Series de Fourier. Roberto S. Costas Santos. October 10, Durante este capítulo analizaremos el comportamiento de la serie 1

Transcripción

1 Series de Fourier Robero S. Cosas Sanos Ocober, 3 Inroducción Serie de Fourier en forma exponencial compleja Durane ese capíulo analizaremos el comporamieno de la serie k= Si enemos en cuena la idenidad de Euler C k e jkω ; ω >. e ja = sina+jcosa, a R, esá claro que si dicha serie es convergene pues define ciera función en el plano complejo C. Además sabemos que las funciones rigonoméricas implicadas en esa serie son periódicas por lo ano se espera que si una función admie dicho desarrollo enonces ésa será periódica donde sabemos que el periódo T y la frecuencia ω esán vinculados a ravés de la idenidad ω T =. Con lo mencionado aneriormene podemos pasar a la primera definición: Definición. (Serie de Fourier en la forma exponencial compleja) Sea x() una se~nal periódica de periódo T al que: es coninua salvo en un conjuno numerable de punos con disconinuidad de salo finio (o sea, es coninua, o coninua a rozos). iene una canidad numerable de máximos o mínimos. Enonces, se llama serie de Fourier asociada a x() a donde F{x()} = C k e jkω, C k = T k= T/ x()e jkω T/ d. j represenará la unidad imaginaria, eso es j =, o j =.

2 3 Serie de Fourier en forma rigonomérica Si enemos en cuena la idenidad de Euler descria aneriormene eá claro cuál va a ser dicha definición. Definición 3. (Serie de Fourier en la forma rigonomérica) Sea x() una se~nal periódica de periódo T al que cumpla las condiciones anes mencionadas, se llama serie de Fourier rigonomérica asociada a x() a donde F{x()} = a + a k cos(kω )+ b k sin(kω ), (3.) k= k= a = T T/ T/x()d, a k = T T/ T/x() cos(kω )d, b k = T T/ T/ x() sin(kω )d. Teniendo en cuena la forma en como se ha consruido dicha serie se iene el siguiene resulado que será fundamenal para el cálculo punual de la serie de Fourier en cada puno. Teorema 3. (Teorema de Dirichle) La serie de Fourier de cualquier se~nal es siempre coninua aunque la se~nal x() no lo sea. De hecho, Si x() es coninua en = c, enonces F{x()} = =c ( x()) =c = x(c). (3.) Si x() es disconinua en = d, enonces F{x()} = =d lim d lim x()+ d +x(). (3.3) Noa 3.3 Es imporane decir que el cálculo de los coeficienes de dicha serie de Fourier admie diferenes expresiones dado que la se~nal es periódica, a coninuación indicamos dos de ellas: a k = T T x() cos(kω )d, a k = T a+t a x() cos(kω )d, a R. Y éso puede aplicars al reso de coeficienes de la expresión rigonomérica. 3. Casos pariculares Si la se~nal es par enonces b k = para odo k, y a = 4 T T/ x()d, a k = 4 T T/ x()cos(kω )d.

3 Diremos en ese caso que enemos la serie de Fourier en cosenos de la se~nal que coincide con la serie de Fourier de la pare par de dicha se~nal: F{x()} = a + a k cos(kω ). Si la se~nal es impar enonces a =, y a k = para odo k, con b k = 4 T T/ k= x()sin(kω )d. Diremos en ese caso que enemos la serie de Fourier en senos de la se~nal que coincide con la serie de Fourier de la pare impar de dicha se~nal: F{x()} = b k sin(kω ). 4 Ejemplos Veamos cuál es la apariencia que iene dicho desarrollo si runcamos la serie asociada a la aproximación de nuesra se~nal: (Suma de 5 y 5 érminos) x() k= x() La se~nal considerada es la del ejemplo 3como puede inuirse.. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = u(), < <. x() 3 4

4 Es claro que x() es coninua en odo los reales menos en los eneros, eso es, en R \ Z; que es periódica con T =, luego ω = ; que no es ni par ni impar, siendo a = x()d = d+ d =, T ( sin(k) = a k = cos(k)d+ cos(k)d = k =, = ( cos(k) = b k = sin(k)d+ sin(k)d = k = ( )k. k Con odo éso se iene que F{x()} = + ( ) k sin(k). k De hecho, en cualquier puno real que no sea racional se iene por el Teorema de Dirichle que x() = + k= ( ) k sin(k), k k= mienras que para los punos eneros, llamemoslo = ǫ, se iene y es fácil de verificar que + ( ) k sin(kǫ) = k. k=. Obener la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = sin,. = x() En ese caso x() es coninua en R, su periódo es T = luego ω = y por el Teorema de Dirichle se iene que F{x()} = x() para odo real. Viendo la gráfica se ve claramene que la se~nal es par pues que además el inervalo es simérico, aunque la prueba formal sería: x( ) = sin( ) = sin = sin = x().

