una oscilación π enemos que T = a b. La frecuencia de esas oscilaciones f = a b, dado que a π b < a, es menor que la frecuencia naural o propia del sisema f = a (la obenida en el aparado b)) cuano mayor π sea el valor de b, es decir la resisencia del circuio R (la resisencia del medio al movimieno medida por el valor de c). En consecuencia cuando R b y la frecuencia de las soluciones se va pareciendo a la frecuencia naural del sisema obenida en el aparado b). Finalmene vamos a dibujar para a =, b =, mediane el programa pplane, las rayecorias y las órbias correspondienes a las condiciones iniciales del enunciado. En paricular en la figura 8a hemos represenado la rayecoria de la solución correspondiene a la condición inicial (() =, () = ), mienras que en la figura 8b aparecen las órbias de las soluciones correspondienes a las dos condiciones iniciales del enunciado. Por úlimo en la figura 9 hemos represenado la evolución en el iempo, [, ], de la carga () y la inesidad () correspondiene a las condiciones iniciales (() =, () = ) y (() =, () = ). Esas represenaciones gráficas nos confirma lo deducido en los cálculos eóricos. = = b a a = b =. = = b a a = b = Figura 8: Para a =, b = : Trayecoria correspondiene a la condición inicial ((), ()) = (, ). Órbias correspondiene a las condiciones iniciales ((), ()) = (, ) y ((), ()) = (, ). 9

10 . = = b a a = b =.8.6 = = b a a = b = and and Figura 9: Para a =, b =, onda emporal frene a (color azul) e (color rojo) de la solución correspondiene a las condiciones iniciales: ((), ()) = (, ). ((), ()) = (, ). d) Para realizar la inegración numérica, primero guardamos el sisema a inegrar en el fichero fysis.m que lisamos a coninuación funcion Z=fysis(,E) =E(); =E(); Z=[, -*-*] ; y poseriormene ejecuamos el comando ode direcamene, o bien generamos un fichero odesisema.m donde esá incluido el mismo; si bien es ese caso hemos impueso que el amaño de paso h sea fijo. funcion S=odesisema(fysis,a,b,Za,M) % % Daos de enrada % fysis es la funcion, almacenada como una cadena de caraceres % a y b son los exremos del inervalo % Za=[x,...,xn] es la condición inicial % M es el número de pasos % % Daos de salida % S=[T X] donde T es el vecor con las abscisas y % X=[x(),...,xn()] es el vecor con las ordenadas % h=(b-a)/m; T=a:h:b; [T X]=ode(fysis,T,Za); forma long S=[T X]; Los resulados pedidos se obienen ejecuando, en la venana de comandos, la insrucción >> S=odesisema( fysis,,6*pi/sqr(),[ ],6)

11 A coninuación, para nuesro caso T = π, mosramos únicamene los valores correspondienes a =, T, T, T, que corresponden a los valores donde la carga () es máxima ( el desplazamieno es maximo, con respeco a la posición de equilibrio x() =, del objeo de masa m). Noar que al ser h = T M, si omamos M = 6 pasos, se iene que T = h y por ano los valores aneriores de se alcanzaran en las filas, y 6 de la mariz S. En dicha abla se observa como los valores máximos de () (ampliud de las oscilaciones) van disminuyendo con el iempo. () () Cuadro : Valores máximos de la carga () Los valores de la mariz S nos permien verificar numéricamene que se cumple, para i =,,,..., la relación (T i) (T i+ ) = eb T. Jusificarlo eóricamene a parir de la igualdad (8). e) Dado que en cualquier proceso oscilaorio real siempre esá presene algún ipo de amoriguamieno, si queremos conseguir oscilaciones no amoriguadas, debemos añadir alguna fuerza exerna que compense la perdida de energía debida a la fuerza de amoriguamieno. En ese caso supondremos que la fuerza elecromoriz E() es no nula (en el sisema mecánico una fuerza exerna E() acúa sobre el objeo de masa m), lo que da lugar a oscilaciones forzadas. Uno de los caso más imporanes se presena cuando dicha fuerza es una función periódica de la forma F () = F cos(ω), de ampliud F y frecuencia f = ω π, quedando la ecuación () en la forma () + b () + a () = F cos(ω). Como conocemos la solución general de la ecuación homogénea, que suponemos iene movimieno subamoriguado (caso o del aparado c)), para hallar una solución paricular de la ecuación complea ensayamos, mediane el méodo de los coeficienes indeerminados, con la función () = Bsen(ω) + Ccos(ω). Al imponer que cumpla la ecuación anerior se obiene quedando la paricular B = bf ω (a ω ) + b ω, C = (a ω )F (a ω ) + b ω, S p () = F (a ω ) + b ω [bωsen(ω) + (a ω )cos(ω)]. Uilizando un razonamieno similar a los aneriores, esa solución paricular se puede escribir donde S p () = Acos(ω α), bωf (a ω ) + b ω = A senα, (a ω )F (a ω ) + b ω = A cosα, y por ano A = F (a ω ) + b ω.

