Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Matlab: Ecuaciones diferenciales de primer orden

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1 Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Malab: Ecuaciones diferenciales de primer orden 8 de marzo de 9. Consideremos la ecuación diferencial ẋ = f(x, λ). Calcular los punos de bifurcación y dibujar el diagrama de bifurcaciones correspondiene cuando: a) f(x, λ) = x x λ. Hallar los punos de equilibrio, y sus esabilidades, para λ =,,. b) f(x, λ) = (x λ)(x λ). c) f(x, λ) = λ x.. Supongamos que originalmene hay P oneladas de peces en un lago y que su evolución viene dada por la ecuación logísica con razón de reproducción r = y capacidad de sopore del medio k =, es decir: dp d = rp ( P k ). a) Calcular la población al cabo de meses, si en el insane = hay una onelada de peces. Hallar el orden de cada méodo uilizado. Qué ocurre con la población a largo plazo? Hallar los equilibrios y obener el rerao de fases de dicha ecuación. b) En el insane = hay diez oneladas de peces y se comienza a pescar en dicho lago, a razón de oneladas al mes los res primeros meses y.5 oneladas los resanes meses, es decir la función capura viene dada por H() = { si,.5 si >. Dibujar la rayecoria correspondiene y la función capura. Cuál es la población al cabo de 8 meses? Cuál es el valor mínimo de la población? A parir del ercer mes, iende la población a esacionarse? Hallar dicho valor de equilibrio. Enconrar un valor aproximado del valor inicial P (), que separe la exisencia de pesca de la exinción de la especie. c) Supongamos que la función capura H() es consane en odo insane. Qué ocurre con los punos de equilibrio al variar esa consane en el inervalo [, ]? Para qué valor de la consane se produce un cambio en el número de punos de equilibrio? Dibujar el diagrama de bifurcaciones correspondiene. Cómo se denomina esa bifurcación de equilibrios? d) Si suponemos que la capacidad de sopore del medio varía linealmene con el iempo k = +, y que en el insane = hay una onelada de peces, dibujar la rayecoria correspondiene así como la función sopore. Cuál es la población al cabo de 5,, 5 y 8 meses?, cómo varia la población a largo plazo? e) Si suponemos que ano la capacidad sopore del medio como la función capura varían linealmene con el iempo, k = + y H() = +. dibujar las rayecorias correspondiene, así como la funciones sopore y capura, cuando P () =.4 y P () =. Cómo varia la población a largo plazo?

2 . Un circuio RC esá modelado por la ecuación RC d d + = V (), donde es el volaje a ravés del condensador. Supongamos que el iempo es medido en segundos, la resisencia es R =. Ω y la capaciancia C =. F. Se pide: a) Si el volaje suminisrado por la fuene de ensión viene dado por V () = { si < 5, si 5. Dibujar, en el inervalo de iempo [, 4], la solución correspondiene a la condición inicial () = y la función V (). Cuál es el valor de en = 6 para la solución que cumple (5) = 4? b) Supongamos ahora que la función V () viene dada por una onda cuadrada de ampliud volios, periodo segundos y ciclo acivo del 5 %, es decir V () = sqw(,, 5). Dibujar, en el inervalo de iempo [, 9], la solución correspondiene a la condición inicial () =. Dibujar en la misma venana la función enrada de volaje V (). Noar que la señal de enrada ha sido aenuada, eso es la ampliud ha disminuido en la señal de salida. Repeir lo mismo bajando el periodo a 6 y 4 segundos. Qué ha ocurrido al disminuir el periodo? c) Consideremos finalmene que la función V () viene dada por V () = Acos(ω), donde A = y ω =,, 6. Dibujar la solución correspondiene a la condición inicial () = y la función V (). Cómo varían la ampliud A y la frecuencia ω de la señal de salida? 4. Un anque con la forma de un cilindro circular reco, iene una fuga de agua por un agujero circular en su fondo. Si no consideramos la fricción y la conracción del chorro en el agujero, la alura h del agua en el anque viene dada por la ecuación dh d = A h A w gh, donde A h y A w son las áreas ransversales del agujero y del agua, respecivamene. a) Si la alura inicial del agua es H, omando g = 9.8 m/s obener la solución correspondiene y su inervalo de definición en función de A h, A w y H. b) Si el anque mide m de alura, 6 cm de radio y el agujero circular iene.7 cm de radio, cuáno ardará en vaciarse si el anque esá lleno al principio? Cuando sí se ienen en cuena la fricción y la conracción del agua en el agujero, la ecuación diferencial anerior se ransforma en dh d = c A h A w gh, donde < c <. Cuáno ardará ahora el anque en vaciarse si c =.6?

3 Soluciones SOLUCIÓN PROBLEMA a) Hay dos punos de bifurcación, a saber: ( (x, λ ) =, ) ( ) y (x, λ ) =,. El diagrama de bifurcaciones correspondiene, en el plano (λ, x), lo hemos dibujado en la figura. x λ - Figura : Diagrama cualiaivo de bifurcaciones. Para hallar los punos de equilibrio cuando λ =, hemos uilizado el algorimo de Newon-Raphson. En concreo para resolver la ecuación f(x) = x x + =, omando como condición inicial p = y como crierio de paro N max = 5 (número máximo de ieraciones) y p n p n <, se obiene x Se comprueba fácilmene que f (x) >, por lo que el puno de equilibrio es inesable. Análogamene se obienen, para λ =, los punos de equilibrio x y x (omando como condición inicial p = ). El primer puno de equilibrio, no hiperbólico (f (x ) = ) por ser un puno de bifurcación, es semiesable y el segundo x es inesable. El caso λ = da lugar a res punos de equilibrio: x =, x = y x =. Los equilibrios x y x son inesables y el equilibrio x es asinóicamene esable (f (x ) < ). c) Esa ecuación diferencial no iene punos de bifurcación. El diagrama de bifurcaciones correspondiene lo hemos dibujado en la figura. De acuerdo al diagrama hay un único puno de equilibrio x = λ, que es siempre asinóicamene esable.

