Resuelva el examen en forma individual, ordenada y clara. Cada ejercicio debe indicar el procedimiento o justificación completa de la solución.

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1 Insiuo Tecnológico de Cosa Rica Escuela de Ingeniería Elecrónica EL-470 Modelos de Sisemas EL-470 Señales y Sisemas MT-500 Modelos de Sisemas para Mecarónica Profesores: I Semesre, 08 Examen Parcial Nombre: M.Sc. José Miguel Barboza Reana Lic. Daniel Kohkemper Granados M.Sc. Javier Rivera Alvarado Dr. Pablo Alvarado Moya Dra. Gabriela Oriz León Toal de Punos: 85 Punos obenidos: Porcenaje: Noa: Carné: Adverencias: Resuelva el examen en forma individual, ordenada y clara. Cada ejercicio debe indicar el procedimieno o jusificación complea de la solución. No se aceparán reclamos de desarrollos con lápiz, borrones o correcor de lapicero. Si rabaja con lápiz, debe marcar su respuesa final con lapicero. El uso de lapicero rojo no esá permiido. El uso del eléfono celular no es permiido. Ese ipo de disposiivos debe permanecer oalmene apagado durane el examen. No se permie el uso de ningún ipo de calculadora elecrónica. El insrucivo de examen debe ser devuelo juno con su solución. El incumplimieno de los punos aneriores equivale a una noa igual a cero en el ejercicio correspondiene o en el examen. Preguna de 6 Preguna de 5 Preguna de 7 Preguna 4 de 6 Preguna 5 de Preguna 6 de 6 Problema de Problema de 4 Problema de 6

2 LAS SOLUCIONES APLICAN Las soluciones esán disponibles solo para el ipo a de examen. Ése es el ipo a!

3 Pregunas Ps Debe jusificar sus respuesas a las pregunas. Para ello basa un esbozo de la idea o concepo requerido, y si necesia más espacio puede uilizar el cuaderno de examen indicando claramene la preguna correspondiene.

4 . Las siguienes inecuaciones describen regiones del plano complejo. Indique para las regiones ilusradas abajo la inecuación correspondiene.: 6 Ps a. z z + b. z + z c. z + z Im{z} Im{z} d. z z + j e. z + j z f. z z + j Im{z} c b e Im{z} Im{z} Im{z} a f d Si no se da ningún ipo de jusificación, se asigna (0,75ps) en vez de (p), y se redondea el resulado. Esas dobles desigualdades se pueden inerprear como la inersección de dos desigualdades separadas. Para a) z < z + es el semiplano derecho (punos más cercanos de 0 que de - en línea verical que pasa por -). Hay res candidaos con una reca que pasa por -, pero solo la figura inferior izquierda iene el semiplano derecho. Para b) z + < z es ambién la reca verical que pasa por -, pero esa vez es el semiplano izquierdo. Las dos figuras superiores a la izquierda y la miad son posibles candidaos. La desigualdad z es el círculo cenrado en 0 de radio. La inersección de ambas regiones es la ilusrada arriba al cenro. Para c) z + es el exerior de un círculo cenrado en - de radio. Solo la figura arriba a la derecha saiface esa inecuación. Para d) z z es el semiplano al lado izquierdo de la reca verical que pasa por. Las dos figuras a la derecha saisfacen eso. z + j es el inerior de un círculo de radio cenrado en. Eso lo cumple solo la figura inferior derecha. Para e) z +j es el inerior de un círculo cenrado en 0 de radio. Eso puede ser la figura superior derecha o inferior cenral. La desigualdad + j z es el exerior de un círculo cenrado en de radio. Para f) solo resa la figura inferior cenral. z z es el semiplano a la derecha de la reca verical que pasa por. z + j es el inerior de un círculo de radio. 4

5 . Deermine los punos en los cuales la función f(z) no es conforme: 5 Ps f(z) = j z 8j El mapeo f(z) no es conforme donde se indefina o donde f (z) = 0: z 0 = e j π 6 = j + z = e j 5π 6 = j z = e j 9π 6 z = 0 z = = j La razón es que la función no es conforme donde no es analíica (lo que ocurre en (ps) z = 8j z = e j( π 6 + π ) ) o cuando la derivada de la función se hace cero. La derivada de la función es f (z) = j(z ) (z 8j) = 6jz (z 8j) que se hace cero en z = 0 y z = (p). 5