5 Por ano b k = para odo k, y Así a k = 4 / a = 4 / ( sind = 4cos / =/ = = 4, sin cos(k)d = (sin((k +)) sin((k )))d, a k = ( k + ) 4 = k (4k ). F{x()} = 4 k= 4k cos(k). Ejemplo de cálculo de series numéricas: F{x()} = = x() =, luego = 4 k= 4k 4 k= 4k = 4k =. Así la serie es convergene e incluso podemos obener su valor exaco. Se recomienda experimenar con ese ipo de ejercicios. 3. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = sin, < <. k= x() En ese caso x() es coninua en R excepo en los los eneros impares por /, su periódo es T = luego ω =. Viendo la gráfica se ve que la se~nal es impar. Por ano a =, a k = para odo k, y b k = 4 / sin sin(k)d = b k = / ( ) ( ) k k ( )k k (cos((k )) cos((k +)))d, = 8( )k+ k (4k ).

6 Siendo enonces su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica F{x()} = 8 k= ( ) k+ k 4k sin(k). Como aplicación del Teorema de Dirichle se iene que F{x()} = = lim lim / x()+ / +x() =. Se deja como ejercicio de cálculo de series numéricas el comprobar que k= ( ) k+ k 4k sin(k ) = Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = sin, < <. x() En ese caso x() es coninua en R excepo en los múliplos de /, su periódo es T = / luego ω = 4. La se~nal no iene simería y se define en ( T/,T/) como sigue: { sin(+/) = cos, /4 < <, x() = sin, < < /4. Por ano y a k = 4 b k = a = 4 4 cos cos(4k)d+ 4 cos sin(4k)d+ 4 cosd sind = 4, sin cos cos(4k)d = sin cos sin(4k)d = 4 ( 6k ), 6k ( 6k ). Siendo enonces su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica F{x()} = + 4 k= 6 cos(4k)+ 6k k= k 6k sin(4k).

7 5. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica: x() = sin ( u( ) u( )), x() < < 3. 3 En ese caso x() es coninua en R excepo en los múliplos impares de /, su periódo es T = luego ω =, y no iene simería. Si definimos x() en ( T/,T/): { sin, / < <, x() =, < < /. Se iene que y a k = b k = a = sind =, sin cos(k)d = ( 4k ), sin sin(k)d = 4( )k+ k ( 4k ), y su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = + 4k cos(k)+ 4 ( ) k+ k 4k sin(k). k= 6. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = 8, 8 < <. x() k=

8 En ese caso x() es coninua en R excepo en los números pares, su periódo es T = luego ω =, y no iene simería. Dado que x() en ( T/,T/) se define como: { +, / < <, x() =, < <. Se iene que a = y (+)d+ a k ( ) = d ( ) = cos(k)d =, d =, ( ) b k = sin(k)d = k. Así su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = k= k sin(k). 7. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = cos, 5 < < 7. x() 3 3 En ese caso x() es coninua en R, su periódo es T = luego ω =, y es par. Por ano x() en ( T/, T/) se define como: Se iene b k = para k =,,..., y x() = cos / < < /. a = 4 / / cosd = 4, a k = 4 coscos(k)d = 4( )k ( 4k ). Así su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = + 4 ( ) k 4k cos(k). k= aquí usararemos en (*) las propiedades mencionadas en la noa 3.3.

9 8. Calcular la serie de Fourier de x() = sin cos 3. Sabemos que la se~nal x () = sin es periódica de periódo T = 4 y la se~nal x () = cos 3 es periódica de periódo T = 6. Dado que x() = x () + x () su periódo es T = mcm(4,6) =. Así ω = /6, y es claro que x() es coninua en R; por ano a =, a = y b 3 =, siendo los demas coeficienes nulos, y su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica F{x()} = sin3 6 cos Calcular la serie de Fourier de x() = sin. Al igual que en el anerior, dado que sin = cos, se iene que el periódo es T =, y ω =, y su desarrollo en serie es el mismo, es decir F{x()} = cos, (a =,a = /, reso cero).. Calcular la serie de Fourier de x() = sin, < < 3. x() En ese caso x() es coninua en R, su periódo es T = luego ω =, y es impar. De hecho su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = sin(), b =, reso cero.. Calcular la serie de Fourier en cosenos de x() = sin, < <. x() 3