4 x - λ - Figura : Diagrama cualiaivo de bifurcaciones. SOLUCIÓN PROBLEMA b) Para dibujar la rayecoria creamos el fichero H.m, donde definimos la función capura H() funcion v=h() v=*(<=)+.5*(>); En la figura hemos represenado la rayecoria correspondiene a las condiciones iniciales P () = (en color azul) y la función capura (en color rojo). 5 P = r P ( P/K) Capura r = K = Capura = H() P Figura : Trayecoria, en color azul, correspondiene a las condiciones iniciales P () =. Si exporamos los daos de la solución, obenida mediane el programa dfield, se observa al analizar los mismos que para = 8 P () , y mediane el comando min de Malab se obiene el valor mínimo de la población P () para

5 La gráfica anerior nos muesra que, en efeco, la población iende( a esacionarse enorno a un valor que podemos calcular eóricamene al resolver la ecuación f(p ) = P P ) =. Las dos soluciones son P = y P = , siendo la primera asinóicamene esable (f (P ) < ) y la segunda inesable (f (P ) > ). Noar que los valores de esos punos de equilibrio esán más próximos que en el caso del aparado (a) donde la función capura era H() =. Por ora pare, al dibujar las rayecorias correspondienes a las condiciones iniciales P () =.957 y P () =.9574 se observa que la población se exingue en el primer caso, mienras que en el segundo la población sobrevive. ( c) Si consideramos que H() = C, al resolver la ecuación f(p ) = P P ) C = se obiene, como expresión de los equilibrios P = C y P = 5 5 C. En consecuencia si C >.5 no hay punos de equilibrio, si C =.5 hay un solo puno de equilibrio P = P =.5 y si C <.5 hay dos punos de equilibrio. El diagrama de bifurcaciones esá represenado en la figura 4. Al pasar el parámero (Capura=H()=C) por el valor C =.5 iene lugar una bifurcación silla-nodo de equilibrios. El puno de bifurcación es (P, H) = (5,.5) P 5. H Figura 4: Diagrama cualiaivo de bifurcaciones. e) En la figura 5 aparecen las rayecorias (en color azul) correspondienes a las condiciones iniciales P () =.4 y P () =, así como las funciones capura (en color rojo) y sopore (en color negro). De la misma se desprende que en el primer caso la población se exingue, mienras en el segundo la población, a parir de un deerminado insane, crece linealmene con el iempo maneniéndose más cerca de los valores de la población sopore que de los valores de la función capura. 5

6 P = r P ( P/K) Capura r = K = + Capura = P Figura 5: Trayecorias, en color azul, correspondienes a las condiciones iniciales P () =.4 y P () =. SOLUCIÓN PROBLEMA b) Para dibujar la rayecoria creamos el fichero sqw.m, donde definimos la función onda cuadrada mediane el comando mod de Malab. funcion y=sqw(,t,d) % es el iempo % T es el periodo de la función % d es el ciclo de funcionamieno r=mod(,t); y=r<(d*t)/; En la figura 6 hemos represenado la rayecoria correspondiene a las condiciones iniciales () = (en color azul) y la función volaje de enrada (en color rojo), cuando el periodo es de segundos. Si el periodo es 6 segundos aparece en la figura 7, y si es de 4 segundos en la figura 8. De las figuras aneriores se deduce que al disminuir el periodo del volaje de enrada va disminuyendo ambién la ampliud de la señal de salida. 6

7 = (V )/(R C) V = sqw(,,5) C =. R = Figura 6: Trayecoria, en color azul, correspondiene a las condiciones iniciales () = con periodo s. = (V )/(R C) V = sqw(,6,5) C =. R = Figura 7: Trayecoria, en color azul, correspondiene a las condiciones iniciales () = con periodo 6 s. = (V )/(R C) V = sqw(,4,5) C =. R = Figura 8: Trayecoria, en color azul, correspondiene a las condiciones iniciales () = con periodo 4 s. 7

8 SOLUCIÓN PROBLEMA 4 La solución general de la ecuación diferencial dada se puede obener mediane el méodo de separación de variables. a) La solución obenida es A w g h() = A h H. El inervalo de exisencia de la función h() viene dado por [, ] HAw. gah b) Para obener la solución resolvemos la ecuación h() =, con los daos de ese aparado, obeniéndose.859 minuos. Ese resulado lo podemos confirmar mediane el programa dfield, como podemos observar en la figura 9. (a) (b) h = c (Ah/Aw) sqr( g h) c = Aw = pi (.6) Ah = pi (.7) g = 58 x 7 h = c (Ah/Aw) sqr( g h) c = Aw = pi (.6) Ah = pi (.7) g = h h Figura 9: (a) Trayecoria correspondiene a las condiciones iniciales h() =. (b) Zoom de (a). Si exporamos los daos de la solución se observa al analizar los mismos que para = es h() = >, y para = h() =.686 <. Si enemos en cuena la fricción y la conracción del agua en el agujero, el iempo que arda en vaciarse el anque es 5.4 minuos. En ese caso, si exporamos los daos de la solución (obenida uilizando el inegrador Runge-Kua de orden 4 con amaño de paso.), se observa que para = es h() =.77 >, y para = h() =.7694 <. 8