6 . Sea v(x, y) una función real IR IR IR conjugada a u(x, y) = x xy. Indique cuál de las siguienes funciones v(x, y) saisface lo anerior (Jusifique): 7 Ps a) v(x, y) = x y y. b) v(x, y) = y x y. c) v(x, y) = x y xy. d) No exise, u(x, y) no es armónica. e) v(x, y) = x y La función v(x, y) conjugada de u(x, y) saisface con esa úlima las ecuaciones de Cauchy-Riemann (p). Con eso (p por cada derivada) u x = x y u x = 6x u y = 6xy u y = 6x Con eso se verifica que u(x, y) es armónica, pues u x + u y = 0 lo que asegura además la exisencia de una función conjugada a u(x, y). Pueso que (p) Con eso calculamos (p) u x = v y = x y v(x, y) = x y y = x y y + F (x) u y = 6xy! = v x = 6xy F (x) de lo que se deriva F (x) = 0, o sea, F (x) = C (p). Finalmene, v(x, y) = x y y + C. De las respuesas, solo la a) cumple con eso con C = 0 (p). 6

7 4. Para el conorno C : z 5 =, la inegral C z z + z 5z + 6z dz 6 Ps iene como valor (Jusifique): a) 4πj b) 6πj c) πj d) 5πj e) 0 Se cumple que (p) C z z + z 5z + 6z dz = z z + C z(z 5z + 6) dz Buscando las raíces del polinomio de segundo orden en el denominador se iene que (p) { con lo que C z, = 5 ± 5 4 z z + z 5z + 6z dz = C = 5 ± = z z + z(z )(z ) dz Obsérvese que el conorno dado, un círculo de radio cenrado en 5/, solo encierra a los polos simples en y (p). jim{z} Por ano, basa con calcular la inegral considerando los resíduos del inegrando (p): a (z=) a (z=) (z )(z z + ) (z z + ) 8 + = lím = lím = = z z(z )(z ) z z(z ) ( ) = (z )(z z + ) (z z + ) 8 + = lím = lím = = z z(z )(z ) z z(z ) = con lo que finalmene (p): C z z + z 5z + 6z dz = πj(a(z=) + a (z=) ) = 0 5. Considere la señal g() con periodo fundamenal de T = 4 de la siguiene figura: Ps 7

8 g() Se conoce que una onda periódica cuadrada simérica x() iene coefienes c k Fourier de exponenciales complejos, dados por: para la serie de { k = 0 c k = sen( π k) k 0 πk Además, la función g() se expresa en érminos de la función x() de la siguiene forma: g() = x( + ) + Considerando las propiedades de la serie de Fourier, deermine los coeficienes d k de la serie de Fourier exponencial para g() en érminos de los coeficienes de la serie de Fourier exponencial para x(). Nóese que g() se obiene con un desplazamieno emporal, una inversión verical y un desplazamieno verical que solo afeca al coeficiene d 0. El mapeo x( + ) solo cambia la fase de los coeficienes a (p) c k = ejω 0k ( Tp 4 ) c k = e j πtp 4Tp k c k = e j π k c k = j k c k Con el cambio de signo x( + ) enemos por linealidad (p) c k = c k = (jk )c k Finalmene, los coeficienes de g() = x( + ) + esarán dados por c k excepo para k = 0, pueso que solo en ese caso debe sumarse, y enonces d 0 = c 0 + = c 0 + = + = 0 (p) { 0 k = 0 d k = (j k )c k = (j k ) sen( π k) πk k 0 0 k par = (j k ) k impar k ( ) πk Ese resulado se verifica observando que g() es real e impar, por lo que sus coeficienes deben ser puramene imaginarios. El sen(πk/) = ( ) k para k impar y es cero para k par, y de ese modo d k es imaginario con k impar y anulado para k pares. 8

9 6. Asocie los respecivos coeficienes para la serie de Fourier (base exponencial) que sineiza las siguienes funciones: 6 Ps { 0 k = 0 a. c k = j( ) k k 0 πk { k = 0 b. c k = ( )k k 0 0 k = 0 c. c k = 0 k par cos( πk ) cos( πk ) k impar jπk x () k = 0 d. c k = [ ] sen( πk πk j e + ( ) k k 0 ) πk k = 0 e. c k = 0 k par [ ( (πk) cos πk ) ( cos πk )] k impar { k = 0 f. c k = [ j e j πk (πk) sen ( ) πk + e j πk sen ( ) ] πk k 0 x 4 () d x () f x 5 () c x () b x 6 () e a Ese ejercicio se resuelve observando paridades y asas de convergencia. Todas las funciones son reales, por lo que los coeficienes deben ener simería hermíica. Las funciones reales pares ienen coeficienes puramene reales y pares. Solo la función de impulsos x 5 () y la función x () son pares. La función sha() iene energía en odo el especro, y agregarle ora función sha( T/) solo cambiará la fase. 9