10 En ese caso x() es coninua en R, su periódo es T = luego ω =, y es par. Su expresión en ( T/,T/) es { sin, / < <, x() = sin, < < /. NOTA: El reso del problema, si veis la gráfica, es idénico al problema mosrado aneriormene. No olvideis el cálculo de dicha serie en algún valor paricular de donde engais que aplicar el Teorema de Dirichle, por ejemplo = /4.. Calcular la serie de Fourier en senos de x() =, <. Ojo! La se~nal inicial no es par, de hecho se represena: x() Y dado que pide la serie de Fourier en senos, nos pide la serie de Fourier de y() =impar{x()}. Es común comeer el error de decir que y() =. De hecho, sabemos dos cosas: (a) Dado que x() iene periódo, la pare par iene el mismo periódo T =, luego ω =. (b) Su expresión en ( T/,T/) viene dada por { (x(+t) x( ))/, T/ < <, y() = par{x()} = (x() x( +T))/, < < T/. En nuesro caso y() = { +/, / < < /, < < /. y()

11 y() es coninua en R excepo en los eneros, su periódo es T = luego ω =. Luego a =, a k =, k =,,..., y Además a =, a k =, k =,,... y b k = 4 / ( /) sin(k)d = k. Así su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{y()} = k= sin(k). k 3. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica: x() = u(+) u(+)+u( ) u( ), < <. x() x() es coninua en R excepo en los eneros impares, su periódo es T = 4 luego ω = / y es par. Así b k =, k =,,..., y a k = a = d =, cos(k/)d = sin(k/). k Enonces su desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = k= sin(k /) k cos(k/). Un buen ejercicio es comprobar aplicando el Teorema de Dirichle en el puno = el valor de la serie numérica k= ( ) k sin(k/). k

12 5 Ejercicios. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica x() = 8, 8 < <. x() x() es coninua en R, su periódo es T = luego ω = y es par. Su expresión en ( T/, T/) es { +, < < x() = +, < <. Así b k =, k =,,..., y a k = a = ( +)d =, ( +)cos(k/)d = 4( ( )k ) k, por ano si k es par (k = λ) enonces a λ = mienras que si k es impar (k = λ ) enonces a λ = 8/( (λ ) ). Y con odo lo anerior el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = + 8 k= sin((k )) (k ).. Calcular la serie de Fourier de la se~nal periódica ( x() = cos ) 6 +cos 3 3 sin. Aplicando las idenidades rigonoméricas: cos(a±b) = cosacosb sinasinb, sin(a±b) = sinacosb±cosasinb, se ienen la idenidad que necesiamos: cosasinb = sin(b+a)+sin(b a).

13 Con lo que podemos decir x() = sin 3 + sin sin +sin 3 3. Es decir que enemos 4 expresiones rigonoméricas, y aunque casí es evidene que ω = /3 veamoslo poco a poco. La primera iene periódo T = /(5/3) = 6/5, la segunda T = /(/3) = 6, la ercera T 3 = /(9/3) = 6/9, la cuara T 4 = /(3/3) = 6/3. Y la menor relación posible simulanea es 5T = T = 9T 3 = 3T 4 = 6 T = 6 ω = 3. Además la se~nal es coninua por definición luego coincide con F{x()} en odo puno por el eorema de Dirichle, y podemos obener los coeficienes del desarrollo de una forma inmediaa que se deja como ejercicio. 3. Calcular la serie de Fourier asociada a la se~nal periódica x() = + 3 sin. En ese caso dado que el periódo de sin es, se iene que T =, luego ω = y por ano dado que la se~nal es coninua F{x()} = x() = +3sin (a = 4, b = 3, reso cero). 4. Calcular la serie de Fourier asociada a la se~nal periódica x() = 3 + cos 3. Ese caso es similar al anerior, dado que el periódo de cos3 es T = /3, se iene ω = 3 y por ano dado que la se~nal es coninua F{x()} = x() = 3+cos3 (a = 6, a =, reso cero). 5. Calcular la serie de Fourier asociada a la se~nal periódica ( ) x() = Par{ ( )} u() u( ), < <. Para empezar debemos ener claro cómo definir dicha se~nal, primero represenemos la se~nal y() = ( ) ( ) u() u( ), < <. y() 3 3 3