12 En consecuencia la solución general, para ese caso, es ( () = e b c cos( a b ) + c sen( ) a b F ) + cos(ω α). (a ω ) + b ω Como se observa odas las soluciones aparecen como suma de dos érminos. El primer sumando (la solución general de la ecuación homogénea), recoge la influencia de las condiciones iniciales y sabemos que iende a cero cuando +, por ano ese sumando (pare ransioria) va desapareciendo con el paso del iempo y la solución se parecerá cada vez más al segundo sumando (pare esacionaria), que represena el comporamieno a largo plazo con el que el sisema responde a la fuerza exerna F (). Ese sumando represena un movimieno periódico de período T = π ω, y su frecuencia f = ω coincide con la de la π F fuerza exerna F (), siendo la ampliud de la oscilación de la pare esacionaria A = (a ω ) + b ω. Como se observa la ampliud depende no solo de ω y F, sino ambién de a y b, es decir de R, L, C. Por ano, ( si b (R ó c ), es decir se raa de un movimieno ligeramene amoriguado y ω a ω ) K o ω, es decir la frecuencia ω de la fuerza exerna F () es próxima a LC M π la frecuencia del sisema en el caso subamoriguado f = π LC R, enonces la ampliud de la L oscilación correspondiene a la pare esacionaria de la solución es muy grande y aparece el fenómeno de la resonancia. Para verificar numericamene lo anerior uilizamos el programa odesolve con a =, b =, F = y ω =, donde hemos añadido una ercera ecuación auxiliar al sisema (), obeniéndose el nuevo sisema no auónomo () = (), () = F () () (), F () = sen(). (9) En la figura (figura ) represenamos las rayecorias (órbias), correspondienes a las condiciones iniciales (() =, () =, F () = F = ) y (() =, () =, F () = ), mienrás que en la figura hemos represenado la evolución en el iempo, [, ], de la carga (), la inesidad () y la fuerza exerna F (), correspondiene a las condiciones iniciales aneriores. Esas represenaciones gráficas nos confirma lo deducido en los cálculos eóricos. Recordemos que al ser un sisema no auónomo las órbias pueden corarse en el plano de fases. Para verificar como crece la ampliud de las oscilaciones cuando los valores de b y ω son próximos a los valores de resonancia hemos represenado en la figura (figura ) las rayecorias (órbias) para b =. y ω =.9 (b =. y ω =.9), correspondiene a la condición inicial (() =, () =, F () = F = ). Por úlimo en la figura hemos represenado la evolución en el iempo, con [, π], de la carga (), la inesidad () y la fuerza exerna F (), correspondiene a la condición inicial anerior en ambos casos.

13 Figura : Para a =, b =, F =, ω =, rayecorias para las condiciones iniciales: ((), (), F ()) = (,, ). ((), (), F ()) = (,, ) Figura : Para a =, b =, F =, ω =, órbias para las condiciones iniciales: ((), (), F ()) = (,, ). ((), (), F ()) = (,, ). F F.8.6.,, and F..,, and F Figura : Para a =, b =, F =, ω =, onda emporal frene a (color azul), (color verde) y F (color rojo) para las condiciones iniciales: ((), (), F ()) = (,, ). ((), (), F ()) = (,, ).

14 Figura : Para a =, F =, ω =.9, rayecorias para las condiciones iniciales ((), (), F ()) = (,, ) con: b =.. b = Figura : Para a =, F =, ω =.9, órbias para las condiciones iniciales ((), (), F ()) = (,, ) con: b =.. b =.. 8 F 6 F,, and F,, and F Figura : Para a =, F =, ω =.9, onda emporal frene a (color azul), (color verde) y F (color rojo) para la condición inicial ((), (), F ()) = (,, ) con: b =.. b =..