10 Coeficienes reales solo hay en b) y e). Como b) no decaen, deben ser los impulsos y e) corresponde a x (). Solo hay dos funciones impares: x () y x 6 (), ambas disconinuas. Ambas deben ener coeficienes puramene imaginarios e impares. Eso lo saisfacen a) y c). Por ser x () impulsos recangulares desfasados, sus coeficienes deben asemejarse a la función sa(), lo que ocurre con c) y por ano x 6 () corresponde a a). Quedan dos funciones. x () es disconinua y por ano sus coeficienes convergen con /k. x 4 () es coninua, no así su derivada, por lo que sus coeficienes deben converger con /k. De ese modo x () corresponde a d) y x 4 () a f). También ayuda en la selección la consideración de los niveles CD. x () debe ener nivel c 0 = (++0)/ =. Lo mismo x 4 () que debe ener nivel CD c 0 = /( ) =. Solo x 5 () iene un nivel CD negaivo. x () y x 6 () deberían ener nivel CD igual a cero. Finalmene x () iene c 0 = /6 = /. 0

11 Problemas Problema Mapeos de variable compleja Dado el siguiene mapeo complejo Ps donde w = u + jv y z = x + jy. f(z) = w = jz + j z + j.. Encuenre el mapeo inverso de f(z). Ps El mapeo inverso z = f (w) se obiene con (p concepo, p resulado) w(z + j) = jz + j wz + w( + j) = jz + j z(w j) = w( + j) + j z = w( j) + j w j = j + j w j.. Descomponga el mapeo dado en mapeos elemenales (roaciones, raslaciones, escalados e inversiones) e indique la secuencia correspondiene. 6 Ps Por división polinomial o símplemene uilizando la fórmula se despeja (p) w = j + j z + j De ese modo, se obienen los siguienes mapeos elemenales (p por paso). Traslación en + j (una unidad hacia la izquierda y ora hacia arriba). Mapeo de inversión. Escalamieno en 4. Roación en Traslación en j, es decir dos unidades hacia arriba... De los video juegos se ha escapado Pac-Man y algunos premios. Uno de los premios se encuenra en el origen del plano z y Pac-Man esá liso para comérselo. Dibuje a Pac-Man en el plano z, si se conoce que esá conformado por la unión de las siguienes regiones (R R ): 4 Ps R : z z z j R : z z z + j La región R esá dada por el semicírculo sobre la línea puneada azul en la siguiene figura, y la región R por el semicírculo bajo la línea puneada roja. La inersección de ambas regiones se muesra en magena.

12 Im{z} R 0 R (p cada región y p el área, p el borde).4. Uilizando el mapeo f(z) dado en el enunciado, deermine y bosqueje la ransformación que experimena Pac-Man en el plano w. 0 Ps Luego de la raslación inicial se obiene (ps) Im{z } 0 Re{z } a parir de lo cual el mapeo de inversión produce (4ps) Im{z } 0 Re{z } y con el escalado se ransforma en (ps) Im{z } 0 Re{z } que después de roarlo 90 se ve como (ps)

13 Im{z 4 } 0 Re{z 4 } para finalmene rasladarlo en (ps) Im{w} 5 / Re{w} Problema Series de Lauren Sea la función de variable compleja f(z) = z(z ) 4 Ps.. Grafique la región de convergencia cenrada en z = 0 de la serie de Lauren de f(z) que enga a z = 0 como puno límie. Brinde una expresión algebraica que describa dicha región. Ps La región de convergencia es circular, y esá delimiada por el oro polo en z = y debe excluir al z = 0 (p para círculo correco, p para polos con orden.) jim{z} 0 La expresión que describe dicha región es 0 < z < (p)... Encuenre la serie de Lauren cenrada en la región indicada por used en el puno anerior, y exprese la serie como sumaoria de érminos (z z 0 ) n muliplicados por los coeficienes correspondienes. 4 Ps