14 x() es coninua en R excepo en cieros múliplos de / como se ve en la gráfica, su periódo es T = luego ω = y no iene simería. Así la expresión de la se~nal x() será en ( T/,T/), < < / / /4, / < < x() = / /4, < < /, / < <. y su gráfica enonces es x() Así b k =, k =,,..., y a k = a = x()d = 8, x()cos(k)d = cos(k/) k, por ano, con odo lo anerior, el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = 6 + k= cos(k/) k cos(k). 6. Calcular la serie de Fourier asociada a la se~nal periódica { ( )} x() = Par ( ) u() u( ), < <. Realizando un proceso análogo al anerior se iene que T = 4, ω = /, la se~nal es par, coninua, y su expresión en ( T/,T/) es, < < / /, < < x() = / /, < <, < <. y su gráfica enonces es

15 x() Así b k =, k =,,..., y a k = a = x()d = 4, x()cos(k/)d = (cos(k/) ) k, por ano el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = 8 + k= cos(k/) k cos(k ). 7. Calcular la serie de Fourier, en sus formas rigonomérica y exponencial compleja, asociada a la exensión periódica de la se~nal x() = Par{ }, < <. Teniendo en cuena algunos ejercicios aneriores, se iene que el periódo es T = 4, así ω = / y su expresión en ( T/,T/) es, < < x() =, < <, < <. x() Así la se~nal es par, luego b k =, k =,,..., y a = x()d = 5,

16 a k = x()cos(k/)d = 4(cos(k) cos(k/)) k. Por ano el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = k= y su forma exponencial compleja es F{x()} = + k= cos(k) cos(k/) k cos(k ). cos(k) cos(k/) k e k j. 8. Calcular la serie de Fourier, en sus formas rigonomérica y exponencial compleja, asociada a la exensión periódica de la se~nal x() = Impar{ }, < <. Usando el problema anerior se iene que la expresión de esa se~nal en ( T/,T/) es, < < x() =, < <, < <. x() Así la se~nal es impar, luego a =, a k =, k =,,..., y b k = x()sin(k/)d = (kcos(k) sin(k/)) k. Por ano el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = k= y su forma exponencial compleja es F{x()} = k= kcos(k) sin(k/) k sin(k ), sin(k/)j k cos(k)j k e k j.

17 9. Calcular la serie de Fourier, en sus formas rigonomérica y exponencial compleja, asociada a la exensión periódica de la se~nal x() = cos 3. Dado que es una se~nal sencilla sbemos que = /3, luego ω = 6, y la expresión de esa se~nal en ( T/,T/) es x() = cos(3), así su represenación es x() 6 6 La se~nal es par, luego b k =, k =,,..., y a k = a = 6 6 x()d = 4, x()cos(6k)d = 4( )k ( 4k ). Por ano el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = + 4 y su forma exponencial compleja es F{x()} = k= k= ( ) k 4k cos(6k), ( ) k 4k cos(6jk).. Calcular la serie de Fourier, en sus formas rigonomérica y exponencial compleja, asociada a la exensión periódica de la se~nal ( ) ( ) x() = u(+) u(+)+u() u( ) + u(+) u(+),. La gráfica en ese caso es

18 x() 3 Así se~nal no iene simería, su periódo es T = y ω =, a k = a = d =, cos(k)d = ( )k k, b k = sin(k)d = ( )k k. Por ano el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = 4 + k= ( ) k k y su forma exponencial compleja es F{x()} = 4 + k= k cos(k) ( ( ) k k ( ) k sin(k), k k= ) + ( )k k j e jk.. Calcular la serie de Fourier asociada a la se~nal periódica ( ) x() = cos u(+) u(+)+u() u( ), < <. La gráfica en ese caso es x()

19 Así se~nal no iene simería, su periódo es T = y ω =, a k = a = cosd =, cos cos(k)d = ksin(k) ( k ), luego debemos considerar por separado el caso k =, de hecho, a = b k = cos cosd = (+cos())d =, cossin(k)d = (( )k +)k (k, ) donde, de nuevo, debemos disinguir el caso k =, siendo b = cossind = sin()d =. Por ano el desarrollo en serie de Fourier rigonomérica es F{x()} = cos+ k= (( ) k +)k k sin(k) = cos+ n= n 4n sin(n).. Calcular la serie de Fourier asociada a la se~nal periódica x() = cos 3 9. Aplicando las idenidades básicas rigonoméricas se iene x() = cos(9)+ 4 (cos(7)+cos(9)) = 3 4 cos(9)+ 4 cos(7). Esa sería la serie de Fourier rigonomérica de la se~nal donde T = /9, y ω = 9; mienras que uilizando la idenidad de Euler se endría que su serie de Fourier en forma exponencial compleja sería F{x()} = 8 e 7j e 9j e9j + 8 e7j. Trabajo ranscrio por Robero Cosas, si deecáis algún error indicad dónde a robero.cosas@uah.es