15 SOLUCÓN PROBLEMA x l F T mg F C Figura 6: Péndulo maemáico. Consideremos el péndulo de la figura (6), en el que suponemos que oda la masa del péndulo m esá concenrada en la pesa, es decir despreciamos la masa de la varilla de longiud l. El oro exremo de la varilla esá fijado a una barra, de manera que el péndulo puede girar un círculo compleo en un plano perpendicular al suelo y suponemos que sólo hay dos fuerzas acuando sobre el péndulo: la gravedad y la fricción, siendo esa úlima fuerza proporcional, con consane de proporcionalidad c >, a la velocidad de la pesa. Represenamos por x() el ángulo formado por la varilla con la verical en cada insane, medido en senido conrario al de las agujas del reloj. Aplicando la segunda ley de Newon obenemos m l d x d dx = c l m g sen(x). () d Observar que el primer sumando del segundo érmino de la ecuación (), que se debe al rozamieno, represena una amoriguación (érmino disipaivo) mienras que el segundo sumando se debe a la fuerza de la gravedad. a) Al objeo de reducir el número de casos a esudiar en un sisema físico, disminuyendo el número de parámeros, hacemos un cambio de escala de forma que la ecuación obenida ese adimensionalizada en los nuevos parámeros. Para ello dividimos oda la ecuación () por ml quedando Ahora mediane el cambio T = d x d = c m g se obiene l g d x l Muliplicando por l g y llamando µ = c m dt = c m dx d g l sen(x). g l dx dt g l sen(x). l, la ecuación obenida g d x dx = µ dt dt sen(x),

16 esá adimensionalizada al no ener dimensión el único parámero µ. Finalmene escribimos la ecuación diferencial de segundo orden obenida como un sisema de ecuaciones diferenciales de primer orden { ẋ = y, ẏ = µy sen(x). () b) Si suponemos el caso ideal donde no hay fricción, y por ano c = µ =, el sisema dinámico resulane es un sisema conservaivo plano, ya que al no haber disipación la energía oal del sisema E (suma de la energía cinéica y la energía poencial) se maniene consane. El sisema () queda { ẋ = y, ẏ = sen(x). () Los punos de equilibrio son (kπ, ), con k Z. En los correspondienes a múliplos pares de π (x =, ±π, ±π,...) la pesa cuelga sin movimieno en posición verical, los múliplos impares (x = ±π, ±π, ±π,...) corresponden a la ora posición de equilibrio del péndulo ideal donde la pesa ambién se encuenra en posición verical sin movimieno, pero girada un ángulo de π radianes en relación a la anerior posición. Para inegrar el sisema (), al objeo de enconrar la ecuación de las órbias en el plano de fases, eliminamos dt dividiendo ambas ecuaciones dy dx = sen(x), y y suponiendo que (x() =, y() = ), nivel de la energía, se obiene la solución E = y + cos(x). Noemos que el primer sumando y = ( ) dx corresponde a la energía cinéica del sisema dinámico dt y cos(x) es la energía poencial. El sisema () es un sisema hamiloniano y la función de energía E es la función hamiloniana, ya que dx dt = f(x, y) = E y = y, dy dt = g(x, y) = E x = sen(x). Es fácil probar que la energia oal E se conserva para cada solución (x(), y()) comprobando que d E dx E(x(T ), y(t )) = dt x dt + E dy y dt = sen(x)y + y( sen(x)) =. Por ano las órbias se encuenran a lo largo de las curvas de nivel de E, es decir dibujar el plano de fases para un sisema hamiloniano como () es lo mismo que dibujar los conjunos de nivel de la función hamiloniana E. La mariz jacobiana del sisema () en el puno (x, y) viene dada por E x y E x E y E y x ( α = γ ) ( β = α cos(x) con auovalores λ, = ± α + βγ = ± cos(x). Por ano si cos(x) < hay dos auovalores reales de signo conrario y el equilibrio es inesable de ipo silla. Eso ocurre en los múliplos impares de π, es decir cuando x = ±π, ±π, ±π..., ec. Si cos(x) > hay dos auovalores imaginarios puros λ = ), 6