14 Pueso que la serie esá cenrada en cero, y z = 0 es un polo de orden uno, esperamos enconrar una serie de la forma f(z) = c n (z z 0 ) n = c n z n n= n= Para enconrar dicha serie, lo más sencillo es observar que (p) ( z(z ) = z (z ) = ) d n z n = d n z n = z n=0 n=0 donde los d n son los coeficienes de una serie de Taylor al que (z ) = d n z n Para enconrar dicha serie basa con hacer la división polinomial (p) n=0 m= d m+ z m -( z +z ) z z -( z 4z +z ) z z -( z 6z +z 4 ) 4z z 4 -( 4z 8z 4 +4z 5 ) 5z 4 4z 5. z + z + z + z + 4z +... por lo que se cumple que (p por expresar la serie correcamene) y por lo ano (p) (z ) = (n + )z n n=0 z(z ) = n= (n + )z n = z + + z + 4z + 5z +... Realizando la división polinomial de por z z + z produce el mismo resulado... Deermine el radio de convergencia uilizando la razón de D Alember. Ps La razón de D Alember esablece que R = lím n c n c n+ En nuesro caso con c n = n + obenemos (p por planeo y p por resulado) R = lím n + n n + = lím n = lím n + = n++ n+ al y como se esperaba a parir de la región de convergencia. 4 n+

15 .4. Indique cuál es el valor del residuo, a parir de la serie. P El residuo es el coeficiene que muliplica a (z z 0 ), que en ese caso es c = + = (p). Eso se puede verificar con c = lím z 0 z z(z ) = lím z 0 (z ) = aunque el enunciado preguna verificar cuál es el residuo a parir de los coeficienes de la serie..5. A parir de la serie de Lauren enconrada para f(z), jusifique el orden del polo en z = 0. P Pueso que solo hay un érmino en la pare principal, el polo es de primer orden (p)..6. Indique cuános érminos de la serie de Lauren anerior son necesarios para aproximar f(/) con un error menor que. Ps. Como z = / esá denro de la región de convergencia, enonces se puede calcular (p) ( ) f = ( = ) = = Los primeros érminos de la serie con z = f ( ) = ( ) + son: (p) ( ) 0 + = ( ) + 4 ( ) + 5 ( ) + La sucesión acumulada es enonces {; 4; 5,5; 6,5; 7,5;...}, de donde se observa que los errores de la aproximación esán dados por {6; 4;,5;,5; 0,875;...}. Por ello, con 5 érminos es suficiene para obener un error menor a (p). Problema Orogonalidad 6 Ps Sea una base de res funciones orogonales u 0 (), u () y u (), definidas únicamene en el inervalo [, ] como u 0 () = u () = u () = k 0 + k +.. Grafique las primeras dos funciones u 0 () y u (). Ps u 0 () u () 0 0 5

16 .. Calcule la norma de las primeras dos funciones u 0 () y u () Ps u 0 () = u () = d = = u 0() = d = = + = u () =.. Deermine las consanes k 0 y k que hacen que u () sea orogonal a u 0 () y a u (). 4 Ps Pueso que las funciones son orogonales se debe cumplir(p) Para el primer caso (p) u 0 ()u () d! = 0 u ()u () d! = 0 [ (k 0 + k + ) d = + k = [ + k + k 0 ] + k 0 ] [ + k k 0 ] = + k 0 =! 0 k 0 = Para el segundo caso (p) [ ( + k + k 0 ) d = ( + k 4 + k 0 ) d = 4 + k [ ] [ ] = 4 + k + k 0 4 k + k 0 k = 0 + k 0 = k ]! = 0.4. Grafique la función u (). P La función esá dada por u () =, que es la parábola desplazada / (hacia abajo), por lo que en = ± debe pasar por /: u () / /.5. La función f() esá dada por f() = { para 0 0 en el reso Grafique dicha función. P 6

17 f() 0.6. Esime la aproximación ópima f() de la función f() uilizando una combinación lineal de las funciones orogonales u i () con i = 0,, definidas en los punos aneriores. En caso de requerirlo, se sabe que u () = 8/45. 5 Ps Se iene que la aproximación de f() esá dada por (p) f() = a 0 u 0 () + a u () + a u () donde los coeficienes se deerminan como sigue (ps): a 0 = a = a = u 0 () f()u 0 () d = u () f()u () d = u () con lo que finalmene se obiene (p) f()u () d = f() = + 4 d = d = [ ] 4 0 = 4 [ 45 d = 8 ] 0 = 0.7. Grafique la aproximación de f() P f() 0 7