17 x = y y = sin(x) y x Figura 7: Rerao de fases del sisema (). cos(x) i, λ = cos(x) i, por lo que el equilibrio es esable de ipo cenro. Eso sucede en los muliplos pares de π cuando x =, ±π, ±π..., ec. El rerao de fases nos indica que hay res ipos diferenes de curvas solución y por ano de movimienos: libración, roación y el comporamieno límie enre ambos. El primer caso corresponde a soluciones periódicas ya que el péndulo oscila enre dos valores siméricos del inervalo ( π, π) (en la figura corresponde a la órbia cerrada de color azul que pasa por (x, y) = (, ), siendo inerior a la curva de nivel E(x, y) = ). En el segundo caso las soluciones no son periódicas y el péndulo va girando, dando vuelas compleas en senido conrario a las agujas del reloj, recorriendo odos los ángulos posibles (en la figura corresponde a la órbia de color azul que pasa por (x, y) = (, ) y esá siuada enre las curvas de nivel y de la función E(x, y)). Por úlimo el caso límie corresponde en el plano de fases a órbias, llamadas heeroclinas, que unen dos punos de equilibrio disinos de ipo silla y separa las soluciones oscilanes, de ida y vuela, de las soluciones roaorias, que giran coninuamene (en la figura corresponde a las órbias de color verde, una de ellas pasa por (x, y) = (, ), y esá conenida en la curva de nivel E(x, y) = ). Noar que una órbia heeroclina corresponde a la inersección de una de las ramas de la variedad esable de uno de los equilibrios silla con la inesable del oro. c) Suponemos ahora que µ >, es decir hay una amoriguación lineal debido a la fricción en el pivoe del brazo del péndulo y por ano el sisema dinámico es ahora disipaivo ya que hay una perdida de energía. En ese caso el sisema () ya no es hamiloniano, pues si exise una función hamiloniana H(x, y) con derivadas parciales segundas coninuas sería H x y = H y como consecuencia de ello y x Pero eso no ocurre en nuesro caso pues f x = H x y = H y x = g y. x (y) = µ = ( µy sen(x)), y si bien los punos de equilibrio son los mismos que en el caso anerior (, ), (±π, ), (±π, ),... ec. Ahora la energia oal E no es consane a lo largo de las curvas solución del sisema (), sino una función decreciene. En efeco, si (x(), y() es una solución del sisema () se cumple que 7

18 d E dx E(x(), y()) = dt x dt + E dy y dt = sen(x)y + y( µy sen(x)) = µy. Es decir E(x, y) es una función de Lyapunov para el sisema (). En consecuencia las curvas solución cruzan los conjunos de nivel de la función de Lyapunov E(x, y) desde valores mayores a menores de la misma (ver figura ), y dado que E iene un mínimo global en el origen, odas las soluciones en un enorno del origen se aproximan al mismo conforme pasa el iempo. En la figura hemos dibujado en color azul las órbias correspondienes a las condiciones iniciales (x, y) = (, ) y (x, y) = (, ). En color verde aparecen las variedades esables e inesables de los equilibrios de ipo silla. Se puede observar como un equilibrio de ipo foco esá conecado con los dos equilibrios silla adyacenes a ravés de una de las ramas de la variedad inesable de los equilibrio silla. La variedad esable viene del infinio. Para verificarlo hallamos la mariz jacobiana del sisema () en un puno (x, y) ( cos(x) µ cuyos auovalores son λ, = µ ± µ cos(x). Por ano en los punos de equilibrio correspondienes a múliplos impares de π, al ser cos(x) =, hay dos auovalores reales de signo conrario y el equilibrio es inesable de ipo silla. Si x =, ±π, ±π... ec, enonces cos(x) = y hay res casos diferenes. En efeco, si < µ < (hay menos fricción) el radicando es negaivo y los auovalores son complejos con pare real negaiva por lo ano los equilibrios serían focos esables. Si µ = hay un único auovalor real doble λ = <, por lo ano los equlibrios son nodos degenerados esables y finalmene si µ > (hay mayor fricción) enemos dos auovalores reales negaivos, ya que µ < µ, y los punos de equilibrio son nodos esables. x = y y = mu y sin(x) ), mu = y x Figura 8: Rerao de fases del sisema () para µ =. Por úlimo para inegrar numéricamene la solución del sisema (), correspondiene a las condiciones iniciales (x(), y()) = (, ), y represenar graficamene la perdida de energía con el iempo generamos el archivo fysis.m con las ecuaciones del sisema funcion Z=fysis(,E) x=e(); y=e(); Z=[y, -y-sin(x)] ; 8

19 que será llamado al correr el programa energia.m funcion S=energia(fysis,a,b,Za,M) % % Daos de enrada % fysis es el sisema, almacenado como una cadena de caraceres % a y b son los exremos del inervalo % Za=[x,...,xn] es la condición inicial % M es el número de pasos % % Daos de salida % Calcula S=[Tiempo,Energia oal del sisema en el insane T] y % dibuja la gráfica de la energía frene al iempo % h=(b-a)/m; T=a:h:b; [T X]=ode(fysis,T,Za); for k=:lengh(t) E(k)=(X(k,).^)/+-cos(X(k,)); end forma long S=[T,E ]; plo(t,e) grid La gráfica pedida se obiene ejecuando, en la venana de comandos, la insrucción >> energia( fysis,,*pi,[ ],) energía 6 8 iempo Figura 9: Gráfica de la energía frene al iempo correspondiene a la solución (x(), y()) = (, ) del sisema () con µ =. 9